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第八章 第5讲 空间向量及其运算.pptx
垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0)
___a_1_b_1_＋__a_2_b_2＋__a__3b_3_＝__0___
模 夹角
|a| 〈a，b〉(a≠0，b≠0)
a12＋a22＋a32
cos〈a，b〉＝
a1b1＋a2b2＋a3b3 a21＋a22＋a23· b21＋b22＋b23
6
知识衍化体验
考点聚焦突破
3
知识衍化体验
考点聚焦突破
@《创新设计》
3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角
已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作O→A＝a，O→B＝b，则∠AOB 叫做向量 a，
b 的夹角，记作〈a，b〉，其范围是 0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝π2，则称 a 与 b_互__相___垂__直___，
22
知识衍化体验
考点聚焦突破
@《创新设计》
(1)解 设A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c，
则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0， c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1.
∵A→C1＝A→C＋C→C1＝A→B＋A→D＋A→A1＝a＋b＋c， ∴| A→C 1| ＝ |a ＋ b ＋ c| ＝ （a＋b＋c）2 ＝ |a|2＋|b|2＋|c|2＋2（a·b＋b·c＋c·a） ＝
12
知识衍化体验
考点聚焦突破
@《创新设计》
(1)解析 O→C＝12A→C＝12(A→B＋A→D)， ∴O→C1＝O→C＋C→C1＝12(A→B＋A→D)＋A→A1＝12A→B＋12A→D＋A→A1. 答案 12A→B＋12A→D＋A→A1 (2)解 M→G＝M→A＋A→G＝12O→A＋23A→N＝12O→A＋23(O→N－O→A)＝12O→A＋23[12(O→B＋O→C)－O→A]＝ －16O→A＋13O→B＋13O→C. O→G＝O→M＋M→G＝12O→A－16O→A＋13O→B＋13O→C＝13O→A＋13O→B＋13O→C.
空间向量及其运算 课件
共线向量与共面向量
1.共线向量 (1) 定 义 ： 表 示 空 间 向 量 的 有 向 线 段 所 在 的 直 线 互__相__平__行__或__重__合__，则这些向量叫做_共__线__向__量___或平行向量； (2)共线向量定理：对于空间任意两个向量 a，b(b≠0)， a∥b 的充要条件是存在实数 λ 使__a_＝__λ_b____.
【思路探究】 (1)空间向量中，零向量是怎样定义的？ (2)怎样判断两个向量相等？(3)四边形 ABCD 满足什么条件
时，才有A→B＋A→D＝A→C？ 【自主解答】 ①正确；②正确，因为A→C与A→1C1的大小
和方向均相同；③|a|＝|b|，不能确定其方向，所以 a 与 b 的 方向不能确定；④中只有当四边形 ABCD 是平行四边形时，
2．共面向量 (1)定义：平行于__同__一__个__平__面___的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)， 使_p_＝__x__a_＋__y_b__.
推论 空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在有 序实数对(x，y)，使_A→_P__＝__x_A→_B_＋__y_A→_C__；或对空间任一定点 O，
才有A→B＋A→D＝A→C.
综上可知，正确命题为①②. 【答案】 ①②
1．在空间中，零向量、单位向量、向量的模、相等向 量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同．
2．由于向量是由其模和方向确定的，因此解答空间向 量有关概念问题时，通常抓住这两点来解决．
3．零向量是一个特殊向量，其方向是任意的，且与任 何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．
【思路探究】 (1)E→H与F→G共线吗？怎样证明？
1.1空间向量及其运算课件(人教版)
平面向量
空间向量
概念 定义 表示法 相等向量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
运算 减法:三角形法则
具有大小和方向的量
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
加法交换律 a b b a 加法结合律 (a b) c a (b c)
课本P106习题3.1， A组 第1题（1）、（2）
空间向量及其运算
一块均匀的正三角形的钢板所受重力为
500N，在它的顶点处罚别受力F1，F2，F3， 每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹
角都是60度，且| F1|=|F2|=|F3|=200N，这块 钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三
个力至少多大时，才能提起这块钢板？
2、平面向量的加法、减法与数乘运算
（1）CB BA1
（2）AC （3）AA1
CB
AC
AA1
CB
3．已知空间四边形 ABCD，连结 AC, BD，设
M ,G分别是 BC,CD 的中点，
化简下列各表达式，并标出化简结果向量：
（1）AB BC CD
（2）AB BD GC
（3）CM DG GA
B
D
M
G
C
小结
类比思想 数形结合思想
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB BC (2) AB AD AA1
D1 A1
C1 B1
D A
C B
1．课本P92练习1-3
2．如图，在三棱柱 ABC A1B1C中1 ，M是 BB1 的中点，化简下列各式， 并在图中标出化简得到的向量：
空间向量的数量积运算ppt课件
g
l
m
m
存在唯一的有序数对(, )，
= + .
