专题训练：用反比例函数系数k的几何意义解与面积相关问题(含答案)
苏科版 八年级下册 第十一章《反比例函数》K值几何意义专题训练(二)(有答案)
八下第十一章《反比例函数》K值几何意义专题训练（二）班级：___________姓名：___________ 得分：___________一、选择题(k>0)的图象中，阴影部分的面积不等于k的是()1.在反比例函数y=kxA. B.C. D.2.如图，A，B两点在双曲线y=4上，分别经过A，B两点x向x轴，y轴作垂线段，若图中阴影部分的面积为1，则S1与S2的大小比较是()A. S1>S2B. S1<S2C. S1=S2D. 无法确定(k≠0)的图象上，PA⊥x轴于点A，△PAO的面积3.如图，点P在反比例函数y=kx为2，则k的值为（）A. 1B. 2C. 4D. 64.在反比例函数y=4的图象上，阴影部分的面积不等于4的是()xA. B.C. D.5.以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，且AD//x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线y=3经过点D，则正方形ABCD的面积是()xA. 10B. 11C. 12D. 13(k>0)的图象6.如图所示，直线l和反比例函数y=kx的一支交于A，B两点，P是线段AB上的点(不与A，B重合)，过点A，B，P分别向x轴作垂线，垂足分别是C，D，E，连接OA，OB，OP，设△AOC面积是S1，△BOD面积是S2，△POE面积是S3，则()A. S1<S2<S3B. S1>S2>S3C. S1=S2>S3D. S1=S2<S37.如图，反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C.若△ABC的面积是4，则这个反比例函数的解析式为()A. y=2x B. y=4xC. y=8xD. y=16x8.如图，两个反比例函数y=1x 和y=−2x的图象分别是l1和l2.设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则三角形PAB的面积为()A. 3B. 4C. 92D. 59.如图，点A在双曲线y=1x 上，点B在双曲线y=3x上，且AB//y轴，C，D在y轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为()A. 1.5B. 1C. 3D. 210.两个反比例函数y=kx 和y=1x在第一象限内的图象如图所示，点P在y=kx的图象上，PC⊥x轴于点C，交y=1x 的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y=1x的图象于点B，当点P在y=kx的图象上运动时，以下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A 是PC的中点时，点B一定是PD的中点．其中一定正确的是()A. ①②③B. ②③④C. ①②④D. ①③④二、填空题(k≠0)的图11.如图(图象在第二象限)，若点A在反比例函数y=kx象上，AM⊥x轴于点M，△AMO的面积为5，则k=______．12.如图，点D为矩形OABC的AB边的中点，反比例函数y=k(x>0)的图象经过点D，交BC边于点E.若△BDE的面积为x1，则k=______．(x>0)图13.如图，在平面直角坐标系中，点A是函数y=1x(x>0)的象上一点，过点A作x轴的平行线，交函数y=kx图象于点B，连结OA、OB.若△OAB的面积为1，则k的值2为______．14.如图，矩形ABCD中，E是AC的中点，点A、B在x轴(x>0)的图象过D、E两点，则矩形ABCD上．若函数y=4x的面积为________．(x>0)的图象上任意一点，15.如图，点A是反比例函数y=2xAB//x轴交反比例函数y=−3的图象于点B，以AB为边作P平行四边形ABCD，x其中C、D在x轴上，则S□ABCD为16.如图，点A，B是反比例函数y=kx(x>0)图象上的两点，过点A，B分别作AC⊥x 轴于点C，BD⊥x轴于点D，连接OA，BC.已知点C(2,0)，BD=2，S△BCD=3，则S△AOC=____．17.如图，A(a,b)、B(1,4)(a>1)是反比例函数y=kx(x>0)图象上两点，过A、B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E、F，AE、BD交于点G.则四边形ACDG的面积随着a的增大而______ .(填“减小”、“不变”或“增大”)三、解答题18.如图，反比例函数y=kx(x>0)的图象过格点(网格线的交点)P．(1)求反比例函数的解析式；(2)在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形(不写画法)，要求每个矩形均需满足下列两个条件：①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P；②矩形的面积等于k的值．19.如图，两个反比例函数y=kx 和y=2x在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P(1,4)在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B(1,m)，求k，m的值及△POB的面积．20.已知反比例函数y=w+3的图象的一支位于第一象限．x(1)判断该函数图象的另一支所在的象限，并求w的取值范围；(2)点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，点C与点A关于原点O对称，若△ABC的面积为4，求w的值．21.如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上，OA=8，OC=4，点D是BC的四等分点．且CD<BD，反比例函数y=k(x>0)的图象经过点D，交AB于点E，连接OE、OB．x(1)求反比例函数的解析式；(2)求△BOE的面积．22.小明在研究矩形面积S与矩形的边长x，y之间的关系时，得到下表数据：x0.51 1.5234612y12643210.5结果发现一个数据被墨水涂黑了(1)被墨水涂黑的数据为______．(2)y与x之间的函数关系式为______，且y随x的增大而______．(3)如图是小明画出的y关于x的函数图象，点B、E均在该函数的图象上，其中矩形OABC的面积记为S1，矩形ODEF的面积记为S2，请判断S1和S2的大小关系，并说明理由．(4)在(3)的条件下，DE交BC于点G，反比例函数y=2的图象经过点G交AB于点xH，连接OG、OH，则四边形OGBH的面积为______．(k1>0,x>0)交于点A，与y轴交于点C．23.平行于x轴的直线与函数y=k1x(1)若k1=10，点C的坐标为(0,5)，求点A的坐标；(k2>0,x>0)交于点B，如图所示，且△ABO的面积为(2)若该直线与函数y=k2x4，求k1−k2的值．答案和解析1.B解：A.图形面积为k，B.阴影是梯形，面积为2k，C.D面积均为两个三角形面积之和，为2×(12|k|)=k．2.C解：∵点A、B是双曲线y=4x上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，∴S1+S阴影=S2+S阴影=|k|=4，∴S1=S2．3.C解：依据比例系数k的几何意义可得，△PAO的面积=12|k|，即12|k|=2，解得，k=±4，由于函数图象位于第一、三象限，故k=4，4.B解：∵y=4x，∴k=4．A.图形面积为k=4，不符合题意；D.阴影是梯形，面积为2k=8，符合题意；|k|)=k=4．C.D面积均为两个三角形面积之和，为2×(125.C解：∵双曲线y=3经过点D，x∴第一象限的小正方形的面积是3，又∵正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点；∴正方形ABCD的面积是3×4=12．6.D上，解：∵点A在y=kx∴S△AOC=1k，2∵点P在双曲线的上方，k，∴S△POE>12∵点B在y=k上，xk，∴S△BOD=12∴S1=S2<S3．7.B解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，∴A、B两点关于原点对称，∴OA=OB，∴△BOC的面积=△AOC的面积=4÷2=2，图象上的点，且AC⊥x轴于点C，又∵A是反比例函数y=kx|k|，∴△AOC的面积=12∴1|k|=2，2∵k>0，∴k=4．故这个反比例函数的解析式为y=4x．8.C解：∵点P在y=1x上，∴|x p|×|y p|=|k|=1，∴设P的坐标是(a,1a)(a为正数)，∵PA⊥x轴，∴A的横坐标是a，∵A在y=−2x上，∴A的坐标是(a,−2a)，∵PB⊥y轴，∴B的纵坐标是1a，∵B在y=−2x上，∴代入得：1a =−2x，解得：x=−2a，∴B的坐标是(−2a,1a)，∴PA=|1a −(−2a)|=3a，PB=|a−(−2a)|=3a，∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，x轴⊥y轴，∴PA⊥PB，∴△PAB的面积是：12PA×PB=12×3a×3a=92．9.D解：如图，延长BA交x轴于点E．∵AB//y轴，四边形ABCD为矩形，∴四边形AEOD、DBEOC都是矩形．∵点A在双曲线y=1x上，∴矩形AEOD的面积为1，∵点B在双曲线y=3x上，∴矩形BEOC的面积为3，∴矩形ABCD的面积为3−1=2．10.C解：由反比例函数系数k的几何意义判断各结论：①△ODB与△OCA的面积相等；正确，由于A、B在同一反比例函数图象上，则两三角形面积相等，都为12；②四边形PAOB的面积不会发生变化；正确，由于矩形OCPD、三角形ODB、三角形OCA为定值，则四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；错误，不一定，只有当四边形OCPD为正方形时满足PA=PB；④连接OP，点A是PC的中点，则△OAP和△OAC的面积相等，∵△ODP的面积=△OCP的面积=k2，△ODB与△OCA的面积相等，∴△OBP与△OAP的面积相等，∴△OBD和△OBP面积相等，∴点B一定是PD的中点．故一定正确的是①②④．11.−10解：因为△AMO的面积为5，所以|k|=2×5=10．又因为图象在二，四象限，k<0，所以k=−10．12.4解：设D(a,ka)，∵点D为矩形OABC的AB边的中点，∴B(2a,ka)，∴E(2a,k2a)，∵△BDE的面积为1，∴12⋅a⋅(ka−k2a)=1，解得k=4．解：延长BA交y轴于点D，如图所示．(x>0)图象上一点，∵点A是函数y=1x∴S△AOD=1，2∴S△BOD=S△AOD+S△OAB=1．∵点B在函数y=k在第一象限的图象上，x∴k=2S△BOD=2．14.8解：如图，过E作EF⊥AB于F，∵点E是矩形ABCD对角线的交点∴AE=CE，∴EF是△ABC的中位线，∴AD=2EF，(x>0)上，设点D的横坐标为m，且点D在反比例函数y=4x)，∴D点坐标为(m,4m∴AD=4，m∴EF=2，m∴F(2m,2)，m∴AF=m，∴AB=2m，=8．∴矩形ABCD的面积=2m⋅4m解：设点A的纵坐标为b，所以，2x=b，解得x=2b，∵AB//x轴，∴点B的纵坐标为−3x=b，解得x=−3b，∴AB=2b −(−3b)=5b，∴S▱ABCD=5b⋅b=5．16.5解：∵BD⊥CD，BD=2，∴S△BCD=12BD⋅CD=3，即CD=3，∵C(2,0)，即OC=2，∴OD=OC+CD=2+3=5，∴B(5,2)，代入反比例解析式得：k=10，即y=10x，则S△AOC=5，17.增大解：∵A(a,b)、B(1,4)(a>1)是反比例函数y=kx(x>0)图象上两点，∴k=ab=1×4=4，∴b=4a．∵过A、B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E、F，AE、BD交于点G，∴四边形ACDG是矩形，∴矩形ACDG的面积=矩形ACOE的面积−矩形ODGE的面积=ab−1⋅b=4−4a，∵a增大时，4a 减小，4−4a增大，∴四边形ACDG的面积随着a的增大而增大．18.解：(1)∵反比例函数y=kx(x>0)的图象过格点P(2,2)，∴k=2×2=4，∴反比例函数的解析式为y=4x；(2)如图所示：矩形OAPB、矩形OCDP即为所求作的图形．19.解：把P(1,4)代入y=kx得k=1×4=4，把B(1,m)代入y=2x得m=2，S△POB=S△POA−S△BOA=12×|4|−12×|2|=1．20.解：(1)∵反比例函数y=w+3x的图象的一支位于第一象限．∴该函数图象的另一支所在的象限是第三象限，w+3>0，w>−3，即w的取值范围是w>−3；(2)设点A的坐标为(a,b)，∵点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，点C与点A 关于原点O对称，∴a>0，b>0，点B的坐标是(a,−b)，点C的坐标是(−a,−b)，∴BC=a−(−a)=2a，AB=b+b=2b，∵△ABC的面积为4，∴12×AB×BC=4，∴12×2a×2b=4，解得：ab=2，∵A点在反比例函数y=w+3x位于第一象限的图象上，∴w+3=2，解得：w=−1．21.解：(1)∵四边形OABC是矩形，∴BC=AO=8．∵点D是BC的四等分点，且CD<BD，∵CD=2，∵OC=4，∴D(2,4)，将点D(2,4)代人反比例函数y=kx中，得k=8．∴反比例函数的解析式为y=8x(x>0)；(2)∵点E在AB上，将x=8代入y=8x中，得y=1，∴点E的坐标为(8,1)，∴AE=1，BE=3，∴S△BOE=12BE⋅OA=12×3×8=12．22.(1)1.5；(2)y=6x，减小．(3)S1=OA⋅OC=k=6，S2=OD⋅OF=k=6，∴S1=S2；(4) 4．解：(1)从表格可以看出xy=6，∴墨水盖住的数据是1.5；故答案为1.5；(2)由xy=6，得到y=6x，y随x的增大而减少；故答案为y=6x；减少；(3)S1=OA⋅OC=k=6，S2=OD⋅OF=k=6，∴S1=S2；(4)∵S四边形OCBA =OA⋅OB=6，S△OCG=12OD⋅OC=12×2=1，S△OAH=12OA⋅AH=12×2=1，∴S四边形OGBH =S四边形OCBA−S△OCG−S△OAH=6−1−1=4；23.解：(1)设点A坐标为(a,b)，∵AC//x轴，点C的坐标为(0,5)，∴b=5，又∵点A在反比例函数y=10x的图象上，∴5=10a，a=2，∴点A的坐标为(2,5)；(2)由反比例函数k的几何意义，知，，∴S△ABO=S△OBC−S△AOC=k22−k12=k2−k12，，∴k2−k12=4，∴k1−k2=−8。
专题01 用几何意义探究反比例函数中k值问题的多种解法(解析版)
专题01 用几何意义探究反比例函数中k 值问题的多种解法如图，反比例函数k y x =（k >0），A 、C 是第一象限上两点，S △OAB =S △OCD =2k ；S △OAC =S 梯形ABDC 在已知面积或比例线段解答反比例函数的问题中，善于利用k 与面积的关系，往往可以事半功倍．典例1．知面积比值，求k 值（2022•山东聊城中考真题）如图，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与y 轴交于点B ，过双曲线上的一点C 作x 轴的垂线，垂足为点D ，交直线于点E ，且．()30y px p =+¹()0k y k x=>()2,A q 3y px =+:3:4AOB COD S S =△△(1)求k ，p 的值；(2)若OE 将四边形BOCE 分成两个面积相等的三角形，求点C 的坐标．【答案】(1)，；(2)点C 的坐标为(4，2)【解析】【方法一】坐标法（1）解：∵直线与y 轴交点为B ，∴，即．∵点A 的横坐标为2，∴．∵，∴△COD 的面积为4，设，∴，解得．∵点在双曲线上，∴，把点代入，得，∴，；8k =12p =3y px =+()0,3B 3OB =13232AOB S =´´=V :3:4AOB COD S S =△△,k C m m æöç÷èø142k m m×=8k =()2,A q 8y x=4q =()2,4A 3y px =+12p =8k =12p =（2）解：由（1）得8,C m m æöç÷èø，∴．∵OE 将四边形BOCE 分成两个面积相等的三角形，∴，∵32BOE S m =△，，∴，解得或（不符合题意，舍去），∴点的坐标为（4，2）．【方法二】k 的几何意义法解：（1）由题意知，△ABO 的面积为3，又，得：△OCD 的面积为4，故k =2S △OCD =8，所以，A （2,4），把点代入，得（2）如图，过A ，E 作y 轴垂线，垂足为M ，N则四边形ODEN 为矩形，所以，S △OEN =S △OED ，又S △OBE =S △OCE ，所以S △BEN =S △OCD =4，1,32E m m æö+ç÷èøBOE COE S S =△△13422COE m S m æö=+-ç÷èø△3134222m m m æö=+-ç÷èø4m =4m =-C :3:4AOB COD S S =△△()2,4A 3y px =+12p =所以S △ABM =1，∵AM ∥NE ，∴△ABM ∽△EBN ，其面积比为1:4，∴AM ：NE =1:2，即NE =4，∴C 点坐标为（4,2）典例2．知比例线段，求k 值（2022•贵州铜仁中考真题）如图，点A 、B 在反比例函数k y x=的图象上，AC y ^轴，垂足为D ，BC AC ^．若四边形AOBC 的面积为6，12AD AC =，则k 的值为_______．【答案】3．【解析】【方法一】坐标法设点,k A a a æöç÷èø，∵AC y ^轴，∴AD a =，k OD a =，∵12AD AC =，∴AC 2a =，∴CD =3a ，∵BC AC ^．AC y ^轴，∴BC ∥y 轴，∴点B 3,3æöç÷èøk a a ，∴233k k k BC a a a=-=，∵AOD AOBC OBCD S S S =+V 四边形梯形，四边形AOBC 间面积为6，∴12136232k k a k a a æö+´=+ç÷èø，解得：3k =．【方法二】k 的几何意义法如图，连接OC ，延长CB 交x 轴于E ，则S △AOD =S △BOE =12k ，因为AD ：AC =1:2，所以S △AOC =2S △AOD =k ，S △BOC =6-k ，又四边形DOEC 为矩形，OC 为对角线，所以，S △COD =S △COE ，所以12k +k =6-k +12k ，解得：k =3．典例3．知面积值，求k 值（2022•内蒙古呼伦贝尔中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB △的直角顶点B 在x 轴的正半轴上，点O 与原点重合，点A 在第一象限，反比例函数k y x=（0x >）的图象经过OA 的中点C ，交AB 于点D ，连接CD ．若ACD △的面积是1，则k 的值是_________．【答案】43．【解析】【方法一】坐标法解：设C （m ，k m），因为C 为OA 中点，所以A （2m ，2k m），则D （2m ，2k m ），又△ACD 的面积为1，所以12122k k m m m æö×-=ç÷èø，解得：k =43【方法二】k 的几何意义法解：连接OD ，过C 作CE AB ∥，交x 轴于E ，∵∠ABO ＝90°，反比例函数k y x =（x ＞0）的图象经过OA 的中点C ，1ACD S =V ，∴12COE BOD S S k ==△△，1ACD OCD S S ==V V ，2OC =OA ，∵CE AB ∥，∴△OCE ∽△OAB ，∴221124OCE S OC S OA æöæö===ç÷ç÷èøèø△△O A B ，∴4OCE OAB ACD OCD OBD S S S S S ==++V V V V V ，∴1141122k k ´=++，∴k ＝43，故答案为：43．1.（2022•辽宁锦州中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△AOB 的边OB 在y 轴上，边AB 与x 轴交于点D ，且BD =AD ，反比例函数y =k x(x >0)的图像经过点A ，若S △OAB =1，则k 的值为___________．【答案】2．【解析】【方法一】坐标法解：设A(a，b) ，如图，作A过x轴的垂线与x轴交于C，则：AC=b，OC=a，AC∥OB，∴∠ACD=∠BOD=90°，∠ADC=∠BDO，∴△ADC≌△BDO，∴S△ADC=S△BDO，∴S△OAC=S△AOD+ S△ADC=S△AOD+ S△BDO= S△OAB=1，∴12×OC×AC=12ab=1，∴ab=2，∵A(a，b) 在y=kx上，∴k=ab=2 ．【方法二】k的几何意义法由上知，S△AOC=1，所以，k=2S△AOC=2故答案为：2．2.（2022•辽宁鞍山中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点．在Rt OAB V 中，90OAB Ð=°，边OA 在y 轴上，点D 是边OB 上一点，且:1:2OD DB =，反比例函数()0ky x x=>的图象经过点D 交AB 于点C ，连接OC ．若4OBC S =△，则k 的值为_________．【答案】1．【解析】【方法一】坐标法解：∵反比例函数()0k y x x=>的图象经过点D ，∠OAB ＝90°，∴D （m ，k m ），∵OD ：DB ＝1：2，∴B （3m ，3k m），∴AB ＝3m ，OA ＝3k m ，∴反比例函数()0k y x x =>的图象经过点D 交AB 于点C ，∠OAB ＝90°，∴12AOC S k =△，∵4OBC S △＝，∴4AOB AOC S S -△△＝，即1313422k m k m ´×-=，解得k ＝1【方法二】k 的几何意义法如图，过D 作DE ⊥x 轴，则DE ∥AB ，因为OD ：BD =1:2，所以DE ：AB =1:3，所以S △ODE ：S △OAB =1：9，又S △ODE =S △OAC =12k ，所以12k +4=92k ，解得：k =13.（2022•江苏南通中考真题）平面直角坐标系中，已知点是函数图象上的三点．若，则k 的值为___________．【答案】【解析】【方法一】坐标法解：∵点是函数图象上的三点，∴，，∴m ＝n ，∴，，∴点B 、C 关于原点对称，∴设直线BC 的解析式为，代入得：，解得：，∴直线BC 的解析式为，xOy (,6),(3,2),(3,2)--A m m B m n C m n (0)k y k x=¹2ABC S =△34(,6),(3,2),(3,2)--A m m B m n C m n (0)k y k x =¹260k m =>6k mn =(3,2)B m m (3,2)C m m --()0y kx k =¹(3,2)B m m 23m mk =23k =23y x =不妨设m ＞0，如图，过点A 作x 轴的垂线交BC 于D ，把x ＝m 代入得：，∴D （m ，），∴AD ＝，∴，∴，∴，而当m ＜0时，可得，故答案为：．