面心纯铝轧制织构的晶体塑性有限元模拟
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{123} 〈523〉 S 取向 、 {011} 〈100〉 Goss 取向及其他理想取向 .
关键词 轧制织构 ; 晶体塑性 ; 有限元 ; 电子背散射衍射 ( EBSD) 分类号 T G302
大多数工程使用材料为多晶材料 , 并具有择优 取向也就是织构 . 织构不仅与材料的性能相关 , 而 且能够揭示材料的变形历史[ 1 ] . 研究人员很早就开 始了对变形织构的模拟[ 2- 4 ] . 近年来 , 他们中的一 部分人将晶体塑性理论与力学界经常运用的有限元 法有机结合在一起 , 在介观尺度形成了一种新的织 构模拟方法 — — — 晶体塑性有限元法 ( CPFEM ) . 作 为一个强大的模拟工具 , 晶体塑性有限元法不仅用 于模拟变形织构的演化 , 而且能够用于与材料织构 相关的各种性能响应 [ 5- 11 ] . 通常由 X 射线测定的晶体学织构是从统计学 的角度出发观察多晶体取向分布状况 , 因而是从宏 观的角度分析问题 . 宏观织构往往不能确定微观结 构和晶粒的单个取向 . 以往的晶体塑性模拟一般是 将 X 射线获得的织构极图通过离散化方法得到表 征该材料晶粒取向的欧拉角 , 再将这些数据输入模 拟程序中 . 近年来 , 人们在扫描电子分析技术基础 上开发出了背散射电子衍射分析技术 ( EBSD) , 该技 术可以在观测微观组织结构的同时快速 、 统计性地 获取多晶体各个晶粒的取向信息[ 12 ] . 这就使得晶 体塑性模拟能够直接运用 EBSD 获得的晶粒取向进 行模拟与验证 , 从而不仅简化了晶体塑性模拟过程 而且保证了模拟结果的准确性 . 本文直接运用 EBSD 获取的晶粒取向数据通过 率相关多晶体塑性模型模拟了面心纯铝轧制织构的
n
3
・ α
g =
β= 1
β| 来自百度文库 | ∑ hα
・ β
( 8)
式中 , hα 为硬化模量矩阵 . β
h α β= q α βh h = h0 1 β β
F F
p
p
- 1
n
=
α= 1 ・ α
αα ∑γ s 0
・
m0
α α s0
( 2)
( 9) ( 10)
式中 ,γ 为第α 个滑移系引起得切应变率 , 滑移面法向矢量 . 212 应力应变关系
・9 2 2 ・
北 京 科 技 大 学 学 报
第 29 卷
64 个 C3D8R 单元 , 有限元模型包含 1 000 个同类型
单元 . 有限元模拟时 , 将冷轧变形的约束条件理想 为平面应变压缩 , 边界条件与位移加载按如下定义 : 约束 1- 2 平面在 3 方向上的位移为 0 ; 约束 1- 3 面 以及其平行面在 2 方向上的位移为 0 ; 约束中间面 abcd 在 1 方向上的位移为 0 ; A B CD 面为压缩面 , 压 缩方向为 3 的负方向 . 压缩过程该面的位移量由用 户子程序 D ISP 控制 . 由于实验的压下道次较多 , 实 际模拟过程中则忽略了轧制道次对织构的影响 , 只
模拟单道次压下的最终两个真应变 , 分别为真应变 111 和 218 .
4 结果与讨论
冷轧前后晶粒取向由 SEM- EBSD 测得 , 实验极 图用 TSL - O IM410 软件绘制 . 图 2 是经过处理后 的初始晶粒取向{ 100} 、 { 110 } 和 { 111 } 晶面极图 . 从 图中可以看出 , 经过锻造和热处理后 , 1 050 纯铝样 品的晶粒呈任意取向分布 .
明显的与实验一致的 “桔皮” 现象 . 然而 , Taylor 型 模型模拟的结果确并未出现 “桔皮” 现象 , 这可能与 Taylor 型模型多晶均匀应变的假设有关 .
