大学物理——机械振动(高教课堂)
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大学物理机械振动和机械波ppt课件

2024/1/26
12
03
驻波形成条件及其性质分析
Chapter
2024/1/26
13
驻波产生条件及特点描述
产生条件
两列沿相反方向传播、振幅相同、频 率相同的波叠加。
特点描述
波形不传播,能量在波节和波腹之间 来回传递,形成稳定的振动形态。
2024/1/26
14
驻波能量分布规律探讨
能量分布
驻波的能量主要集中在波腹处,波节处能量为零。
2024/1/26
16
04
多普勒效应原理及应用举例
Chapter
2024/1/26
17
多普勒效应定义及公式推导
2024/1/26
定义
当波源与观察者之间存在相对运动时,观察者接收到的波的频率会发生变化,这种现象 称为多普勒效应。
公式推导
设波源发射频率为f0,波速为v,观察者与波源相对运动速度为vr,则观察者接收到的 频率为f=(v±vr)/v×f0,其中“+”号表示观察者向波源靠近,“-”号表示观察者远离
Chapter
2024/1/26
25
非线性振动概念引入和分类
非线性振动定义
描述系统振动特性不满足叠加原理的振动现象。
分类
根据振动性质可分为自治、非自治、周期激励和 随机激励等类型。
与线性振动的区别
线性振动满足叠加原理,而非线性振动则不满足 。
2024/1/26
26Biblioteka 混沌理论基本概念阐述混沌定义
确定性系统中出现的内在随 机性现象。
受迫振动
物体在周期性外力作用下所发生的振动。
共振现象
当外力的频率与物体的固有频率相等时,物体的振幅达到最大的现象。
大学物理-振动和波-PPT

t 3T 4
(振动状态 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 传至10 )
所以运动方程为:
x bCos(
g b
t
)
二、谐振动的图线描述法
x
A
0
t1
t
两类问题:
1、已知谐振动方程,描绘谐振动曲线 2、已知谐振动曲线,描绘谐振动方程
三、 简谐振动的旋转矢量表示法
1、旋转矢量
ω
M
旋转矢量的长度:振幅 A
A
旋转矢量旋转的角速度:
圆频率 0
旋转矢量与参考方向x 的夹角: 振动周相
则可得: x ACos(t )
其中: A A12 A22 2 A1A2Cos(2 1)
tg A1Sin1 A2Sin2 A1Cos1 A2Cos2
2、利用旋转矢量合成
A
x ACos(t )
A1
A2
A A12 A22 2 A1A2Cos(2 1)
x
tg A1Sin1 A2Sin2 A1Cos1 A2Cos2
a
v
0
t
问题: 是描述t=0时刻振动物体的状态,当给定计时时刻振动物 体的状态(t=0 时的位置及速度:x0 v0 ),如何求解相对应的 ?
(1)、已知 t = 0 振动物体的状态x(0), v(0)求
x(0) Acos v(0) A sin
可得:
A
x2
(0)
v2 (0) 2
tg v(0) x(0)
X
如果振动物体可表示为一质点,而与之相连接的所有弹簧等效 为一轻弹簧,忽略所有摩擦,可用弹簧振子描述简谐振动。
二、谐振动的特点:
1、动力学特征:
大学物理 机械振动课件

当 = (2k+1) , k=0,±1,±2...