∴ ∙ = ∙ + ∙ .
∵ ∙ = 0， ∙ = 0
∴ ∙ = 0.∴ ⊥ .
因此直线垂直于平面内的任意一条直线，所以 ⊥ .
n
n
g
∠AOB
OB ＝b，则_______＝θ
范围：________
0≤θ≤π
B
b
b
特殊情况：
B
a
a
O
b B
O
b
a
A
B b
O
0
180
a 与 b 同向
a 与 b 反向
A
O
a
a
A
90
a 与 b 垂直，记作 a b
A
空间向量的夹角
定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作 OA ＝a，
空间向量的数量积运算
新课导入
平面向量及其线性运算
推
广
空间向量及线性运算
平面向量数量积运算
推
广
空间向量数量积运算
探 究
问题：回忆一下，我们当时是如何研究平面向量的数量积运算？
定义夹角
数量积定义
运算律
运用
知识回顾
定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作 OA ＝a，
<a,b>
叫做向量a与b的夹角．记作: ________
a
a
c
b
称为向
投影向量
向量a向直线l投影
a
a
c
l
投影向量
空间向量及其运算(共22张PPT)
向量场的点乘
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得 到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
THANKS
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得 到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
THANKS
空间向量及其加减运算 课件
(4)特殊向量
长度为0
0
模为1 相同
相等
相等
相反
－a
2.空间向量的加减法与运算律
类似平面向量，定义空间向量的加、减法运 算(如图)：
空间向 量的加
减法
O→B＝O→A＋A→B＝___a_＋__b___；
C→A＝O→A－O→C＝___a_－__b___.
加法运 (1)交换律：a＋b＝___b_＋__a___； 算律 (2)结合律：(a＋b)＋c＝__a_＋__(_b_＋__c_)___.
【答案】 A
【名师点评】 在进行减法运算时,可将减去 一个向量转化为加上这个向量的相反向量； 而在进行加法运算时，首先考虑这两个向量 在哪个平面内，然后与平面向量求和一样， 运用向量运算的平行四边形法则、三角形法 则及多边形法则来求即可．
空间向量及其有关概念
例1 下列几个命题： (1)所有的单位向量都相等； (2)方向相反的两个向量是相反向量； (3)零向量没有方向；
(4)对于任何向量a、b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.Βιβλιοθήκη 其中正确命题的序号为( )
A．(1)，(2)
B．(4)
C．(3)，(4)
D．(1)，(4)
【解析】 对于(1)：单位向量是指长度等于1 个单位长度的向量，而其方向不一定相同， 它不符合相等向量的定义,故(1)错；对于(2)： 长度相等且方向相反的两个向量是相反向量, 故(2)错；对于(3)：零向量有方向，只是没有 确定的方向，故(3)错；对于(4)：(4)中为向量 模的不等式，正确，故选B. 【答案】 B
空间向量及其加减运算
1.空间向量 (1) 定 义 ： 在 空 间 ， 把 具 有 _大__小___ 和方__向____ 的量叫做空间向量． (2) 长 度 ： 向 量 的 _大__小___ 叫 做 向 量 的 长 度 或 __模____．
8-5空间向量及其运算课件共83张PPT
(1) 解析：∵a＋b＝(10，－5，－2)，a－b＝(－2,1，－6)，
∴(a＋b)·(a－b)＝－13. (2) 解析：cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝－2155.
核/心/素/养
已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，V→P＝13V→C，V→M＝23 V→B，V→N＝23V→D，则VA与平面PMN的位置关系是__平__行____．
A．(2,3,3)
B．(－2，－3，－3)CFra bibliotek(5，－2,1)
D．(－5,2，－1)
4．在三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用 基向量O→A，O→B，O→C表示M→G，O→G.
[解] M→G＝M→A＋A→G＝12O→A＋23A→N ＝12O→A＋23(O→N－O→A) ＝12O→A＋2312O→B＋O→C－O→A ＝－16O→A＋13O→B＋13O→C. O→G＝O→M＋M→G ＝12O→A－16O→A＋13O→B＋13O→C ＝13O→A＋13O→B＋13O→C.
