第2章 逻辑代数和逻辑函数化简
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第02讲 逻辑函数的化简：代数法
用与门、或门和非门进行逻辑综合
行号 0 1 2 3 x 0 0 1 1 y 0 1 0 1 f(x,y) 0 1 1 1
f xy xy xy
(1 16)
f x y
(1 17)
优化结果
f xy xy xy
(1 16)
f x y
(1 17)
公式法化简逻辑函数
f1 x2 x3
逻辑代数的基本规则（续）
反演规则：德·摩根定律的一般形式称为反 演规则
x n x n1 ... x i ... x 2 x 1 x n x n1 ... x i ... x 2 x 1
x n x n1 ... x i ... x 2 x 1 x n x n1 ... x i ... x 2 x 1
0 0
x2
0
x3
0 1 0 1
f0
1 0 1 1
x3
0 1 0 1 0 1 0 1
f 0
1 0 1 1 0 0 1 0
0 1 1
0
1 1 0 0
f 0 x2 x3 x2 x3 x2 x3
x1 x2
0
x3
0 1 0 1
f1
0 0 1 0
1
1 1
1
0 1 1
f x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x（ x（ 1 x2 x3 x2 x3 x2 x3 ） 1 x2 x3） x1 f 0 x1 f1
（配项法，式1 - 5b）
( 结合律，式1 7b ) ( 吸收率，式1 10b）
公式法化简逻辑函数（续）
逻辑函数化简(代数化简法)
Y=(A+B)(A+C)
4）最第二简章或逻非辑-或代数非基表础达式
非号最少、并且每个非号下面相加的变量也最少的或非-或 非表达式。
Y = AB + AC = (A+B)(A+C) = (A+B)(A+C) = A+B+A+C
②两次取反
①求最简或与-或与表达式
③用摩根定律去 掉下面的大非号
５）最简与或非表达式
第二章 逻辑代数基础
第四讲
逻辑函数表达式的化简
第二章 逻辑代数基础
上讲内容回顾
• 逻辑函数表达式的标准形式
最小项 最大项
• 逻辑函数表达式的转换
第二章 逻辑代数基础
本讲内容
内容： 逻辑函数的公式化简法
目的与要求： 理解化简的意义和标准； 掌握代数化简的几种基本方法并能熟练运用； 掌握用扩充公式化简逻辑函数的方法。
②A+AB＝A ③A+AB＝A+B
· A+AB=A(1+B)=A 1=A · A+AB=(A+A)(A+B)=1 (A+B)=A+B
④AB+AC+BC＝ AB+AC
原式=AB+AC+BC(A+A) =AB+AC+ABC+ABC =AB(1+C)+AC(1+B) AB+AC
第④式的推广：AB+AC+BCDE=AB+AC
第二章 逻辑代数基础
（3）摩根定律 又称为反演律，有下列2种形式（可用真值表证明）。 A•BAB ABA•B
第二章 逻辑代数基础
4）最第二简章或逻非辑-或代数非基表础达式
非号最少、并且每个非号下面相加的变量也最少的或非-或 非表达式。
Y = AB + AC = (A+B)(A+C) = (A+B)(A+C) = A+B+A+C
②两次取反
①求最简或与-或与表达式
③用摩根定律去 掉下面的大非号
５）最简与或非表达式
第二章 逻辑代数基础
第四讲
逻辑函数表达式的化简
第二章 逻辑代数基础
上讲内容回顾
• 逻辑函数表达式的标准形式
最小项 最大项
• 逻辑函数表达式的转换
第二章 逻辑代数基础
本讲内容
内容： 逻辑函数的公式化简法
目的与要求： 理解化简的意义和标准； 掌握代数化简的几种基本方法并能熟练运用； 掌握用扩充公式化简逻辑函数的方法。
②A+AB＝A ③A+AB＝A+B
· A+AB=A(1+B)=A 1=A · A+AB=(A+A)(A+B)=1 (A+B)=A+B
④AB+AC+BC＝ AB+AC
原式=AB+AC+BC(A+A) =AB+AC+ABC+ABC =AB(1+C)+AC(1+B) AB+AC
第④式的推广：AB+AC+BCDE=AB+AC
第二章 逻辑代数基础
（3）摩根定律 又称为反演律，有下列2种形式（可用真值表证明）。 A•BAB ABA•B
第二章 逻辑代数基础
数字电路 第二章 逻辑代数与逻辑函数化简
= (A + B)(A + C)
= A+ B+ A+ C
或与式转换为与或非式
F = (A + B)(A + C)
= A+ B+ A+ C
= AB + AC
§2.4.3 逻辑函数的代数法化简
化简的意义：将逻辑函数化成尽可能简单的形式，以减少逻辑门 化简的意义：将逻辑函数化成尽可能简单的形式，
电路的个数，简化电路并提高电路的稳定性。 电路的个数，简化电路并提高电路的稳定性。
A + AB = A + B
E = A+ B+ C+ BCD+ BC = A + B + C+ C(BD+ BE) = AB + C+ BE+ BD
§2.5.1 逻辑函数的最小项表达式 公式化简法评价：
优点：变量个数不受限制。 缺点：目前尚无一套完整的方法，结果是否最简有时不 易判断。
卡诺图是按一定规则画出来的方框图，是逻辑 函数的图解化简法，同时它也是表示逻辑函数 的一种方法。 利用卡诺图可以直观而方便地化简逻辑函数。 它克服了公式化简法对最终化简结果难以确定 等缺点。
__
__________ __________ _
A + B + C+⋯ = ABC⋯
逻辑代数的基本定律： 逻辑代数的基本定律： P21，熟记 ，
§2.3.2 逻辑代数的基本规则
代入规则
AB = A + B
____
A ↔F = AC
反演规则
____
⇒ ACB = AC + B
F = AC+ BCD+ 0
= A+ B+ A+ C
或与式转换为与或非式
F = (A + B)(A + C)
= A+ B+ A+ C
= AB + AC
§2.4.3 逻辑函数的代数法化简
化简的意义：将逻辑函数化成尽可能简单的形式，以减少逻辑门 化简的意义：将逻辑函数化成尽可能简单的形式，
电路的个数，简化电路并提高电路的稳定性。 电路的个数，简化电路并提高电路的稳定性。
A + AB = A + B
E = A+ B+ C+ BCD+ BC = A + B + C+ C(BD+ BE) = AB + C+ BE+ BD
§2.5.1 逻辑函数的最小项表达式 公式化简法评价：
优点：变量个数不受限制。 缺点：目前尚无一套完整的方法，结果是否最简有时不 易判断。
卡诺图是按一定规则画出来的方框图，是逻辑 函数的图解化简法，同时它也是表示逻辑函数 的一种方法。 利用卡诺图可以直观而方便地化简逻辑函数。 它克服了公式化简法对最终化简结果难以确定 等缺点。
__
__________ __________ _
A + B + C+⋯ = ABC⋯
逻辑代数的基本定律： 逻辑代数的基本定律： P21，熟记 ，
§2.3.2 逻辑代数的基本规则
代入规则
AB = A + B
____
A ↔F = AC
反演规则
____
⇒ ACB = AC + B
F = AC+ BCD+ 0
第二章-逻辑函数及其简化
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Y 1 0 0 1
例2 有X、Y、Z三个输入变量，当其中两个或两个以上取值 为1时，输出F为1；其余输入情况输出均为0。试写出描述此 问题的逻辑函数表达式。 解：三个输入变量有23=8种不同组合，根据已知条件可得真值表 如 下：