【方法二】由题意知，S △OAB =12632m n m m ×-×，O 为BC 中点，因为所以，S △OAB =12632m n m m ×-×=1，即291mn m -=①，又632m m m n k ×=×=②，23y x =23y m =23m 216633m m m -=()11633223ABC S m m m =´×+=V 218m =2136684k m ==´=34k =342ABC S =△由①②可得：4.（2022•湖北十堰中考真题）如图，正方形ABCD 的顶点分别在反比例函数()110k y k x=>和()220k y k x =>的图象上．若BD y ∥轴，点D 的横坐标为3，则12k k +=（ ）A ．36B ．18C ．12D ．9【答案】B ．【解析】【方法一】解：连接AC ，与BD 相交于点P ，设PA =PB =PC =PD =t （t ≠0）．∴点D 的坐标为（3，23k ），∴点C 的坐标为（3-t ，23k +t ）．∵点C 在反比例函数y =2k x 的图象上，34k=∴（3-t ）（23k +t ）=k 2，化简得：t =3-23k ，∴点B 的纵坐标为23k +2t =23k +2（3-23k ）=6-23k ，∴点B 的坐标为（3，6-23k ），∴3×（6-23k ）=1k ，整理，得：1k +2k =18．【方法二】先利用D 点坐标，表示出A 和C 点坐标，再根据四边形ABCD 为正方形，BD 与y 轴平行，知AC 平行于x 轴，那么，A 和C 点的纵坐标相等，进而求解23,3k D æöç÷èø，13,3k B æöç÷èø，122123,636k k k C k k æöç÷--ç÷-ç÷-èø，121123,636k k k A k k æöç÷-+ç÷-ç÷+èø所以2112123366k k k k k k =---+，整理得：()212212180k k k k ---=即()()1212108k k k k -+=-因为()120k k -¹所以()12018k k +-=，即1218k k +=5.（2022•黑龙江龙东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，平行四边形OBAD 的顶点B 在反比例函数3y x =的图象上，顶点A 在反比例函数k y x=的图象上，顶点D 在x 轴的负半轴上．若平行四边形OBAD 的面积是5，则k 的值是（ ）A ．2B ．1C ．1-D ．2-【答案】D ．【解析】解：设B点坐标为3,mmæöç÷èø，则A3,3kmmæöç÷èø，因为平行四边形OBAD的面积是5，所以353kmmmæö-×=ç÷èø，解得k=-2【方法二】解：如图，连接OA，设AB交y轴于点C，∵四边形OBAD是平行四边形，平行四边形OBAD的面积是5，∴1522AOB OBADS S==V Y，AB∥OD，∴AB⊥y轴，∵点B在反比例函数3yx=的图象上，顶点A在反比例函数kyx=的图象上，∴3,22 COB COAkS S==-V V，∴35222 AOB COB COAkS S S=+=-=V V V，解得：2k=-．故选：D．6.（2022•湖北黄石中考真题）如图，反比例函数kyx=的图象经过矩形ABCD对角线的交点E和点A，点B、C在x轴上，OCE△的面积为6，则k=______________．【答案】8．【解析】设C （m ，0），由题意知E 为AC 中点，因为△OCE 面积为6，所以E 点纵坐标为12m，所以E 12,12km m æöç÷èø，A 24,6km m m æö-ç÷èø，又A 在反比例函数图像上所以246km m k mæö-×=ç÷èø解得k =8【方法二】解：如图作EF ⊥BC ，则12EF AB =，设E 点坐标为（a ，b ），则A 点的纵坐标为2b ，则可设A 点坐标为（c ，2b ），∵点A ，E 在反比例函数k y x=上，∴ab =k =2bc ，解得：a =2c ，故BF =FC =2c -c =c ，∴OC =3c ，故113622OEC S OC EF c b =´´=´´=V ，解得：bc =4，∴k =2bc =8，故答案为：8．7.（2022•贵州六盘水中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点．y x =4y x=A B(1)求，两点的坐标；(2)将直线向下平移个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，若，求的值．【答案】(1)；(2)【解析】（1）解：联立与，解得，；（2）【方法一】解：如图，过点作轴于点，A B y x =a C x D y E 13CD DE =a ()()2,2,2,2A B --3a =y x =4y x=121222,22x x y y ==-ììíí==-îî()()2,2,2,2A B \--C CF y ^F，，，直线向下平移个单位长度得到，根据图象可知,令，得，令，得，，，，，与反比例函数在第一象限的图象交于点，，将代入，得，解得或（舍去）．【方法二】CF OD \∥Q 13CD DE =13OF CD OE DE \==Q y x =a y x a =-0a >0x =y a =-0y =x a =()0,E a \-(),0D a 10,3F a æö\ç÷èø13c y a \=Q y x a =-4y x=C 41213c x aa \==121,3C a a æöç÷èøy x a =-1123a a a=-3a =3a =-如图，连接OC ，过C 作CE ⊥x 轴，因为CD ：DE =1:3，CE ∥OE则△CDE ∽△EDO ，相似比为1:3，面积比为1:9，易知△ODE 面积为212a ，△OCE 的面积为12k =2，所以△OCD 的面积为2-2118a ，又△OCD 与△ODE 的面积比为1:3，所以2-2118a =21132a ´，解得：a =3或a =-3（舍）8.（2022•安徽中考真题）如图，平行四边形OABC 的顶点O 是坐标原点，A 在x 轴的正半轴上，B ，C 在第一象限，反比例函数1y x =的图象经过点C ，()0k y k x=¹的图象经过点B ．若OC AC =，则k =________．【答案】3．【解析】【方法一】设C 1,m m æöç÷èø，因为OC =AC所以A ()2,0m ，又OABC 为平行四边形所以B 13,m m æöç÷èø因为B 点在k y x =上，所以k =133m m ×=【方法二】解：过点C 作CD ⊥OA 于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，∴CD ∥BE ，∵四边形ABCO 为平行四边形，∴CB OA ∥ ，即CB DE ∥，OC =AB ，∴四边形CDEB 为平行四边形，∵CD ⊥OA ，∴四边形CDEB 为矩形，∴CD =BE ，∴在Rt △COD 和Rt △BAE 中，OC AB CD EB =ìí=î，∴Rt △COD ≌Rt △BAE （HL ），∴S △OCD =S △ABE ，∵OC =AC ，CD ⊥OA ，∴OD =AD ，∵反比例函数1yx=的图象经过点C，∴S△OCD=S△CAD=12，∴S平行四边形OCBA=4S△OCD=2，∴S△OBA=11 2OCBAS=平行四边形，∴S△OBE=S△OBA+S△ABE=13122+=，∴3232k=´=．故答案为3．。
2023年中考数学重难点专题练习-反比例函数系数k的几何意义(含答案)
2023年中考数学重难点专题练习-反比例函数系数k 的几何意义1．如图，点C 是反比例函数k y x=图象的一点，点C 的坐标为(4,)1-．(1)求反比例函数解析式；(2)若一次函数3y ax =+与反比例函数k y x=相交于A ，C 点，求点A 的坐标； (3)在x 轴上是否存在一个点P ，使得PAC △的面积为10，如果存在，求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由．2．如图，已知反比例函数k y x=（k 为常数，0k ≠）的图像经过第二象限内的点A ，过A 点作AB x ⊥轴，垂足为B ，AOB 的面积为1，A 的半径为1．(1)k =___________，当A 与x 轴相切时，A 点坐标为___________(2)点C 为y 轴上一动点，当AOB 为等腰直角三角形且AOC 面积为3时，求出点C 坐标．3．如图，已知反比例函数y ＝k x图象的一支经过点A （2，3）和点B （点B 在点A 的右侧），作BC ⊥y 轴，垂足为C ，连接AC ，AB ．(1)求反比例函数的解析式；(2)若⊥ABC 的面积为7，求B 点的坐标．4．如图，一次函数1y x =+与反比例函数k y x=的图象相交于2A m （，），B 两点，分别连接OA ，OB ．(1)求这个反比例函数的表达式(2)求AOB ∆的面积．5．如图，点A 为函数()>0k y x x=图象上的一点，过点A 作x 轴的平行线交 y 轴于点B ，连接OA ，如果AOB 的面积为2，求k 的值．6．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，Rt OAB ∆的直角顶点B 在x 轴的正半轴上，点A 在第一象限，反比例函数(0)k y x x =>的图象经过OA 的中点C ．交AB 于点D ，连结CD ．若ACD ∆的面积是43，则k 的值是_____．7．如图，已知反比例函数1m y x =和一次函数2y kx b =+的图像交于点()3,,621A B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，两点．(1)求m 、n 的值；(2)连接OA OB 、，求AOB 的面积．8．如图，一次函数()20y kx k k =-≠的图象与反比例函数1(10)m y m x-=-≠的图象交于点C ，与x 轴交于点A ，过点C 作CB y ⊥轴，垂足为B ，若3ABC S =△．（1）求点A 的坐标及m 的值；（2）若AB =9．如图，已知一次函数1y kx b =+与反比例函数2k y x=的图象交于第一象限内的点(16)A ，和(6)B m ，，与x 轴交于点C ，交y 轴于点D ．(1)分别求出这两个函数的表达式；(2)连接OA 、OB ，求AOB ∆的面积；(3)点P 为坐标平面内的点，若点O ，A ，C ，P 组成的四边形是平行四边形，请直接写出点P 的坐标．10．如图，直线2y x =-+与反比例函数k y x=（0k ≠）的图象交于(),3A a ，()3,B b 两点，过点A 作AC x ⊥轴于点C ，过点B 作BD x ⊥轴于点D ．(1)求a 、b 的值及反比例函数的解析式；(2)若点P 在直线2y x =-+上，且ACP BDP SS =，请求出此时点P 的坐标．11．如图，点A 、B 分别在反比例函数11(0)k y x x =>和22(0)k y x x =>的图象上，线段AB 与x 轴相交于点P ．(1)如图⊥，若AB x ⊥轴，且||2||AP PB =，121k k +=．求1k 、2k 的值；(2)如图⊥，若点P 是线段AB 的中点，且OAB 的面积为2．求12k k -的值．12．如图，点P 在反比例函数6y x=第一象限的图象上，PA x ⊥轴于点A ，则OPA 的面积为___________．13．如图，Rt ⊥ABO 的顶点A 是双曲线k y x =与直线y ＝－x ＋（k ＋1）在第四象限的交点，AB ⊥x 轴于B ，且32ABO S ∆=．(1)求这两个函数的解析式；(2)求直线与双曲线的两个交点A 、C 的坐标和⊥AOC 的面积．14．如图，已知一次函数22y x =+的图像与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与反比例函数(0,0)k y k x x=>>的图像交于点C ，且2BC AB =，点(,1)E a 在反比例函数的图像上．(1)求反比例函数的表达式；(2)若直线EC 交y 轴于点D ，求BCD △的面积．15．如图，一次函数(0)y kx b k =+≠与反比例函数m y x=(0m ≠，0)x >的图象交于(1,6)A ，(3,)B n 两点，AE x ⊥轴于点E ，BC x ⊥轴于点C ．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)根据图象直接写出+kx b >m x(0)x >时的x 的取值范围； (3)求AOB 的面积．16．如图，一次函数()10y k x b k =+≠与反比例函数()20k y x x =>的图像交于()1,6A ，()3,B m 两点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式：(2)根据图象直接写出21k k x b x +<时，x 的取值范围： (3)求AOB 的面积．17．如图，反比例函数1(0)k y x x =>的图像与一次函数2y ax b =+的图像交于A （1，m ），B （3，n ）两点，过点A 作AC 垂直于x 轴于点C ， 3.OAC S ∆=(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)当12y y >时，求x 的取值范围．参考答案：1．(1)4y x=-； (2)()14-，； (3)存在，P 点的坐标为()1,0-或()7,0．2．(1)2-，()2,1-；(2)(或(0,-．3．(1)6y x =； (2)209(,)310B4．(1)2y x =； (2)32 ．5．46．1697．(1)6m =，4n = (2)454AOB S =△8．（1）（2，0），m =-5；（2）2455y x -=+ 9．(1)6y x=，7y x =-+ (2)352 (3)点P 的坐标为：(86)，，(66)-，，(66)-，10．(1)a =-1，b =-1，3y x=- (2)()0,2P 或()3,5-11．(1)12k =，21k =-；(2)124k k -=．12．313．(1)3y x=-，y =-x -2 (2)A （1，-3），C （-3，1），Δ4AOC S =14．(1)12(0)y x x=> (2)515．(1)6y x =，28y x =-+ (2)13x <<(3)816．(1)28y x =-+，6y x=(2)01x <<或3x >(3)817．(1)反比例函数关系式为16y x =，一次函数的关系式为228y x +＝- (2)0＜x ＜1或x ＞3。
专题训练(10)反比例函数中k的几何意义(含答案)
专题训练（十）反比例函数中k的几何意义（本专题部分习题有难度，请根据实际情况选做）一一31 .如图，在平面直角坐标系中，点A是双曲线y = -（x > 0）上的一个动点，过点A作x轴的垂线，交x轴于点B,X点A运动过程中△AOB的面积将会（)A . 逐渐增大B .逐渐减小C.先增大后减小 D .不变.2 •如图，过反比例函数y= X2（x >0）图象上任意两点A, B分别作x轴的垂线，垂足分别为C, D,连接OA OB设AC与0B的交点为AOE与梯形ECDB勺面积分别为S, S,比较它们的大小，可得（）A . S i > S2B . S i v S2C . S i = S2D . S i、S2的大小关系不能确定k3. （鄂州中考）点A为双曲线y = x（k丰0）上一点，B为x轴上一点，且△ AOE为等边三角形，△ AOB的边长为2,则k的值为（）A . 2 :3B . ± 2 3C. D . ± .34. 设P是函数y = 2■在第一象限的图象上的任意一点，点P关于原点的对称点为点P',过点P作PA平行于y轴,x过点P'作P' A平行于x轴，PA与P' A交于A点，侧厶PAP的面积（）A .随P点的变化而变化B .等于1C .等于2D .等于4k5. 如图，点A是反比例函数y = -图象上的一点，过点A作AB丄x轴，垂足为点B,点C为y轴上的一点，连接AC,xBC.若厶ABC的面积为3，贝U k的值是（）A . 3B . —3C . 6D . —6k （黔西南中考）如图，点A 是反比例函数y =-图象上的一个动点，过点A 作AB 丄x 轴，ACL y 轴，垂足点分别为 XC,矩形ABOC 的面积为4,贝y k = ______ . 4 （临沂中考）如图，反比例函数 y = -的图象 经过直角厶OAB 的顶点A, D 为斜边OA 的中点，则过点 D 的反比例函 X数的表达式为 _________ .一 一 69.如图，矩形ABCD 的边AB 与y 轴平行，顶点 A 的坐标为（1 , 2），点B 与点D 在反比例函数y = -（x > 0）的图象上, X则点C 的坐标为 _________ .的面积为2,贝U k 的值是11.（资阳中考）如图，在平面直角坐标系中，点 M 为x 轴正半轴上一点，过点 M 的直线I // y 轴，且直线I 分别与B 、 4 y =-的图象交于A, 8. 10.（铁岭中考）如图，点P 是正比例函数7.B 两点，则四边形 MAOB 勺面积为 y 轴的垂线与反比例函数 PAL OP 交x 轴于点A , △ POA求k 和m 的值.ii y =-的图象于点A, PD 丄y 轴，垂足为D,交y = -的图象于点B.已知点A(m , 1)为线段PC 的中点. X—(1)求m 和k 的值； ⑵求四边形OAPB 的面积. 参考答案11. D2. C3. D4. D5. D6. — 47. 108. y = -9. (3 , 6) 10. 2 11. — 20 12.设点 A 的坐标为(—,y) . v— 1 1△ AOB 的面积为飞：3,「. 2凶 Tyl = 2同=1： 3.解得|k| = 2苓3又v k v 0,「. k = — 2 3.二反比例函数 表达式为y = .解得 m = 2.综上可知：k =— 2 \3, n = 2. 13. (1)把1 A(m, 1)代入y = -，得m= 1,二A 点坐标为(1 , 1) .v 点A(1 , 1)为线段PC 的中点，.••点 P 坐标为(1 , 2).把(1 , —k 1 2)代入y = -，得k = 1X 2= 2.(2) v 点P 坐标为(1 , 2) ,•••四边形 OCPD 勺面积为1 X 2= 2.又：公ODB 的面积为-, — 21 1 1 △ OAQ 的面积为§，•四边形 OAPB 的面积为2 — 2 — 2= 1.反比例函数y = 8(x > 0)和 y = X (x >0)的图象交于P 、Q 两点，若 &PO F 14,则k 的值为12.如图，已知反比例函数k y = x (k v 0)的图象经过点 A( — .'3, m),过点A 作AB 丄x 轴于点B ,且厶AOB 的面积为 13 .反比例函数y = f 和y = X (k 丰0)在第一象限内的图象如图所示，点k P 在 y =x 的图象上, 年3. v 反比例函数图象经过点 A( — , m),「. m=—三备。
专题65 反比例函数背景下的面积问题(解析版)-中考数学解题大招复习讲义
模型介绍一、反比例函数k 的几何意义1.反比例函数k 的几何意义：如图，在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为k 。
如图二，所围成三角形的面积为2k二、利用k 的几何意义进行面积转化1.如图，直线AB 与反比例函数k y x=（0k ≠）交于A 、B 两点，与x 、y 轴的交点分别为C 、D ，那么OAB OCD OBD OAC S S S S ∆∆∆∆=--，此方法是绝大部分学生选用的方法。
但是，从效率来讲，就比较低2.如图，过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，则根据k 的几何意义可得，OBF OAE S S ∆∆=，而OBF OAB OAE ABFE S S S S ∆∆∆+=+梯形，所以OAB ABFE S S ∆=梯形，此方法的好处，在于方便，快捷，不易出错。