知识点二 数量积及坐标运算 1．两个向量的数量积 (1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)a⊥b⇔_a_·_b_＝__0__(a，b为非零向量)． (3)|a|2＝__a_2_____，|a|＝ x2＋y2＋z2.
2．空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 (1)|a|＝ a21＋a22＋a32； (2)a＋b＝_(_a_1＋__b_1_，__a_2＋__b_2_，__a_3_＋__b_3)_； (3)a－b＝_(_a_1－__b_1_，__a_2_－__b_2，__a_3_－__b_3_) ； (4)λa＝_(λ_a_1_，__λ_a_2，__λ_a_3_)____； (5)a·b＝_a_1b_1_＋__a_2_b_2＋__a_3_b_3__；
∴(a＋b)·(a－b)＝－13. (2) 解析：cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝－2155.
核/心/素/养
已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，V→P＝13V→C，V→M＝23 V→B，V→N＝23V→D，则VA与平面PMN的位置关系是__平__行____．
A．(2,3,3)
B．(－2，－3，－3)CFra bibliotek(5，－2,1)
D．(－5,2，－1)
4．在三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用 基向量O→A，O→B，O→C表示M→G，O→G.
[解] M→G＝M→A＋A→G＝12O→A＋23A→N ＝12O→A＋23(O→N－O→A) ＝12O→A＋2312O→B＋O→C－O→A ＝－16O→A＋13O→B＋13O→C. O→G＝O→M＋M→G ＝12O→A－16O→A＋13O→B＋13O→C ＝13O→A＋13O→B＋13O→C.
知识点二 数量积及坐标运算 1．两个向量的数量积 (1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)a⊥b⇔_a_·_b_＝__0__(a，b为非零向量)． (3)|a|2＝__a_2_____，|a|＝ x2＋y2＋z2.
2．空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 (1)|a|＝ a21＋a22＋a32； (2)a＋b＝_(_a_1＋__b_1_，__a_2＋__b_2_，__a_3_＋__b_3)_； (3)a－b＝_(_a_1－__b_1_，__a_2_－__b_2，__a_3_－__b_3_) ； (4)λa＝_(λ_a_1_，__λ_a_2，__λ_a_3_)____； (5)a·b＝_a_1b_1_＋__a_2_b_2＋__a_3_b_3__；
空间向量的运算PPT精品课件
3.已知空间四边形 OABC , OB OC , AOB AOC
，求证：OA BC。
O
证明：∵
OA BC OA (OC OB)
OA OC OA OB
A
C
| OA | | OC | cos | OA | | OB | cos
| OA | | OB | cos | OA | | OB | cos
()
4) p q p q p2 q2
()
三、典型例题 例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l 与的交点为B，且l⊥m，l⊥n，求证：l⊥
分析：由定义可知，只需证l与平面
l
lm
g m
gn n
内任意直线g垂直。
要证l与g垂直，只需证l·g＝0 而m，n不平行，由共面向量 定理知，存在唯一的有序实 数对(x,y)使得 g=xm+yn
【解析】第(2)题，从图甲中可知字母B所代表的为 东北信风带。结合图乙，该半球风向向右偏转，可 判断位于北半球，据此判断图示中气压带和风带名 称；结合上题信息即可得出结论。
(1)图示区域从沿海向内陆，陆地自然带依次为热带
雨林带、热带草原带。给该区域带来降水的主导风
是( B )
A．西北风
B．西南风
条件是存在实数对 x, 使y P xa yb
bB
M aA
p
P
A
O
推论:空间一点P位于平面MAB内的
充要条件是存在有序实数对x,y使
MP x MA y MB 或对空间任一点O,有OP OM x MA yMB
注意： 空间四点P、M、A、B共面 存在唯一实数对（x , y）, 使得MP x MA yMB
a ，点 M、N 分别是边 AB、CD 的中点。
空间向量及其加减运算PPT课件
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
10
B M
D G C
（3）AG – ½ （AB+AC）= MG源自2020年10月2日8
2。已知正方体ABCD-A1B1C1D1，点E、F分别是上底面A1C1
和侧面CD1的中心，求下列各题中x、y的值：
（1）AC1=x（AB+BC+CC1） （2）AE=AA1+xAB+yAD
（3）AF=AD+xAB+yAA1
两个向量不能比较大小，因为决定向量的两个因素是大小 和方向，其中方向不能比较大小
∴ OA=a AB= b
2020年10月2日
3
㈣空间向量加法、减法与数乘向量运算： a b
B
α
O
A
OB = OA +AB = ａ＋ｂ
P
a
BA = OA – OB = a - b
OP =λa （λ∈R）
O
2020年10月2日
2020年10月2日
1
㈠向量的定义： 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 a ·· ·