由真值表可知，使F=1的输入变量组合有4个，所以F的与—或 表达式为：
F XYZ X Y Z XY Z XYZ
2）逻辑函数的表示方法
（1）真值表 逻辑函数的真值表具有唯一性。逻辑函数有n个变量时， 共有2n个不同的变量取值组合。在列真值表时，变量取值 的组合一般按n位二进制数递增的方式列出。用真值表表 示逻辑函数的优点是直观、明了，可直接看出逻辑函数值 和变量取值之间的关系。
对偶关系
A(A+B)=AB
4）包含律
证明：
AB+AC+BC=AB+AC
AB+AC+BC =AB+AC+(A+A)BC =AB+AC+ABC+ABC =AB(1+C)+AC(1+B) =AB+AC
对偶关系
5) 关于异或和同或运算
对偶数个变量而言， 有 A1A2... An=A1 A2 ... An
对奇数个变量而言， 有 A1A2... An=A1 A2 ... An
异或和同或的其他性质:
A 0= A 1= A A= A (B C)=(A B ) C A (B C)=AB AC
A 1=A A 0 =A A A= 1 A (B C)=(A B) C A+(B C )=(A+B) (A+C)
2 逻辑函数及其化简
=AB A B D A B D
AB A B ( D D )
AB AB
AB A B
A B &
&
AB
&
L
& &
AB
AB A B
（1-38）
利用逻辑代数的基本公式：
例2：
F ABC ABC ABC ABC AB (C C ) ABC AB 提出A A( BC B) A(C B) AC AB
A B( A A) A B
例如：A ABC DC A BC DC 被吸收
（1-17）
3.混合变量的吸收：
AB AC BC AB AC
1 证明： AB AC BC AB AC ( A A) BC
AB AC ABC ABC AB AC
普通代 数不适 用!
（1-15）
三、吸收规则 1.原变量的吸收： A+AB=A
证明：A+AB=A(1+B)=A•1=A
利用运算规则可以对逻辑式进行化简。 例如：
AB CD AB D( E F ) AB CD
被吸收
（1-16）
2.反变量的吸收：
A AB A B
证明：A AB A AB AB
2、逻辑函数的化简方法
化简的主要方法： １．公式法（代数法） ２．图解法（卡诺图法） 代数化简法： 运用逻辑代数的基本定律和恒等式进行化简的方法。 并项法:
A A 1
AB( C C ) AB
（1-36）
L AB C ABC
吸收法：
第2章 逻辑代数与逻辑化简
L ABC ABC ABC ABC
反之，由函数表达式也可以转换成真值表。 例2 写出函数 L A B
A B
真值表。
解：该函数有两个变量，有4种取值的可能 组合，将他们按顺序排列起来即得真值表。
逻辑函数及其表示方法（4）
3．逻辑图——逻辑图是由逻辑符号及它们之间的连线而构成的图形。 由函数表达式可以画出其相应的逻辑图。 例3 画出下列函数的逻辑图： 解：可用两个非门、两个与门 和一个或门组成。
∴等式成立 同理可得
AB A C BCD AB A C
逻辑代数的运算规则（4）
基本逻辑定理 （1）对偶定理 若已知等式
F G
1 0
F
1 0
0 1
" " " " " " " "
F
D
G
0 1
F的对偶式
" " " G的对偶式 " " " " "
L A B A B
由逻辑图也可以写出其相应 的函数表达式。 例4 写出如图所示逻辑图的函数表达式。 解：可由输入至输出逐步 写出逻辑表达式：
L AB BC AC
逻辑函数及其表示方法（5）
逻辑函数的标准形式 考查逻辑函数： F f ( A, B) AB AB AB 化简，有： 最小项 A AB 0 AB 0 AB 1 AB 1 B 0 1 0 1 标准“与或” 式
0 1 0 1
A 0 1
Y 1 0
0 1 0 1
&
≥1
A A
1
Y Y
逻辑 符号
第二章逻辑代数
性质3：任意两个不同的最小项的乘积必为0。
第2章
（3）最小项的性质
3 变量全部最小项的真值表 A B C m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 。 0 1 1 变量 0 ABC 0取值为 0 001情况下，各最小项之和为 1 0 0 0 0 1 0 0 【因为其中只有一个最小项为 0 0 0 0 1 1，其余全为 0 0 0。】 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1
第2章
2.卡诺图的特点
（1）最小项的相邻性
任何两个最小项如果他们只有一个因子不同，其余因子
都相同，则称这两个最小项为相邻最小项。 显然，m0与m1具有相邻性，而
m1 (A BC) 与
m 2 (ABC)不相
邻，因为他们有两个因子不相同。m3与m4也不相邻，而m3与m2
相邻。
相邻的两个最小项之和可以合并成一项，并消去一个变 量。如：
AB1 CDE F AB
运用摩根定律
例2： Y2 A B CD ADB A BCD AD B (A AD) (B BCD) 如果乘积项是另外一个乘 积项的因子，则这另外一 A1 D B1 CD 个乘积项是多余的。 AB
如： Y AB AC ①求出反函数的 最简与或表达式
Y AB AC (A B)( A C) AB AC BC AB AC
②利用反演规则写出函 数的最简或与表达式 最简或与表达式
数字逻辑第2章-逻辑代数
果将表达式中的所有“ · ”换成“＋”， “＋”换成“ · ”，“ 0”换成“ 1”，“ 1” 换成“0”，而变量保持不变，则可得到的 一个新的函数表达式Y‘，Y’称为函Y的对偶 函数。
例如：
Y AB CDE
Y A B C D E
Y AB C
Y ( A B )(C D E)
（B A） B
证明:由于（A B ） （A B） （A B A） B
A （B B）
A 1
1
而且（A B ） （A B） A B A A B B
00
0 所以，根据公理 5的唯一性可得到:
A B A B
A A
定理6：反演律
A B A B
A B A B
定理7：还原律
A B A B A ( A B ) ( A B ) A
定理8：冗余律
AB A C BC AB A C
( A B)(A C)(B C) ( A B)(A C)
A B B A 交换律： A B B A
公理2
( A B) C A ( B C ) 结合律： ( A B) C A ( B C )
公理3
公理4
A (B C) A B A C 分配律： A B C ( A B) ( A C )*
判断两个逻辑函数是否相等，通常有两种方法。
①列出输入变量所有可能的取值组合，并按逻 辑运算法则计算出各种输入取值下两个逻辑 函数的相应值，然后进行比较。
②用逻辑代数的公理、定律和规则进行证明。
2.2 逻辑代数的基本定理和重要规则
例如：
Y AB CDE
Y A B C D E
Y AB C
Y ( A B )(C D E)
（B A） B
证明:由于（A B ） （A B） （A B A） B
A （B B）
A 1
1
而且（A B ） （A B） A B A A B B
00
0 所以，根据公理 5的唯一性可得到:
A B A B
A A
定理6：反演律
A B A B
A B A B
定理7：还原律
A B A B A ( A B ) ( A B ) A
定理8：冗余律
AB A C BC AB A C
( A B)(A C)(B C) ( A B)(A C)