图3 真应变 111 时的变形网格 . ( a) Taylor 型模型 ; ( b) 有限单元模型
Fig. 3 Deformed shape and mesh at a true strain of 111 : ( a) Taylor2type model ; ( b) f inite element model
1 实验过程
具有工业纯度的 1 050 纯铝热轧后取样 , 化学 成 分 ( 质 量 分 数 ) 为 : Al 9917 % , Fe 0116 % ,
Si 0104 % , Ca 0101 % , Mg 0106 % , Cu 0103 %. 采用
毛卫民 [ 13 ] 和 Raabe 等 [ 14 ] 的方法获得晶粒细小的初 始任意织构试样 . 首先将纯铝试样在三个相互垂直 的方向进行三次循环锻造 , 三次锻造变形量分别为
25 % , 15 % 和 5 % 依次降低 . 然后对锻后样品进行 500 ℃、 015 h 的退火 . 冷轧实验在北京科技大学冷
轧实 验 中 心 的 二 辊 轧 机 上 进 行 , 轧 辊 直 径 为
250 mm , 试样原始尺寸为 40 mm ×25 mm ×20 mm
( RD ×TD × ND) , 以煤油作为润滑剂 . 经过 5 道次
轧制第 1 个试样的最终厚度为 617 mm , 计算压下量 为 67 % ( 真应变约 111 ) ; 经过 12 道次轧制第 2 个试 样的最终厚度为 112 mm , 计算压下量为 94 % ( 真应 变约 218) . 初始取向和轧后织构的 EBSD 结果是在 北京工业大学的 J eol J SM 6500 F 场发射扫描电镜上 测得 , 该 设 备 的 加 速 电 压 015 ～ 30 kV , 分 辨 率
115 nm . 为了得到清晰的菊池线 , EBSD 试样经过了
打磨 、 机械抛光和电解抛光 . 观察面为试样在厚度 方向的中心面 .
2 晶体塑性有限元模型
晶体塑性理论源于 Taylor [ 15 ] 开创性的工作 , 在 他的研究工作中引入了滑移和晶格转动的思想 . 随 后 , Hill 和 Rice [ 16 ] 、 Asaro [ 17 ] 在此基础上给出了一套
图1 初始几何网格与边界条件 . ( a) Taylor 型模型 ; ( b) 有限单元模型 ; ( c) 边界条件与位移加载
Fig. 1 Initial mesh and boundary condition :( a) Taylor2type model ; ( b) f inite element model ; ( c) boundary condition and displacement load
1) 北京科技大学材料科学与工程学院 , 北京 100083 2) 伍伦贡大学机械材料与机电学院 , 伍伦贡 NSW 2522 , 澳大利亚
摘 要 基于率相关晶体塑性本构模型 ,分别将 Taylor 模型和有限单元模型两种多晶模型嵌入大型有限元程序 ABAQUS ,实 现了晶体塑性学有限元模拟 . 直接将电子背散射衍射 ( EBSD) 获取的晶粒初始取向输入晶体塑性有限元模型 ,预测了两种不 同应变情况下面心 1 050 纯铝轧制织构的演化 . 模拟结果与 EBSD 实验测得的织构演化结果有较好的一致性 ,随着变形程度 的增加 ,预测织构与实测织构变得更加锋锐 . 经过比较 , Taylor 型模型预测出了{4 4 11} 〈11 11 8〉 的 Dillamore 取向 ,而有限单 元模型预测出了铜型织构取向 ,比 Taylor 模型预测结果更接近实验验证结果 . 两种模型并不能预测出 {011} 〈211〉 黄铜取向 、
108 000 M Pa , C12 = 62 000 M Pa , C44 = 28 300 M Pa .
为 Green 弹性应变张量 .