两振动步调相反,称反相
当0
2 超前于1 或 1 滞后于 2
位相差反映了两个振动不同程度的参差错落
三、简谐振动的旋转矢量表示法
t=t A
t+0
0
A t=0
o
x
x
x Acos(t 0 )
旋转矢量—— 确定 和研究振动合成很方便
t
A
t=0
k J
R2
T 2 2 m J R2
k
例:已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线如图所
示,试求其振动方程。 解:设振动方程为
v(cms 1)
31.4
x Acos(t 0 )
15.7
v0 Asin0 15.7
0 15.7
1
t(s)
x0 Acos0 0
31.4
Q A vm 31.4
sin2 (
t
0 )
1 kA2 2
cos2 (t
0 )
谐振动的动能和势能是时间的周期性函数
动 能
Ek
1 2
mv 2
1 2
kA2
sin2 (
t
0
)
Ek max
1 2
kA2
Ekmin 0
1
Ek T
t T t
Ek dt
1 4
kA2
势
Ep
1 2
kx 2
能
1 2
kA2
cos 2 ( t
0
)
E pmax , E pmin , E p
J
mgh
例4.1 证明竖直弹簧振子的振动是简谐振动(自学)
§4.2 简谐振动的运动学
两振动步调相反,称反相
当0
2 超前于1 或 1 滞后于 2
位相差反映了两个振动不同程度的参差错落
三、简谐振动的旋转矢量表示法
t=t A
t+0
0
A t=0
o
x
x
x Acos(t 0 )
旋转矢量—— 确定 和研究振动合成很方便
t
A
t=0
k J
R2
T 2 2 m J R2
k
例:已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线如图所
示,试求其振动方程。 解:设振动方程为
v(cms 1)
31.4
x Acos(t 0 )
15.7
v0 Asin0 15.7
0 15.7
1
t(s)
x0 Acos0 0
31.4
Q A vm 31.4
sin2 (
t
0 )
1 kA2 2
cos2 (t
0 )
谐振动的动能和势能是时间的周期性函数
动 能
Ek
1 2
mv 2
1 2
kA2
sin2 (
t
0
)
Ek max
1 2
kA2
Ekmin 0
1
Ek T
t T t
Ek dt
1 4
kA2
势
Ep
1 2
kx 2
能
1 2
kA2
cos 2 ( t
0
)
E pmax , E pmin , E p
J
mgh
例4.1 证明竖直弹簧振子的振动是简谐振动(自学)
§4.2 简谐振动的运动学
物理第4章机械振动ppt课件

(1)振动的周期;
(2)通过平衡位置时动能;
(3)总能量;
(4)物体在何处其动能和势能相等?
解 (1) 因
故
得
(2)因通过平衡位置时速度为最大,故
将已知数据代入,得
(3)总能量
(4)当
时,
由
得
[例4.5]已知SHM,A= 4 cm, = 0.5 Hz,t =1s时x =-2cm且向x正向运动,写出振动表达式。
由图可见初相
或
则运动方程为
(2)图(a)中点P的位置是质点从A/2处运动到正向的端点处。 对应的旋转矢量图如图所示。
当初相取
时,
点 P的相位为
(3)由旋转关量图可得
则
例4.4 质量为0.10kg的物体,以振幅 作简谐运动,其最大加速度为 ,求:
不同频率
1. 同方向同频率的简谐振动的合成
⑴.分振动 :
x1=A1cos( t+ 1)
⑵.合振动 :
合振动是简谐振动, 其频率仍为
x =A cos( t+ )
x2=A2cos( t+ 2)
设 x = x1+ x2
x =A cos( t+ )
A
A1
A2
y
x
o
1
2
Ax
Ay
Ax = A1cos1 + A2cos2
的相位与第一个振动的相位差为
,第一个振动的振幅为0.173m。求
第二个振动的振幅及两振动的相位差。
解:采用旋转矢量合成图求解。如图所示,取第一个振动的旋转矢量A1沿Ox
轴,即令其初相为零;按题意,合振动的旋转矢量A与A1之间的夹角
(2)通过平衡位置时动能;
(3)总能量;
(4)物体在何处其动能和势能相等?