A B B A 交换律： A B B A
公理2
( A B) C A ( B C ) 结合律： ( A B) C A ( B C )
公理3
公理4
A (B C) A B A C 分配律： A B C ( A B) ( A C )*
判断两个逻辑函数是否相等，通常有两种方法。
①列出输入变量所有可能的取值组合，并按逻 辑运算法则计算出各种输入取值下两个逻辑 函数的相应值，然后进行比较。
②用逻辑代数的公理、定律和规则进行证明。
2.2 逻辑代数的基本定理和重要规则
第2章 逻辑代数基础2.6具有无关项的逻辑函数及其化简(6)
2 –5 –3
三、用卡诺图化简逻辑函数
①卡诺图的性质
a. 卡诺图上任何2（21)个标“1”的相邻最小项，可 以合并成一项，并消去1个取值不同的变量。 消去变 量D 表 2.6.10 Y 的卡诺图 例1：图中有 CD
m2 m 3 ABCD ABCD ABC ( D D) ABC
1 1 1
1
1 1
Y AB AC BC
2 –5 –10
或者圈法如图所示，则
表2.6.14 Y BC A 00 01 0 1 1 1
的卡诺图 11 1 10 1 1
的卡诺图 11 10
Y BC AB AC
与第一种圈法相比
1
Y AB AC BC
AB 00 01 11 10
2 –5 –4
00 1
01
11 1
10 1
1 1 1 1 1
b. 卡诺图上任何4（22)个标“1”的相邻最小项， 可以合并成一项，并消去2个取值不同的变量。 例2：图有
m5 m7 m13 m15
CD A' BC ' D A' BCD ABC ' D ABCD AB 00 BD( A' C ' A' C AC ' AC ) BD 00 1 01 11 10
故卡诺图简化不是唯一的
表2.6.13 Y BC A 00 01 0 1
1 1 1
1
1 1
2 –5 –11
例 2： 化简 简 函 Y A' BC ABC ' ABC 为最简与或式。 第二步，填卡诺图 BC 第四步，各乘积项 第一步，将函数化 第三步，合并最 11 10 00 01 相加 A 成最小项和的形式。 小项 0 1 0 0 0 BC
代数法化简逻辑函数
另外，也可运用第三项公式 AB AC AB AC BC
2.1 逻辑代数
例1：证明 AB AB A AB B AB
证明： AB AB AB AA AB BB A A B B A B
A AB B AB A AB B AB
A AB B AB
（2）用与非门实现L。
应将表达式转换成与非—与非表达式：
L AB BC AC
L AB BC AC
AB BC AC
AB BC AC
（3）用非门、或非门实现L。
L AB BC AC
ABBC AC
ABBC AC
2.1 逻辑代数
例7化简： L AB BC BC AB
2.1 逻辑代数
例3化简： L AB AC BC CB BD DB ADE(F G) L ABC BC CB BD DB ADE(F G) （利用摩根律 ）
A BC CB BD DB ADE(F G)（利用 AAB AB ）
A BC CB BD DB （利用A+AB=A）
第二章 逻辑代数
2.1 逻辑代数 2.2 逻辑函数的卡诺图化简法
2.1 逻辑代数
二.基本定律和恒等式
1.பைடு நூலகம்基本公式 （公理）
与运算： 0۰0=0 或运算： 0+0=0
0۰1=0 0+1=1
1۰0=0 1+0=1
非运算： 0 1 1 0
2. 定律
常量与变量 运算律：
互补律：
重叠律： A+A=A
A۰ A=A
双重否定律： A A
1۰1=1 1+1=1
2.1 逻辑代数
结合律 (A+B)+C=A+(B+C) ; (AB)·C=A·(BC)
2.1 逻辑代数
例1：证明 AB AB A AB B AB
证明： AB AB AB AA AB BB A A B B A B
A AB B AB A AB B AB
A AB B AB
（2）用与非门实现L。
应将表达式转换成与非—与非表达式：
L AB BC AC
L AB BC AC
AB BC AC
AB BC AC
（3）用非门、或非门实现L。
L AB BC AC
ABBC AC
ABBC AC
2.1 逻辑代数
例7化简： L AB BC BC AB
2.1 逻辑代数
例3化简： L AB AC BC CB BD DB ADE(F G) L ABC BC CB BD DB ADE(F G) （利用摩根律 ）
A BC CB BD DB ADE(F G)（利用 AAB AB ）
A BC CB BD DB （利用A+AB=A）
第二章 逻辑代数
2.1 逻辑代数 2.2 逻辑函数的卡诺图化简法
2.1 逻辑代数
二.基本定律和恒等式
1.பைடு நூலகம்基本公式 （公理）
与运算： 0۰0=0 或运算： 0+0=0
0۰1=0 0+1=1
1۰0=0 1+0=1
非运算： 0 1 1 0
2. 定律
常量与变量 运算律：
互补律：
重叠律： A+A=A
A۰ A=A
双重否定律： A A
1۰1=1 1+1=1
2.1 逻辑代数
结合律 (A+B)+C=A+(B+C) ; (AB)·C=A·(BC)
课后习题答案_第2章_逻辑代数及其化简
课后习题答案_第2章_逻辑代数及其化简(总18页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第2章 逻辑代数及其化简2-1 分别将十进制数，和转换成二进制数。
解答：10=(1,210=(111,,1100,…)2 10=(1,0111,,1100,…)22-2 分别将二进制数101101.和转换成十进制数。
解答：(101101.)2=(45.)102=102-3 分别将二进制数和转换成十六进制数。
解答：2=(0010,,1100)2=162=(1,0101,,1110)2=162-4 分别将十六进制数和转换成二进制数。
解答：16=(11,1010,,1110,1011)216=(110,1100,0010,,1010,0111)22-5 试用真值表法证明下列逻辑等式： (1) AB A C BC AB C (2) AB AB BC AB AB AC (3) AB BC C A AB BC CA (4) AB AB BC AC ABC(5) AB BCCDD AABCDABCD(6) AB AB ABC A B证明：++=+(1) AB A C BC AB C真值表如下所示：由真值表可知，逻辑等式成立。
++=++ (2) AB AB BC AB AB AC 真值表如下所示：由真值表可知，逻辑等式成立。
++=++ (3) AB BC C A AB BC CA 真值表如下所示：由真值表可知，逻辑等式成立。
+++=+(4) AB AB BC AC A BC真值表如下所示：由真值表可知，逻辑等式成立。
+++=+(5) AB BC CD D A ABCD ABCD 真值表如下所示：由真值表可知，逻辑等式成立。
(6) AB AB ABC A B++=+真值表如下所示：由真值表可知，逻辑等式成立。