D
A C
B
D1 A1
C1
B1
这个”平移“就是一个向量 a=“自西向东平移4个单位”
2020年10月2日
2
㈡向量的表示方法：空间向量可用有向线段表示
a b
B
记作：向量a、b。 O
A
㈢向量的相等:当两个向量大小相等，方向相同时两向量相等。
D1 A1 a
D
A
C1 B1
C B
D1 A1
D
A
C1 B1
C B
记作ABCD—A1B1C1D1，它的六个面都是平行四边形，每 个面的边叫做平行六面体的棱。
10
B M
D G C
（3）AG – ½ （AB+AC）= MG源自2020年10月2日8
2。已知正方体ABCD-A1B1C1D1，点E、F分别是上底面A1C1
和侧面CD1的中心，求下列各题中x、y的值：
（1）AC1=x（AB+BC+CC1） （2）AE=AA1+xAB+yAD
（3）AF=AD+xAB+yAA1
两个向量不能比较大小，因为决定向量的两个因素是大小 和方向，其中方向不能比较大小
∴ OA=a AB= b
2020年10月2日
3
㈣空间向量加法、减法与数乘向量运算： a b
B
α
O
A
OB = OA +AB = ａ＋ｂ
P
a
BA = OA – OB = a - b
OP =λa （λ∈R）
O
2020年10月2日
2020年10月2日
1
㈠向量的定义： 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 a ·· ·
D
A C
B
D1 A1
C1
B1
这个”平移“就是一个向量 a=“自西向东平移4个单位”
2020年10月2日
2
㈡向量的表示方法：空间向量可用有向线段表示
a b
B
记作：向量a、b。 O
A
㈢向量的相等:当两个向量大小相等，方向相同时两向量相等。
D1 A1 a
D
A
C1 B1
C B
D1 A1
D
A
C1 B1
C B
记作ABCD—A1B1C1D1，它的六个面都是平行四边形，每 个面的边叫做平行六面体的棱。
空间向量及其线性运算(26张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
C D
2.已知空间任一点O 和不共线的三点A,B,C, 下列能得到P,A,B,C四点共面的是(B )A.OP=OA+OB+OC
解 析 ：若点P,A,B,C 共面，设OP=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=1, 满足条件的只有B, 故选B.
D. 以上都不对
(2)∵M 是AA的中点，
又N 是BC的中点，
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢?1.空间向量的概念2.空间向量的运算律3.共线向量和共面向量
小结：
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
的充要条件是
如图，0是直线1上一点，在直线1上取非零向量a, 则对于直线1上任意一 点P, 由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ,使得
直线的方向向量
OP=λa. 把与向量a 平行的非零向量称为直线l的方向向量.
共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线1平行或重合，那么称向量α平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.a0 Aa 1aa如果两个向量a,b 不共线，那么向量p 与 向 量a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使 P=xa+yb.
证明：设 DA=a,DC=b.则DB=DC+CB=b+a,
10.如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁CD₁中，设AA M,N,P 分别是AA,BC,C₁D₁的中点，试用a,b,c
=a,AB=b,AD=c,表示以下向量：
2.已知空间任一点O 和不共线的三点A,B,C, 下列能得到P,A,B,C四点共面的是(B )A.OP=OA+OB+OC
解 析 ：若点P,A,B,C 共面，设OP=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=1, 满足条件的只有B, 故选B.
D. 以上都不对
(2)∵M 是AA的中点，
又N 是BC的中点，
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢?1.空间向量的概念2.空间向量的运算律3.共线向量和共面向量
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的充要条件是
如图，0是直线1上一点，在直线1上取非零向量a, 则对于直线1上任意一 点P, 由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ,使得
直线的方向向量
OP=λa. 把与向量a 平行的非零向量称为直线l的方向向量.
共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线1平行或重合，那么称向量α平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.a0 Aa 1aa如果两个向量a,b 不共线，那么向量p 与 向 量a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使 P=xa+yb.