例题精讲【例1】．如图，反比例函数y ＝在第一象限的图象上有两点A ，B ，它们的横坐标分别是2，6，则△AOB 的面积是8．解：如图所示：过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，∵反比例函数y ＝在第一象限的图象上有两点A ，B ，它们的横坐标分别是2，6，∴x ＝2时，y ＝3；x ＝6时，y ＝1，故S △ACO ＝S △OBD ＝3，S 四边形AODB ＝×（3+1）×4+3＝11，故△AOB 的面积是：11﹣3＝8．故答案为：8．变式训练【变1-1】．如图，点A在反比例函数（x＞0）的图象上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y轴于点C，若，△AOB的面积为12，则k的值为（）A．4B．6C．10D．12解：如图，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，∵OC∥AD，，∴，∴，k＞0，∴k＝12，故选：D．【变1-2】．如图，反比例函数y＝（k＞0）的图象与矩形ABCO的两边相交于E，F两点，＝4，则k的值为16．若E是AB的中点，S△BEF解：设E（a，），则B纵坐标也为，∵E是AB中点，∴F点坐标为（2a，），∴BF＝BC﹣FC＝﹣＝，＝4，∵S△BEF∴a•＝4，∴k＝16．故答案是：16．【例2】．如图，平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为6，4，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的面积为2，则k的值为12．解：解法一：过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，∵BC∥x轴，∴AE⊥BC，∵A，B两点在反比例函数y＝（x＞0）的图象，且纵坐标分别为6，4，∴A（，6），B（，4），∴AE＝2，BE＝﹣＝，∵菱形ABCD的面积为2，∴BC×AE＝2，即BC＝，∴AB＝BC＝，在Rt△AEB中，BE＝＝＝1，∴k＝1，∴k＝12．解法二：同理知：BE＝1，设A（a，6），则B（a+1，4），∴6a＝4（a+1），∴a＝2，∴k＝2×6＝12．故答案为12．变式训练【变2-1】．如图，点A、B在反比例函数y＝的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，连接OA、OB，则△OAB的面积是（）A．9B．8C．7D．6解：∵点A、B在反比例函数y＝的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，∴A（4，3），B（2，6），作AD⊥y轴于D，BE⊥y轴于E，＝S△BOE＝×12＝6，∴S△AOD＝S△AOD+S梯形ABED﹣S△BOE＝S梯形ABED，∵S△OAB＝（4+2）×（6﹣3）＝9，∴S△AOB故选：A．【变2-2】．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，函数y＝与y＝（a＞b＞0）在第一象限的图象分别为曲线C1，C2，点P为曲线C1上的任意一点，过点P作y轴的垂线交C2于点A，作x轴的垂线交C2于点B，则阴影部分的面积S△AOB＝a﹣．（结果用a，b表示）解：设B（m，），A（，n），则P（m，n），∵点P为曲线C1上的任意一点，∴mn＝a，＝mn﹣b﹣b﹣（m﹣）（n﹣）∴阴影部分的面积S△AOB＝mn﹣b﹣（mn﹣b﹣b+）＝mn﹣b﹣mn+b﹣＝a﹣．故答案为：a﹣．1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点B，C在x轴上，OC＝OB，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于1，则k的值为（）A．3B．2C．D．4解：作AE⊥BC于E，连接OA，∵AB＝AC，∴CE＝BE，∵OC＝OB，∴OC＝BC＝×2CE＝CE，∵AE∥OD，∴△COD∽△CEA，∴＝（）2＝4，∵△BCD的面积等于1，OC＝OB，＝S△BCD＝，∴S△COD＝4×＝1，∴S△CEA∵OC＝CE，＝S△CEA＝，∴S△AOC＝+1＝，∴S△AOE＝k（k＞0），∵S△AOE∴k＝3，故选：A．2．如图，OC交双曲线y＝于点A，且OC：OA＝5：3，若矩形ABCD的面积是8，且AB ∥x轴，则k的值是（）A．18B．50C．12D．解：延长DA、交x轴于E，∵四边形ABCD是矩形，且AB∥x轴，∴∠CAB＝∠AOE，∴DE⊥x轴，CB⊥x轴，∴∠AEO＝∠ABC∴△AOE∽△CAB，∴＝（）2，∵矩形ABCD的面积是8，OC：OA＝5：3，∴△ABC的面积为4，AC：OA＝2：3，∴＝（）2＝，＝9，∴S△AOE∵双曲线y＝经过点A，＝|k|＝9，∴S△AOE∵k＞0，∴k＝18，故选：A．3．如图，已知点A，B分别在反比例函数y1＝﹣和y2＝的图象上，若点A是线段OB 的中点，则k的值为（）A．﹣8B．8C．﹣2D．﹣4解：设A（a，b），则B（2a，2b），∵点A在反比例函数y1＝﹣的图象上，∴ab＝﹣2；∵B点在反比例函数y2＝的图象上，∴k＝2a•2b＝4ab＝﹣8．故选：A．4．如图，点A（m，n），B（4，）在双曲线y＝上，且0＜m＜n．若△AOB的面积为，则m+n＝（）A．7B．C．D．3解：∵点A（m，n），B（4，）在双曲线y＝上，∴mn＝4×＝k，∴mn＝k＝6，∴双曲线为y＝，∴n＝，作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，＝S△AOD+S梯形ADEB﹣S△BOE＝S梯形ADEB，∵S△AOB∴（+）（4﹣m）＝，解得m1＝1，m2＝﹣16，∵0＜m＜n．∴m＝1，∴n＝6，∴m+n＝7，故选：A．5．如图，点A，B是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，过点A，B分别作AC⊥x轴＝3，则S△于点C，BD⊥x轴于点D，连接OA、BC，已知点C（2，0），BD＝3，S△BCDAOC为（）A．2B．3C．4D．6解：在Rt△BCD中，∵×CD×BD＝3，∴×CD×3＝3，∴CD＝2，∵C（2，0），∴OC＝2，∴OD＝4，∴B（4，3），∵点B是反比例函数y＝（x＞0）图象上的点，∴k＝12，∵AC⊥x轴，＝＝6，∴S△AOC故选：D．6．如图，平行于y轴的直线分别交y＝与y＝的图象（部分）于点A、B，点C是y 轴上的动点，则△ABC的面积为（）A．k1﹣k2B．（k1﹣k2）C．k2﹣k1D．（k2﹣k1）解：由题意可知，AB＝﹣，AB边上的高为x，＝×（﹣）•x＝（k1﹣k2），∴S△ABC故选：B．7．已知四边形OABC是矩形，边OA在x轴上，边OC在y轴上，双曲线y＝与边BC交于点D、与对角线OB交于中点E，若△OBD的面积为10，则k的值是（）A．10B．5C．D．解：设E点的坐标是（x，y），∵E是OB的中点，∴B点的坐标是（2x，2y），则D点的坐标是（，2y），∵△OBD的面积为10，∴×（2x﹣）×2y＝10，解得，k＝，故选：D．8．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且△ODE的面积是12，则k＝（）A．6B．9C．D．解：∵四边形OCBA是矩形，∴AB＝OC，OA＝BC，设B点的坐标为（a，b），∵BD＝3AD，∴D（，b）∵D、E在反比例函数的图象上，∴＝k，设E的坐标为（a，y），∴ay＝k∴E（a，），＝S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE＝ab﹣k﹣k﹣••（b﹣）＝12，∵S△ODE∴4k﹣k﹣+＝12k＝故选：D．9．如图，一直线经过原点O，且与反比例函数y＝（k＞0）相交于点A、点B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，连接BC．若△ABC面积为8，则k＝8．解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，∴A、B两点关于原点对称，∴OA＝OB，∴△BOC的面积＝△AOC的面积＝8÷2＝4，又∵A是反比例函数y＝图象上的点，且AC⊥y轴于点C，∴△AOC的面积＝|k|，∴|k|＝4，∵k＞0，∴k＝8．故答案为8．10．如图，若反比例函数y＝的图象经过等边三角形POQ的顶点P，则△POQ的边长为2．解：如图，过点P作x轴的垂线于M，∵△POQ为等边三角形，∴OP＝OQ，OM＝QM＝OQ，∵反比例函数的图象经过点P，∴设P（a，）（a＞0），则OM＝a，OQ＝OP＝2a，PM＝，在Rt△OPM中，PM＝＝＝a，∴＝a，∴a＝1（负值舍去），∴OQ＝2a＝2，故答案为：2．11．如图，A（4，3）是反比例函数y＝在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x 轴，截取AB＝OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y＝的图象于点P．则△OAP 的面积为5．解：过P作MN⊥x轴于M，交AB于N，过A作AD⊥x轴于D，∵A（4，3），∴AD＝3，OD＝4，∴AO＝＝5，∵AB＝AO，∴AB＝5，∵AB∥x轴，点B的横坐标是4+5＝9，纵坐标是3，即点B的坐标是（9，3），设直线OB的解析式是y＝ax，把B点的坐标（9，3）代入得：3＝9a，解得：a＝，即y＝x，∵AB∥x轴，∴MN⊥AB，把A（4，3）代入y＝，得k＝12，即y＝，解方程组得：或，∵点P在第一象限，∴点P的坐标是（6，2），∵A（4，3），AB∥x轴，P（6，2），∴MN＝AD＝3，PN＝3﹣2＝1，﹣S△APB＝3﹣＝5，∴△OAP的面积是S△ABO故答案为：5．12．如图，直线y＝x+m与双曲线y＝相交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则△ABC 面积的最小值为6．解：方法一：设A（a，），B（b，），则C（a，）．将y＝x+m代入y＝，得x+m＝，整理，得x2+mx﹣3＝0，则a+b＝﹣m，ab＝﹣3，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝m2+12．＝AC•BC∵S△ABC＝（﹣）（a﹣b）＝••（a﹣b）＝（a﹣b）2＝（m2+12）＝m2+6，∴当m＝0时，△ABC的面积有最小值6．故答案为6．方法二：因为y＝x+m斜率为1，且BC∥x轴，AC∥y轴，∴∠ABC＝∠BAC＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝BC＝AB，＝AC•BC＝AB2，∴S△ABC当AB最小时，m＝0，直线为y＝x，联立方程，解得或，∴A（，），B（﹣，﹣），AB＝×2＝2，＝×4×6＝6．∴S△ABC最小故答案为：6．13．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO ＝AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点C，且交线＝6，则k的值为8．段AB于点D，连接CD，OD．若S△OCD解：根据题意设B（m，m），则A（m，0），∵点C为斜边OB的中点，∴C（，），∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点C，∴k＝•＝，∵∠OAB＝90°，∴D的横坐标为m，∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点D，∴D的纵坐标为，作CE⊥x轴于E，＝S△AOD，∵S△COES△OCD＝S△COE+S梯形ADCE﹣S△AOD＝S梯形ADCE，S△OCD＝6，∴（AD+CE）•AE＝6，即（+）•（m﹣m）＝6，∴m2＝32，∴k＝＝8，故答案为：8．解法二：作CE⊥OA于E，∵C为AB的中点，OA＝AB，∠OAB＝90°，＝S△AOD＝k，S△AOB＝2k，∴S△OEC＝k，∴S△BOD∵C为斜边OB的中点，＝S△BCD＝S△BOD＝6，∴S△OCD∴×k＝6，∴k＝8．故答案为：8．14．如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A，B在第一象限内，顶点C在y轴上，经过点A的反比例函数y＝（x＞0）的图象交BC于点D．若CD＝2BD，▱OABC的面积为15，则k的值为18．解：过点D作DN⊥y轴于N，过点B作BM⊥y轴于M，设OC＝a，CN＝2b，MN＝b，∵▱OABC的面积为15，∴BM＝，∴ND＝BM＝，∴A，D点坐标分别为（，3b），（，a+2b），∴•3b＝（a+2b），∴b＝a，∴k＝•3b＝•3×a＝18，故答案为：18．15．如图，点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x 轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为．解：连DC，如图，∵AE＝3EC，△ADE的面积为3，∴△CDE的面积为1，∴△ADC的面积为4，设A点坐标为（a，b），则AB＝a，OC＝2AB＝2a，而点D为OB的中点，∴BD＝OD＝b，＝S△ABD+S△ADC+S△ODC，∵S梯形OBAC∴（a+2a）×b＝a×b+4+×2a×b，∴ab＝，把A（a，b）代入双曲线y＝，∴k＝ab＝．故答案为：．16．如图，已知反比例函数y1＝与一次函数y2＝k2x+b的图象交于点A（1，8），B（﹣4，m）两点．（1）求k1，k2，b的值；（2）求△AOB的面积；（3）请直接写出不等式x+b的解．解：（1）∵反比例函数y1＝与一次函数y2＝k2x+b的图象交于点A（1，8）、B（﹣4，m），∴k1＝8，B（﹣4，﹣2），解方程组，解得；（2）由（1）知一次函数y＝k2x+b的图象与y轴的交点坐标为（0，6），＝×6×4+×6×1＝15；∴S△AOB（3）﹣4≤x＜0或x≥1．17．如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（a，6），AB⊥x轴于点B，cos∠OAB＝，反比例函数y＝的图象的一支分别交AO、AB于点C、D．延长AO交反比例函数的图象的另一支于点E．已知点D的纵坐标为．（1）求反比例函数的解析式；（2）求直线EB的解析式；．（3）求S△OEB解：（1）∵A点的坐标为（a，6），AB⊥x轴，∴AB＝6，∵cos∠OAB＝＝，∴，∴OA＝10，由勾股定理得：OB＝8，∴A（8，6），∴D（8，），∵点D在反比例函数的图象上，∴k＝8×＝12，∴反比例函数的解析式为：y＝；（2）设直线OA的解析式为：bx，∵A（8，6），∴8b＝6，b＝，∴直线OA的解析式为：y＝x，则，x＝±4，∴E（﹣4，﹣3），设直线BE的解式为：y＝mx+n，把B（8，0），E（﹣4，﹣3）代入得：，解得：，∴直线BE的解式为：y＝x﹣2；＝OB•|y E|＝×8×3＝12．（3）S△OEB18．如图，直线y＝x与反比例函数的图象交于点A（3，a），第一象限内的点B在这个反比例函数图象上，OB与x轴正半轴的夹角为α，且tanα＝．（1）求反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标；．（3）求S△OAB解：（1）∵直线y＝x与反比例函数的图象交于点A（3，a），∴a＝×3＝4，∴点A的坐标为（3，4），∴k＝3×4＝12，∴反比例函数解析式y＝．（2）∵点B在这个反比例函数图象上，设点B坐标为（x，），∵tanα＝，∴＝，解得：x＝±6，∵点B在第一象限，∴x＝6，∴点B的坐标为（6，2）．（3）设直线OB为y＝kx，（k≠0），将点B（6，2）代入得：2＝6k，解得：k＝，∴OB直线解析式为：y＝x．过A点做AC⊥x轴，交OB于点C，如图所示：则点C坐标为（3，1），∴AC＝3．S△OAB的面积＝S△OAC的面积+S△ACB的面积＝×|AC|×6＝9．∴△OAB的面积为9．19．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与反比＝4．例函数在第一象限内的图象的交于点B（2，n），连接BO，若S△AOB （1）求该反比例函数的解析式和直线AB的解析式；（2）若直线AB与双曲线的另一交点为D点，求△ODB的面积．＝•|x A|•y B，解：（1）由题意得：S△AOB即×2×y B＝4，y B＝4，∴B（2，4），设反比例函数的解析式为：y＝，把点B的坐标代入得：k＝2×4＝8，∴y＝，设直线AB的解析式为：y＝ax+b，把A（﹣2，0）、B（2，4）代入得：，解得：，∴y＝x+2；（2）由题意得：x+2＝，解得：x1＝﹣4，x2＝2，∴D（﹣4，﹣2），＝S△OAD+S△OAB＝×2×2+4＝6．∴S△ODB20．如图，在平行四边形OABC中，，点A在x轴上，点D是AB 的中点，反比例函数的图象经过C，D两点．（1）求k的值；（2）求四边形OABC的面积．解：（1）过点C作CE⊥x轴于E，∵∠AOC＝45°，∴OE＝CE，∴OE2+CE2＝OC2∵OC＝2，∴OE＝CE＝2，∴C（2，2），∵反比例函数的图象经过点C点，∴k＝2×2＝4；（2）过点D作DF⊥x轴于F，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB＝OC＝2，∠DAF＝∠AOC＝45°，又∵点D是AB的中点，∴AD＝，AF＝DF，∴AF2+DF2＝AD2，∴AF＝DF＝1，∴D点的纵坐标为1，∵反比例函数的图象过点D点，∴D（4，1），∴OF＝4，OA＝OF﹣AF＝4﹣1＝3，∴平行四边形OABC的面积S＝OA•CE＝3×2＝6．21．如图，直线y＝6x与双曲线y＝（k≠0，且x＞0）交于点A，点A的横坐标为2．（1）求点A的坐标及双曲线的解析式；（2）点B是双曲线上的点，且点B的纵坐标是6，连接OB，AB，求△AOB的面积．解：（1）将x＝2代入y＝6x，得：y＝12，∴点A的坐标为（2，12），将A（2，12）代入y＝，得：k＝24，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）在y＝中y＝6时，x＝4，∴点B（4，6），而A（2，12），如图，过A作AC⊥y轴，BD⊥x轴，交于点E，则OD＝4，OC＝12，BD＝6，AC＝2，AE＝2，BE＝6，＝S矩形OCED﹣S△AOC﹣S△BOD﹣S△ABE∴S△AOB＝4×12﹣×2×12﹣×4×6﹣×2×6＝48﹣12﹣12﹣6＝18．22．如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）若D（x，0）是x轴上原点左侧的一点，且满足，求x的取值范围．解：（1）∵B（2，﹣4）在反比例函数y＝的图象上，∴m＝﹣8，∴反比例函数的表达式为y＝﹣．∵A（﹣4，n）在y＝﹣的图象上，∴n＝2，∴A（﹣4，2）．∵y＝kx+b经过A（﹣4，2）和B（2，﹣4），∴，解得∴一次函数的表达式为y＝﹣x﹣2．（2）当y＝﹣x﹣2＝0时，解得x＝﹣2．∴点C（﹣2，0），∴OC＝2，＝S△AOC+S△COB∴S△AOB＝×2×2+×2×4＝6．（3）根据函数的图象可知：若D（x，0）是x轴上原点左侧的一点，当﹣4＜x＜0时，满足kx+b﹣＜0．23．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象相交于点A（﹣1，2）、点B（﹣4，n）．（1）求此一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）在x轴上存在一点P，使△PAB的周长最小，求点P的坐标．解：（1）∵反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣1，2），∴k2＝﹣1×2＝﹣2，∴反比例函数表达式为：y＝﹣，∵反比例y＝﹣的图象经过点B（﹣4，n），∴﹣4n＝﹣2，解得n＝，∴B点坐标为（﹣4，），∵直线y＝k1x+b经过点A（﹣1，2），点B（﹣4，），∴，解得：，∴一次函数表达式为：y＝+．（2）设直线AB与x轴的交点为C，如图1，当y＝0时，x+＝0，x＝﹣5；∴C点坐标（﹣5，0），∴OC＝5．S△AOC＝•OC•|y A|＝×5×2＝5．S△BOC＝•OC•|y B|＝×5×＝．S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝5﹣＝；（3）如图2，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于点P，此时△PAB的周长最小，∵点A′和A（﹣1，2）关于x轴对称，∴点A′的坐标为（﹣1，﹣2），设直线A′B的表达式为y＝ax+c，∵经过点A′（﹣1，﹣2），点B（﹣4，）∴，解得：，∴直线A′B的表达式为：y＝﹣x﹣，当y＝0时，则x＝﹣，∴P点坐标为（﹣，0）．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0）．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OC的中点A（3，2），交DC于点E，交BC于点F．设直线EF的解析式为y＝k2x+b．（1）求反比例函数和直线EF的解析式；（2）求△OEF的面积；（3）请结合图象直接写出不等式k2x+b＞0的解集．解：（1）∵四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0），∴C点坐标为（6，4），∵A点坐标为（3，2），∴k1＝3×2＝6，∴反比例函数解析式为y＝；把x＝6代入y＝得x＝1，则F点的坐标为（6，1）；把y＝4代入y＝得x＝，则E点坐标为（，4），把F（6，1）、E（，4）代入y＝k2x+b，得，解得，，∴直线EF的解析式为y＝﹣x+5；﹣S△ODE﹣S△OBF﹣S△CEF（2）△OEF的面积＝S矩形BCDO＝4×6﹣×4×﹣×6×1﹣×（6﹣）×（4﹣1）＝；（3）由图象得：不等式k2x+b﹣＞0的解集为＜x＜6．25．如图，已知反比例函数y＝（m≠0）的图象经过点（1，4），一次函数y＝﹣x+b的图象经过反比例函数图象上的点Q（﹣4，n）．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连结OP、OQ．求△OPQ的面积．解：（1）反比例函数y＝（m≠0）的图象经过点（1，4），解得m＝4，故反比例函数的表达式为y＝．一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数的图象相交于点Q（﹣4，n），所以，解得n＝﹣1，b＝﹣5．∴一次函数的表达式y＝﹣x﹣5；（2）由，解得或．∴点P（﹣1，﹣4），在一次函数y＝﹣x﹣5中，令y＝0，得﹣x﹣5＝0，解得x＝﹣5，故点A（﹣5，0），S△OPQ＝S△OP A﹣S△OAQ＝×5×4−×5×1＝7.5．26．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的等边△OAB的边OB在x轴的负半轴上，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过AB边的中点C，且与OA边交于点D．（1）求k的值；（2）连接OC，CD，求△的面积；（3）若直线y＝mx+n与直线CD平行，且与△OAB的边有交点，直接写出n的取值范围．解：（1）∵等边△OAB，∴AB＝BO＝AO＝4，∠ABO＝∠BOA＝∠OAB＝60°，∵点C是AB的中点，∴BC＝AC＝2，过点C作CM⊥OB，垂足为M，在Rt△BCM中，∠BCM＝90°﹣60°＝30°，BC＝2，∴BM＝1，CM＝，∴OM＝4﹣1＝3，∴点C的坐标为（﹣3，），代入y＝得：k＝﹣3答：k的值为﹣3；（2）过点A作AN⊥OB，垂足为N，由题意得：AN＝2CM＝2，ON＝OB＝2，∴A（﹣2，2），设直线OA的关系式为y＝kx，将A的坐标代入得：k＝﹣，∴直线OA的关系式为：y＝﹣x，由题意得：，解得：舍去，，∴D（﹣，3）过D作DE⊥OB，垂足为E，S△OCD＝S CMED+S△DOE﹣S△COM＝S CMED＝（+3）×（3﹣）＝3，答：△OCD的面积为3．（3）①当与直线CD平行的直线y＝mx+n过点O时，此时y＝mx+n的n＝0，②当与直线CD平行的直线y＝mx+n经过点A时，设直线CD的关系式为y＝ax+b，把C、D坐标代入得：，解得：a＝1，b＝3+∴直线CD的关系式为y＝x+3+，∵y＝mx+n与直线y＝x+3+平行，∴m＝1，把A（﹣2，2）代入y＝x+n得：n＝2+2因此：0≤n≤2+2且n．答：n的取值范围为：0≤n≤2+2且n≠3+．。
2021秋九上阶段核心归类专训用反比例函数比例系数k的几何意义解与面积相关的应用习题湘教版
解：如图，作 BD⊥OC 于点 D， ∵△BOC 是等边三角形，∴OB＝OC＝2，
∴OD＝12OC＝1，∴BD＝ OB2－OD2＝ 3，
∴S△OBD＝12OD×BD＝ 23，又∵S△OBD＝12|k|，∴|k|＝ 3，
∵反比例函数 y＝kx(k≠0)的图象在第一、三象限，
∴k＝
3，∴反比例函数 y＝x＋1 的图象 交 y 轴于点 A，与反比例函数 y＝kx(x＞0)的图 象交于点 B(m，2)． (1)求反比例函数的表达式；
解：∵点 B(m，2)在直线 y＝x＋1 上，
∴2＝m＋1，得 m＝1.∴点 B 的坐标为(1，2)． ∵点 B(1，2)在反比例函数 y＝kx(x＞0)的图象上， ∴2＝k1，得 k＝2， 即反比例函数的表达式是 y＝2x.