2-6 求下列各逻辑函数F的反函数F和对偶式F:(1)1F A ABC A C(2)2()()()F A B A AB C A B C AB ABC(3)3F A B CD ADB(4) 4F AB BD C AB B D(5) 5F ABAB BCBC(6) 6F CDCDA CDB解答：(1) 1F A ABC A C =++1()()F A A B C A C =+++ 1'()()F A A B C A C =+++ (2) 2()()()F A B A AB C A B C AB ABC2()()()F AB AA B C A BC A B A B C =+++++++ 2'()()()F AB AA B C A BC A B A B C =+++++++ (3) 3F A B CD ADB3F ABC DA D B =+++3'F ABC DA D B =+++ (4) 4F AB BD C AB B D4()()()F A B B D C A B BD =+++ 4'()()()F A B B D C A B BD =+++ (5) 5F AB AB BC BC5()()()()F A B A B B C B C =+++++ 5'()()()()F A B A B B C B C =+++++(6) 6F CD CD A C DB6()()()()F C D C D A C D B =++++ 6'()()()()F C D C D A C D B =++++2-7 某逻辑电路有A、B、C共3个输入端，一个输出端F，当输入信号中有奇数个1时，输出F为1，否则输出为0，试列出此逻辑函数的真值表，写出其逻辑函数表达式，并画出逻辑电路图。
谭浩强C程序设计第四版
利用反演规则求反函数F时，不仅要注意运算的 优先顺序，而且还要注意只有单个变量的反变 量才变为原变量，而对于多个变量组合后的“非”
号 不能变反。
（1） 反演规则
即: “ ”, “+”, “0” , “1”, “原变 量”, “反变量”
“+” , “ ” , “1” , “0”, “反变量”, “原变量”
第2章 逻辑代数及 逻辑函数化简
2.1 逻辑代数的基本运算与公式 2.2 公式法化简逻辑函数 2.3 逻辑函数的标准形式
2.4 图解法(卡诺图)化简 （重点） 2.5 表格法化简(Q-M法 ) 2.6 逻辑函数的实现
2.1 逻辑代数的基本运算与公式
逻辑代数：二进制运算的基础。 应用代数方法研究逻辑问题。由英国数学家 布尔(Boole)和德.摩根于1847年提出，又叫 布尔代数，开关代数。 逻辑函数的表示：真值表，表达式，逻辑门 逻辑函数的生成：逻辑问题的描述，由文字叙 述的设计要求，抽象为逻辑表达式的过程。 然后才能化简、实现，逻辑设计的第一步。 逻辑代数的基本运算：与、或、非 (1) “与”运算，逻辑乘 (2) “或”运算，逻辑加 (3) “非”运算，取反
（1） 反演规则
反演规则
Y AB CDE
Y ABC DE
Y ( A B)(C D E ) Y AB CD E
练习
（2） 对偶规则
设F为一个逻辑函数表达式，若将F中的 “与”、 “或”运算符互换(即·变为+， +变为·)，常量0、1互换(即0变为1， 1 变为0)， 所得到的新表达式就叫做函数F 的对偶式
（2） 对偶规则
3.附加公式
附加公式1
3.附加公式
3.附加公式
附加公式2
号 不能变反。
（1） 反演规则
即: “ ”, “+”, “0” , “1”, “原变 量”, “反变量”
“+” , “ ” , “1” , “0”, “反变量”, “原变量”
第2章 逻辑代数及 逻辑函数化简
2.1 逻辑代数的基本运算与公式 2.2 公式法化简逻辑函数 2.3 逻辑函数的标准形式
2.4 图解法(卡诺图)化简 （重点） 2.5 表格法化简(Q-M法 ) 2.6 逻辑函数的实现
2.1 逻辑代数的基本运算与公式
逻辑代数：二进制运算的基础。 应用代数方法研究逻辑问题。由英国数学家 布尔(Boole)和德.摩根于1847年提出，又叫 布尔代数，开关代数。 逻辑函数的表示：真值表，表达式，逻辑门 逻辑函数的生成：逻辑问题的描述，由文字叙 述的设计要求，抽象为逻辑表达式的过程。 然后才能化简、实现，逻辑设计的第一步。 逻辑代数的基本运算：与、或、非 (1) “与”运算，逻辑乘 (2) “或”运算，逻辑加 (3) “非”运算，取反
（1） 反演规则
反演规则
Y AB CDE
Y ABC DE
Y ( A B)(C D E ) Y AB CD E
练习
（2） 对偶规则
设F为一个逻辑函数表达式，若将F中的 “与”、 “或”运算符互换(即·变为+， +变为·)，常量0、1互换(即0变为1， 1 变为0)， 所得到的新表达式就叫做函数F 的对偶式
（2） 对偶规则
3.附加公式
附加公式1
3.附加公式
3.附加公式
附加公式2
卡诺图法化简
F BD
计算机科学与技术学院
32
CD 00 01 11 10
AB 00 0 0 0 0 01 0 1 0 0 11 1 1 0 0 10 1 0 0 0
不是矩形
计算机科学与技术学院
33
利用卡诺图化简的规则：
计算机科学与技术学院
（1）相邻单元的个数是2N个，并组成矩形 时，可以合并。
CD 00 01 11 10
满足最大项的定义，所以，都不是三变量逻辑
函数F（A、B、C）的最大项。
11
）最大项之积的标准形式
计算机科学与技术学院
由最大项的逻辑与的形式所构成的逻辑函数表达式称之 为逻辑函数的最大项之积的标准形式。如：
F(A,B,C) (A B C)(A B C)(A B C) =M1M3M4
因此，有一个化简问题。
26
卡诺图化简函数
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ABC
BC A 00 01 11 10
00 0 1 0 10 0 1 1
ABC ABC BC
ABC
27
计算机科学与技术学院
若两个最小项中只有一个变量以原、反状 态相区别，则称它们为逻辑相邻。
F ABC ABC ABC ABC ABC
8
3）最小项表达式
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由最小项的逻辑或的形式构成的逻辑函数表达式称之为逻 辑函数的最小项表达式，也称为标准与或表达式。
如：
F(A, B,C) ABC ABC ABC =m6+m4+m3
又记为：F(A, B, C) m(3,4,6)
这是一个三变量逻辑函数，其变量按（A，B，C）
01 11
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32
CD 00 01 11 10
AB 00 0 0 0 0 01 0 1 0 0 11 1 1 0 0 10 1 0 0 0
不是矩形
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33
利用卡诺图化简的规则：
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（1）相邻单元的个数是2N个，并组成矩形 时，可以合并。
CD 00 01 11 10
满足最大项的定义，所以，都不是三变量逻辑
函数F（A、B、C）的最大项。
11
）最大项之积的标准形式
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由最大项的逻辑与的形式所构成的逻辑函数表达式称之 为逻辑函数的最大项之积的标准形式。如：
F(A,B,C) (A B C)(A B C)(A B C) =M1M3M4
因此，有一个化简问题。
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卡诺图化简函数