解 (1) 因
故
得
(2)因通过平衡位置时速度为最大,故
将已知数据代入,得
(3)总能量
(4)当
时,
由
得
[例4.5]已知SHM,A= 4 cm, = 0.5 Hz,t =1s时x =-2cm且向x正向运动,写出振动表达式。
由图可见初相
或
则运动方程为
(2)图(a)中点P的位置是质点从A/2处运动到正向的端点处。 对应的旋转矢量图如图所示。
当初相取
时,
点 P的相位为
(3)由旋转关量图可得
则
例4.4 质量为0.10kg的物体,以振幅 作简谐运动,其最大加速度为 ,求:
不同频率
1. 同方向同频率的简谐振动的合成
⑴.分振动 :
x1=A1cos( t+ 1)
⑵.合振动 :
合振动是简谐振动, 其频率仍为
x =A cos( t+ )
x2=A2cos( t+ 2)
设 x = x1+ x2
x =A cos( t+ )
A
A1
A2
y
x
o
1
2
Ax
Ay
Ax = A1cos1 + A2cos2
的相位与第一个振动的相位差为
,第一个振动的振幅为0.173m。求
第二个振动的振幅及两振动的相位差。
解:采用旋转矢量合成图求解。如图所示,取第一个振动的旋转矢量A1沿Ox
轴,即令其初相为零;按题意,合振动的旋转矢量A与A1之间的夹角
大学物理机械振动公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
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5 常见简谐振动
第30页
固定轴作小角度摆动
OC h
O
J0为刚体绕O 轴转动惯量,h为刚 体重心到O点距离
C
J0
d 2
dt 2
mgh sin
mgh
mg
2 mgh
J0
T 2π J0 mgh
比如:一长度为l匀质细长杆悬挂其一端作小角度
摆动,h = l/2
J0
1 ml 2 3
T 2π 2l 3g
第25页
• 无阻尼LC电磁振荡
第四章
第1页
第四章 机械振动
4.1 简谐振动 4.2 谐振动能量 4.3 谐振动旋转矢量投影表示法 4.4 谐振动合成 4.5 阻尼振动 受迫振动 共振
第2页
什么是机械振动?
振动:指任何一个物理量( r , , E, H), I在, 某一拟定
值附近重复改变过程。 特点:含有重复性,即周期性。
比如:一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体中 原子振动等.
质心相对于平衡位置高度 hc = l (1cos)
质心速度
vc
l sin
d
dt
第27页
杆平动动能
Ekc
1 2
mvc2
1 2
ml 2 ( d
dt
)2
sin 2
1 2
ml 2 ( d
dt
)2 2
系统绕质心转动动能
EK
1 2
J (d
dt
)2
J 1 m(2R)2 1 mR2
12
3
系统势能
EP mghc
x(t) Acos( t )
• 简谐振动动能
EK
1 mv2 2
大学物理机械振动课件

03 阻尼振动
阻尼振动的定义与特点
定义
阻尼振动是指振动系统受到阻力 作用,使得振动能量逐渐减少的
振动过程。
特点
随着时间的推移,振幅逐渐减小, 频率逐渐降低,直至振动停止。
阻尼力
阻尼振动过程中,系统受到的阻力 称为阻尼力,它与振动速度成正比, 方向与振动速度方向相反。
阻尼振动的描述方法
微分方程
阻尼振动的运动方程通常表示为二阶常微分方程,形式为 `m * d²x/dt² + c * dx/dt + k * x = 0`,其中 m、c、k 分别为质量、
振动压路机
利用共振原理来提高压实效果。
振动输送机
利用共振来输送物料,提高输送效率。
受迫振动与共振的能量转换
能量转换过程
外界周期性力对系统做正 功,系统动能增加;阻尼 使系统能量耗散,系统势 能减小。
转换关系
在振动过程中,外界对系 统的总能量输入等于系统 动能和势能的变化之和。
影响因素
阻尼系数、驱动力频率、 物体固有频率等。
能量耗散途径
阻尼振动的能量耗散途径 主要包括与周围介质之间 的摩擦、空气阻力、内部 摩擦等。
能量耗散的意义
阻尼振动的能量耗散有助 于减小系统振幅,避免因 过大振幅导致的结构破坏 或噪声污染等问题。
04 受迫振动与共振
受迫振动的定义与特点
定义:在外来周期性力的持 续作用下,物体发生的振动
称为受迫振动。
确定各简谐振动的振幅、相位差和频 率,在复平面内绘制振动相量,通过 旋转和位移操作找到合成振动的相量 表示。
振动合成的能量法
描述
能量法是通过分析各简谐振动的能量分布和转化,来研究振 动合成过程中的能量传递和平衡。
大学物理 完整课件 ch4 机械振动PPT共24页

大学物理 完整课件 ch4 机械振动
