马尔科夫及切比雪夫不等式的证明

马尔可夫与切比雪夫不等式及其等号成立的条件
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丁永臻1 黄志敏2(1.中国石油大学(华东)数学学院 山东东营 257061;
2.东营市技术学院基础部 山东东营 257097)摘要 用现代概率论方法证明马尔可夫和切比雪夫不等式,并给出其等号成立的充要条件.
关键词 马尔可夫不等式,切比雪夫不等式,概率,随机变量 中图分类号 O 211
本文用现代概率论方法,证明马尔可夫不等式与切比雪夫不等式,特别是给出两个不等式等号成立的充要条件,这在流行的概率统计教科书中是没有的.结果的证明主要依赖下面的引理.
引理 设Y 是样本空间)上的随机变量,P (Y ≥0)=1,则E (Y )=0当且仅当P (Y =0)=0.证明 记I A 为集合A 的示性函数.
若P (Y =0)=1,则P (Y 40)=0,P (Y <0)=0,于是,E (Y )=E (Y I {Y 40}+Y I {Y =0}+Y I {Y <0
})=0+0+0=0.反之,若P (Y ≥0)=1,E (Y )=0,则必有P (Y =0)=1.否则,P (Y 40)40,由概率的连续性及{Y 40}=9∞
n =1{Y 41n },得P (Y 40)=l i m n :∞P (Y 41n
),因而存在n 0∈\,P (Y 41n 0)40,E (Y )≥E (1n 0I {Y 41n 0})=1n 0P (Y 41n 0
)40,与假设E (Y )=0矛盾.定理1 (马尔可夫(M a r k o v
)不等式)设Y 是样本空间)上的非负随机变量且有有限期望,则;(40,P (Y ≥()≤E (Y )(
.其中等号成立当且仅当P (Y ∈{0,(})=1.证明 注意到I {Y ≥(}≤Y (
,两边取期望,由E (I A )=P (A ),即得不等式成立.记Y =Y (
-I {Y ≥(},则Y ≥0,P (Y ≥0)=1.结论中等号成立等价于E (Y )=0,由引理,E (Y )=0等价于P (Y =0)=1,等价于P (Y =(I {Y ≥(
})=1,等价于P (Y ∈{0,(})=1.证毕.定理2 (切比雪夫(C h e b y
s h e v )不等式)设Y 是样本空间)上的随机变量,有有限期望*和方差+2,则;(40,P (|Y -*|≥()≤+2(
2.其中等号成立当且仅当存在p ∈[0,1],使P (Y =*-()=(1-p )/2,P (Y =*)=p ,P (Y =*+()=(1-p )/2.
证明 记Y =(Y -*)2,则Y ≥0,E (Y )=+2有限.
应用马尔可夫不等式有,P (|Y -*|≥()=P (Y ≥(2)≤E (Y )(2=+2(2.不等式得证.等号成立的充分性易于验证.下证必要性.如果P (|Y -*|≥()=+2(2,则有P (Y ≥(2)=+2(
2,由马尔可夫不等式等号成立的条件得P (Y ∈{0,(2})=1,即P (Y ∈{*-(,*,*+
(})=1.记P (Y =*)=p ,则P (Y ∈{*-(,*+(
})=1-p ,再注意到E (Y )=*,则必有P (Y =*-()=P (Y =*+()=(1-p )/2.
证毕.注 显然,要使马尔可夫与切比雪夫不等式中的等号对所有的(40都成立,其充要条件是Y 为单点分布,即P (Y =*)=1.5
2V o l .9,N o .4J u l .,2006 高等数学研究S T U D I E S I NC O L L E G E MA T H E MA T I C S *收稿日期:2004-06-28。