证明：设 DA=a,DC=b.则DB=DC+CB=b+a,
10.如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁CD₁中，设AA M,N,P 分别是AA,BC,C₁D₁的中点，试用a,b,c
=a,AB=b,AD=c,表示以下向量：
《空间向量的运算》课件
运算性质：混合积满足分配律和结合 律，即$mathbf{A} cdot (mathbf{B} times mathbf{C}) = (mathbf{A} + mathbf{D}) cdot (mathbf{B} times mathbf{C}) = (mathbf{A} cdot (mathbf{B} + mathbf{D}) )timesmathbf {C}=mathbf {(A}timesmathbf {B})cdot (mathbf {C}timesmathbf {D})$。
向量的加法
详细描述
向量的加法是通过向量间的平行四边形法则进行的。设$overset{longrightarrow}{a} = (x_1, y_1, z_1)$， $overset{longrightarrow}{b} = (x_2, y_2, z_2)$，则$overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2)$。
向量的混合积
定义：三个向量$mathbf{A}$、 $mathbf{B}$和$mathbf{C}$的混合 积定义为$mathbf{A} cdot (mathbf{B} times mathbf{C})$，它 是一个标量，等于三个向量的行列式 值与各自模的乘积的比值。
几何意义：混合积表示三个向量所围 成的平行六面体的体积。
向量运算的几何意义 与性质
向量运算的几何意义
向量加法的几何意义
表示空间中两个向量通过平移和旋转得到另一个向量。
向量数乘的几何意义
表示将向量进行伸缩变换。
向量减法的几何意义
空间向量的运算课件
空间向量的运算课件一、引言在数学和物理学中，向量是一个具有大小和方向的量。
在三维空间中，我们可以使用空间向量来描述物体在空间中的位置、运动和力的作用等。
本课件旨在介绍空间向量的运算，包括向量的加法、减法、数量乘法和点乘法等。
二、向量的表示在三维空间中，向量可以用有序三元组表示。
例如，向量A可以表示为A = (A1, A2, A3)，其中A1、A2、A3分别表示向量A在x轴、y轴和z轴上的分量。
三、向量的加法向量的加法是将两个向量按照对应分量相加，得到一个新的向量。
设有向量A = (A1, A2, A3)和向量B = (B1, B2, B3)，它们的和向量C = (C1, C2, C3)可以通过以下方式计算：C1 = A1 + B1C2 = A2 + B2C3 = A3 + B3四、向量的减法向量的减法是将两个向量按照对应分量相减，得到一个新的向量。
设有向量A = (A1, A2, A3)和向量B = (B1, B2, B3)，它们的差向量C = (C1, C2, C3)可以通过以下方式计算：C1 = A1 - B1C2 = A2 - B2C3 = A3 - B3五、数量乘法数量乘法是将一个向量的每个分量都乘以一个标量，得到一个新的向量。
设有向量A = (A1, A2, A3)，标量k，它们的数量乘积向量B = (B1, B2, B3)可以通过以下方式计算：B1 = k * A1B2 = k * A2B3 = k * A3六、向量的点乘法向量的点乘法是将两个向量的对应分量相乘，然后再将乘积相加。
设有向量A = (A1, A2, A3)和向量B = (B1, B2, B3)，它们的点乘结果为一个标量C，可以通过以下方式计算：C = A1 * B1 + A2 * B2 + A3 * B3七、向量的运算性质向量的运算具有以下性质：1. 加法和减法满足交换律和结合律。
2. 数量乘法满足结合律和分配律。
3. 点乘法满足交换律和分配律。
3.1 空间向量及其运算(共22张PPT)
巩固：
1．已知空间向量四边形ABCD，连接AC、BD，设M， G分别是BC、CD的中点，化简下列各表达式，并标出 化简结果的向量
(1) AB BC CD 1 (2) AB ( BD BC ) 2 1 (3) AG ( AB AC ) 2
A
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同 一平面内的两条有向线段表示。因此凡是涉及空间任意两 个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。
空间两个向量的加减法
C
a b
O
+
A
b
B
OB OA AB
a
空间向量的数乘
CA OA OC
ka
加法交换律
(k>0)
数乘分配律
ka
(k<0)
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中 (如图),化简下列 向量表达式,并标出化简结果的向量
D1 A1
G
E
C1 B1
M
(4)E为上底面中心 AE ？ AA1 ？ AB ？ AD A
D B
C
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向 量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线 所示向量
解
' (2) AE AA x AB y AD
A'
E
D'
C'
F D C
B
'
A
1 (2) x y 2 1 (3) x y 2
(1) x 1
B
小结
1、空间向量的概念 2、空间向量的运算及运算律
空间向量的运算ppt
解:四边形 EFGH 是平行四边形.证明如下:
法一:∵ EH = EA + AH = 1 ( BA + AD )
2 = 1 BD ,
2
FG = FC + CG = 1 ( BC + CD ) 2
= 1 BD , 2
∴ EH = FG . ∵E 点不在直线 FG 上, ∴EH FG, ∴四边形 EFGH 是平行四边形.