56、极端的法规,就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要,人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益, 而是为 了公共 的利益 ;一部 分靠有 害的强 制,一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ,那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路,那么,任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远,吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应,言行相称。——韩非
56、极端的法规,就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要,人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益, 而是为 了公共 的利益 ;一部 分靠有 害的强 制,一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ,那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路,那么,任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远,吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应,言行相称。——韩非
大学物理第4章机械振动 机械波课件讲义

则系统受到的合力为
F mg FS mgi k(x l0 )i
Fx mg k(x l0 ) max
mgBiblioteka k(xl0
)
m
d2x dt 2
k
x
m
d2 dt
x
2
2 k
m
d2x dt 2
2
x
0
动力学方程
l
0A
x
F
A
x
mg
-------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------
§4.1 简谐振动的动力学特征
振动中最简单最基本的是简谐振动 简谐振动:一个做往复运动的物体,如果其偏离平
衡位置的位移x(或角位移)随时间t按余弦(或正弦)
Fx F ,x , ax a
-------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------
谐振动的位移、速度、加速度之间的相位关系
x A cos( t 0 ) A cos
A
sin(
t
0 )
机械振动(大学课程).ppt

比较如下两个振动的步调: x A cos( t ), x A cos( t ) 1 1 0 1 2 2 0 2
2 n , n 0 , 1 , 2 ⑴若
1 2 1 2
则相位相同 ( 2 n 1 ) , n 0 , 1 , 2 ⑵若 1 2 则相位相反 A2 A2 , 0 | | ⑶一般 1 2 A2 即超前或落后的角度不大于π
2 1 2 2 2 0
2 2 1 21 2 2 1 E kx kA cos ( t ) m A ( t ) 2 2 0 cos p2 0 0 2
E E E kA m A C k p
1 2
10
例题:将水平弹簧振子从平衡位置拉开4.0×10-2m后释放, 水平拉力为24N,求:⑴总机械能;⑵ x=A/2时的动能和 势能 F x o
6
t=0时的相位α叫初相,用以确定振动的初始状态
x A cos( t ), v A sin( t ) 0 0 0
⒋由初始条件确定A和α
设t=0时,x=x0,v=v0,代入位移和速度表达式 x A cos ① ,v A sin ② 0 0 0
例 x 题 A cos( : 10 t ), t 0 时 x , 1 , v 10 3 , 求 A t ), v 10 A sin( 10 t ) dt 代入初始条件: 1 A cos ① 10 3 , 10 A sin , 即 3 A sin ②
由①②即可求出A和α,注意:A为正值,α要同时 满足①②两式,习惯上π≥|α|≥0
《机械振动教学》课件

质量块
质量块。质量块的质量大小和分布对系统的动态特性有 重要影响。
阻尼器
阻尼器是机械振动系统中的阻尼元件,它能够吸收和消耗 振动的能量,从而减小振动的幅值。常见的阻尼器有油阻 尼器、橡胶阻尼器等。
02
机械振动的数学模型
建立振动方程
确定振动系统的自由度
振动应用领域的拓展
航空航天领域