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ABC
BC A 00 01 11 10
00 0 1 0 10 0 1 1
ABC ABC BC
ABC
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若两个最小项中只有一个变量以原、反状 态相区别，则称它们为逻辑相邻。
F ABC ABC ABC ABC ABC
8
3）最小项表达式
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由最小项的逻辑或的形式构成的逻辑函数表达式称之为逻 辑函数的最小项表达式，也称为标准与或表达式。
如：
F(A, B,C) ABC ABC ABC =m6+m4+m3
又记为：F(A, B, C) m(3,4,6)
这是一个三变量逻辑函数，其变量按（A，B，C）
01 11
逻辑代数及其化简
*
2.3.3逻辑函数的建立及其描述方法 一般来说，首先应根据提出的实际逻辑命题，确定输入逻辑变量、输出逻辑变量。 研究它们之间的因果关系，列出其真值表。 再根据真值表写逻辑函数表达式。 根据表达式画出电路图。 为了解决某个实际问题，必须研究其因变量及其相互之间的逻辑关系，从而得出相应的逻辑函数。
E
A
B
F
？？ 怎么表示与运算呢
1. 与运算
*
1)真值表: 将逻辑变量所有可能取值的组合与其一一对应的逻辑函数值之间的关系以表格的形式表示出来，叫做逻辑函数的真值表。
与逻辑运算真值表
A
B
F
0
0
1
0
1
0
0
0
0
输入
输出
1.与运算
*
逻辑表达式：表示逻辑与运算的逻辑函数表达式为F＝A·B，式中“·”为与运算符号，有时也可以省略。 与运算的规则为： 0·0＝0，0·1＝0，1·0＝0，1·1=1。 与运算可以推广到多个逻辑变量，即 F＝A·B·C···。
0 1 1 1 1 1 1 0
如果表达式不为与或式一般需要将其转换为与或式。
F
A B C
0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0
*
01
对任意逻辑等式，如果将式中的某一变量用其他变量或逻辑函数替换，则此等式仍然成立。
02
例如,等式 ，若函数F＝BC去置换等式中地变量B，则等式左边，而等式右边，显然，等式仍然成立。
规则
*
对于一个逻辑函数式F,若将其中所有的
01
则得到的结果就是F的反函数。
例2-13：有一水塔，用一大一小的两台电动机MS和ML分别驱动两个水泵向水塔注水，当水塔的水位降到C点时，小电动机MS单独驱动小水泵注水，当水位降到B点时，大电动机ML单独驱动大水泵注水，当水位降到A点时由两台电动机同时驱动水泵注水。试设计一个控制电动机工作的逻辑电路。
2.3.3逻辑函数的建立及其描述方法 一般来说，首先应根据提出的实际逻辑命题，确定输入逻辑变量、输出逻辑变量。 研究它们之间的因果关系，列出其真值表。 再根据真值表写逻辑函数表达式。 根据表达式画出电路图。 为了解决某个实际问题，必须研究其因变量及其相互之间的逻辑关系，从而得出相应的逻辑函数。
E
A
B
F
？？ 怎么表示与运算呢
1. 与运算
*
1)真值表: 将逻辑变量所有可能取值的组合与其一一对应的逻辑函数值之间的关系以表格的形式表示出来，叫做逻辑函数的真值表。
与逻辑运算真值表
A
B
F
0
0
1
0
1
0
0
0
0
输入
输出
1.与运算
*
逻辑表达式：表示逻辑与运算的逻辑函数表达式为F＝A·B，式中“·”为与运算符号，有时也可以省略。 与运算的规则为： 0·0＝0，0·1＝0，1·0＝0，1·1=1。 与运算可以推广到多个逻辑变量，即 F＝A·B·C···。
0 1 1 1 1 1 1 0
如果表达式不为与或式一般需要将其转换为与或式。
F
A B C
0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0
*
01
对任意逻辑等式，如果将式中的某一变量用其他变量或逻辑函数替换，则此等式仍然成立。
02
例如,等式 ，若函数F＝BC去置换等式中地变量B，则等式左边，而等式右边，显然，等式仍然成立。
规则
*
对于一个逻辑函数式F,若将其中所有的
01
则得到的结果就是F的反函数。
例2-13：有一水塔，用一大一小的两台电动机MS和ML分别驱动两个水泵向水塔注水，当水塔的水位降到C点时，小电动机MS单独驱动小水泵注水，当水位降到B点时，大电动机ML单独驱动大水泵注水，当水位降到A点时由两台电动机同时驱动水泵注水。试设计一个控制电动机工作的逻辑电路。
逻辑代数和逻辑函数化简
第2章 逻辑代数和逻辑函数化简基本概念：逻辑代数是有美国数学家George Boole 在十九世纪提出,因此也称布尔代数,是分析和设计数字逻辑电路的数学工具。
也叫开关代数，是研究只用0和1构成的数字系统的数学。
2.1 基本逻辑运算和复合逻辑运算基本逻辑运算：“与”、“或”、“非”。
复合逻辑运算：“与非”、“或非”、“与或非”、“异或”、“同或”等。
基本逻辑运算1.“与”运算①逻辑含义：当决定事件成立的所有条件全部具备时，事件才会发生。
②运算电路：开关A 、B 都闭合，灯F 才亮。
③表示逻辑功能的方法：表达式：F =A •B 逻辑符号：功能说明：有0出0，全1出1。
在大规模集成电路可编程逻辑器件中的表示符号：A B国家标准 A B以前的符号A B欧美符号开关A 、B 的状态代表输入：“0”表示断开； “1”表示闭合。
灯F 的状态代表输出：“0”表示亮； “1”表示灭。
通过“•”接入到此线上的输入信号都是该与门的一个输入端。
推广：当有n 个变量时：F =A 1A 2A 3∙∙∙A n “与”运算的几个等式： 0•0=0，0•1=0，1•1=1A •0=0（0-1律），A •1=A （自等律），A •A =A （同一律），A •A •A =A （同一律）。
2.“或”运算①逻辑含义：在决定事件成立的所有条件中，只要具备一个，事件就会发生。
②运算电路：开关A 、B 只要闭合一个，灯F 就亮。
③表示逻辑功能的方法： 逻辑功能：有1出1，全0出0。
真值表：（略） 表达式：F =A +B 逻辑符号：推广：当有n 个变量时：F =A 1+A 2+A 3+∙∙∙+A n“或”运算的几个等式： 0+0=0，0+1=1，1+1=1A +0=A （自等律）A +1=1（0-1律），A +A =A （同一律）。
上次课小结：与、或的功能、表达式等，几个等式。
3．“非”运算①逻辑含义：当决定事件的条件具备时，事件不发生；当条件不具备时，事件反而发生了。
逻辑代数及逻辑函数的化简
第27页
数字电路与数字逻辑
第二章 逻辑代数及逻辑函数的化简
2.逻辑函数的表示方法
逻辑真值表；逻辑表达式；逻辑图；卡诺图 (1) 逻辑真值表
以上面的举重裁判电路为例
A 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
C 0 1 0 1 0 1 0 1
F 0 0 0 0 0 1 1 1
第15页
数字电路与数字逻辑
第二章 逻辑代数及逻辑函数的化简
四、逻辑代数的基本定理
1. 代入定理
在任何一个包含变量A的逻辑等式中，若 以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则 等式仍然成立。 例: 代入定理证明德•摩根定理也适用于多变 量的情况。 解：
A ( B C) A ( B C) A B C A ( B C) A ( B C) A B C