( det ( F 3 ) σ) ( F 3 )
- T
= F3
E
( 1)
- 1
( 4) ( 5)
=
1 ( F 3 T F 3 - I) 2
式中 ,σ 为单晶 Cauchy 应力 , I 为二阶单位张量 . 假设宏观介质材料点力学响应由单晶或一组晶 粒体积平均应力响应表示 . 多晶情况下体积平均应 力表示为 :
为第 数.
g gs
β a
α α个滑移系的滑移方向矢量 , m 0 为第 α个滑移系的
式中 , qα 为潜硬化矩阵 , h 0 , a 和 g s 为滑移系硬化参 β
单晶弹性本构关系可由下述方程表示[ 18 ] :
T
( 1)
3 模拟过程
( 3)
= L∶ E
( 1)
式中 , L 为四阶弹性模量张量 , T ( 1) 为第 2 类 Piola Kirchhoff 应力 , E
收稿日期 : 2006204217 修回日期 : 2006206226 基金项目 : 澳大利亚研究院 (ARC) 国际合作项目 (No . DP0451197) ) ,男 , 博士研究生 ; 韩静涛 (1957 — ) ,男 , 作者简介 : 皮华春 (1978 — 教授 ,博士生导师
演化 , 并通过 EBSD 实验验证了模拟的结果 .
N
当滑移系共面时 , 硬化矩阵参数取 q α β = 1 10 , 非共面
[ 17 ] 时取 q . 其他材料参数参考文献 [ 20 ] , α β = 1 14
γ0 = 01001 , m = 01002 , s 0 = 1215 M Pa , h0 =
60 M Pa , a = 2125 , g s = 75 M Pa . 塑性变形过程中 ,
第9期
皮华春等 : 面心纯铝轧制织构的晶体塑性有限元模拟
・9 2 1 ・
完整的晶体塑性理论描述 . 211 晶体运动学 已有多种晶体塑性有限元积分方法用于单晶和 多晶的塑性变形模拟 , 它们的运动学描述都是基于 同一种变形梯度的乘法分解理论 . 在分析单晶体的变形时 , 总的变形梯度 F 可表 示为 : 3 p ( 1) F = F F , det F > 0 式中 , F 为弹性变形和刚性转动合成的变形梯度 , p F 为由塑性引起的变形梯度 . 塑性变形可由滑移系上的平均剪切滑移率确 定 , 由塑性引起的变形梯度与滑移系的剪切滑移率 有下面关系 :
图 2 EBSD 测得的原始晶粒取向极图
Fig. 2 Pole f igures of initial orientations measured by EBSD
图 3 是真应变为 111 时的变形后几何形状与网 格 . 从图中可以看出 , 由于每个单元都具有不同的 取向 , 有限单元模型模拟的变形后试样形状出现了
T
( 1) ( 1)
采用 Kalidindi 给出的积分方法 [ 18 ] 通过用户子 程序 UMA T 将晶体塑性模型嵌入大型商业有限元 软件 ABAQU S 中 . 对于立方晶体 , 四阶弹性模量张 量 L 由三个不相关的分量表示 , 即材料弹性常数 [ 19 ] C11 、 C12 和 C14 . 对 于 纯 铝 , 取 下 面 值 : C11 =
・
〈σ〉 =
k =1
∑( w σ )
k k
( 6)
式中 〈 , σ〉 为多晶体积平均 Cauchy 应力 , N 为多晶 晶粒总数 , w k 为每个晶粒的体积分数 ,σk 为第 k 个 晶粒的 Cauchy 应力 .