随着航空航天技术的不断发展,振动控制在航空航天领域的应用将得到进一步拓展,涉及结构健康监测、减振降噪等 方面的应用。
新能源领域
新能源领域如风能、太阳能等涉及到大量机械振动问题,未来振动控制将在新能源领域发挥重要作用,涉及风力发电 机组振动控制、太阳能电池板减振等领域。
混合控制法
总结词
结合主动和被动控制方法的优点,以提高振 动控制的效率和效果。
详细描述
混合控制法综合了主动和被动控制法的优点 ,既通过主动施加控制力来抵消原始振动, 又通过改变系统结构或增加阻尼来降低系统 的振动响应。这种方法可以实现更好的振动 控制效果,但同时也需要更高的成本和更复 杂的控制系统。
描述机械振动的物理量
描述机械振动的物理量包括位移、速度、加速度、角频率、周期等。这些物理 量在振动分析中具有重要意义,可以帮助我们了解振动的特性和规律。
机械振动的分类
自由振动和受迫振动
根据外界对振动系统的影响,机械振动 可分为自由振动和受迫振动。自由振动 是指系统在没有外界干扰力作用下的振 动,其振动的频率和振幅只取决于系统 本身的物理性质;受迫振动则是在外界 周期性力的作用下产生的振动,其频率 和振幅取决于外界力和系统本身的物理 性质。
振型
描述系统在不同频率下的振动形态。
模态分析
通过分析系统的模态参数,了解系统的动态特性。
质量块。质量块的质量大小和分布对系统的动态特性有 重要影响。
阻尼器
阻尼器是机械振动系统中的阻尼元件,它能够吸收和消耗 振动的能量,从而减小振动的幅值。常见的阻尼器有油阻 尼器、橡胶阻尼器等。
02
机械振动的数学模型
建立振动方程
确定振动系统的自由度
振动应用领域的拓展
航空航天领域
随着航空航天技术的不断发展,振动控制在航空航天领域的应用将得到进一步拓展,涉及结构健康监测、减振降噪等 方面的应用。
新能源领域
新能源领域如风能、太阳能等涉及到大量机械振动问题,未来振动控制将在新能源领域发挥重要作用,涉及风力发电 机组振动控制、太阳能电池板减振等领域。
混合控制法
总结词
结合主动和被动控制方法的优点,以提高振 动控制的效率和效果。
详细描述
混合控制法综合了主动和被动控制法的优点 ,既通过主动施加控制力来抵消原始振动, 又通过改变系统结构或增加阻尼来降低系统 的振动响应。这种方法可以实现更好的振动 控制效果,但同时也需要更高的成本和更复 杂的控制系统。
描述机械振动的物理量
描述机械振动的物理量包括位移、速度、加速度、角频率、周期等。这些物理 量在振动分析中具有重要意义,可以帮助我们了解振动的特性和规律。
机械振动的分类
自由振动和受迫振动
根据外界对振动系统的影响,机械振动 可分为自由振动和受迫振动。自由振动 是指系统在没有外界干扰力作用下的振 动,其振动的频率和振幅只取决于系统 本身的物理性质;受迫振动则是在外界 周期性力的作用下产生的振动,其频率 和振幅取决于外界力和系统本身的物理 性质。
振型
描述系统在不同频率下的振动形态。
模态分析
通过分析系统的模态参数,了解系统的动态特性。
《大学物理振动》课件
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調音叉實驗
通过调音叉实验,我们可以直观地观察和测量振动的特征。这个实验对理解 振动现象具有重要意义。
例子和應用
在这个部分,我们将介绍一些与振动有关的具体例子和实际应用。这些例子和应用将帮助我们更好地理解和应 用振动的知识。
結論及問題解答
在这个部分,我们将总结我们在整个课件中学到的关于物体振动的知识,并 回答一些与振动相关的问题。
《大学物理振动》PPT课 件
欢迎来到《大学物理振动》PPT课件。在这个课件中,我们将深入探讨物体振 动的定义、不同种类、振幅、频率和周期之间的关系,以及调音叉实验、例 子和应用。最后,我们将总结并回答一些问题。
簡介
在这个部分,我们将对振动进行简要介绍。振动是指物体周期性地往复运动。它是物理学中一个非常重要的概 念,涉及到许多实际应用。
物體振動的定義
这一部分讨论物体振动的准确定义。物体振动是指物体围绕其平衡位置以往 复运动的现象。
物體振動Байду номын сангаас種類
在这个部分,我们将介绍物体振动的各种类型。这包括机械振动、电磁振动、 声波振动等。
振幅、频率和周期的關係
振幅、频率和周期是描述物体振动的重要参数。在这个部分,我们将讨论它 们之间的关系,并给出具体的数学公式。
大学物理课件0机械振动[优质ppt]
![大学物理课件0机械振动[优质ppt]](https://img.taocdn.com/s3/m/af7ffb6cf01dc281e53af0e1.png)
1 4
kA2
1
Ek Ep 2 E
在一个周期内的平均动能与平均势能相
等,各是总能量的一半。
10.3 简谐运动的合成
一、同频率同方向简谐振动合成