第二章 逻辑代数及逻辑函数的化简
2.“或”门
输入、输出端能实现或运算的电路叫做“或 门”。或门的符号也就是或运算的符号。 逻辑式： F=A+B+C 逻辑符号： A B C
1
F
注1.常见的有二输入或门，三输入或门、四输入或 门等。 注2.常把或门的一个输入端作门的控制端，当控制 端为“0”时，或门打开，为“1”时，或门功能禁 止。
第 1页
数字电路与数字逻辑
第二章 逻辑代数及逻辑函数的化简
第二章 逻辑代数及逻辑函数的化简
§2.1 逻辑代数的基本原理
数字电路要研究的是电路的输入输出之间的 逻辑关系，所以数字电路又称逻辑电路，相应的 研究工具是逻辑代数（布尔代数）。 逻辑代数中的变量称为逻辑变量，一般用大 写字母A、B、 C、…表示，逻辑变量的取值只有两 种，即逻辑0和逻辑1。 0和1称为逻辑常量。但必 须指出，这里的逻辑0和1本身并没有数值意义， 它们并不代表数量的大小，而仅仅是作为一种符 号，代表事物矛盾双方的两种对立的状态。
数字电路与数字逻辑
第二章 逻辑代数及逻辑函数的化简
2.逻辑函数的表示方法
逻辑真值表；逻辑表达式；逻辑图；卡诺图 (1) 逻辑真值表
以上面的举重裁判电路为例
A 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
C 0 1 0 1 0 1 0 1
F 0 0 0 0 0 1 1 1
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数字电路与数字逻辑
第二章 逻辑代数及逻辑函数的化简
四、逻辑代数的基本定理
1. 代入定理
在任何一个包含变量A的逻辑等式中，若 以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则 等式仍然成立。 例: 代入定理证明德•摩根定理也适用于多变 量的情况。 解：
A ( B C) A ( B C) A B C A ( B C) A ( B C) A B C
第二章 逻辑代数及逻辑函数的化简
2.“或”门
输入、输出端能实现或运算的电路叫做“或 门”。或门的符号也就是或运算的符号。 逻辑式： F=A+B+C 逻辑符号： A B C
1
F
注1.常见的有二输入或门，三输入或门、四输入或 门等。 注2.常把或门的一个输入端作门的控制端，当控制 端为“0”时，或门打开，为“1”时，或门功能禁 止。
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数字电路与数字逻辑
第二章 逻辑代数及逻辑函数的化简
第二章 逻辑代数及逻辑函数的化简
§2.1 逻辑代数的基本原理
数字电路要研究的是电路的输入输出之间的 逻辑关系，所以数字电路又称逻辑电路，相应的 研究工具是逻辑代数（布尔代数）。 逻辑代数中的变量称为逻辑变量，一般用大 写字母A、B、 C、…表示，逻辑变量的取值只有两 种，即逻辑0和逻辑1。 0和1称为逻辑常量。但必 须指出，这里的逻辑0和1本身并没有数值意义， 它们并不代表数量的大小，而仅仅是作为一种符 号，代表事物矛盾双方的两种对立的状态。
电子技术(数电部分-第2章 逻辑代数和逻辑函数
A B C ( A B) ( A C )
证明: 右边 =(A+B)(A+C)
A B C ( A B) ( A C )
; 分配律 ; 结合律 , AA=A ; 结合律
=AA+AB+AC+BC =A +A(B+C)+BC =A(1+B+C)+BC =A • 1+BC =A+BC
33 MHz
• 以三变量的逻辑函数为例分析最小项表示及特点
变量 赋值 为1时 用该 变量 表示； 赋0时 用该 变量 的反 来表 示。
33 MHz
最小项
使最小项为1的变量取值 A B C
对应的十 进制数
编号 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
ABC ABC A BC A BC AB C AB C ABC ABC
例1： F1 A B C D 0
F1 A B C D 0
注意 括号
注意括号
F1 ( A B) (C D) 1
F1 AC BC AD BD
与或式
33 MHz
例2： F2 A B C D E
F2 A B C D E
“+” 换成 “· ”，0 换成 1，1 换成 0，
则得到一个新的逻辑式 Y´，
则 Y´ 叫做 Y 的对偶式
A AB A
33 MHz
Y AB CD
对偶式
A( A B) A
Y ( A B)(C D)
2.2 逻辑函数的变换和化简
2.2.1 逻辑函数表示方法：四种，并可相互转换 真值表：将逻辑函数输入变量取值的不同组合 与所对应的输出变量值用列表的方式 一一对应列出的表格。 四 种 表 示 方 法
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最小项
标准与 或式
标准与或式就是最小项之和的形式
1. 最小项的概念： 包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或 反变量的形式出现一次。 Y F ( A ,B ) ( 2 变量共有 4 个最小项)
AB
AB
AB
AB
Y F ( A ,B ,C ) ( 3 变量共有 8 个最小项)
ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
开关A
电源
开关B 或逻辑关系
灯Y
开关断用0表示, 开关闭合用1表示 灯亮用1表示, 灭用0表示
真值表 A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 Y 0 1 1 1 逻 辑 符 号
见1为1 全0为0
逻辑函数式
Y A B
A B
≥1
Y
例：根据输入波形画出输出波形 >1 A A & Y1 B B
A B Y1 Y2
左 AB AC ( A A) BC A AB A
AB AC ABC ABC AB AC
推论
AB AC BCD AB AC
(5) AB AB A B AB
A B A B
A B A B
左 AB AB ( A B) ( A B)
逻 辑 A 符 B 号
≥1
Y2
见1为0 全0为1
(3) 与或(非)逻辑 与或非逻辑
Y3 AB CD
与或逻辑
A B C D
& ≥1
Y3
(真值表略)
Y3 AB CD
(4) 异或逻辑
A B
=1
Y4
Y4 A B A B AB
(5) 同或逻辑 (异或非) A B =1
A 0 0 1 1
4. 最小项标准表达式 任何逻辑函数都是由其变量的若干个最小项构成， 都可以表示成为最小项之和的形式。 [例] 写出下列函数的标准与或式：
开关断用0表示, 开关闭合用1表示
灯亮用1表示, 灭用0表示
真值表 A B 0 0 0 1 1 0 1 1 见0为0 全1为1
逻辑函数式
Y 0 0 0 1
Y A B AB
逻 辑 符 号
A B
&
Y
2. 或逻辑： 决定某一事件的条件只要有一个或一个以上具备 时，这个事件就会发生,这样的逻辑关系称为或逻辑。 真值表 A B 0 0 0 1 1 0 1 1 Y 0 1 1 1
第二章 逻辑代数和逻辑函数化简
2.1 基本逻辑运算和复合逻辑运算
2.2 逻辑代数的基本定律及规则 2.3 逻辑函数的表示方法及其转换 2.4 逻辑函数的化简方法
2.1 基本逻辑运算和复合逻辑运算
与逻辑
Y A B AB
Y A B
或逻辑