面心 纯 铝 12 个 可 动 滑 移 系 的 晶 面 晶 向 为 { 111 } 〈110〉 , 假设每个滑移系的剪切率相等 . 多晶模型采 用了 Taylor 型模型 ( 一个单元代表 1 000 个取向) 和 有限单元模型 ( 一个单元代表一个取向 ) . 几何模 型、 初始网格和边界条件见图 1 . Taylor 型模型包含
・
213 动力学方程
对于率相关滑移来说 , 通常用幂指数方程描述 第 α 个滑移系上的塑性剪切率与分切应力的关系 , 如下式 :
α α γ = γ0 sgn (τ )
・ ・
α τ
1/ m
g
α
・
( 7)
α 式中 ,τ 为滑移系α 上的切应力 ,γ0 为参考切应变 α 率, g 为滑移系 α上的变形抗力 , m 应变率敏感系数. 对于立方金属 , 单晶滑移系的硬化演化方程采 用下面简单的表达式 :
第 29 卷 第 9 期 2007 年 9 月
北
京
科
技
大
学
学
报
Vol. 29 No. 9 Sep. 2007
Journal of University of Science and Technology Beijing
面心纯铝轧制织构的晶体塑性有限元模拟
) 皮华春1) 韩静涛1) 章传国1) A. K. Tieu2 姜正义2)
关键词 轧制织构 ; 晶体塑性 ; 有限元 ; 电子背散射衍射 ( EBSD) 分类号 T G302
大多数工程使用材料为多晶材料 , 并具有择优 取向也就是织构 . 织构不仅与材料的性能相关 , 而 且能够揭示材料的变形历史[ 1 ] . 研究人员很早就开 始了对变形织构的模拟[ 2- 4 ] . 近年来 , 他们中的一 部分人将晶体塑性理论与力学界经常运用的有限元 法有机结合在一起 , 在介观尺度形成了一种新的织 构模拟方法 — — — 晶体塑性有限元法 ( CPFEM ) . 作 为一个强大的模拟工具 , 晶体塑性有限元法不仅用 于模拟变形织构的演化 , 而且能够用于与材料织构 相关的各种性能响应 [ 5- 11 ] . 通常由 X 射线测定的晶体学织构是从统计学 的角度出发观察多晶体取向分布状况 , 因而是从宏 观的角度分析问题 . 宏观织构往往不能确定微观结 构和晶粒的单个取向 . 以往的晶体塑性模拟一般是 将 X 射线获得的织构极图通过离散化方法得到表 征该材料晶粒取向的欧拉角 , 再将这些数据输入模 拟程序中 . 近年来 , 人们在扫描电子分析技术基础 上开发出了背散射电子衍射分析技术 ( EBSD) , 该技 术可以在观测微观组织结构的同时快速 、 统计性地 获取多晶体各个晶粒的取向信息[ 12 ] . 这就使得晶 体塑性模拟能够直接运用 EBSD 获得的晶粒取向进 行模拟与验证 , 从而不仅简化了晶体塑性模拟过程 而且保证了模拟结果的准确性 . 本文直接运用 EBSD 获取的晶粒取向数据通过 率相关多晶体塑性模型模拟了面心纯铝轧制织构的
n
3
・ α
g =
β= 1
β| 来自百度文库 | ∑ hα
・ β
( 8)
式中 , hα 为硬化模量矩阵 . β
h α β= q α βh h = h0 1 β β
F F
p
p
- 1
n
=
α= 1 ・ α
αα ∑γ s 0
・
m0
α α s0
( 2)
( 9) ( 10)
式中 ,γ 为第α 个滑移系引起得切应变率 , 滑移面法向矢量 . 212 应力应变关系
・9 2 2 ・
北 京 科 技 大 学 学 报
第 29 卷
64 个 C3D8R 单元 , 有限元模型包含 1 000 个同类型
单元 . 有限元模拟时 , 将冷轧变形的约束条件理想 为平面应变压缩 , 边界条件与位移加载按如下定义 : 约束 1- 2 平面在 3 方向上的位移为 0 ; 约束 1- 3 面 以及其平行面在 2 方向上的位移为 0 ; 约束中间面 abcd 在 1 方向上的位移为 0 ; A B CD 面为压缩面 , 压 缩方向为 3 的负方向 . 压缩过程该面的位移量由用 户子程序 D ISP 控制 . 由于实验的压下道次较多 , 实 际模拟过程中则忽略了轧制道次对织构的影响 , 只
模拟单道次压下的最终两个真应变 , 分别为真应变 111 和 218 .
4 结果与讨论
冷轧前后晶粒取向由 SEM- EBSD 测得 , 实验极 图用 TSL - O IM410 软件绘制 . 图 2 是经过处理后 的初始晶粒取向{ 100} 、 { 110 } 和 { 111 } 晶面极图 . 从 图中可以看出 , 经过锻造和热处理后 , 1 050 纯铝样 品的晶粒呈任意取向分布 .
明显的与实验一致的 “桔皮” 现象 . 然而 , Taylor 型 模型模拟的结果确并未出现 “桔皮” 现象 , 这可能与 Taylor 型模型多晶均匀应变的假设有关 .