特点: ω1=ω2=ω , x1 // x2 表示: 对如下两个振动
x1 A1 cos(t 1)
x2 A2 cos(t 2)
简谐函数形式,称为简谐运动。
弹簧振子 单摆 复摆
二、基本特征
以弹簧振子为例, 振子受力是
F kx
由牛顿第二定律得
F弹 x
a
d2x dt 2
F m
k m
x
2x
ox
式中: 2 k (ω称为角频率)
m
物体受力和加速度与位移 x 成正比,
且方向相反(动力学特征)
上式可以改写为微分方程形式
对同频情况:φ φ2 φ1
1o Δ 反映两振动的步调情况: Δ =0(或2π整数倍),同步振动 Δ =π(或π奇数倍),振动步调相反 Δ >0, x2振动超前; Δ <0, x1振动超前
2o 两振动到达同一状态的时间差是
(ωt2 φ2 ) (ωt1 φ1 )
t
振动:任何一个物理量在某一数值 定 附近作周期性的变化,称为振动; 义
机械振动:物体在一定位置附近作 来回往复的运动,称为机械振动。
M (t T ) M (t) x(t T ) x(t)
简谐振动; 简谐振动合成; 阻尼振动、受迫振动、共振。
10.1 简谐运动
一、简谐运动(Simple Harmonic Motion) 物体在一定位置附近的位移变化满足
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木块使其作简谐振动。若在木块经过平衡位置且 向右运动时开始计时。取平衡位置为坐标原点、
向右为x轴正方向,求其振动方程。 M
m A
v
藤蔓课堂
7
解:mv=(m+M)V
0.01×103=(4.99+0.01)V
V=2m.s-1
1 (m M )V 2 1 kA2
2
2
k
mM
1 (4.99 0.01) 22 1 8 103 A2
例6-4.已知某简谐振动的
v(cms 1)
速度与时间的关系曲线如 31.4
图所示,试求其振动方程。15.7
解:方法1
0
用解析法求解
15.7
1
t(s)
设振动方程为
31.4
x
v0
Acos(t ) Asin 15.7cms1
A vm 31.4cms 1
v Asin( t )
a 2 Acos( t
sin v0 15.7 1 A 31.4 2
)
或5
66
a0 2 A cos 0
a0 0,则cos 0
藤蔓课堂 6
13
t 1 v1 15.7cms 1
v1 即 15.7
Asin( 1
34.1sin(
6 1
)
)
得 sin( 1 ) 1 6
a 2 Acos( t )
代入
得
= arctan ( v0 ) x0
k m
A O
A
藤蔓课堂
5
例6-1. 一质点沿x 轴作简谐振动,振幅A= 0.12 m,周期 T= 2 s, 当t = 0 时,质点对平衡位置的位移 x0 = 0.06 m, 此时刻质点向x 正向运动。求此简谐振动的表达式。
解 取平衡位置为坐标原点。
设简谐振动的表达式为
角频率 k 完全由振动系统本身的性质决定。
m
固有角频率 固有周期
固有频率
藤蔓课堂
16
2. 单摆(simple pendulum)
C
平衡位置 :摆线与竖直方向夹角 = 0 .
l
摆球相对于平衡位置的角位移为 时,
切向合外力:
y
m
A
t +
x
O
P
2.简谐振动的旋转矢量表示法
A
O
x
藤蔓课堂
9
3.两同频率简谐振动的相位差(phase difference)
两个谐振动
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )
相位差 (t 2 ) (t 1 ) 2 1
=2 1 两同频率的谐振动的相位
v(cms 1 )
31.4
15.7 0
15.7
31.4
1
t(s)
1
6
62 7 或 11 66
a1 0, 则
cos( 1 )
0 1
6
7
6
3.14s1 A vm 31.4 10cm
3.14
故振动方程为 x 10 cos(t )cm
藤蔓课堂 6
14
方法2:用旋转矢量法辅助求解。 v(cms 1)
•周期T 物体完成一次全振动所需时间.
T 2
•频率 单位时间内振动的次数.
•角频率
相位 t
决定谐振动物体的运动状态
初相位
藤蔓课堂
3
3.振动速度及加速度
x, v, a
av x
简谐振动的加
速度和位移成 正比而反向.
O
t
T
藤蔓课堂
4
4.振动初相及振幅由初始条件决定
初始条件:当t = 0时, x = x0 ,v = v0
a F k x mm
令 2 k
m
a 2 x
又a
d2x dt 2
d2 dt
x
2
2
x
0
其简通谐振动微分方程 解为:
x Acos(t ) 谐振动运动方程
藤蔓课堂
2
2、描述简谐振动的特征量 运动方程
kF
m
x Acos(t )
A O A
•振幅A 物体离开平衡位置的最大距离,决定于初条件.