非逻辑
Y A
0, 1 相反的逻辑状态
数码
2.1.1 基本逻辑运算
2.3.1 逻辑表达式
完备函数的概念
我们已经学习过三种最基本的逻辑运
算：逻辑与；逻辑或；逻辑非，用他们，
可以解决所有的逻辑运算问题，因此可以
称之为一个“完备逻辑集”。
一.逻辑表达式的类型
Y AB AC BC 与或式
与非-与非式 核心
AB AC
( A B)( A C )
AB A C
Y1 AB
真值表
A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 Y 0 0 0 1 Y1 1 1 1 0
逻 辑 A 符 B 号
&
Y1
见0为1 全1为0
2. 1. 2 复合逻辑运算 (1)或非逻辑 逻辑函数式
Y2 A B
真值表
A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 Y 0 1 1 1 Y2 1 0 0 0
Y2
见 “1”为“1”，全“0”为 见“0”为“0”，全“1”为 “0” “1”
3. 非逻辑： 只要条件具备，事件便不会发生；条件不具备， 事件一定发生的逻辑关系。 真值表
R 开关A
A
0
Y
1
电源
灯Y
1
0
逻 辑 符 号 A
非逻辑关系
逻辑函数式
1
Y
Y A
2. 1. 2 复合逻辑运算
(1)与非逻辑 逻辑函数式
A A A B AB B B A B AB
即
A B = A⊙B
同理可证
A⊙B A B
六、关于异或运算的一些公式 异或 A B AB AB
同或 A⊙B AB A B
(1) 交换律 (2) 结合律 (3) 分配律
A B = A⊙B A⊙B A B
3. 最小项的编号：
把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之 相应的十进制数，就是该最小项的编号，用 mi 表示。
对应规律：原变量 1
反变量 0
ABC ABC ABC ABC ABC ABC AB C ABC
000 001 010 011 100 0 m0 1 m1 2 m2 3 m3 4 m4 101 5 m5 110 111 6 m6 7 m7
AB BC AB BC ( A B) (B C )
A BC A BC A ( B C )
A A 1 AB AB 1
AB C AB C 1
A AB A B
AB ABC ,B ,C ,D ) ( 4 变量共有 16 个最小项)
ABC D
ABC D ABC D
… … ABC D
ABCD
( n 变量共有 2n 个最小项)
2. 最小项的性质： ABC 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1
ABC ABC ABC ABC ABC ABC AB C ABC
Y1 ( A BC ) ( C D )
已知 Y2 A B C D C 则
Y2 ( A B) C D C
3. 对偶规则：如果两个表达式相等，则它们的对 偶式也一定相等。
将 Y 中“. ”换成“+”,“+”换成“.”“0” 换成“1”,“1”换成“0” 例如 Y1 A( B C ) CD
A A B AC 0 B AC
A B B C B A0 C B
2.2.2 逻辑代数的基本规则
1. 代入规则： 等式中某一变量都代之以一个逻 辑函数，则等式仍然成立。
A B A B
A B A B
( A C) B A C B A C B
A B A C
或非-或式 或非-或非式
或与非式 与或非式 或与式
AB AC BC
( A B) ( A C )
A B AC
二.逻辑函数的标准形式
标准与或表达式
Y F ( A ,B ,C ) AB AC
AB(C C ) AC ( B B)
ABC ABC ABC ABC
相等
相等
还原律
AA
五、若干常用公式
(1) AB A B A( B B) A
(2) A AB A(1 B) A
推广
A A(
) A
(3) A AB ( A A)( A B) A B (4) AB AC BC AB AC
分配律 A BC ( A B) ( A C )
A B B A
A B B A
( A B) C A ( B C ) ( A B) C A ( B C )
A( B C ) AB AC
A BC ( A B) ( A C )
证明公式 A BC ( A B)( A C ) 方法一：公式法 右式 ( A B)( A C ) A A A C A B B C A AC AB BC A(1 C B) BC A BC 左式
A
Y
A
Y
国标符号
曾用符号 A
美国符号
A B
A B A B
& Y A B
B
≥1 Y A B A B =1 Y A B A B
Y
A B A B
Y
Y
Y
Y
A B
Y
2.2 逻辑代数的基本定律及规则
2. 2. 1 逻辑代数的基本定律
一、 常量之间的关系(常量：0 和 1 )
与： 0 · = 0 0
或： 1 + 1 = 1
非： 0 1
0· =0 1 1· =1 1
1+0=1 0+0=0
1 0
二、变量和常量的关系(变量：A、B、C…)
1 与: A · = A 或： A + 0 = A 非： A A 0 A· = 0 0
A+1=1
A A 1
三、与普通代数相似的定理
交换律 结合律 分配律
1. 与逻辑：当决定一事件的所有条件都具备时，这 个事件才发生,这样的逻辑关系称为与
逻辑。
开关A 开关B
功能表 A 断 断 合 合 B 断 合 断 合 Y 灭 灭 灭 亮
电源 与逻辑关系
灯Y
与逻辑的表示方法： 真值表
A B 0 0 0 1 1 0 1 1
Y 0 0 0 1
A 断 断 合 合
功能表 B Y 断 灭 合 灭 断 灭 合 亮
证明公式 A BC ( A B)( A C ) 方法二：真值表法(将变量的各种取值代入等式 两边，进行计算并填入表中) A B 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 C B C A BC A B A C ( A B)( A C ) 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
标准与 或式
标准与或式就是最小项之和的形式
1. 最小项的概念： 包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或 反变量的形式出现一次。 Y F ( A ,B ) ( 2 变量共有 4 个最小项)
AB
AB
AB
AB
Y F ( A ,B ,C ) ( 3 变量共有 8 个最小项)
ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
开关A
电源
开关B 或逻辑关系
灯Y
开关断用0表示, 开关闭合用1表示 灯亮用1表示, 灭用0表示
真值表 A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 Y 0 1 1 1 逻 辑 符 号
见1为1 全0为0
逻辑函数式
Y A B
A B
≥1
Y
例：根据输入波形画出输出波形 >1 A A & Y1 B B
A B Y1 Y2
左 AB AC ( A A) BC A AB A
AB AC ABC ABC AB AC
推论
AB AC BCD AB AC
(5) AB AB A B AB
A B A B
A B A B
左 AB AB ( A B) ( A B)