图3 真应变 111 时的变形网格 . ( a) Taylor 型模型 ; ( b) 有限单元模型
Fig. 3 Deformed shape and mesh at a true strain of 111 : ( a) Taylor2type model ; ( b) f inite element model
1 实验过程
具有工业纯度的 1 050 纯铝热轧后取样 , 化学 成 分 ( 质 量 分 数 ) 为 : Al 9917 % , Fe 0116 % ,
Si 0104 % , Ca 0101 % , Mg 0106 % , Cu 0103 %. 采用
毛卫民 [ 13 ] 和 Raabe 等 [ 14 ] 的方法获得晶粒细小的初 始任意织构试样 . 首先将纯铝试样在三个相互垂直 的方向进行三次循环锻造 , 三次锻造变形量分别为
25 % , 15 % 和 5 % 依次降低 . 然后对锻后样品进行 500 ℃、 015 h 的退火 . 冷轧实验在北京科技大学冷
轧实 验 中 心 的 二 辊 轧 机 上 进 行 , 轧 辊 直 径 为
250 mm , 试样原始尺寸为 40 mm ×25 mm ×20 mm
( RD ×TD × ND) , 以煤油作为润滑剂 . 经过 5 道次
轧制第 1 个试样的最终厚度为 617 mm , 计算压下量 为 67 % ( 真应变约 111 ) ; 经过 12 道次轧制第 2 个试 样的最终厚度为 112 mm , 计算压下量为 94 % ( 真应 变约 218) . 初始取向和轧后织构的 EBSD 结果是在 北京工业大学的 J eol J SM 6500 F 场发射扫描电镜上 测得 , 该 设 备 的 加 速 电 压 015 ～ 30 kV , 分 辨 率
115 nm . 为了得到清晰的菊池线 , EBSD 试样经过了
打磨 、 机械抛光和电解抛光 . 观察面为试样在厚度 方向的中心面 .
2 晶体塑性有限元模型
晶体塑性理论源于 Taylor [ 15 ] 开创性的工作 , 在 他的研究工作中引入了滑移和晶格转动的思想 . 随 后 , Hill 和 Rice [ 16 ] 、 Asaro [ 17 ] 在此基础上给出了一套
图1 初始几何网格与边界条件 . ( a) Taylor 型模型 ; ( b) 有限单元模型 ; ( c) 边界条件与位移加载
Fig. 1 Initial mesh and boundary condition :( a) Taylor2type model ; ( b) f inite element model ; ( c) boundary condition and displacement load
1) 北京科技大学材料科学与工程学院 , 北京 100083 2) 伍伦贡大学机械材料与机电学院 , 伍伦贡 NSW 2522 , 澳大利亚
摘 要 基于率相关晶体塑性本构模型 ,分别将 Taylor 模型和有限单元模型两种多晶模型嵌入大型有限元程序 ABAQUS ,实 现了晶体塑性学有限元模拟 . 直接将电子背散射衍射 ( EBSD) 获取的晶粒初始取向输入晶体塑性有限元模型 ,预测了两种不 同应变情况下面心 1 050 纯铝轧制织构的演化 . 模拟结果与 EBSD 实验测得的织构演化结果有较好的一致性 ,随着变形程度 的增加 ,预测织构与实测织构变得更加锋锐 . 经过比较 , Taylor 型模型预测出了{4 4 11} 〈11 11 8〉 的 Dillamore 取向 ,而有限单 元模型预测出了铜型织构取向 ,比 Taylor 模型预测结果更接近实验验证结果 . 两种模型并不能预测出 {011} 〈211〉 黄铜取向 、
108 000 M Pa , C12 = 62 000 M Pa , C44 = 28 300 M Pa .
为 Green 弹性应变张量 .
( det ( F 3 ) σ) ( F 3 )
- T
= F3
E
( 1)
- 1
( 4) ( 5)
=
1 ( F 3 T F 3 - I) 2
式中 ,σ 为单晶 Cauchy 应力 , I 为二阶单位张量 . 假设宏观介质材料点力学响应由单晶或一组晶 粒体积平均应力响应表示 . 多晶情况下体积平均应 力表示为 :
为第 数.
g gs
β a
α α个滑移系的滑移方向矢量 , m 0 为第 α个滑移系的
式中 , qα 为潜硬化矩阵 , h 0 , a 和 g s 为滑移系硬化参 β
单晶弹性本构关系可由下述方程表示[ 18 ] :
T
( 1)
3 模拟过程
( 3)
= L∶ E
( 1)
式中 , L 为四阶弹性模量张量 , T ( 1) 为第 2 类 Piola Kirchhoff 应力 , E
收稿日期 : 2006204217 修回日期 : 2006206226 基金项目 : 澳大利亚研究院 (ARC) 国际合作项目 (No . DP0451197) ) ,男 , 博士研究生 ; 韩静涛 (1957 — ) ,男 , 作者简介 : 皮华春 (1978 — 教授 ,博士生导师
演化 , 并通过 EBSD 实验验证了模拟的结果 .