解：∵一次函数 y＝kx＋b(k，b 为常数，k≠0)的图象与 反比例函数 y＝－1x2的图象交于 A，B 两点，点 A 的横 坐标与点 B 的纵坐标都是 3，∴3＝－1x2B，yA＝－132＝ －4，解得 xB＝－4，∴B(－4，3)，A(3，－4)， 把点 B，A 的坐标分别代入 y＝kx＋b，得－3k4＋k＋b＝b＝－34，，
解：∵点 A 的坐标为a，ka，点 A′与点 A 关于点 O 对称，∴ A′－a，－ka.将点 A′的坐标代入 y2＝12x＋n，得 n＝12a－ka， ∴y2＝12x＋12a－ka.∵AD⊥x 轴，∴xD＝a，∴yD＝a－ka， ∴AD＝ka－a－ka＝2ak－a.∵四边形 ADEF 是正方形， ∴DE＝AD＝2ak－a，∴xP＝xE＝a＋2ak－a＝2ak.
第1章 反比例函数
阶段核心归类专训 用反比例函数比例系数k的几何意义解
与面积相关的应用
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反比例函数中与面积有关的问题及其解析
反比例函数中与面积有关的问题及解答反比例函数解析式及图象的特殊性与面积结合起来，既能考查反比例函数本身的基础知识，又能充分体现数形结合的思想方法，考查涉及的题型广泛，方法灵活，可较好地将知识与能力融合在一起。
下面就反比例函数中与面积有关的问题及解析归纳如下：利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|∴xy=k 故S=|k| 从而得结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k|。
对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：k结论2：在直角三角形ABO中，面积S=2结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k|结论4：在三角形AMB 中，面积为S=|k|类型之一 k 与三角形的面积※问题1、如图，已知双曲线y=xk（k ＞0）经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为6，则k=______．答案解析：过D 点作DE⊥x 轴，垂足为E ， 由双曲线上点的性质，得S △AOC =S △DOE = 21k, ∵DE⊥x 轴，AB⊥x 轴， ∴DE ∥ AB ，∴△OAB ∽ △OED， 又∵OB=2OD，∴S △OAB =4S △DOE =2k ，由S △OAB -S △OAC =S △OBC ，得2k -21k=6，解得：k=4．故答案为：4．问题2.如图，分别过反比例函数y=x2018(x ＞0)的图象上任意两点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OA 、OB ，设△AOC 和△BOD 的面积分别是S 1、S 2,，比较它们的大小，可得A.S 1＞S 2B.S 1=S 2C.S 1＜S 2D.S 1、S 2大小不确定。
专题02 反比例函数中k的几何意义(解析版)
专题02 反比例函数中k 的几何意义【知识点梳理】1．反比例函数图象中有关图形的面积2．涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S △ABC =2S △ACO =|k |；（2）如图②，已知一次函数与反比例函数y =k x 交于A 、B 两点，且一次函数与x 轴交于点C ，则S △AOB =S △AOC +S △BOC =12OC ⋅|y A |+12OC ⋅|y B |=12OC ⋅(|y A |+|y B |)；（3）如图③，已知反比例函数y =k x 的图象上的两点，其坐标分别为(x A ，y A )，(x B ，y B )，C 为AB 延长线与x 轴的交点，则S △AOB =S △AOC –S △BOC =12OC ⋅|y A |–12OC ⋅|y B |=12OC ⋅(|y A |―|y B |)． 【典例分析】题型1：一点在反比例函数图象上【例1】如图，反比例函数y =k x (k ≠0)的图象上有一点A ，AB 平行于x 轴交y 轴于点B ，△ABO 的面积是3，则反比例函数的解析式是( )A. y =32xB. y =3xC. y =6xD. y =34x【答案】C【解析】解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C.则四边形ABOC是矩形，∴S△ABO=S△AOC=3，∴|k|=S矩形ABCO=S△ABO+S△AOC=6，∴k=6或k=―6．又∵函数图象位于第一象限，∴k>0，∴k=6.则反比函数解析式为y=6．x故答案为：C.【练1】如图，P是反比例函数图象在第二象限上的一点，矩形PEOF的面积为5，则反比例函数的表达式是________．【答案】y=―5x(k≠0)，【解析】解：设反比例函数的表达式是y=kx由题意知，S矩形PEOF=|k|=5，所以k=±5，又反比例函数图象在第二象限上，k<0，所以k=―5，即反比例函数的表达式是y=―5．x（x＞0）的图象上，过点A作AD⊥y轴于点D，延长AD至点C，【练2】如图，点A在反比例函数y=kx使AD＝DC，过点A作AB⊥x轴于点B，连接BC交y轴于点E．若△ABC的面积为6，则k的值为 ．【答案】6【解析】解：连接BD ，如图，∵AD ＝DC ，∴S △ADB ＝S △BDC =12S △BAC =12×6＝3，∵AD ⊥y 轴于点D ，AB ⊥x 轴，∴四边形OBAD 为矩形，∴S 矩形OBAD ＝2S △ADB ＝2×3＝6，∴k ＝6．故答案为：6．【练3】如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数y =―8x 在第二象限的图象上有一点A ，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，则S △AOB ＝ ．【答案】4【解析】解：设点A 的坐标为（a ，―8a ），∵反比例函数y =―4x 在第二象限的图象上有一点A ，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，∴S △AOB =a⋅(8a )2=4，故答案为：4．题型2：两点在反比例函数图象上【例2】如图，双曲线y=kx与△OAB交于点A，C，已知A，B，C三点横坐标的比为5：5：2，且S△OAB＝21，则k＝ ．【答案】8【解析】解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CD⊥x轴于点D，∵A，B，C三点横坐标的比为5：5：2，∴设A、B的横坐标为5a，则C点的横坐标为2a，∵S△OAB＝21，∴12AB⋅5a=21，∴AB=42 5a，∵双曲线y=kx与△OAB交于点A，C，∴CD=k2a，AE=k5a，OD＝2a，OE＝5a，∴BE=k42 5a，∵CD∥BE，∴△OCD∽△OBE，∴CDBE=ODOE，k5a 2a 5a，解得，k＝8，故答案为：8．【练1】如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数y=kx（k≠0，x＞0）的图象上，若矩形ABCD 的面积为12，则k的值为（ ）A．6B．C．D．12【答案】A【解析】设A（m，km），∴AB=km，∵矩形的面积为12，∴BC=12km=12mk，∴矩形对称中心的坐标为：（m+12×12mk，12×km），即（m+6mk，k2m）∵对称中心在y=kx的图象上，∴k2m =km6mk，∴mk﹣6m＝0，∴m（k﹣6）＝0，∴m＝0（不符合题意，舍去）或k＝6，故选：A．【练2】如图，点A、B在反比例函数y=kx的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别是M、N，射线AB交x轴于点C，若OM＝MN＝NC，四边形AMNB的面积是3，则k的值为（ ）A．-2B．-4C．2D．4【答案】B【解析】解：∵点A、B在反比例函数y的图象上，∴S△AOM=12|k|，∵OM＝MN＝NC，∴AM＝2BN，∴S△AOM=13S△AOC，S△ACM＝4S△BCN，S△ACM＝2S△AOM，∵四边形AMNB的面积是3，∴S△BCN＝1，∴S△AOM＝2，∴|k|＝4，∵反比例函数y=kx的图象在第二四象限，∴k＝﹣4，故答案为：B．【练3】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的两边OA，OC落在坐标轴上，反比例函数y=kx的图象分别交BC，OB于点D，点E，且BDCD =54，若S△AOE＝24，则k的值为 ．【答案】-16【解析】解：设点B的坐标为（a，b），则点D的坐标为（kb，b），点A的坐标为（a，0），∴BD=kb ―a，BC＝﹣a，CD=―kb，AB＝b，∵BDCD =54，∴4×（kb ―a）＝5×（―kb），∴ab=94k，设点E坐标为（m，n），∵S △AOE ＝12，即―12an ＝12，∴n =―24a，∵点E 在反比例函数y =k x 上，∴E （―ak 24，―24a），∵S △AOE ＝S 矩形OABC ﹣S △OBC ﹣S △ABE ＝﹣ab ―12（﹣ab ）―12b （―ak 24―a ）＝12，∴abk ＝576，把abk ＝576代入ab =94k 得，94k 2＝576，即k 2＝162，解得k ＝±16，由图象可知，k ＜0，∴k ＝﹣16．故答案为：-16【练4※】如图，过原点的直线与反比例函数y =k x (k >0)的图象交于A ，B 两点，点A 在第一象限点C 在x 轴正半轴上，连结AC 交反比例函数图象于点D .AE 为∠BAC 的平分线，过点B 作AE 的垂线，垂足为E ，连结DE .若AC =3DC ，ΔADE 的面积为8，则k 的值为________.【答案】6【解析】解：连接OE ，CE ，过点A 作AF ⊥x 轴，过点D 作DH ⊥x 轴，过点D 作DG ⊥AF ，∵过原点的直线与反比例函数y=k x （k ＞0）的图象交于A ，B 两点，∴A 与B 关于原点对称，∴O 是AB 的中点，∵BE ⊥AE ，∴OE=OA ，∴∠OAE=∠AEO ，∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠DAE=∠AEO ，∴AD ∥OE ，∴S △ACE =S △AOC ，∵AC=3DC ，△ADE 的面积为8，∴S △ACE =S △AOC =12，设点A （m ，k m ），∵AC=3DC ，DH ∥AF ，∴3DH=AF ，∴D （3m ，k 3m ），∵CH ∥GD ，AG ∥DH ，∴△DHC ∽△AGD ，∴S △HDC =14S △ADG ，∵S △AOC =S △AOF +S 梯形AFHD +S △HDC=12k +12×(DH +AF)×FH +S ΔHDC=12k +12×4k 3m ×2m +12×14×2k 3m ×2m=12k +4k 3+k 6=12，∴2k=12，∴k=6；故答案为：6.【例4】如图，在平面直角坐标系中，△OAB 的顶点A 在x 轴正半轴上，OC 是△OAB 的中线，点B 、C 在反比例函数y =2x （x ＞0）的图象上，则△OAB 的面积等于 ．【答案】3【解答】解：如图，过点B 、点C 作x 轴的垂线，垂足为D ，E ，则BD ∥CE ，∴CE BD =AE AD =AC AB ，∵OC 是△OAB 的中线，∴CE BD =AE AD =AC AB =12，设CE ＝m ，则BD ＝2m ，∴C 的横坐标为 2m ，B 的横坐标为1m ，∴OD =1m ，OE =2m ，∴DE ＝OE ﹣OD =1m ，∴AE ＝DE =1m ，∴OA ＝OE +AE =3m ，∴S △OAB =12OA •BD =12×3m ×2m ＝3．故答案为：3．【练1】如图，Rt △AOB 的一条直角边OB 在x 轴上，双曲线y =k x (x ＞0)经过斜边OA 的中点C ，与另一直角边交于点D ．若S △OCD ＝9，则S △OBD 的值为 ．【答案】6【解析】解：如图，过C点作CE⊥x轴，垂足为E．∵Rt△OAB中，∠OBA＝90°，∴CE∥AB，∵C为Rt△OAB斜边OA的中点C，∴CE为Rt△OAB的中位线，∵△OEC∽△OBA，∴OCOA =12．∵双曲线的解析式是y=kx，即xy＝k∴S△BOD＝S△COE=12|k|，∴S△AOB＝4S△COE＝2|k|，由S△AOB﹣S△BOD＝S△AOD＝2S△DOC＝18，得2k―12k＝18，k＝12，S△BOD＝S△COE=12k＝6，故答案为：6．【练2】在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点A(x,y)，我们把点A的“倒数点”．如图，矩形OCDE的顶点C为(3,0)，顶点E在y轴上，函数y=2x(x>0)的图象与DE交于点A．若点B是点A 的“倒数点”，且点B 在矩形OCDE 的一边上，则△OBC 的面积为_________．【答案】14或32【解析】解：根据题意，∵点A (x,y )的“倒数点”，∴x ≠0，y ≠0，∴点B 不可能在坐标轴上；∵点A 在函数y =2x (x >0)的图像上，设点A 为(x,2x )，则点B 为(1x ,x 2)，∵点C 为(3,0)，∴OC =3，①当点B 在边DE 上时；点A 与点B 都在边DE 上，∴点A 与点B 的纵坐标相同，即2x =x 2，解得：x=2，经检验，x=2是原分式方程的解；∴点B 为（12，1），∴△OBC 的面积为：S =12×3×1=32；②当点B 在边CD 上时；点B 与点C 的横坐标相同，∴1x =3，解得：x =13，经检验，x =13是原分式方程的解；∴点B 为(3,16)，∴△OBC 的面积为：S =12×3×16=14；故答案为：14或32．题型3：两个反比例函数综合问题【例5※】如图，经过原点O 的直线与反比例函数y ＝a x （a ＞0）的图象交于A ，D 两点（点A 在第一象限），点B ，C ，E 在反比例函数y ＝b x （b ＜0）的图象上，AB ∥y 轴，AE ∥CD ∥x 轴，五边形ABCDE 的面积为56，四边形ABCD 的面积为32，则a ﹣b 的值为__，b a 的值为__．【答案】24；﹣13【解析】解：如图，连接AC ，OE ，OC ，OB ，延长AB 交DC 的延长线于T ，设AB 交x 轴于K ．由题意A ，D 关于原点对称，∴A ，D 的纵坐标的绝对值相等，∵AE ∥CD ，∴E ，C 的纵坐标的绝对值相等，∵E ，C 在反比例函数y ＝b x 的图象上，∴E ，C 关于原点对称，∴E ，O ，C 共线，∵OE ＝OC ，OA ＝OD ，∴四边形ACDE 是平行四边形，∴S △ADE ＝S △ADC ＝S 五边形ABCDE ﹣S 四边形ABCD ＝56﹣32＝24，∴S △AOE ＝S △DEO ＝12，∴12a ﹣12b ＝12，∴a ﹣b ＝24，∵S △AOC ＝S △AOB ＝12，∴BC ∥AD ，∴BC AD ＝TB TA ，∵S △ACB ＝32﹣24＝8，∴S △ADC ：S △ABC ＝24：8＝1：3，∴BC ：AD ＝1：3，∴TB ：TA ＝1：3，设BT ＝a ，则AT ＝3a ，AK ＝TK ＝1.5k ，BK ＝0.5k ，∴AK ：BK ＝3：1，∴S △AOK S △BKO ＝1212a b -＝13，∴a b ＝﹣13．故答案为24，﹣13．【练1】如图，直线l ⊥x 轴于点P ，且与反比例函数y 1=k 1x （x ＞0）及y 2=k 2x （x ＞0）的图象分别交于点A ，B ，连接OA ，OB ，已知△OAB 的面积为3，则k 1﹣k 2＝ ．【答案】6【解析】解：∵反比例函数y 1=k 1x （x ＞0）及y 2=k 2x （x ＞0）的图象均在第一象限内，∴k 1＞0，k 2＞0．∵AP ⊥x轴，∴S △OAP =12k 1，S △OBP =12k 2．∴S △OAB ＝S △OAP ﹣S △OBP =12（k 1﹣k 2）＝3，解得：k 1﹣k 2＝6．故答案为：6【练2】双曲线C 1：y =k 1x 和C 2：y =k 2x 如图所示，点A 是C 1上一点，分别过点A 作AB ⊥x 轴，AC ⊥y 轴，垂足分别为点B 、点C ，AB ，AC 与C 2分别交于点D 、点E ，若四边形ADOE 的面积为4，则k 1﹣k 2＝ ．【答案】-4【解析】解：∵D ，E 在反比例函数y =k 2x 的图象上，且图象在第二象限，∴S △OBD =12OB •BD =―12k 2，S △OCE =12OC •CE =―12k 2，∵A 在反比例函数y =k 1x 的图象上，且图象在第二象限，∴S 矩形ABOC ＝OB •OC ＝﹣k 1∴k 1﹣k 2＝﹣[﹣k 1﹣（﹣k 2）]＝﹣（S 矩形ABOC ﹣S △OBD ﹣S △OCE ）＝﹣S 四边形ADOE ＝﹣4，故答案为：﹣4．【练3】如图，点A 是第一象限内双曲线y =m x （m ＞0）上一点，过点A 作AB ∥x 轴，交双曲线y =n x （n ＜0）于点B ，作AC ∥y 轴，交双曲线y =n x （n ＜0）于点C ，连接BC ．若△ABC 的面积为92，则m ，n 的值不可能是（ ）A ．m =19，n =―109B ．m =14，n =―54C ．m ＝1，n ＝﹣2D ．m ＝4，n ＝﹣2【答案】A【解析】解：设点A 的坐标为（a ，m a ），∵AB ∥x 轴，AC ∥y 轴，∴点B 的纵坐标为m a ，点C 的横坐标为a ，将y =m a 代入反比例函数y =n x 得，x =an m ，∴B （an m ，m a ），∴AB ＝a ―an m ，将x ＝a 代入反比例函数y =n x 得，y =n a ，∴C （a ，n a ），∴AC =m n a ，∵S △ABC =12AB •AC =12（a ―an m ）×m n a =(m n )22m =92，即（m ﹣n ）2＝9m ，当m =19，n =―109时，不满足（m ﹣n ）2＝9m ，因此选项A 符合题意；当m =14，n =―54时，当m ＝1，n ＝﹣2时，当m ＝4，n ＝﹣2时，均满足（m ﹣n ）2＝9m ，因此选项B 、C 、D 均不符合题意；故选：A ．。
第26章.反比例函数——专训3：用反比例函数比例系数k的几何意义解与面积相关问题