t0
2
o
6
v
x 10 cos(t )cm 6 藤蔓课堂
t 1s
15
三、简谐振动实例
1. 弹簧振子(blockspring system)
kF
m
平衡位置:
A O A
弹簧为原长时,振动物体所处的位置. x=0 , F=0
位移为x处:
由牛顿第二定律
2 x
d2x dt 2
2x
0
x Acos(t )
差等于它们的初相差。
A2
A1
x
O
A1
A2
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
O
A1
A2 O
x
0, x2超前x1 = 藤0, 蔓同课相堂 = ,反相10
4.谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系
x, v, a
x, v, a
av x
A
A
O
O
t
2A
T
藤蔓课堂
11
例6-3. 以余弦函数表示的简谐振动的位移时间曲线 如图所示,求此简谐振动的表达式。
机械振动:物体在一定位置附近作来回往复的运动。
m
A O A
广义振动:任一物理量(如位移、电流等)在某一
数值附近反复变化。
K i
q
L
q
藤蔓课堂
1
6-1 简谐振动(simple harmonic motion)
一、简谐振动的基本特征
1、简谐振动的定义 动力学定义:
弹簧振子
kF
m
运动学定义:
A O A
2
2
A=0.05m
8 103 40 5
x 0.05 cos(40t )
t 0 x 0.05 cos 0
v 2 sin 0
2
振动方程为 x 0.05 cos(40t )
藤蔓课堂 2
8
二、简谐振动的旋转矢量表示法
1.简谐振动与匀速圆周运动
匀速圆周运动在x轴上的投影 (或分运动)为简谐振动:
由题设T= 2 s,则 2 , A= 0.12 m
由初条件 x0 = 0.06 m,Tv0 0
得
3
3
简谐振动的表达式为
藤蔓课堂
6
例6-2. 如图所示,倔强系数为 8×103N·m-1的轻
质弹簧一端固定于A,另一端系一质量为
M=4.99kg的木块静止于水平光滑桌面上。 质量 m=0.01kg的子弹以水平速度v =103 m·s-1 射入
x Acos(t )
31.4
v A sin(t )
15.7
vm cos(t 2) vm A 31.4cms 1
0 15.7
31.4
1
t(s)
v的旋转矢量 与v轴夹角表
t
由图知
示t 时刻相位
2
1 s1
A vm 31.4 10cm 3.14
2
23
解 设简谐振动方程为
x
t= 1s
x (cm) 2
A
x0 = A/2,v0 0
O
A
t=0
1
1 O
1 t (s)
v0
2
由旋转矢量表示法
v0 0
角频率的计算:t = 1s 时,对应图示的旋转矢量。
旋转矢量以 匀角速由t = 0 到t = 1s 转过了4/3
t 4 3 t =1s 4藤3蔓课堂
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向右为x轴正方向,求其振动方程。 M
m A
v
藤蔓课堂
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解:mv=(m+M)V
0.01×103=(4.99+0.01)V
V=2m.s-1
1 (m M )V 2 1 kA2
2
2
k
mM
1 (4.99 0.01) 22 1 8 103 A2
例6-4.已知某简谐振动的
v(cms 1)
速度与时间的关系曲线如 31.4
图所示,试求其振动方程。15.7
解:方法1
0
用解析法求解
15.7
1
t(s)
设振动方程为
31.4
x
v0
Acos(t ) Asin 15.7cms1
A vm 31.4cms 1
v Asin( t )
a 2 Acos( t
sin v0 15.7 1 A 31.4 2
)
或5
66
a0 2 A cos 0
a0 0,则cos 0
藤蔓课堂 6
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t 1 v1 15.7cms 1
v1 即 15.7
Asin( 1
34.1sin(
6 1
)
)
得 sin( 1 ) 1 6
a 2 Acos( t )
代入
得
= arctan ( v0 ) x0
k m
A O
A
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5
例6-1. 一质点沿x 轴作简谐振动,振幅A= 0.12 m,周期 T= 2 s, 当t = 0 时,质点对平衡位置的位移 x0 = 0.06 m, 此时刻质点向x 正向运动。求此简谐振动的表达式。
解 取平衡位置为坐标原点。
设简谐振动的表达式为
角频率 k 完全由振动系统本身的性质决定。
m
固有角频率 固有周期
固有频率
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2. 单摆(simple pendulum)
C
平衡位置 :摆线与竖直方向夹角 = 0 .