见附表
1:(1)向量的数量积是向量还是数量?
(向量的数量积是数量(数值),可以为正,可以为负,也可 以为零) (2)类比平面向量数量积的几何意义,你知道空间向量的 数量积 a·b 的几何意义吗? (a·b 的几何意义:a 与 b 的数量积,等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ的乘积,或 b 的长度|b| 与 a 在 b 方向上的投影|a|cos θ的乘积)
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法二:∵ HG = HD + DG = 1 ( AD + DC )= 1 AC ,
2
2
EF = EB + BF = 1 ( AB + BC )= 1 AC ,
2
2
∴ HG = EF , 又 H 不在直线 EF 上,
∴HG EF, ∴四边形 EFGH 是平行四边形.
变式训练 2 1:已知空间四边形 ABCD,E、H 分别是 边 AB、AD 的三等分点(靠近 A 点),F、G 分别是边 BC、CD 的中点.求证:四边形 EFGH 为梯形. 证明:连接 BD,∵F、G 分别是边 BC、CD 的中点.
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a⊥b 的情况;
d.由 a·b=k,不能得到 a= k 或 b= k ,即向性质与实数运算是不一样的)
二、共线向量定理
2:在平面向量中,什么是共线向量?
若向量 a、b 是共线向量(b≠0),则 a、b 应满 足怎样的关系? (表示向量的两有向线段互相平行或重合,则 两向量互为共线向量,若 a、b(b≠0)互为共 线向量,则存在实数λ,使得 a=λb)
2:空间两个向量 a 与 b(b≠0)共线的 充分必要条件是存在实数λ,使得 a=λb.
2:在共线向量定理中,为什么一定 要加上“b≠0”这一条件? (若不加 b≠0,则充要性就不一定成立,例如, 如果 a≠b,b=0,则 a∥b,但λ不存在,该充要性 也就不成立了)
三、单位向量
3:在平面向量中,与 a 共线的单 位向量有几个?分别是什么? (有两个, a 和- a )
见附表
1:(1)向量的数量积是向量还是数量?
(向量的数量积是数量(数值),可以为正,可以为负,也可 以为零) (2)类比平面向量数量积的几何意义,你知道空间向量的 数量积 a·b 的几何意义吗? (a·b 的几何意义:a 与 b 的数量积,等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ的乘积,或 b 的长度|b| 与 a 在 b 方向上的投影|a|cos θ的乘积)
(3)向量的数量积满足结合律吗?为什么? (不满足结合律,任意取三个不共面的向量 a,b,c,(a·b)·c 是一个数与向量 c 做数乘,而 a·(b·c)是一个数与向量 a 做数乘,而 a,c 不在同一 个方向上,所以(a·b)·c 与 a·(b·c)不相等,即 (a·b)·c≠a·(b·c)) (4)向量的运算与实数的运算有哪些异同? (①在空间向量的数量积 中:a.a·b=b·a;b.a·(b+c)=a·b+a·c; c.(λa)·b=λ(a·b)=a·(λ b);d.a2-b2=(a+b)·(a-b); e.(a+b)2=a2+2a·b+b2;
2
= 1 a+ 1 b-c. 22
(2)∵G 为△BCD 的重心,
∴ DG = 2 DM , 3
AG = AD + DG = AD + 2 DM 3
=c+ 2 ( 1 a+ 1 b-c)= 1 (a+b+c).
32 2
3
空间共线向量定理的应用
【例 2】 射线 AB、AC、AD 不共面,连接 BC、CD、 DB,分别取 AB、BC、CD、DA 的中点 E、F、G、H, 试判断四边形 EFGH 的图形形状,并用向量的方 法证明. 名师导引:判断四边形 EFGH 的形状可用共线向 量定理说明 EH 与 FG 的关系,也可说明 HG 与 EF 的关系,均可作出四边形 EFGH 的形状的判断.
变式训练 1 1:如图所示,已知空间四边形 ABCD 中, 向量 AB =a, AC =b, AD =c,若 M 为 BC 中点,G 为 △BCD 的重心,试用 a、b、c 表示下列向量: (1) DM ; (2) AG . 解:(1)连接 AM. DM = AM - AD = 1 ( AB + AC )- AD
f.(a-b)2=a2-2a·b+b2 等等这些性质与实数运算是类似地. ②在空间向量数量积的运算中: a.若 a·b=a·c 且 a≠0,不能得到 b=c,即数量积等式不能 两边同除以一个向量; b.(a·b)·c≠a·(b·c),即向量的数量积不满足结合律;
c.由 a·b=0 不能得到 a=0 或 b=0,还包括 a≠0,b≠0,但
§2 空间向量的运算
栏
学习目标要求
目
导
问题情境导学 航
课堂互动探究 课堂归纳总结
1.理解共线向量定理及其意义. 2.掌握空间向量的线性运算. 3.掌握空间向量数量积的概念、性质和计算方法及 运算律,会用它解决立体几何中一些简单问题.