第26章.反比例函数——专训3:用反比例函数比例系数k 的几何意义解与面积相关问题名师点金：反比例函数的比例系数k 具有一定的几何意义，|k|等于反比例函数图象上任意一点向两坐标轴所作垂线段与两坐标轴所围成的矩形的面积．在反比例函数的图象中，涉及三角形或矩形的面积时，常用比例系数k 的几何意义解决问题．反比例函数的比例系数k 与面积的关系1．如图，点P 在反比例函数y ＝3x (x ＞0)的图象上，横坐标为3，过点P 分别向x 轴，y 轴作垂线，垂足分别为M ，N ，则矩形OMPN 的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．如图，P 是反比例函数y ＝kx 的图象上一点，过点P 分别向x 轴，y 轴作垂线，所得到的图中阴影部分的面积为6，则这个反比例函数的解析式为( )A ．y ＝－6xB ．y ＝6xC ．y ＝－3xD ．y ＝3x3．如图，A ，C 是函数y ＝1x 的图象上任意两点，过点A 作y 轴的垂线，垂足为B ，过点C 作y 轴的垂线，垂足为D ，记Rt △AOB 的面积为S 1，Rt △COD 的面积为S 2，则( )A ．S 1＞S 2B ．S 1＜S 2C ．S 1＝S 2D ．S 1和S 2的大小关系不能确定(第1题)(第2题)(第3题)4．如图，正比例函数y ＝x 与反比例函数y ＝1x 的图象相交于A ，B 两点，BC ⊥x 轴于点C ，则△ABC 的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．45．如图，函数y ＝－x 与函数y ＝－4x 的图象相交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作y 轴的垂线，垂足分别为点C ，D ，则四边形ACBD 的面积为( )A ．2B ．4C ．6D ．86．如图，Rt △AOB 的一条直角边OB 在x 轴上，双曲线y ＝kx 经过斜边OA 的中点C ，与另一直角边交于点D.若S △OCD ＝9，则S △OBD ＝________．(第4题) (第5题) (第6题)7．【2017·宜宾】如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝mx 的图象交于点A(－3，m ＋8)，B(n ，－6)两点．(1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求△AOB 的面积．(第7题)8．如图，函数y ＝－x 与函数y ＝－4x 的图象相交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作y 轴的垂线，垂足分别为点C ，D ，求四边形ACBD 的面积．(第8题)已知面积求反比例函数解析式题型1：已知三角形面积求函数解析式9．【2016·绵阳】如图，直线y ＝k 1x ＋7(k 1＜0)与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与反比例函数y ＝k 2x (k 2＞0)在第一象限的图象交于C ，D 两点，点O 为坐标原点，△AOB 的面积为492，点C 的横坐标为1.(1)求反比例函数的解析式；(2)如果一个点的横、纵坐标都是整数，那么我们就称这个点为“整点”，请求出图中阴影部分(不含边界)所包含的所有整点的坐标．(第9题)10．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A(－2，0)，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B(2，n)，连接BO，若S△AOB＝4.(1)求该反比例函数的解析式和直线AB对应的函数解析式；(2)若直线AB与y轴的交点为C，求△OCB的面积．(第10题)题型2：已知四边形面积求函数解析式11．如图，矩形ABOD的顶点A是函数y＝－x－(k＋1)的图象与函数y＝kx在第二象限的图象的交点，B，D两点在坐标轴上，且矩形ABOD的面积为3.(1)求两函数的解析式；(2)求两函数图象的交点A，C的坐标；(3)若点P是y轴上一动点，且S△APC＝5，求点P的坐标．(第11题)已知反比例函数解析式求图形的面积题型1：利用函数解析式求面积12．【中考·安徽】如图，已知反比例函数y＝k1x与一次函数y＝k2x＋b的图象交于A(1，8)，B(－4，m)．(1)求k1，k2，b的值；(2)求△AOB的面积；(3)若M(x1，y1)，N(x2，y2)是反比例函数y＝k1x的图象上的两点，且x1<x2，y1<y2，指出点M，N各位于哪个象限，并简要说明理由．(第12题)题型2：利用对称性求面积7．如图是由四条曲线围成的广告标志，建立平面直角坐标系，双曲线对应的函数解析式分别为y＝－6x，y＝6x.现用四根钢条固定这四条曲线，这种钢条加工成矩形产品按面积计算，每单位面积25元，请你帮助工人师傅计算一下，所需钢条一共花多少钱？(第7题)题型3：利用点的坐标及面积公式求面积8．【2017·菏泽】如图，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝ax的图象在第一象限交于A，B 两点，B点的坐标为(3，2)，连接OA，OB，过B作BD⊥y轴，垂足为D，交OA于C，若OC ＝CA.(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求△AOB的面积．(第8题)11．如图，直线y＝k1x＋b与反比例函数y＝k2x(x＜0)的图象相交于点A，B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为(－2，4)，点B的横坐标为－4.(1)试确定反比例函数的解析式； (2)求△AOC的面积．(第11题)专训3 用反比例函数比例系数k 的几何意义解与面积相关问题（答案）1．C2．解：(1)将点A(－3，m ＋8)的坐标代入反比例函数y ＝mx 得，m－3＝m ＋8，解得m ＝－6. ∴m ＋8＝－6＋8＝2，∴点A 的坐标为(－3，2)， 反比例函数解析式为y ＝－6x.将点B(n ，－6)的坐标代入y ＝－6x ，得－6n ＝－6，解得n ＝1，∴点B 的坐标为(1，－6)．将点A(－3，2)，B(1，－6)的坐标代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋b ＝2，k ＋b ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝－4. ∴一次函数解析式为y ＝－2x －4. (2)如图，设AB 与x 轴相交于点C.(第2题)令－2x －4＝0，解得x ＝－2，∴点C 的坐标为(－2，0)，∴OC ＝2.∴S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝12×2×2＋12×2×6＝2＋6＝8.3．解：由题意，易得出S △ODB ＝S △AOC ＝12×|－4|＝2.因为OC ＝OD ，AC ＝BD(易求得)，所以S △AOC ＝S △ODA ＝S △ODB ＝S △OBC ＝2.所以四边形ACBD 的面积为S △AOC ＋S △ODA ＋S △ODB ＋S △OBC ＝2×4＝8.4．解：(1)对于直线y ＝k 1x ＋7(k 1<0)，当x ＝0时，y ＝7，当y ＝0时，x ＝－7k 1，∴点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫－7k 1，0，点B 的坐标为(0，7)． ∴OA ＝－7k 1，OB ＝7.∴S △AOB ＝12OA·OB ＝12×⎝⎛⎭⎫－7k 1×7＝492，解得k 1＝－1. ∴直线AB 对应的函数解析式为y ＝－x ＋7.∵当x ＝1时，y ＝－1＋7＝6，∴点C 的坐标为(1，6)． ∴k 2＝1×6＝6.∴反比例函数的解析式为y ＝6x .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋7，y ＝6x得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝6，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝6，y 2＝1.∴点D 的坐标为(6，1)．当x ＝2时，反比例函数图象上的点为(2，3)，直线上的点为(2，5)，此时可得整点为(2，4)； 当x ＝3时，反比例函数图象上的点为(3，2)，直线上的点为(3，4)，此时可得整点为(3，3)； 当x ＝4时，反比例函数图象上的点为⎝⎛⎭⎫4，32，直线上的点为(4，3)，此时可得整点为(4，2)； 当x ＝5时，反比例函数图象上的点为⎝⎛⎭⎫5，65，直线上的点为(5，2)，此时，不存在整点． 综上所述，符合条件的整点有(2，4)，(3，3)，(4，2)．5．解：(1)由图象知k ＜0，由已知条件得|k|＝3，∴k ＝－3. ∴反比例函数的解析式为y ＝－3x ，一次函数的解析式为y ＝－x ＋2.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x ，y ＝－x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝－1.∴点A ，C 的坐标分别为(－1，3)，(3，－1)．(3)设点P 的坐标为(0，m)，直线y ＝－x ＋2与y 轴的交点为M ，则M 的坐标为(0，2)． ∵S △APC ＝S △AMP ＋S △CMP ＝12×PM ×(|－1|＋|3|)＝5，∴PM ＝52，即|m －2|＝52.∴m ＝92或m ＝－12.∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，92或⎝⎛⎭⎫0，－12. 点拨：依据图象及已知条件求k 的值是解本题的关键，只有求出k 的值，才能通过解方程组求A ，C 两点的坐标，然后才能解决第(3)问．6．解：(1)把A(1，8)的坐标代入y ＝k 1x ，得k 1＝8.把B(－4，m)的坐标代入y ＝8x，得m ＝－2.把A(1，8)，B(－4，－2)的坐标代入y ＝k 2x ＋b ， 可得k 2＝2，b ＝6.(2)设直线AB 与x 轴的交点为C ，当y ＝0时，2x ＋6＝0，解得x ＝－3.∴C(－3，0)． ∴S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝12×3×8＋12×3×2＝15.(3)点M 在第三象限，点N 在第一象限．理由：∵M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)在反比例函数y ＝8x的图象上，∴当M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)在同一象限时，x 1<x 2，则y 1>y 2. ∵x 1<x 2，y 1<y 2，∴M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)不在同一个象限． ∴点M 在第三象限，点N 在第一象限．7．解：由反比例函数图象的对称性可知，两条坐标轴将矩形ABCD 分成四个全等的小矩形．因为点A 为y ＝6x 的图象上的一点，所以S 矩形AEOH ＝6.所以S 矩形ABCD ＝4×6＝24.所以总费用为25×24＝600(元)．答：所需钢条一共花600元．8．解：(1)如图，过点A 作AF ⊥x 轴，垂足为F ，交BD 于E.∵点B(3，2)在反比例函数y ＝ax 的图象上，∴a ＝3×2＝6，∴反比例函数的表达式为y ＝6x .∵B(3，2)，∴EF ＝2.∵BD ⊥y 轴，OC ＝CA ， ∴AE ＝EF ＝12AF ，∴AF ＝4，∴点A 的纵坐标为4.∵点A 在反比例函数y ＝6x 的图象上，∴点A 的横坐标为32，∴A ⎝⎛⎭⎫32，4. 将A ⎝⎛⎭⎫32，4，B(3，2)的坐标代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧32k ＋b ＝4，3k ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－43，b ＝6.∴一次函数的表达式为y ＝－43x ＋6.(2)设AF 与OB 交于点G.∵B(3，2)，∴直线OB 的解析式为y ＝23x.∴G ⎝⎛⎭⎫32，1.又∵A ⎝⎛⎭⎫32，4，∴AG ＝4－1＝3. ∴S △AOB ＝S △AOG ＋S △ABG ＝12×3×3＝92.(第8题)。
2024中考数学综合复习模型篇专题07 反比例函数K值与几何面积综合(解析版)
专题07反比例函数K 值与几何面积综合（1）反比例函数上任何一点与轴线围城的直角三角形面积都相等|k|/2；2OCF kS S S OBN OAM ===∆∆∆图中21|-|2OABPABk k SS∆∆==图中2k===∆∆∆S S S CBD OBD PDB 图中（2）图像上任意两点与原点构成的三角形的面积等于直角梯形的面积；【真题演练】1．（2023•福建）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y ＝和y ＝的图象的四个分支上，则实数n 的值为（ ）A ．﹣3B ．﹣C ．D ．3【答案】A【解答】解：连接正方形的对角线，由正方形的性质知对角线交于原点O ，过点A ，B 分别作x 轴的垂线．垂足分别为C、D，点B在函数y＝上，如图：∵四边形是正方形，∴AO＝BO，∠AOB＝∠BDO＝∠ACO＝90°，∴∠CAO＝90°﹣∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD（AAS），∴S△AOC ＝S△OBD＝＝，∵点A在第二象限，∴n＝﹣3，故选：A．2．（2023•张家界）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上，且AD＝AB，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，连接OD，OM，DM．若△ODM的面积为3，则k的值为（ ）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解答】解：解法一：∵四边形OCBA是矩形，∴AB＝OC，OA＝BC，设B点的坐标为（a，b），∵矩形OABC的对称中心M，∴延长OM恰好经过点B，M（，），∵点D在AB上，且AD＝AB，∴D（，b），∴BD＝a，∴S△BDM＝BD•h＝×a×（b﹣）＝ab，∵D在反比例函数的图象上，∴ab＝k，∵S△ODM ＝S△AOB﹣S△AOD﹣S△BDM＝ab﹣k﹣ab＝3，∴ab＝16，∴k＝ab＝4，解法二：连接BM，因为点M是矩形的对称中心，∴三角形DMO的面积＝三角形DMB的面积，则三角形DBO的面积为6，∵AD＝1/4AB，∴AD：DB＝1：3，∴三角形ADO的面积：三角形DBO的面积为1：3，即三角形ADO的面积为2，∴K＝4．故选：C．3．（2023•黑龙江）如图，△ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BC∥x轴，双曲线y＝过A，B两点，过点C作CD∥y轴交双曲线于点D．若S△BCD＝12，则k的值是（ ）A．﹣6B．﹣12C．﹣D．﹣9【答案】C【解答】解：设BC与y轴的交点为F，B（b，），则A（﹣b，﹣），b＞0，由题意知，AO＝BO，即O是线段AB的中点，过A作AE⊥BC于点E，∵AC＝AB，AE⊥BC，∴BE＝CE，AE∥y轴，∴CF＝3BF＝3b，∴C（﹣3b，），∴D（﹣3b，），∴CD＝，BC＝4b，∴S＝，△BCD∴k＝﹣．故选：C．4．（2023•宜宾）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在y、x轴上，BC⊥x轴，点M、N分别在线段BC、AC上，BM＝CM，NC＝2AN，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过M、N两点，P为x轴正半轴上一点，且OP：BP＝1：4，△APN的面积为3，则k的值为（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：如图，过点N作NQ⊥x轴于点Q，过C作CT⊥y轴交y轴于T，交NQ于K，设OA＝a，OP＝b，BM＝c，N（m，n），∵OP：BP＝1：4，BM＝CM，∴A（0，a），B（5b，0），M（5b，c），C（5b，2c），∵∠NCK＝∠ACT，∠NKC＝90°＝∠ATC，∴△NKC∽△ATC，∴＝＝，∵NC＝2AN，∴CK＝2TK，NK＝AT，∴，解得，∴，∴，，∴，∵△APN 的面积为3，∴S 梯形OANQ ﹣S △AOP ﹣S △NPQ ＝3，∴，∴2ab +bc ＝9，将点M （5b ，c ），代入得：，整理得：2a ＝7c ，将2a ＝7c 代入2ab +bc ＝9得：7bc +bc ＝9，∴，∴，故选：B ．5．（2022•日照）如图，矩形OABC 与反比例函数y 1＝（k 1是非零常数，x ＞0）的图象交于点M ，N ，与反比例函数y 2＝（k 2是非零常数，x ＞0）的图象交于点B ，连接OM ，ON ．若四边形OMBN 的面积为3，则k 1﹣k 2＝（ ）A ．3B ．﹣3C ．D ．【答案】B【解答】解：∵y 1、y 2的图象均在第一象限，∴k 1＞0，k 2＞0，∵点M 、N 均在反比例函数y 1＝（k 1是非零常数，x ＞0）的图象上，∴S △OAM ＝S △OCN ＝k 1，∵矩形OABC 的顶点B 在反比例函数y 2＝（k 2是非零常数，x ＞0）的图象上，∴S 矩形OABC ＝k 2，∴S 四边形OMBN ＝S 矩形OABC ﹣S △OAM ﹣S △OCN ＝3，∴k 2﹣k 1＝3，∴k 1﹣k 2＝﹣3，故选：B ．6．（2022•郴州）如图，在函数y ＝（x ＞0）的图象上任取一点A ，过点A 作y 轴的垂线交函数y ＝﹣（x ＜0）的图象于点B ，连接OA ，OB ，则△AOB 的面积是（ ）A ．3B ．5C ．6D ．10【答案】B【解答】解：∵点A 在函数y ＝（x ＞0）的图象上，∴S △AOC ＝×2＝1，又∵点B 在反比例函数y ＝﹣（x ＜0）的图象上，∴S △BOC ＝×8＝4，∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC ＝1+4＝5，故选：B ．7．（2022•十堰）如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝（k1＞0）和y＝（k2＞0）的图象上．若BD∥y轴，点D的横坐标为3，则k1+k2＝（ ）A．36B．18C．12D．9【答案】B【解答】解：连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AE＝BE＝CE＝DE，设AE＝BE＝CE＝DE＝m，D（3，a），∵BD∥y轴，∴B（3，a+2m），A（3+m，a+m），∵A，B都在反比例函数y＝（k1＞0）的图象上，∴k1＝3（a+2m）＝（3+m）（a+m），∵m≠0，∴m＝3﹣a，∴B（3，6﹣a），∵B（3，6﹣a）在反比例函数y＝（k1＞0）的图象上，D（3，a）在y＝（k2＞0）的图象上，∴k1＝3（6﹣a）＝18﹣3a，k2＝3a，∴k1+k2＝18﹣3a+3a＝18；故选：B．8．（2022•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD的顶点B在反比例函数y＝的图象上，顶点A在反比例函数y＝的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是（ ）A．2B．1C．﹣1D．﹣2【答案】D【解答】解：设B（a，），∵四边形OBAD是平行四边形，∴AB∥DO，∴A（，），∴AB＝a﹣，∵平行四边形OBAD的面积是5，∴（a﹣）＝5，解得k＝﹣2，故选：D．9．（2023•连云港）如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，顶点B、C在第一象限，对角线AC∥x轴，交y轴于点D．若矩形OABC的面积是6，cos∠OAC＝，则k＝ ﹣ ．【答案】﹣．【解答】解：作AE⊥x轴于E，∵矩形OABC的面积是6，∴△AOC的面积是3，∵∠AOC＝90°，cos∠OAC＝，∴，∵对角线AC∥x轴，∴∠AOE＝∠OAC，∵∠OEA＝∠AOC＝90°，∴△OEA∽△AOC，∴，∴，∴S＝，△OEA∵S＝|k|，k＜0，△OEA∴k＝﹣．故答案为：﹣．10．（2023•枣庄）如图，在反比例函数（x＞0）的图象上有P1，P2，P3，…P2024等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…，S2023，则S1+S2+S3+…+S2023＝ ．【答案】．【解答】解：∵P1，P2，P3，...P2024的横坐标依次为1，2，3， (2024)∴阴影矩形的一边长都为1，将除第一个矩形外的所有矩形向左平移至y轴，∴S 1+S2+S3+…+S2023＝，把x＝2024代入关系式得，y＝，即OA＝，∴S＝OA•OC＝，矩形OABC由几何意义得，＝8，∴＝8﹣＝．故答案为：．11．（2023•朝阳）如图，点A是反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，点P是y轴上任意一点，连接PA，PB．若△ABP的面积等于3，则k的值为6 ．【答案】6．【解答】解：设反比例函数的解析式为y＝，∵△AOB的面积＝△ABP的面积＝3，△AOB的面积＝|k|，∴|k|＝3，∴k＝±6；又∵反比例函数的图象的一支位于第一象限，∴k＞0．∴k＝6．故答案为：6．12．（2023•衢州）如图，点A，B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方形OACD，ABEF，反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交边CD，BE于点P，Q．