l
摆球相对于平衡位置的角位移为 时,
切向合外力:
y
m
A
t +
x
O
P
2.简谐振动的旋转矢量表示法
A
O
x
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3.两同频率简谐振动的相位差(phase difference)
两个谐振动
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )
相位差 (t 2 ) (t 1 ) 2 1
=2 1 两同频率的谐振动的相位
v(cms 1 )
31.4
15.7 0
15.7
31.4
1
t(s)
1
6
62 7 或 11 66
a1 0, 则
cos( 1 )
0 1
6
7
6
3.14s1 A vm 31.4 10cm
3.14
故振动方程为 x 10 cos(t )cm
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方法2:用旋转矢量法辅助求解。 v(cms 1)
•周期T 物体完成一次全振动所需时间.
T 2
•频率 单位时间内振动的次数.
•角频率
相位 t
决定谐振动物体的运动状态
初相位
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3
3.振动速度及加速度
x, v, a
av x
简谐振动的加
速度和位移成 正比而反向.
O
t
T
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4
4.振动初相及振幅由初始条件决定
初始条件:当t = 0时, x = x0 ,v = v0
a F k x mm
令 2 k
m
a 2 x
又a
d2x dt 2
d2 dt
x
2
2
x
0
其简通谐振动微分方程 解为:
x Acos(t ) 谐振动运动方程
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2
2、描述简谐振动的特征量 运动方程
kF
m
x Acos(t )
A O A
•振幅A 物体离开平衡位置的最大距离,决定于初条件.
t0
2
o
6
v
x 10 cos(t )cm 6 藤蔓课堂
t 1s
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三、简谐振动实例
1. 弹簧振子(blockspring system)
kF
m
平衡位置:
A O A
弹簧为原长时,振动物体所处的位置. x=0 , F=0
位移为x处:
由牛顿第二定律
2 x
d2x dt 2
2x
0
x Acos(t )
差等于它们的初相差。
A2
A1
x
O
A1
A2
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
O
A1
A2 O
x
0, x2超前x1 = 藤0, 蔓同课相堂 = ,反相10
4.谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系
x, v, a
x, v, a
av x
A
A
O
O
t
2A
T
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11
例6-3. 以余弦函数表示的简谐振动的位移时间曲线 如图所示,求此简谐振动的表达式。
机械振动:物体在一定位置附近作来回往复的运动。
m
A O A
广义振动:任一物理量(如位移、电流等)在某一
数值附近反复变化。
K i
q
L
q
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1
6-1 简谐振动(simple harmonic motion)
一、简谐振动的基本特征
1、简谐振动的定义 动力学定义:
弹簧振子
kF
m
运动学定义:
A O A
2
2
A=0.05m
8 103 40 5
x 0.05 cos(40t )
t 0 x 0.05 cos 0
v 2 sin 0
2
振动方程为 x 0.05 cos(40t )
藤蔓课堂 2
8
二、简谐振动的旋转矢量表示法
1.简谐振动与匀速圆周运动
匀速圆周运动在x轴上的投影 (或分运动)为简谐振动:
由题设T= 2 s,则 2 , A= 0.12 m
由初条件 x0 = 0.06 m,Tv0 0
得
3
3
简谐振动的表达式为
藤蔓课堂
6
例6-2. 如图所示,倔强系数为 8×103N·m-1的轻
质弹簧一端固定于A,另一端系一质量为
M=4.99kg的木块静止于水平光滑桌面上。 质量 m=0.01kg的子弹以水平速度v =103 m·s-1 射入
x Acos(t )
31.4
v A sin(t )
15.7
vm cos(t 2) vm A 31.4cms 1
0 15.7
31.4
1
t(s)
v的旋转矢量 与v轴夹角表
t
由图知
示t 时刻相位
2
1 s1
A vm 31.4 10cm 3.14
2
23
解 设简谐振动方程为
x
t= 1s
x (cm) 2
A
x0 = A/2,v0 0
O
A
t=0
1
1 O
1 t (s)
v0
2
由旋转矢量表示法
v0 0
角频率的计算:t = 1s 时,对应图示的旋转矢量。
旋转矢量以 匀角速由t = 0 到t = 1s 转过了4/3
t 4 3 t =1s 4藤3蔓课堂
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