利用MATLAB求解微积分的方法

第 3 章 (1)M A T L A B 微积分

极限与级数的符号运算

M A T L A B 的极限与级数运算在符号系统中进行

◆极限运算

● l i m i t (f , x , a ) 求符号函数f 的极限 ● l i m i t (f , x , a , ’r i g h t ’) 求符号函数f 的右极限 ● l i m i t (f , x , a , ’l e f t ’) 求符号函数f 的左极限

说明：上述命令中的a 可以是无穷大 i n f 或 -i n f

☐说明：多元函数的极限需要使用累次极限来计算 举例

◆级数运算

● s y m s u m (a n , n , i , j ) 求符号通项a n 的和

其中，当j 为无穷大i n f 时，即为无穷级数。 举例

◆级数运算

● t a y l o r (f , n , a , x )

求符号函数f 在点a 关于变量x 的n -1阶泰勒多项式 举例

● t a y l o r t o o l 泰勒工具 举例

微积分的符号运算

◆导函数与偏导函数

● d i f f (f , x ) 求符号函数f 对x 的一阶导函数或偏导函数 ● d i f f (f , x , n ) 求符号函数f 对x 的n 阶导函数或偏导函数 ● 注：d i f f 是d i f f e r e n t i a l (微分)的缩写

lim ()

x a

f x +

→lim ()

x a f x -

→lim ()x

a f x →j

n

n i

a =∑

例：计算

⏹ 问:如何求符号函数在给定点的导数值或偏导数值？

求完导函数或偏导函数之后，使用符号替换命令 s u b s 可以求得导函数值或偏导函数值

◆不定积分与定积分

● i n t (f , x )

求符号函数f 关于变量x 的不定积分 ● 注：i n t 是i n t e g r a t i o n (积分)的缩写 ● i n t (f , x , a , b )

求符号函数f 关于变量x 的定积分，a 、b 分别是积分下限和上限，a 、b 可以是函数表达式，也可以是无穷大i n f 或-i n f 举例

● 对于定积分，当系统求不出精确解时，如果被积函数中不含待定符号，可以使用v p a 命令给出近似解 例如： s y m s x a =i n t (s i n (s i n (x )), 1, 2) v p a (a )

☐说明： ● 参数方程求导和隐函数求导需要使用相关数学公式（见教材66-67页） ● 重积分、曲线积分与曲面积分需要使用数学方法转化为累次积分来计算

微积分的数值运算

◆微积分的数值运算特点

采用数值算法，主要用于解决导数和定积分的近似计算问题 还可以解决离散数据的相关计算问题

● 实例：某河床的横断面如图所示，试根据图示的测量数据(单位: m )，计算各测量点的坡度和横断面的面积。

)ln(2

22

3xy y x y

x +∂∂∂,)1

sin (2+x e x

dx d

◆数值导数

● g r a d i e n t (f , x )

该命令求一元函数 f 的数值导数f ’(x )

其中，x 是自变量的一组取值(离散数据)，f 是因变量的对应取值(离散数据) ，计算结果是各离散数据点的导数值(近似解)。

☐说明：

x 的取值越密集，得到的导数值就越精确。 该命令常用于求解离散型数据的变化率。

● 例：计算前例中的坡度

x =[0,4,10,12,15,22,28,34,40]; f =[0,-1,-3,-6,-8,-9,-5,-3,0]; f x =g r a d i e n t (f ,x )

● 例：求函数y =x 2s i n x 在区间[-3,3]的一阶和二阶数值导数，作出原函数与一、二阶导函数的图形，并观察函数的单调性、凹凸性、极值、拐点与一、二阶导数之间的关系。 x =-3:0.01:3; f =x .^2.*s i n (x );

f x =

g r a d i e n t (f ,x ) f x x =g r a d i e n t (f x ,x ) p l o t (x ,f , x ,f x ,'r --', x ,f x x ,'k --'), g r i d o n

☐ 思考：怎样求函数在指定点的数值导数？

比如：上面函数在x =1.5和x =1.501的数值导数是多少？ f (f i n d (x ==1.5)) 或者 f (x ==1.5) 一般方法：[p ,q ]=m i n (a b s (x -x 0)); f (q )

◆数值偏导数

● [f x , f y ]=g r a d i e n t (f , x , y )

该命令求二元函数f 的数值偏导数f ’x 和f ’y

4 10 12 1

5 22 28 34 40

1

3

6

8

9

5

3

其中，x,y分别是自变量x和y的一组取值(向量表示)；

f是定义在x-y平面点集区域上的函数值(矩阵表示)，平面点集区域可以使用

m e s h g r i d命令生成；

f x和f y分别得到每个点处偏x和偏y的偏导数值(矩阵表示)。

☐说明：x和y的取值越密集，得到的偏导数值就越精确；该命令常用于求解离散型数据的方向导数、梯度、散度、旋度等。

●举例

◆数值定积分

●梯形法数值积分：t r a p z(x,y)

其中x表示自变量在积分区间的一组取值，y表示被积函数对应于x的一

组函数值。

●例：计算前面例题中的横断面积

x=[0,4,10,12,15,22,28,34,40];

y=[0,1,3,6,8,9,5,3,0];

s=t r a p z(x,y)

●例：求积分

解：x=-1:0.1:1;y=e x p(-x.^2);t r a p z(x,y)

●高精度数值积分：q u a d(f,a,b)或q u a d l(f,a,b)

求函数f在区间[a,b]上的定积分，其中：f使用字符串函数表达式或内

联函数，定义函数的乘、除、乘方时要使用点运算。积分限a、b必

须是常量。

q u a d采用自适应步长S i m p s o n积分法

q u a d l采用高精度L o b a t t o积分法

●例求积分

解：z=q u a d l('e x p(-x.^2)',-1,1)

●注意：t r a p z,q u a d,q u a d l都不能用于求反常积分。

◆数值重积分

●矩形区域上的二重积分和立方体区域上的三重积分：

→二重积分命令d b l q u a d(f,a1,a2,b1,b2)