【实例】 ①如图所示,已知平面向量 a、b、c.
②如图所示,四边形 ABCD 为平行四边形. ③如图所示,已知平面向量 a 与向量 AB .
aa
3:对于任意一个非零向量 a, 把 a 叫作向量 a 的单位向量,记作 a0.a0
a 与 a 同方向.
空间向量的线性运算
【例 1】 已知空间四边形 OABC,M,N 分别是对边 OA、BC 的 中点,点 G 在 MN 上,且 MG=2GN,如图所示,设 OA =a, OB =b, OC =c,试用 a,b,c 表示向量 OG .
2
32
2
2
= 1 OA + 1 ( OC + OB - OA ) 23
= 1 OA + 1 OB + 1 OC 633
= 1 a+ 1 b+ 1 c. 6 33
用已知向量表示指定向量以及进行向
量表达式的化简时,一定要注意结合实际图形,将指定 向量放在与已知向量有关的三角形内,再根据向量的 加减法则及数乘运算将指定向量先表示出来,最终再 将各向量用已知向量表示.
④如图所示,已知平面向量 a,b,它们的夹角为∠AOB
一、空间向量的运算
1:(1)在实例①中,平面向量 a、b、c 满足怎样
的关系?它们之间遵循怎样的加法法则? (c=a+b,加法遵循三角形法则) (2)在实例②中,向量 AC 、 AB 、 AD 满足怎样的关系? ( AC = AB + AD ) (3)在上述实例③中,向量 AB 与向量 a 满足怎样的关系? ( AB =3a)
(4)平面向量的数量积 a·b 是怎样定义的? (a·b=|a||b|cos<a,b>) (5)在上述实例④中,如何求向量 a 与向量 b 的夹角∠AOB? (由 a·b=|a||b|cos<a,b>可得 cos<a,b>= a b ,然后求得
ab
夹角∠AOB) (6)平面向量的数量积满足怎样的运算律? (交换律与分配律)
名师导引:寻找 OG 所在的封闭图形⇒ 把 OG 利用加法法则分解⇒ 用 a,b,c 把各向量表示出来
⇒ 运算化简⇒ 结果
解:连接 ON. OG = OM + MG = 1 OA + 2 MN
23
= 1 OA + 2 ( ON - OM ) 23
= 1 OA + 2 ( 1 OC + 1 OB - 1 OA )
d.由 a·b=k,不能得到 a= k 或 b= k ,即向性质与实数运算是不一样的)
二、共线向量定理
2:在平面向量中,什么是共线向量?
若向量 a、b 是共线向量(b≠0),则 a、b 应满 足怎样的关系? (表示向量的两有向线段互相平行或重合,则 两向量互为共线向量,若 a、b(b≠0)互为共 线向量,则存在实数λ,使得 a=λb)
2:空间两个向量 a 与 b(b≠0)共线的 充分必要条件是存在实数λ,使得 a=λb.
2:在共线向量定理中,为什么一定 要加上“b≠0”这一条件? (若不加 b≠0,则充要性就不一定成立,例如, 如果 a≠b,b=0,则 a∥b,但λ不存在,该充要性 也就不成立了)
三、单位向量
3:在平面向量中,与 a 共线的单 位向量有几个?分别是什么? (有两个, a 和- a )
见附表
1:(1)向量的数量积是向量还是数量?
(向量的数量积是数量(数值),可以为正,可以为负,也可 以为零) (2)类比平面向量数量积的几何意义,你知道空间向量的 数量积 a·b 的几何意义吗? (a·b 的几何意义:a 与 b 的数量积,等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ的乘积,或 b 的长度|b| 与 a 在 b 方向上的投影|a|cos θ的乘积)
(3)向量的数量积满足结合律吗?为什么? (不满足结合律,任意取三个不共面的向量 a,b,c,(a·b)·c 是一个数与向量 c 做数乘,而 a·(b·c)是一个数与向量 a 做数乘,而 a,c 不在同一 个方向上,所以(a·b)·c 与 a·(b·c)不相等,即 (a·b)·c≠a·(b·c)) (4)向量的运算与实数的运算有哪些异同? (①在空间向量的数量积 中:a.a·b=b·a;b.a·(b+c)=a·b+a·c; c.(λa)·b=λ(a·b)=a·(λ b);d.a2-b2=(a+b)·(a-b); e.(a+b)2=a2+2a·b+b2;
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= 1 a+ 1 b-c. 22
(2)∵G 为△BCD 的重心,
∴ DG = 2 DM , 3
AG = AD + DG = AD + 2 DM 3
=c+ 2 ( 1 a+ 1 b-c)= 1 (a+b+c).
