VAR和SVAR及其在宏观经济政策中的一些应用要点

暑期实习读书报告

SVAR及其在宏观经济政策中的一些应用

谢泽林（清华大学数学科学系2002级）

指导老师：杨晓光研究员

（中国科学院管理、决策与信息系统重点实验室）

SVAR 及其在宏观经济政策中的一些应用

谢泽林（清华大学数学科学系2002级学生）

指导老师： 杨晓光 研究员

（中国科学院管理、决策与信息系统重点实验室）

[摘要]：本文介绍VAR 和SVAR 的基本模型、脉冲响应分析和估计方法，并介绍了其在宏观经济政策中的一些应用，以及软件实现。 [关键词]：VAR SVAR 脉冲响应分析 估计

一、 VAR 与SVAR

时间序列分析是现代计量经济学的重要组成部分，而向量自回归（V AR ）和结构式向量自回归（Structural V AR ）是时间序列分析的重要内容。时间序列分析是近二三十年发展起来的经济计量技术。过去人们热衷于运用大规模的结构联立方程组进行经济分析，后来计量经济学家渐渐发现这样的分析一方面往往忽视解释变量可能存在的内生性，另一方面也不能把握应变量和解释变量之间的互相动态影响。而向量自回归模型在这方面提供了一个很好的分析工具，很适合于研究各种变量之间的关系，尤其是动态关系。

向量自回归在分析经济系统的动态性方面的广泛应用应归因于Sims 的有影响的工作。

（一）．VAR

1．VAR 的基本模型

一般的p 阶向量自回归模型（V AR （p ））的数学表达式是

1122t t t p t p t y c y y y ε---=+Φ+Φ++Φ+ （1）

这里c 表示（1n ⨯）的常向量，j Φ是自回归系数的一个（n n ⨯）矩阵，j=1，2，…，p 。

在上述模型中的下面假设：

（1） 向量过程t y 是平稳（协方差平稳）的； （2） 随机残差向量t ε是白噪声的（见下）；

t y 的各分量均满足平稳性条件（详见下述），1n ⨯的向量t ε是白噪声的一个向量推广：

()0t E ε=，,()0,

t E τεεΩ⎧⎪=⎨⎪⎩ t t τ

τ=≠

其中Ω是一个n n ⨯的对称正定矩阵。

一个向量自回归就是这样一个系统：系统中每一个变量对常数项和它自身的p 阶滞后值，同时也对其他变量的p 阶滞后值进行回归。注意每一个回归，其解释变量都一样。

运用滞后算子，（1）式可以写成

1212[]p p t t I L L L y c ε-Φ-Φ--Φ=+， 即 ()t t L y c εΦ=+

这里()L Φ表示滞后算子L 的一个（n n ⨯）矩阵多项式。

一个向量过程t y 被称为协方差平稳，如果其一阶矩()t E y 和二阶矩()t t j E y y -与t 是无关的。如果过程是协方差平稳的，则我们可以对（1）式取期望得

12p c μμμμ=+Φ+Φ+

+Φ

于是112()p I c μ-=-Φ-Φ-

-Φ，

（1）式就可以写成矩均值的离差的形式： 1122()()()t t t p t p t y y y y μμμμε----=Φ-+Φ-+

+Φ-+

定义，

11t t t t p y y y μμξμ--+-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，2

11000000000p p n n n I F I I -ΦΦΦΦ⎛⎫

⎪

⎪ ⎪= ⎪

⎪

⎪⎝

⎭

，00t t V ε⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

这样可以把VAR （p ）写成V AR （1）的形式：

1t t t F V ξξ-=+ （2） 其中，'

,()0,t Q E VV τ

⎧⎪=⎨⎪⎩ t t ττ

=≠，且0

0000000000Q Ω⎛⎫

⎪ ⎪

⎪= ⎪

⎪ ⎪⎝

⎭

由（2）式有，

21121s s t s t s t s t s t t V FV F V F V F ξξ-+++-+-+=+++

++

于是，上述向量系统的前n 列有，

1122111111()()()()

s s t s t s t s t s s t t p t p Y F Y F Y μεεεεμμ+++-+--+-+=++ψ+ψ++ψ+-++-这里11()j j F ψ=，11()j F 表示j F （矩阵F 的j 次方）的左上n n ⨯矩阵，即j

F 的第1到

n 行和第1到n 列的公共部分。类似的，12()j F 表示j

F 的第1到n 行和第n+1到2n 列的

公共部分，1()j p F 表示j

F 的第1到n 行和第n （p--1）+1到np 列的公共部分。

如果F 的特征值都落在单位圆之内，则此V AR 为协方差平稳，新息t ε将最终消失。当

s →∞时，0s F →，则t y 可以表示成ε的历史值的收敛之和

1122()t t t t t y L μεεεμε--=++ψ+ψ+

≡+ψ

上式是向量()MA ∞表示。

显然，由上式对任意的0j ≥，1t ε+与t j y -不相关。应此基于1,,t t y y -的1t y +预测由下

式给出：12111ˆ()()()t t p t p t t y y y y μμμμ--++=+Φ-+Φ-++Φ-

2．VAR 模型的估计

（1）、非限制性向量自回归的最大似然估计

假定...(0,)t

i i d N εΩ，最简单的方法是以前p 个观察值为条件，记作120(,,

,)p p y y y -+-+，然后根据后T 个观察值形成估计12(,,

,)T y y y ，目标是形成条件似

然

1101

,,

,11021,,(,,,,,,;)t t p Y Y T T p p Y Y Y f y y y y y y θ--+--+-+

并对θ求最大值，这里θ是包含12,,,,p c ΦΦΦΩ和中元素的向量。

以直到1t -期的y 值为条件的t 期y 值等于一个常数加一个(0,)N Ω，因此

1211122,,,(,)t t t p t t p t p y y y y N c y y y ---+---+Φ+Φ++ΦΩ

设111t t t t p y x y y ---⎡⎤

⎢⎥⎢⎥

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，12,,,,,p c '⎡⎤∏=ΦΦΦ⎣⎦，则上式可紧凑地写成

121,,

,(,)t t t p t y y y y N x ---+'∏Ω

因此，第t 个观察值的条件密度为

111112

2

|,,1211

(|,,

,;)(2)

exp[()()()]

2

t t p n

Y Y Y t t t p t t t t f y y y y y x y x θπ--+-

-----+'''=Ω

--∏Ω-∏而1101

,,

,11021,,(,,,,,,;)t t p Y Y t t p p Y Y Y f y y y y y y θ--+--+-+=