逻 辑 A 符 B 号
≥1
Y2
见1为0 全0为1
(3) 与或(非)逻辑 与或非逻辑
Y3 AB CD
与或逻辑
A B C D
& ≥1
Y3
(真值表略)
Y3 AB CD
(4) 异或逻辑
A B
=1
Y4
Y4 A B A B AB
(5) 同或逻辑 (异或非) A B =1
A 0 0 1 1
4. 最小项标准表达式 任何逻辑函数都是由其变量的若干个最小项构成， 都可以表示成为最小项之和的形式。 [例] 写出下列函数的标准与或式：
开关断用0表示, 开关闭合用1表示
灯亮用1表示, 灭用0表示
真值表 A B 0 0 0 1 1 0 1 1 见0为0 全1为1
逻辑函数式
Y 0 0 0 1
Y A B AB
逻 辑 符 号
A B
&
Y
2. 或逻辑： 决定某一事件的条件只要有一个或一个以上具备 时，这个事件就会发生,这样的逻辑关系称为或逻辑。 真值表 A B 0 0 0 1 1 0 1 1 Y 0 1 1 1
第二章 逻辑代数和逻辑函数化简
2.1 基本逻辑运算和复合逻辑运算
2.2 逻辑代数的基本定律及规则 2.3 逻辑函数的表示方法及其转换 2.4 逻辑函数的化简方法
2.1 基本逻辑运算和复合逻辑运算
与逻辑
Y A B AB
Y A B
或逻辑
非逻辑
Y A
0, 1 相反的逻辑状态
数码
2.1.1 基本逻辑运算
2.3.1 逻辑表达式
完备函数的概念
我们已经学习过三种最基本的逻辑运
算：逻辑与；逻辑或；逻辑非，用他们，
可以解决所有的逻辑运算问题，因此可以
称之为一个“完备逻辑集”。
一.逻辑表达式的类型
Y AB AC BC 与或式
与非-与非式 核心
AB AC
( A B)( A C )
AB A C
Y1 AB
真值表
A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 Y 0 0 0 1 Y1 1 1 1 0
逻 辑 A 符 B 号
&
Y1
见0为1 全1为0
2. 1. 2 复合逻辑运算 (1)或非逻辑 逻辑函数式
Y2 A B
真值表
A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 Y 0 1 1 1 Y2 1 0 0 0
Y2
见 “1”为“1”，全“0”为 见“0”为“0”，全“1”为 “0” “1”
3. 非逻辑： 只要条件具备，事件便不会发生；条件不具备， 事件一定发生的逻辑关系。 真值表
R 开关A
A
0
Y
1
电源
灯Y
1
0
逻 辑 符 号 A
非逻辑关系
逻辑函数式
1
Y
Y A
2. 1. 2 复合逻辑运算
(1)与非逻辑 逻辑函数式
A A A B AB B B A B AB
即
A B = A⊙B
同理可证
A⊙B A B
六、关于异或运算的一些公式 异或 A B AB AB
同或 A⊙B AB A B
(1) 交换律 (2) 结合律 (3) 分配律
A B = A⊙B A⊙B A B
3. 最小项的编号：
把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之 相应的十进制数，就是该最小项的编号，用 mi 表示。
对应规律：原变量 1
反变量 0
ABC ABC ABC ABC ABC ABC AB C ABC
000 001 010 011 100 0 m0 1 m1 2 m2 3 m3 4 m4 101 5 m5 110 111 6 m6 7 m7
AB BC AB BC ( A B) (B C )
A BC A BC A ( B C )
A A 1 AB AB 1
AB C AB C 1
A AB A B
AB ABC ,B ,C ,D ) ( 4 变量共有 16 个最小项)
ABC D
ABC D ABC D
… … ABC D
ABCD
( n 变量共有 2n 个最小项)
2. 最小项的性质： ABC 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1
ABC ABC ABC ABC ABC ABC AB C ABC
Y1 ( A BC ) ( C D )
已知 Y2 A B C D C 则
Y2 ( A B) C D C
3. 对偶规则：如果两个表达式相等，则它们的对 偶式也一定相等。
将 Y 中“. ”换成“+”,“+”换成“.”“0” 换成“1”,“1”换成“0” 例如 Y1 A( B C ) CD
A A B AC 0 B AC
A B B C B A0 C B
2.2.2 逻辑代数的基本规则
1. 代入规则： 等式中某一变量都代之以一个逻 辑函数，则等式仍然成立。
A B A B
A B A B
( A C) B A C B A C B
A B A C
或非-或式 或非-或非式
或与非式 与或非式 或与式
AB AC BC
( A B) ( A C )
A B AC
二.逻辑函数的标准形式
标准与或表达式
Y F ( A ,B ,C ) AB AC
AB(C C ) AC ( B B)
ABC ABC ABC ABC
相等
相等
还原律
AA
五、若干常用公式
(1) AB A B A( B B) A
(2) A AB A(1 B) A
推广
A A(
) A
(3) A AB ( A A)( A B) A B (4) AB AC BC AB AC
分配律 A BC ( A B) ( A C )
A B B A
A B B A
( A B) C A ( B C ) ( A B) C A ( B C )
A( B C ) AB AC
A BC ( A B) ( A C )
证明公式 A BC ( A B)( A C ) 方法一：公式法 右式 ( A B)( A C ) A A A C A B B C A AC AB BC A(1 C B) BC A BC 左式
A
Y
A
Y
国标符号
曾用符号 A
美国符号
A B
A B A B
& Y A B
B
≥1 Y A B A B =1 Y A B A B
Y
A B A B
Y
Y
Y
Y
A B
Y
2.2 逻辑代数的基本定律及规则
2. 2. 1 逻辑代数的基本定律
一、 常量之间的关系(常量：0 和 1 )
与： 0 · = 0 0
或： 1 + 1 = 1
非： 0 1
0· =0 1 1· =1 1
1+0=1 0+0=0
1 0
二、变量和常量的关系(变量：A、B、C…)
1 与: A · = A 或： A + 0 = A 非： A A 0 A· = 0 0
A+1=1
A A 1
三、与普通代数相似的定理
交换律 结合律 分配律
1. 与逻辑：当决定一事件的所有条件都具备时，这 个事件才发生,这样的逻辑关系称为与
逻辑。
开关A 开关B
功能表 A 断 断 合 合 B 断 合 断 合 Y 灭 灭 灭 亮
电源 与逻辑关系
灯Y
与逻辑的表示方法： 真值表
A B 0 0 0 1 1 0 1 1
Y 0 0 0 1
A 断 断 合 合
功能表 B Y 断 灭 合 灭 断 灭 合 亮
证明公式 A BC ( A B)( A C ) 方法二：真值表法(将变量的各种取值代入等式 两边，进行计算并填入表中) A B 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 C B C A BC A B A C ( A B)( A C ) 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1