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空间共线向量定理的应用
【例 2】 射线 AB、AC、AD 不共面,连接 BC、CD、 DB,分别取 AB、BC、CD、DA 的中点 E、F、G、H, 试判断四边形 EFGH 的图形形状,并用向量的方 法证明. 名师导引:判断四边形 EFGH 的形状可用共线向 量定理说明 EH 与 FG 的关系,也可说明 HG 与 EF 的关系,均可作出四边形 EFGH 的形状的判断.
变式训练 1 1:如图所示,已知空间四边形 ABCD 中, 向量 AB =a, AC =b, AD =c,若 M 为 BC 中点,G 为 △BCD 的重心,试用 a、b、c 表示下列向量: (1) DM ; (2) AG . 解:(1)连接 AM. DM = AM - AD = 1 ( AB + AC )- AD
f.(a-b)2=a2-2a·b+b2 等等这些性质与实数运算是类似地. ②在空间向量数量积的运算中: a.若 a·b=a·c 且 a≠0,不能得到 b=c,即数量积等式不能 两边同除以一个向量; b.(a·b)·c≠a·(b·c),即向量的数量积不满足结合律;
c.由 a·b=0 不能得到 a=0 或 b=0,还包括 a≠0,b≠0,但
§2 空间向量的运算
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学习目标要求
目
导
问题情境导学 航
课堂互动探究 课堂归纳总结
1.理解共线向量定理及其意义. 2.掌握空间向量的线性运算. 3.掌握空间向量数量积的概念、性质和计算方法及 运算律,会用它解决立体几何中一些简单问题.
【实例】 ①如图所示,已知平面向量 a、b、c.
②如图所示,四边形 ABCD 为平行四边形. ③如图所示,已知平面向量 a 与向量 AB .
aa
3:对于任意一个非零向量 a, 把 a 叫作向量 a 的单位向量,记作 a0.a0
a 与 a 同方向.
空间向量的线性运算
【例 1】 已知空间四边形 OABC,M,N 分别是对边 OA、BC 的 中点,点 G 在 MN 上,且 MG=2GN,如图所示,设 OA =a, OB =b, OC =c,试用 a,b,c 表示向量 OG .
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= 1 OA + 1 ( OC + OB - OA ) 23
= 1 OA + 1 OB + 1 OC 633
= 1 a+ 1 b+ 1 c. 6 33
用已知向量表示指定向量以及进行向
量表达式的化简时,一定要注意结合实际图形,将指定 向量放在与已知向量有关的三角形内,再根据向量的 加减法则及数乘运算将指定向量先表示出来,最终再 将各向量用已知向量表示.
④如图所示,已知平面向量 a,b,它们的夹角为∠AOB
一、空间向量的运算
1:(1)在实例①中,平面向量 a、b、c 满足怎样
的关系?它们之间遵循怎样的加法法则? (c=a+b,加法遵循三角形法则) (2)在实例②中,向量 AC 、 AB 、 AD 满足怎样的关系? ( AC = AB + AD ) (3)在上述实例③中,向量 AB 与向量 a 满足怎样的关系? ( AB =3a)
(4)平面向量的数量积 a·b 是怎样定义的? (a·b=|a||b|cos<a,b>) (5)在上述实例④中,如何求向量 a 与向量 b 的夹角∠AOB? (由 a·b=|a||b|cos<a,b>可得 cos<a,b>= a b ,然后求得
ab
夹角∠AOB) (6)平面向量的数量积满足怎样的运算律? (交换律与分配律)
名师导引:寻找 OG 所在的封闭图形⇒ 把 OG 利用加法法则分解⇒ 用 a,b,c 把各向量表示出来
⇒ 运算化简⇒ 结果
解:连接 ON. OG = OM + MG = 1 OA + 2 MN
23
= 1 OA + 2 ( ON - OM ) 23
= 1 OA + 2 ( 1 OC + 1 OB - 1 OA )