N
当滑移系共面时 , 硬化矩阵参数取 q α β = 1 10 , 非共面
[ 17 ] 时取 q . 其他材料参数参考文献 [ 20 ] , α β = 1 14
γ0 = 01001 , m = 01002 , s 0 = 1215 M Pa , h0 =
60 M Pa , a = 2125 , g s = 75 M Pa . 塑性变形过程中 ,
第9期
皮华春等 : 面心纯铝轧制织构的晶体塑性有限元模拟
・9 2 1 ・
完整的晶体塑性理论描述 . 211 晶体运动学 已有多种晶体塑性有限元积分方法用于单晶和 多晶的塑性变形模拟 , 它们的运动学描述都是基于 同一种变形梯度的乘法分解理论 . 在分析单晶体的变形时 , 总的变形梯度 F 可表 示为 : 3 p ( 1) F = F F , det F > 0 式中 , F 为弹性变形和刚性转动合成的变形梯度 , p F 为由塑性引起的变形梯度 . 塑性变形可由滑移系上的平均剪切滑移率确 定 , 由塑性引起的变形梯度与滑移系的剪切滑移率 有下面关系 :
图 2 EBSD 测得的原始晶粒取向极图
Fig. 2 Pole f igures of initial orientations measured by EBSD
图 3 是真应变为 111 时的变形后几何形状与网 格 . 从图中可以看出 , 由于每个单元都具有不同的 取向 , 有限单元模型模拟的变形后试样形状出现了
T
( 1) ( 1)
采用 Kalidindi 给出的积分方法 [ 18 ] 通过用户子 程序 UMA T 将晶体塑性模型嵌入大型商业有限元 软件 ABAQU S 中 . 对于立方晶体 , 四阶弹性模量张 量 L 由三个不相关的分量表示 , 即材料弹性常数 [ 19 ] C11 、 C12 和 C14 . 对 于 纯 铝 , 取 下 面 值 : C11 =
・
〈σ〉 =
k =1
∑( w σ )
k k
( 6)
式中 〈 , σ〉 为多晶体积平均 Cauchy 应力 , N 为多晶 晶粒总数 , w k 为每个晶粒的体积分数 ,σk 为第 k 个 晶粒的 Cauchy 应力 .
面心 纯 铝 12 个 可 动 滑 移 系 的 晶 面 晶 向 为 { 111 } 〈110〉 , 假设每个滑移系的剪切率相等 . 多晶模型采 用了 Taylor 型模型 ( 一个单元代表 1 000 个取向) 和 有限单元模型 ( 一个单元代表一个取向 ) . 几何模 型、 初始网格和边界条件见图 1 . Taylor 型模型包含
・
213 动力学方程
对于率相关滑移来说 , 通常用幂指数方程描述 第 α 个滑移系上的塑性剪切率与分切应力的关系 , 如下式 :
α α γ = γ0 sgn (τ )
・ ・
α τ
1/ m
g
α
・
( 7)
α 式中 ,τ 为滑移系α 上的切应力 ,γ0 为参考切应变 α 率, g 为滑移系 α上的变形抗力 , m 应变率敏感系数. 对于立方金属 , 单晶滑移系的硬化演化方程采 用下面简单的表达式 :
第 29 卷 第 9 期 2007 年 9 月
北
京
科
技
大
学
学
报
Vol. 29 No. 9 Sep. 2007
Journal of University of Science and Technology Beijing
面心纯铝轧制织构的晶体塑性有限元模拟
) 皮华春1) 韩静涛1) 章传国1) A. K. Tieu2 姜正义2)