作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N．若OA＝2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为24 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：设OA＝4a，∵AO＝2AB，∴AB＝2a，∴OB＝AB+OA＝6a，则B（6a，0），由于在正方形ABEF中，AB＝BE＝2a，∵Q为BE中点，∴BQ＝AB＝a，∴Q（6a，a），∵Q在反比例函数y＝（k＞0））上，∴k＝6a×a＝6a2，∵四边形OACD是正方形，∴C（4a，4a），∵P在CD上，∴P点纵坐标为4a，∵P在反比例函数y＝（k＞0）上，∴P点横坐标为：x＝，∴P（，4a），∵作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N，∴四边形OMNH是矩形，∴NH＝，MH＝a，∴S＝NH×MH＝×a＝6，矩形OMHN则k＝24，故答案为：24．13．（2023•锦州）如图，在平面直角坐标系中，△AOC的边OA在y轴上，点C在第一象限内，点B为AC 的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过B，C两点．若△AOC的面积是6，则k的值为4 ．【答案】4．【解答】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图：设点C的坐标为（a，b），点A的坐标为（0，c），∴CD＝a，OA＝c，∵△AOC的面积是6，∴，∴ac＝12，∵点C（a，b）在反比例函数（x＞0）的图象上，∴k＝ab，∵点B为AC的中点，∴点，∵点B在反比例函数（x＞0）的图象上，∴，即：4k＝a（b+c），∴4k＝ab+ac，将ab＝k，ac＝12代入上式得：k＝4．故答案为：4．14．（2023•黄石）如图，点A（a，）和B（b，）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，其中a＞b＞0．过点A作AC⊥x轴于点C，则△AOC的面积为 ；若△AOB的面积为，则＝ 2 ．【答案】，2．【解答】解：因为点A（a，）在反比例函数y＝的图象上，则，又a＞0，解得k＝5．根据k的几何意义可知，．过点B作x轴的垂线，垂足为D，则S △OBD +S 梯形ACDB ＝S △AOC +S △AOB ，又根据k 的几何意义可知，S △OBD ＝S △AOC ，则S 梯形ACDB ＝S △AOB ．又△AOB 的面积为，且A （a ，），B （b ，），所以，即．解得．又a ＞b ＞0，所以．故答案为：，2．15．（2023•辽宁）如图，矩形ABCD 的边AB 平行于x 轴，反比例函数y ＝（x ＞0）的图象经过点B ，D ，对角线CA 的延长线经过原点O ，且AC ＝2AO ，若矩形ABCD 的面积是8，则k 的值为6 ．【答案】6．【解答】解：如图，延长CD 交y 轴于E ，连接OD ，∵矩形ABCD 的面积是8，∴S △ADC ＝4，∵AC ＝2AO ，∴S △ADO ＝2，∴△ACD ∽△OCE ，∴AD ：OE ＝AC ：OC ＝2：3，∴S △ODE ＝3，由几何意义得，＝3，∵k ＞0，∴k ＝6，故答案为：6．16．（2023•绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数（k 为大于0的常数，x ＞0）图象上的两点A（x 1，y 1），B （x 2，y 2），满足x 2＝2x 1，△ABC 的边AC ∥x 轴，边BC ∥y 轴，若△OAB 的面积为6，则△ABC 的面积是2 ．【答案】2．【解答】解：如图，延长CA 交y 轴于E ，延长CB 交x 轴于点F ，∴CE ⊥y 轴，CF ⊥x 轴，∴四边形OECF 为矩形，∵x 2＝2x 1，∴点A 为CE 的中点，由几何意义得，S △OAE ＝S △OBF ，∴点B 为CF 的中点，∴S △OAB ＝S 矩形OECF ＝6，∴S 矩形OECF ＝16，∴S △ABC ＝×16＝2．217．（2022•烟台）如图，A，B是双曲线y＝（x＞0）上的两点，连接OA，OB．过点A作AC⊥x轴于点C，交OB于点D．若D为AC的中点，△AOD的面积为3，点B的坐标为（m，2），则m的值为6 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：因为D为AC的中点，△AOD的面积为3，所以△AOC的面积为6，所以k＝12＝2m．解得：m＝6．故答案为：6．18．（2022•黄石）如图，反比例函数y＝的图象经过矩形ABCD对角线的交点E和点A，点B、C在x轴上，△OCE的面积为6，则k＝ 8 ．【答案】8．【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于H，设点A（a，），C（c，0），∵点E是矩形ABCD的对角线的交点，∴E（，），∵点E在反比例函数y＝的图象上，∴＝k，∴c＝3a，∵△OCE的面积为6，∴OC•EH＝c•＝×3a•＝6，∴k＝8，故答案为：8．19．（2022•衢州）如图，在△ABC中，边AB在x轴上，边AC交y轴于点E．反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若AE＝CE，CD＝2BD，S＝6，则k＝ ．△ABC【答案】．【解答】解：如图，作CM⊥AB于点M，DN⊥AB于点N，设C（m，），则OM＝m，CM＝，∵OE∥CM，AE＝CE，∴＝＝1，∴AO＝m，∵DN∥CM，CD＝2BD，∴＝＝＝，∴DN＝，∴D的纵坐标为，∴＝，∴x＝3m，即ON＝3m，∴MN＝2m，∴BN＝m，∴AB＝5m，∵S＝6，△ABC∴5m•＝6，∴k＝．故答案为：．20．（2022•宜宾）如图，△OMN是边长为10的等边三角形，反比例函数y＝（x＞0）的图象与边MN、OM分别交于点A、B（点B不与点M重合）．若AB⊥OM于点B，则k的值为9 ．【答案】9．【解答】解：过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，如图，∵△OMN是边长为10的等边三角形，∴OM＝ON＝MN＝10，∠MON＝∠M＝∠MNO＝60°设OC＝b，则BC＝，OB＝2b，∴BM＝OM﹣OB＝10﹣2b，B（b，b），∵∠M＝60°，AB⊥OM，∴AM＝2BM＝20﹣4b，∴AN＝MN﹣AM＝10﹣（20﹣4b）＝4b﹣10，∵∠AND＝60°，∴DN＝＝2b﹣5，AD＝AN＝2b﹣5，∴OD＝ON﹣DN＝15﹣2b，∴A（15﹣2b，2b﹣5），∵A、B两点都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝（15﹣2b）（2b﹣5）＝b•b，解得b＝3或5，当b＝5时，OB＝2b＝10，此时B与M重合，不符题意，舍去，∴b＝3，∴k＝b•b＝9，故答案为：9．21．（2022•鄂尔多斯）如图，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，E、F分别是边AB、OA上的点，且∠ECF＝45°，将△ECF沿着CF翻折，点E落在x轴上的点D处．已知反比例函数y1＝＝5，则k1﹣k2＝ 10 ．和y2＝分别经过点B、点E，若S△COD【答案】见试题解答内容【解答】解：作EH ⊥y 轴于点H ，则四边形BCHE 、AEHO 都为矩形，∵∠ECF ＝45°，∴∠OCD +∠OCF ＝45°，∵∠DOC +∠OCF ＝45°，∴∠BCE ＝∠OCD ，∵BC ＝OC ，∠B ＝∠COD ，∴△BCE ≌△OCD （ASA ），∴S △BCE ＝S △COD ＝5，∴S △CEH ＝5，S 矩形BCHE ＝10，∴根据反比例函数系数k 的几何意义得：k 1﹣k 2＝S 矩形BCHE ＝10，故答案为：10．22．（2022•东营）如图，△OAB 是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B 在反比例函数y ＝（x ＞0）的图象上，则经过点A 的函数图象表达式为y ＝﹣ ．【答案】y＝﹣．【解答】解：如图，作AD⊥x轴于D，BC⊥x轴于C，∴∠ADO＝∠BCO＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠AOD+∠BOC＝90°，∴∠AOD+∠DAO＝90°，∴∠BOC＝∠DAO，∵OB＝OA，∴△BOC≌△OAD（AAS），∵点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴S＝，△OBC∴S＝，△OAD∴k＝﹣1，∴经过点A的反比例函数解析式为y＝﹣．故答案为：y＝﹣．23．（2022•绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右平移到△CDE 位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数y＝（k≠0）的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是6 ．【答案】6．【解答】解：过点F作FG⊥x轴于点G，FH⊥y轴于点H，过点D作DQ⊥x轴于点Q，如图所示，根据题意可知，AC＝OE＝BD，设AC＝OE＝BD＝a，∴四边形ACEO的面积为4a，∵F为DE的中点，FG⊥x轴，DQ⊥x轴，∴FG为△EDQ的中位线，∴FG＝DQ＝2，EG＝EQ＝，∴四边形HFGO的面积为2（a+），∴k＝4a＝2（a+），解得：a＝，∴k＝6．故答案为：6．24．（2022•内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点O与原点重合，点A在第一象限，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C，交AB于点D，连接CD．若△ACD的面积是1，则k的值是 ．【答案】．【解答】解：连接OD，过C作CE∥AB，交x轴于E，∵∠ABO＝90°，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C，∴S△COE ＝S△BOD＝k，S△ACD＝S△OCD＝1，∵CE∥AB，∴△OCE∽△OAB，∴△OCE与△OAB得到面积比为1：4，∴4S△OCE ＝S△OAB，∴4×k＝1+1+k，∴k＝．故答案为：．。
第六章反比例函数及反比例函数k的几何意义专题训练北师大版2024—2025学年九年级上册
第六章反比例函数及反比例函数k的几何意义专题训练北师大版2024—2025学年九年级上册反比例函数比例系数k的几何意义（1）意义：从反比例函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.（2）常见的面积类型：例1.如图，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，若△POM的面积等于3，则k的值等于（）A．﹣6B．6C．﹣3D．3变式1.如图，在▱AOBC中，对角线AB、OC交于点E，双曲线经过A、E两点，若▱AOBC的面积为18，则k的值是（）A．5B．6C．7D．8变式2.如图，平行于x轴的直线与函数y＝（k1＞0，x＞0），y＝（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点．若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为（）A．8B．﹣8C．4D．﹣4变式3.如图，点P是反比例函数图象上的一点，PF⊥x轴于F点，且Rt△POF面积为4．则k的值为（）A．8B．﹣8C．﹣4D．4变式4.如图，点M是反比例函数y＝（x＜0）图象上一点，MN⊥y 轴于点N．若P为x轴上的一个动点，则△MNP的面积为（）A．2B．4C．6D．无法确定变式5.如图，点P是双曲线C：y＝（x＞0）上的一点，过点P作x轴的垂线交直线AB：y＝x﹣2于点Q，连接OP，OQ，当点P在曲线C上运动，且点P在Q上方时，△POQ面积的最大值为（）A．2B．3C．4D．6变式6．如图，已知点A为反比例函数y＝（x＜0）的图象上一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，若△OAB的面积为3，则k的值为（）A．3B．﹣3C．6D．﹣6变式7.关于x的反比例函数y＝的图象如图，A、P为该图象上的点，且关于原点成中心对称．△P AB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB 与AB相交于点B．若△P AB的面积大于12，则关于x的方程（a ﹣1）x2﹣x+＝0的根的情况是（）A．2个不相等的实数根B．2个相等的实数根C．1个实数根D．无实数根变式8.如图，两个反比例函数y1＝和y2＝在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，P A⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（）A．4B．2C．1D．6变式9.如图，若反比例函数的图象经过点A，AB⊥x轴于点B，C点是y轴上一点，且△ABC的面积4，则k的值为（）A．﹣8B．﹣4C．4D．8变式10.如图，反比例函数的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，若矩形OABC的面积为6，则k的值为（）A．﹣3B．3C．﹣6D．6变式11.如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作AB ⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC 的面积为3，则k的值是（）A．3B．﹣6C．6D．﹣3变式12.下面四个图中反比例函数的表达式均为，则阴影部分的图形的面积为3的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个变式13.如图，将一块含30°角的三角板AOB按如图所示摆放在平面直角坐标系中，∠B＝60°，∠BAO＝90°，△AOB的面积为4，BO与x轴的夹角为30°，若反比例函数的图象经过点A，则k的值为（）A．3B．C．6D．9变式14.如图1，在△OAB中，∠AOB＝45°，点B的坐标为，点A在反比例函数的图象上，设△OAB的面积为S1；如图2，在△ABC中，AB＝AC，BC在x轴上，且OB：BC＝1：2，点A在反比例函数的图象上，设△ABC的面积为S2，则S1+S2的值为（）A．B．5C．D．变式15.如图，已知四边形OABC是矩形，边OA在x轴上，边OC在y轴上，双曲线过OB的中点E，且与边BC交于点D，若△DOE的面积为7.5，则k的值是（）A．5B．10C．15D．变式16.如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B，△OAB的面积为8．若点P（a，4）也在此函数的图象上，则a的值是（）A．2B．﹣2C．4D．﹣4变式17.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在y、x 轴上，BC⊥x轴，点M、N分别在线段BC、AC上，BM＝CM，NC＝2AN，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过M、N两点，P为x轴正半轴上一点，且OP：BP＝1：4，△APN的面积为3，则k的值为（）A．B．C．D．变式18.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD与y轴分别交于E、F两点，对角线BD在x轴上，反比例函数的图象过点A并交AD于点G，连接DF．若BE：AE＝1：2，AG：GD＝3：2，且△FCD的面积为，则k的值是（）A．B．3C．D．5变式19.如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的边与函数y＝（x＞0）图象交于E，F两点，且F是BC的中点，则四边形ACFE的面积等于（）A．4B．6C．8D．不能确定例2.如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，它的对角线OB与函数的图象相交于点D，且，若矩形OABC的面积为24，则k的值是．变式1.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点P是▱ABCO对角线OB的中点，反比例函数的图象经过点A，点P．若▱ABCO的面积为30，且y轴将▱ABCO的面积分为1：3，则k的值为．变式2.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，延长AB交y轴于点C，过点A作AD⊥y轴于点D，连接BD并延长，交x轴于点E，连接CE．若AB＝2BC，△BCE的面积是4.5，则k的值为．变式3.如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰Rt△OAB，∠B＝90°，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限内，反比例函数y＝的图象与AB交于点C，连接OC，若BC＝2AC，△OBC的面积为6，则k的值为．变式4.如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且S矩形OABC＝8，将矩形OABC翻折，使点B与原点O重合，折痕为MN，点C的对应点C'落在第四象限，过M点的反比例函数y＝（k ≠0）的图象恰好过MN的中点，则点C'的坐标为．变式5.如图，在平面直角坐标系中，点A、C在y轴上，且，点B（﹣2，0）在x轴上，将△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到△AB'C′，线段AB′与双曲线交于点D，连接B′C、C′C，当点D为AB′中点，且S△B'CC′＝6时，则k的值是．变式6.如图，在△AOB中，OC平分∠AOB，＝，反比例函数y＝（k＜0）图象经过点A、C两点，点B在x轴上，若△AOB的面积为9，则k的值为．变式7.如图，点A，B，C，D是菱形的四个顶点，其中点A，D在反比例函数y＝（m＞0，x＞0）的图象上，点B，C在反比例函数y＝（n＜0）的图象上，且点B，C关于原点成中心对称，点A，C的横坐标相等，则的值为；过点A作AE∥x轴交反比例函数y＝（n＜0）的图象于点E，连结ED并延长交x轴于点F，连结OD．若S△DOF＝7，则m的值为．变式8.如图，A（a，b）、B（﹣a，﹣b）是反比例函数y＝的图象上的两点，分别过点A、B作y轴的平行线，与反比例函数y＝的图象交于点C、D，若四边形ACBD的面积是8，则m、n之间的关系是．变式9.如图，平面直角坐标系xOy中，Rt△ABO的斜边BO在x轴正半轴上，OB＝5，反比例函数y＝（x＞0）的图象过点A，与AB边交于点C，且AC＝3BC，则a的值为，射线OA，射线OC分别交反比例函数y＝（b＞a＞0）的图象于点D，E，连接DE，DC，若△DEC的面积为45，则b的值为．变式10.如图，点A、B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，延长AB交x轴于C点，若△AOC的面积是12，且点B是AC的中点，则k＝．变式11.如图，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，顶点A，C在双曲线上，顶点B，D在双曲线上，且BD经过点O．若k1+k2＝2，则菱形ABCD面积的最小值是．变式12.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A、C恰好落在双曲线上，且点O在AC上，AD交x轴于点E．①当A点坐标为（1，m）时，D点的坐标为；②当CE平分∠ACD时，正方形ABCD的面积为．例3.如图，O为坐标原点，点A（﹣1，5）和点B（m，﹣1）均在反比例函数图象上（1）求m，k的值；（2）当x满足什么条件时，﹣x+4＞﹣；（3）P为y轴上一点，若△ABP的面积是△ABO面积的2倍，直接写出点P的坐标．变式1.已知点A（a，ma+2）、B（b，mb+2）是反比例函数y＝图象上的两个点，且a＞0，b＜0，m＞0．（1）求证：a+b＝﹣；（2）若OA2+OB2＝2a2+2b2，求m的值；（3）若S△OAB＝3S△OCD，求km的值．变式2.如图，双曲线y＝上的一点A（m，n），其中n＞m＞0，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA．（1）已知△AOB的面积是3，求k的值；（2）将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，且点O的对应点C恰好落在该双曲线上，求的值．。
北师版九年级下册：专训1 用反比例函数系数k的几何意义解与面积相关问题
专训1用反比例函数系数k的几何意义解与面积相关问题名师点金：反比例函数的系数k具有一定的几何意义，|k|等于反比例函数y＝kx(k≠0)图象上任意一点向两坐标轴所作垂线与坐标轴所围成的矩形的面积．在反比例函数的图象中，涉及三角形或矩形的面积时，常用系数k的几何意义求解．反比例函数的系数k与面积的关系1．如图，过y轴上任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y＝－4x和y＝2x的图象交于A点和B点，若C为x轴上的任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为() A．3 B．4 C．5 D．6(第1题)(第2题)2．如图，P是反比例函数y＝kx的图象上一点，过P点分别向x轴，y轴作垂线，所得到的图中阴影部分的面积为6，则这个反比例函数的表达式为()A．y＝－6x B．y＝6xC．y＝－3x D．y＝3x3．【2016·菏泽】如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝6x在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC－S△BAD为()A．36 B．12 C．6 D．3(第3题)(第4题)4．如图，正比例函数y ＝x 与反比例函数y ＝1x 的图象相交于A ，B 两点，BC ⊥x 轴于点C ，则△ABC 的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．45．如图，函数y ＝－x 与函数y ＝－4x 的图象相交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C ，D ，则四边形ACBD 的面积为( )A ．2B ．4C ．6D ．8(第5题)(第6题)6．【2016·本溪】如图，点A ，C 为反比例函数y ＝kx (x ＜0)图象上的点，过点A ，C 分别作AB ⊥x 轴，CD ⊥x 轴，垂足分别为B ，D ，连接OA ，AC ，OC ，线段OC 交AB 于点E ，点E 恰好为OC 的中点，当△AEC 的面积为32时，k 的值为( )A ．4B ．6C ．－4D ．－6已知面积求反比例函数的表达式题型1 已知三角形面积求函数表达式7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A(－2，0)，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B(2，n)，连接BO，已知S△AOB＝4.(1)求该反比例函数的表达式和直线AB对应的函数表达式；(2)若直线AB与y轴的交点为C，求△OCB的面积．(第7题)题型2已知四边形面积求函数表达式8．如图，矩形ABOD的顶点A是函数y＝－x－(k＋1)的图象与函数y＝kx在第二象限的图象的交点，AB⊥x轴于B，AD⊥y轴于D，且矩形ABOD的面积为3.(1)求两函数的表达式；(2)求两函数图象的交点A，C的坐标；(3)若点P是y轴上一动点，且S△APC＝5，求点P的坐标．(第8题)。
专题训练：用反比例函数系数k的几何意义解与面积相关问题(含答案)
专训1 用反比例函数系数k 的几何意义解与面积相关问题名师点金：反比例函数的系数k 具有一定的几何意义，|k |等于反比例函数y ＝kx (k ≠0)图象上任意一点向两坐标轴所作垂线与坐标轴所围成的矩形的面积．在反比例函数的图象中，涉及三角形或矩形的面积时，常用系数k 的几何意义求解．反比例函数的系数k 与面积的关系1．如图，过y 轴上任意一点P ，作x 轴的平行线，分别与反比例函数y ＝－4x 和y ＝2x 的图象交于A 点和B 点，若C 为x 轴上的任意一点，连接AC ，BC ，则△ABC 的面积为( )A ．3B ．4C ．5D ．6(第1题) (第2题) (第3题)2．如图，P 是反比例函数y ＝kx 的图象上一点，过P 点分别向x 轴，y 轴作垂线，所得到的图中阴影部分的面积为6，则这个反比例函数的表达式为( )A ．y ＝－6xB ．y ＝6xC ．y ＝－3xD ．y ＝3x3．【2016·菏泽】如图，△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角形，∠ACO ＝∠ADB ＝90°，反比例函数y ＝6x 在第一象限的图象经过点B ，则△OAC 与△BAD 的面积之差S △OAC －S △BAD为( )A ．36B ．12C ．6D ．3(第4题) (第5题) (第6题)4．如图，正比例函数y ＝x 与反比例函数y ＝1x 的图象相交于A ，B 两点，BC ⊥x 轴于点C ，则△ABC 的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．45．如图，函数y ＝－x 与函数y ＝－4x 的图象相交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C ，D ，则四边形ACBD 的面积为( )A ．2B ．4C ．6D ．86．【2016·本溪】如图，点A ，C 为反比例函数y ＝kx (x ＜0)图象上的点，过点A ，C 分别作AB ⊥x 轴，CD ⊥x 轴，垂足分别为B ，D ，连接OA ，AC ，OC ，线段OC 交AB 于点E ，点E 恰好为OC 的中点，当△AEC 的面积为32时，k 的值为( )A ．4B ．6C ．－4D ．－6已知面积求反比例函数的表达式题型1 已知三角形面积求函数表达式7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴交于点A (－2，0)，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B (2，n )，连接BO ，已知S △AOB ＝4.(1)求该反比例函数的表达式和直线AB 对应的函数表达式； (2)若直线AB 与y 轴的交点为C ，求△OCB 的面积．(第7题)题型2 已知四边形面积求函数表达式8．如图，矩形ABOD 的顶点A 是函数y ＝－x －(k ＋1)的图象与函数y ＝kx 在第二象限的图象的交点，AB ⊥x 轴于B ，AD ⊥y 轴于D ，且矩形ABOD 的面积为3.(1)求两函数的表达式；(2)求两函数图象的交点A ，C 的坐标；(3)若点P 是y 轴上一动点，且S △APC ＝5，求点P 的坐标．(第8题)已知反比例函数表达式求图形的面积题型1 利用对称性求面积9．如图，是由四条曲线围成的广告标志，建立平面直角坐标系，双曲线对应的函数表达式分别为y ＝－6x ，y ＝6x ，现用四根钢条固定这四条曲线．这种钢条加工成矩形产品按面积计算，每单位面积25元，请你帮助工人师傅计算一下，所需钢条一共要花多少钱？(第9题)题型2 利用点的坐标及面积公式求面积10．如图，直线y ＝k 1x ＋b 与反比例函数y ＝k 2x (x ＜0)的图象相交于点A ，点B ，与x 轴交于点C ，其中点A 的坐标为(－2，4)，点B 的横坐标为－4.(1)试确定反比例函数的表达式； (2)求△AOC 的面积．(第10题)题型3 利用面积关系求点的坐标11．【2016·兰州】如图，在平面直角坐标系中，OA ⊥OB ，AB ⊥x 轴于点C ，点A (3，1)在反比例函数y ＝kx的图象上．(1)求反比例函数y ＝kx的表达式；(2)在x 轴的负半轴上存在一点P ，使得S △AOP ＝12S △AOB ，求点P 的坐标；(3)若将△BOA 绕点B 按逆时针方向旋转60°得到△BDE ，点A ，O 的对应点分别为点E ，D .直接写出点E 的坐标，并判断点E 是否在该反比例函数的图象上，说明理由．(第11题)参考答案1．A 点拨：设△ABC 的边AB 上的高为h ，则 S △ABC ＝12AB ·h＝12(AP ＋BP )·h ＝12(AP ·h ＋BP ·h ) ＝12(|－4|＋|2|) ＝12×6 ＝3. 故选A . 2．A3．D 点拨：设△OAC 和△BAD 的直角边长分别为a ，b ，可得出B 点坐标为(a ＋b ，a －b )．因为点B 在反比例函数y ＝6x 第一象限的图象上，所以(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2＝6.所以S △AOC －S △BAD ＝12a 2－12b 2＝12(a 2－b 2)＝12×6＝3.故选D .4．A5．D 点拨：由题意，易得出S △ODB ＝S △AOC ＝12×|－4|＝2.易知OC ＝OD ，AC ＝BD ，所以S △AOC ＝S △ODA ＝S △ODB ＝S △OBC ＝2.所以四边形ACBD 的面积为S △AOC ＋S △ODA ＋S △ODB ＋S △OBC ＝8.6．C 点拨：设点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫m ，k m ，则点E ⎝⎛⎭⎫12m ，k 2m ，A ⎝⎛⎭⎫12m ，2km ，根据三角形的面积公式可得出S △AEC ＝－38k ＝32，由此即可求出k 值．7．解：(1)如图，过点B 作BD ⊥x 轴，垂足为D . 由题易知OA ＝2，BD ＝n .∴S △AOB ＝12OA ·BD ＝12×2n ＝4.∴n ＝4.∴B 点的坐标为(2，4)．∴反比例函数的表达式为y ＝8x.设直线AB 对应的函数表达式为y ＝kx ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝0，2k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝2. ∴直线AB 对应的函数表达式为y ＝x ＋2.(第7题)(2)对于y ＝x ＋2，当x ＝0时，y ＝0＋2＝2，∴C 点的坐标为(0，2)． ∴OC ＝2.∴S △OCB ＝S △AOB －S △AOC ＝4－12×2×2＝2.8．解：(1)由题中图象知k ＜0，由已知条件得|k |＝3，∴k ＝－3. ∴反比例函数的表达式为y ＝－3x ，一次函数的表达式为y ＝－x ＋2. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x ，y ＝－x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝－1.∴点A ，C 的坐标分别为(－1，3)，(3，－1)．(3)设点P 的坐标为(0，m )，直线y ＝－x ＋2与y 轴的交点为M ，则点M 的坐标为(0，2)．∵S △APC ＝S △AMP ＋S △CMP ＝12PM (|－1|＋|3|)＝5，∴PM ＝52，即|m －2|＝52.∴m ＝92或m ＝－12.∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，92或⎝⎛⎭⎫0，－12. 9．解：由反比例函数图象的对称性可知，两条坐标轴将矩形ABCD 分成四个全等的小矩形．因为点A 为y ＝6x 的图象上的一点，所以S 矩形AEOH ＝6.所以S 矩形ABCD ＝4×6＝24.所以总费用为25×24＝600(元)．所以所需钢条一共要花600元．10．解：(1)∵点A (－2，4)在反比例函数y ＝k 2x 的图象上，∴k 2＝－8.∴反比例函数的表达式为y ＝－8x.(2)∵点B 的横坐标为－4，且点B 在反比例函数y ＝－8x 的图象上，∴其纵坐标为2.∴点B 的坐标为(－4，2)．∵点A (－2，4)，B (－4，2)在直线y ＝k 1x ＋b 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝－2k 1＋b ，2＝－4k 1＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝1，b ＝6.∴直线AB 对应的函数表达式为y ＝x ＋6.当y ＝0时，x ＝－6. ∴点C 的坐标为(－6，0)． ∴S △AOC ＝12×6×4＝12.11．解：(1)∵点A (3，1)在反比例函数y ＝kx 的图象上，∴k ＝3×1＝ 3.∴反比例函数的表达式为y ＝3x. (2)∵A (3，1)，AB ⊥x 轴于点C ， ∴OC ＝3，AC ＝1.由题意易得△AOC ∽△OBC ， ∴OC BC ＝AC OC. ∴BC ＝OC 2AC＝3.∴B 点坐标为(3，－3)． ∴S △AOB ＝12×3×(1＋3)＝2 3.∴S △AOP ＝12S △AOB ＝ 3.设点P 的坐标为(m ，0)， ∴12×|m |×1＝ 3. ∴|m |＝2 3.∵P 是x 轴的负半轴上的点， ∴m ＝－2 3.∴点P 的坐标为(－23，0)． (3)点E 的坐标为(－3，－1)．点E 在该反比例函数的图象上，理由如下： ∵－3×(－1)＝3＝k ，∴点E在该反比例函数的图象上．。
专题10 利用反比例函数中k的几何意义求面积的五种考法(学生版)
专题10利用反比例函数中k的几何意义求面积的五种考法目录解题知识必备 (1)压轴题型讲练 (1)类型一、反比例函数中利用k值求三角形的面积 (1)类型二、反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 (2)类型三、反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 (3)类型四、反比例函数中利用k值求矩形的面积 (4)类型五、反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 (5)压轴能力测评（14题） (6)1.求三角形的面积2.求等腰三角形的面积3.求平行四边形的面积4.求矩形的面积5.求阴影部分的面积坐标是(0,)b ，则ABC V 的面积是（）A ．30B ．3C ．60D ．6【变式训练】1．（2024·云南昭通·二模）如图，在平面直角坐标系中，A 是反比例函数()0ky x x=<的图像上的一点，过点A 作AB x ⊥轴于点B ，连接OA ，已知ABO 的面积是5，则k =．第1题第2题第3题2．（2024·湖北·模拟预测）如图，点A 在双曲线9y x =上，点B 在双曲线7y x=上，且AB y ∥轴，则ABC V 的面积等于．3．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）如图所示，是反比例函数3y x=与5y x-=在x 轴上方的图象，点C 是y 轴正半轴上的一点，过点C 作AB x ∥轴分别交这两个图象于A 点和B 点，若点P 在x 轴上运动，则ABP 的面积等于．类型一、反比例函数中利用k 值求三角形的面积例题：（2024·贵州六盘水·二模）如图，点(3,)A a -在反比例函数6y x=-的图象上，点B 的坐标是(3,0)-，点C 的【变式训练】2．（23-24九年级上·广西贺州·期中）如图，若反比例函数y x=的图象上有一点B 与原点和坐标轴上点A 围成一个等腰三角形，则AOB V 的面积是．类型二、反比例函数中利用k 值求等腰三角形的面积【变式训练】2．如图，四边形ABCD 是平行四边形，点D 都在x 轴上，则ABCD Y 3．如图，点A 是双曲线()60y x x =>上的动点，连接BC ，若四边形OABC 为平行四边形，则类型三、反比例函数中利用k 值求平行四边形的面积A ．12B ．9C ．6D ．3【变式训练】1．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，过()0,0k y k x x=≠>的图象上点A ，分别作x 轴，y 轴的平行线交2y x =-的图象于B ，D 两点，以AB ，AD 为邻边的矩形ABCD 被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为1S ，2S ，3S ，4S ，若234112S S S ++=，则k 的值为（）A ．52B ．53C ．4D ．83类型四、反比例函数中利用k 值求矩形的面积例题：（2024·云南文山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 在反比例函数6y x=的图象上，过点P 作PA y ⊥轴，PB x ⊥轴，垂足分别为A 、B ，则矩形AOBP 的面积是（）的面积为（）A ．12k k +B ．12k k -C ．12k kD ．21k k -【变式训练】2．（2024·湖南益阳·二模）如图，在反比例函数10y x=的图象上有1P ，2P ，3P ，L ，2025P 等点，它们的横坐标依次为1，2，3，L ，2025，分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1S ，2S ，3S ，L ，2023S ，2024S ，则12320232024S S S S S +++++=．3．（2023春·八年级单元测试）如图，已知正方形OABC 的面积为9，点，0x >）图象上，点P 是函数ky x=（k 轴的垂线，垂足分别为点E 、F ．设矩形OFPE 和正方形=______；的函数关系式．类型五、反比例函数中利用k 值求阴影部分的面积比例函数2(0)y x x =>的图象于点A ，PD y ⊥轴于点D ，交反比例函数2(0)y x x=>的图象于点B ，则四边形PAOB的面积是（）A ．3B ．6C ．9D ．122．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，点A 在双曲线()20y x x =>上，点B 在双曲线()0ky x x=<上，AB x ∥轴，点C 是x 轴上一点，连接AC BC 、，若ABC V 的面积是6，则k 的值（）A ．6-B ．10C ．10-D ．12-第2题第3题第4题3．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，点A ，B 在反比例函数()40y x x=>的图象上，以OA AB ，为邻边作平行四边形OABC ，点C 恰好落在反比例函数()0ky x x=<的图象上，若平行四边形OABC 的面积是6，则k 的值为（）A ．2-B ．3-C ．32-D ．23-4．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）反比例函数k y x =和1y x =在第一象限内的图象如图所示，点P 在k y x=的图象上，PC x ⊥轴，交1y x=的图象于点A ，PD y ⊥轴，交1y x=的图象于点B ．当点P 在ky x=的图象上运动时，以下结论：①ODB △与OCA 的面积相等；②PA 与PB 始终相等；③四边形PAOB 的面积不会发生变化；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是（）A ．①②③④B ．①③C ．②③④D ．①③④一、单选题1．（23-24八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系xOy 中，点P 在双曲线12y x=上，PA x ⊥轴于点A ，则PAO第5题第6题6．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，点A在双曲线1yx=上，点B在双曲线3yx=上，且AB x∥轴，则ABO的面积是．7．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，点,,P Q R为反比例函数(0,0)ky k xx=>>图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点,,C B A，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为123,,S S S，其中::1:2:3OA AB BC=，若26S=，则13S S+的值为．8．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在反比例函数8(0)y xx=>的图象上有1P，2P，3P，L，2024P等点，它们的横坐标依次为1，2，3，⋯，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1S，2S，3S，L，2023S，2024S，则12320232024S S S S S+++++=．二、填空题5．（23-24九年级上·山东泰安·开学考试）反比例函数(0)ky xx=<如图所示，若矩形OAPB的面积是3，则k的值为．10．（2024·山东枣庄·二模）如图，直线24y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点E ，点(),6B a 在直线上，ABCD 的顶点D 在x 轴上，反比例函数()0ky x x=>的图像经过点B 、C．(1)求反比例函数的关系式和点C 的坐标；(2)求ABCD 的面积．三、解答题9．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）如图，已知A ，B 是反比例函数9(0)y x x=>图象上的两点，AC x ⊥轴于点C ，OB 交AC 于点D ，若OCD 的面积是BCD △的面积的2倍，求AOD △的面积．(1)当点P 的坐标为2,0时，求ABC 的面积．(2)当点P 的坐标为(),0t 时，求ABC 的面积．12．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在x 轴的正半轴上依次截取1122312n n OA A A A A A A -===⋯==，过点123n A A A A ⋯、、、分别作x 轴的垂线与反比例函数10y x=的图像相交于点123n P P P P ⋯、、、得直角三角形111222333441n nn OP A A P A A P A A P A A P A -⋯、、、、、，并设其面积分别为123n S S S S ⋯、、、．(1)求23P P Pn 、、、的坐标(2)求n S 的值；11．（2023·山东青岛·模拟预测）如图，P 为x 轴正半轴上一点，过点P 作x 轴的垂线，交函数1y x=（0x >）的图象于点A ，交函数()40y x x =>的图象于点B ，过点B 作x 轴的平行线，交()10y x x=>于点C ，连结AC ．y 轴、x 轴作垂线，交y 轴于点D ，交x 轴于点C ，连接AC 、BD ．①试探究ADC △与BDC 面积的关系并说明理由；②试探究CD 与AB 之间的位置关系并说明理由．【运用】我们对上述问题进行了实践，如图3，已知点A ，B 在反比例函数20y x =的图像上，且(2,)A m ，B 则是反比例函数20y x=第三象限内图像上的一动点，过点A 作AD x ⊥轴，过点B 作BC y ⊥轴，垂足分别分为D 、C ，若四边形ABCD 的面积为45，求点B 的坐标；【拓展】我们对上述问题进行了延伸，如图4，函数(0)k y k x =<的图像与过原点O 的直线相交于A ，B 两点，点C 是此函数第二象限内图像上的动点（点C 在点B 的右侧），直线BC 分别交于y 轴、x 轴于点D 、G ，连接AC 分别交y 轴、x 轴于点E 、F ．若27DC BC =，求CE CA的值？13．（23-24九年级上·四川达州·期末）【感知】如图1，已知反比例函数(0)k y k x=≠上有两点(4,8)A ，(8,4)B --，AD y ⊥轴交y 轴于点D ，BC x ⊥轴交x 轴于点C ，则ADC S =△_____，=BDC S V _____，CD 与AB 的位置关系为：_________．【探究】我们对上述问题进行了思考，如图2，当A ，B 是双曲线(0)k y k x=<同一支上任意两点，过A 、B 分别向(1)初步尝试如图2，点A ，E 分别在反比例函数2y x =和4y x-=的图象上，四边形ABOC 和EFOB 都是矩形，易知四边形EFCA 也是矩形，分别求矩形EFOB 和EFCA 的面积．(2)类比探究如图3，点A ，C 在反比例函数()0a y a x =>的图象上，点B ，D 在反比例函数()0b y b x=<的图象上，AB CD x ∥∥轴，AB 与CD 在x 轴的两侧，3AB =，2CD =，AB 与CD 的距离为5，求a b -的值．【分析】如图4，过A ，B ，C ，D 四点分别作AE 、BF 、CG 、DH x ⊥轴于点E ，F ，G ，H ，设AB ，CD 分别与y 轴交于N ，M ，显然四边形ANOE ，BNOF ，CMOG ，DMOH 均为矩形，且ANOE BNOF CMOG DMOH S S S S a b +=+=-，可设CG 为h ，则5BF h =-，从而可得：()235h h =-，……请根据上述思路，写出完整的解题步骤．(3)拓展延伸如图5，已知反比例函数m y x =和n y x ，0m n >>，若点B ，C 在m y x =图象上，点A ，D 在n y x =图象上，且AB CD x ∥∥轴，53AB =，56CD =，AB 和CD 间的距离为12，求m n -的值．14．（24-25九年级上·湖南郴州·开学考试）知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点A 是反比例函数k y x=上任意一点，则矩形ABOC 的面积为k ．。
2023年中考数学高频考点二轮专题训练--反比例函数系数k的几何意义
2023年中考数学高频考点二轮专题训练--反比例函数系数k的几何意义一、综合题1．如图，在△AOB中，△ABO=90°，OB=4，AB=8，反比例函数y= k x在第一象限内的图象分别交OA，AB于点C和点D，且△BOD的面积S△BOD=4．（1）求反比例函数解析式；（2）求点C的坐标．2．过反比例函数y= k x(k < 0)的图象上一点A 作x 轴的垂线交x 轴于点B ，O 为坐标原点，且△ABO 的面积S△ABO = 4 ．（1）求k 的值；（2）若二次函数y = ax2与反比例函数y= k x(k < 0)的图象交于点C(-2，m) ，请结合函数的图象写出满足ax2< k x的x的取值范围．3．如图，一次函数y＝mx＋5的图象与反比例函数y＝k x（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，n）和B（4，1）两点，过点A作y轴的垂线，垂足为M.（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△OAM的面积S；（3）在y轴上求一点P，使PA＋PB最小.4．如图，一次函数y=−12x+52的图象与反比例函数y=kx(k>0)的图象交于A，B两点，过点A做x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）在x轴上求一点P，使|PA−PB|的值最大，并求出其最大值和P点坐标.5．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直角三角形AOB的直角顶点B在x轴正半轴上，点A在第一象限，OB＝2，tan△AOB＝2．（1）求图象经过点A的反比例函数的解析式；（2）点C是（1）中反比例函数图象上一点，连接OC交AB于点D，连接AC，若D为OC中点，求△ADC的面积．6．如图，Rt△ABO的顶点O在坐标原点，点B在x轴上，△ABO=90°，△AOB=30°，OB=2 √3，反比例函数y= kx（x＞0）的图象经过OA的中点C，交AB于点D．（1）求反比例函数的关系式；（2）连接CD，求四边形CDBO的面积．7．如图，已知反比例函数y=m−7x的图象的一支位于第一象限．（1）该函数图象的另一分支位于第象限，m的取值范围是；（2）已知点A在反比例函数图象上，AB△x轴于点B，△AOB的面积为3，求m的值．8．如图，四边形ABCD是矩形，点A在第四象限y1＝﹣2x的图象上，点B在第一象限y2＝k x的图象上，AB交x轴于点E，点C与点D在y轴上，AD＝32，S矩形OCBE＝32S矩形ODAE.（1）求点B的坐标.（2）若点P在x轴上，S△BPE＝3，求直线BP的解析式.9．如图，点P(3，2)在反比例函数y= k x(x>0)的图象上，过点P作PM△x轴交反比例函数y= 2x的图象于点M，作PNIIy轴交反比例函数y= 2x的图象于点N，连接MN。
反比例函数专题一、k的几何意义解与面积相关问题
∴点A，C的坐标分别为(－1，3)，(3，－1)．
专题训练
(3)若点P是y轴上一动点，且S△APC＝5，求点P的坐标． 解：设点P的坐标为(0，m)，直线y＝－x＋2与y轴的交点
为M，则M的坐标为(0，2)．
∵S△APC＝S△AMP＋S△CMP＝
1 2
×PM×(|－1|＋|3|)＝5，
∴PM＝ 5 ，即|m－2|＝ 5 .∴m＝ 9 或m＝－ 1 .
解：
由
ìïïïíïïïî
y y
= =
- x+ 6， x
7,
得
祆 镲 镲 眄 镲 镲 铑xy11
= =
1, x2 6，y2
= =
6, 1.
∴点D的坐标为(6，1)．
当x＝2时，反比例函数图象上的点为(2，3)，
直线上的点为(2，5)，此时可得整点为(2，4)；
当x＝3时，反比例函数图象上的点为(3，2)，
a 的图象上， x
∴a＝3×2＝6，∴反比例函数的表达式为y＝
6
.
x
∵B(3，2)，∴EF＝2.∵BD⊥y轴，OC＝CA，
∴AE＝EF＝ 1 AF，∴AF＝4，∴点A的纵坐标为4.
2 ∵点A在反比例函数y＝
6 的图象上，
∴点将AA的( 横3 坐, 4标)，为B(332，，2∴)的xA坐( 32标,代4)入. y＝kx＋b，得
专题训练
题型2 利用对称性求面积 7．如图是由四条曲线围成的广告标志，建立平面直角坐
标＝系6x ，.现双用曲四线根对钢应条的固函定数这解四析条式曲分线别，为这y＝种－钢条6x ，加y工 成矩形产品按面积计算，每单位面积25元，请你帮助 工人师傅计算一下，所需钢条一共花多少钱？
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名师点金：反比例函数的系数 k 具有一定的几何意义，|k|等于反比例函数 y ＝ (k ≠0)图1．如图，过 y 轴上任意一点 P ，作 x 轴的平行线，分别与反比例函数 y ＝－ 和 y ＝ 的2．如图，P 是反比例函数 y ＝ 的图象上一点，过 P 点分别向 x 轴，y 轴作垂线，所得A ．y ＝－B ．y ＝C ．y ＝－D ．y ＝ 4．如图，正比例函数 y ＝x 与反比例函数 y ＝ 的图象相交于 A ，B 两点，BC ⊥x 轴于点专训 1 用反比例函数系数 k 的几何意义解与面积相关问题kx象上任意一点向两坐标轴所作垂线与坐标轴所围成的矩形的面积．在反比例函数的图象中，涉及三角形或矩形的面积时，常用系数 k 的几何意义求解．反比例函数的系数 k 与面积的关系4 2x x图象交于 A 点和 B 点，若 C 为 x 轴上的任意一点，连接 AC ，△BC ，则ABC 的面积为()A ．3B ．4C ．5D ．6(第 1 题)(第 2 题) (第 3 题)kx到的图中阴影部分的面积为 6，则这个反比例函数的表达式为()6633x x x x3．【2016· 菏泽】如图，△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角形，∠ACO ＝∠ADB ＝90°，6反比例函数 y ＝x 在第一象限的图象经过点 B ，则△OAC 与△BAD 的面积之差 △S OAC －△S BAD为()A ．36B ．12C ．6D ．3(第 4 题)(第 5 题) (第 6 题)1xC ，则△ABC 的面积为()A ．1B ．2C ．3D ．4xx2 本45．如图，函数 y ＝－x 与函数 y ＝－ 的图象相交于 A ，B 两点，过 A ，B 两点分别作 y轴的垂线，垂足分别为点 C ，D ，则四边形 ACBD 的面积为( )A ．2B ．4C ．6D ．8k6．【2016· 溪】如图，点 A ，C 为反比例函数 y ＝ (x ＜0)图象上的点，过点 A ，C 分别作 AB ⊥x 轴，CD ⊥x 轴，垂足分别为 B ，D ，连接 OA ，AC ，OC ，线段 OC 交 AB 于点 E ，3点 E 恰好为 OC 的中点，当△AEC 的面积为 时，k 的值为()A ．4B ．6C ．－4D ．－6已知面积求反比例函数的表达式题型1 已知三角形面积求函数表达式7．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 AB 与 x 轴交于点 A (－2，0)，与反比例函数在第一象限内的图象交于点 B (2，n)，连接 BO ，已知 S △AOB ＝4.(1)求该反比例函数的表达式和直线 AB 对应的函数表达式；(2)若直线 AB 与 y 轴的交点为 C ，求△OCB 的面积．(第 7 题)8．如图，矩形 ABOD 的顶点 A 是函数 y ＝－x －(k ＋1)的图象与函数 y ＝ 在第二象限的达式分别为 y ＝－ ，y ＝ ，现用四根钢条固定这四条曲线．这种钢条加工成矩形产品按面题型2 已知四边形面积求函数表达式kx图象的交点，AB ⊥x 轴于 B ，AD ⊥y 轴于 D ，且矩形 ABOD 的面积为 3.(1)求两函数的表达式；(2)求两函数图象的交点 A ，C 的坐标； (3)若点 P 是 y 轴上一动点，且 △SAPC＝5，求点 P 的坐标．(第 8 题)已知反比例函数表达式求图形的面积题型1 利用对称性求面积9．如图，是由四条曲线围成的广告标志，建立平面直角坐标系，双曲线对应的函数表6 6x x积计算，每单位面积 25 元，请你帮助工人师傅计算一下，所需钢条一共要花多少钱？(第 9 题)21)在反比例函数 y ＝ 的图象上．(1)求反比例函数 y ＝ 的表达式；题型2 利用点的坐标及面积公式求面积k 10．如图，直线 y ＝k 1x ＋b 与反比例函数 y ＝ x (x ＜0)的图象相交于点 A ，点 B ，与 x 轴交于点 C ，其中点 A 的坐标为(－2，4)，点 B 的横坐标为－4.(1)试确定反比例函数的表达式；(2)△求 AOC 的面积．(第 10 题)题型3 利用面积关系求点的坐标11．【2016· 兰州】如图，在平面直角坐标系中，OA ⊥OB ，AB ⊥x 轴于点 C ，点 A( 3，k xkx1(2)在 x 轴的负半轴上存在一点 P ，使得 S △ AOP ＝2△SAOB，求点 P 的坐标；(3)△若将 BOA 绕点 B 按逆时针方向旋转 60°△得到BDE ，点 A ，O 的对应点分别为点E ，D .直接写出点 E 的坐标，并判断点 E 是否在该反比例函数的图象上，说明理由．(第 11 题)＝ (AP ＋BP )· h＝ (AP · h ＋BP · h )＝ (|－4|＋|2|)＝ ×6－b )．因为点 B 在反比例函数 y ＝ 第一象限的图象上，所以(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2＝6.所以m ，，则点Em ， ，A m ，，根据三角形的6．C 点拨：设点 C 的坐标为m ⎭ 2m ⎭ m ⎭⎝ ⎝2 ⎝2∴反比例函数的表达式为 y ＝ .⎪ ⎪ ⎩ ⎩ 参考答案1．A 点拨：△设 ABC 的边 AB 上的高为 h ，则1△S ABC ＝2AB · h1212 12 1 2＝3.故选 A.2．A3．D 点拨：△设 OAC △和 BAD 的直角边长分别为 a ，b ，可得出 B 点坐标为(a ＋b ，a6x1 1 1 1S △ AOC －△SBAD ＝2a 2－2b 2＝2(a 2－b 2)＝2×6＝3.故选 D.4．A15．D 点拨：由题意，易得出 S △ ODB ＝S △ AOC ＝2×|－4|＝2.易知 OC ＝OD ，AC ＝BD ，所以 △S AOC ＝△SODA＝△SODB＝△SOBC＝2.所以四边形 ACBD 的面积为 S △ AOC ＋△SODA＋S △ ODB＋△S OBC ＝8.⎛ k ⎫ ⎛1 k ⎫ ⎛1 2k ⎫3 3面积公式可得出 △SAEC ＝－8k ＝2，由此即可求出 k 值．7．解：(1)如图，过点 B 作 BD ⊥x 轴，垂足为 D.由题易知 OA ＝2，BD ＝n .1 1∴△S AOB ＝2OA · BD ＝2×2n ＝4.∴n ＝4.∴B 点的坐标为(2，4)．8 x设直线 AB 对应的函数表达式为 y ＝kx ＋b ，由题意得⎧－2k ＋b ＝0， ⎧k ＝1，⎨解得⎨ ⎪2k ＋b ＝4， ⎪b ＝2.∴直线 AB 对应的函数表达式为 y ＝x ＋2.∴反比例函数的表达式为 y ＝－ ，3⎧⎪y ＝－ ， (2)由⎨⎧⎪x 1＝－1，⎧⎪x 2＝3， ∴PM ＝ ，即|m －2|＝ .∴m ＝ 或 m ＝－ .0，或 0，－ .∴点 P 的坐标为 2⎭⎝ 2⎭ ⎝210．解：(1)∵点 A(－2，4)在反比例函数 y ＝ 的图象上， ∴反比例函数的表达式为 y ＝－ .⎩ ⎩(第 7 题)(2)对于 y ＝x ＋2，当 x ＝0 时，y ＝0＋2＝2，∴C 点的坐标为(0，2)．∴OC ＝2.1∴△S OCB ＝△S AOB －△S AOC ＝4－2×2×2＝2.8．解：(1)由题中图象知 k ＜0，由已知条件得|k|＝3，∴k ＝－3.3 x一次函数的表达式为 y ＝－x ＋2. x ⎪⎩y ＝－x ＋2，解得⎨ ⎨⎪y 1＝3， ⎪y 2＝－1.∴点 A ，C 的坐标分别为(－1，3)，(3，－1)．(3)设点 P 的坐标为(0，m )，直线 y ＝－x ＋2 与 y 轴的交点为 M ，则点 M 的坐标为(0，2)．1∵△SAPC ＝△S AMP ＋△SCMP ＝2PM(|－1|＋|3|)＝5，5 52 29 12 2⎛ 9⎫ ⎛ 1⎫ 9．解：由反比例函数图象的对称性可知，两条坐标轴将矩形 A BCD 分成四个全等的小6矩形．因为点 A 为 y ＝x 的图象上的一点，所以 S 矩形 AEOH ＝6.所以 S 矩形 ABCD ＝4×6＝24.所以总费用为 25×24＝600(元)．所以所需钢条一共要花 600 元．kx∴k 2＝－8.8x(2)∵点 B 的横坐标为－4，且点 B 在反比例函数 y ＝－ 的图象上，⎧⎪4＝－2k 1＋b ， ⎧⎪k ＝1， 11．解：(1)∵点 A( 3，1)在反比例函数 y ＝ 的图象上，∴反比例函数的表达式为 y ＝ 3 ∴OC ACAC ＝3.∴ ×|m |×1＝ 3.⎩8x∴其纵坐标为 2.∴点 B 的坐标为(－4，2)．∵点 A(－2，4)，B(－4，2)在直线 y ＝k 1x ＋b 上，∴⎨ 解得⎨ 1 ⎪2＝－4k 1＋b ，⎪⎩b ＝6.∴直线 AB 对应的函数表达式为 y ＝x ＋6.当 y ＝0 时，x ＝－6.∴点 C 的坐标为(－6，0)．1 ∴△SAOC ＝2×6×4＝12.kx∴k ＝ 3×1＝ 3.x .(2)∵A( 3，1)，AB ⊥x 轴于点 C ，∴OC ＝ 3，AC ＝1.由题意易得△ AOC ∽△OBC ，BC ＝OC .OC 2∴BC ＝∴B 点坐标为( 3，－3)．1 ∴△SAOB ＝2× 3×(1＋3)＝2 3.1∴△S AOP ＝2△SAOB＝ 3.设点 P 的坐标为(m ，0)，12∴|m |＝2 3.∵P 是 x 轴的负半轴上的点，∴m ＝－2 3.∴点 P 的坐标为(－2 3，0)．(3)点 E 的坐标为(－ 3，－1)．点 E 在该反比例函数的图象上，理由如下：∵－ 3×(－1)＝ 3＝k ，∴点E在该反比例函数的图象上．。