圆的对称性之垂径定理(523)[1]2

的两条弧.
（）
• ⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所
求∠C度数.
(第 1 题)
（第 2 题）
2.如图，AB是直径，B︵C＝C︵D＝D︵E，
∠BOC＝40°，求∠AOE的度数
• 圆是轴对称图形吗？ 如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条 对称轴？ 你是用什么方法解决上述问题的?
●O
• 圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴.
已知：如图AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心 距，请根据所学内容填空：
（1）如果AB=CD，那么 OE=OF 、AB = CD ∠、AOB= ∠COD 。
（2）如果OE=OF，么 AB=CD 、AB = CD 、∠AOB= ∠COD 。 如果 ∠AOB= ∠COD，么 AB=CD 、 OE=OF、 AB = CD 。
• 如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM,
④A⌒C = B⌒C,
⑤
A⌒D
=
⌒
BD.
C
只要具备其中两个条件,
A
M└
B 就可推出其余三个结论.
●O
你可以写出相应的命题吗?
D
垂径定理及逆定
理 ① CD是直径, ⌒ ⌒ ④AC=BC,
② CD⊥AB,
⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
• 老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况:
1.两条弦在圆心的同侧 2.两条弦在圆心的两侧
A
●O
B
A
B
●O
C
D
M
C
D
M
垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
讲解
M
如果圆的两条弦互相平 C 行，那么这两条弦所夹 A
的弧相等吗？
已知：⊙O中弦 AB∥CD。
D B
.O
求证：A⌒C＝B⌒D
N
证明：作直径MN⊥AB。∵AB∥CD， ∴MN⊥CD。则AM＝⌒BM，⌒CM＝D⌒M（垂⌒直 平分弦的直径平分弦所对的弦）
可利用折叠的方法即可解决上述问题.
●O
AB是⊙O的一条弦.
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
A
M└
你能发现图中有哪些等量关系? B 与同伴说说你的想法和理由.
●O
题设
D 由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
结论
③AM=BM,
⌒ ⌒ ④ AC =BC, ⌒ ⌒ ⑤ AD= BD.
N
∴AB=CD
例题选讲
3、如图，AB、CD为⊙O的两条 直径，弦CE∥BA，E»C为400. 求 ∠BOD的度数.
如果 AB = CD ，你能找出图中相等的弧吗？
B
C
A⌒B = C⌒D
O
A
D⌒ AB +
⌒BC=
⌒ CD
+
⌒BC
A⌒C = B⌒D
你还能找出图中相等的弦吗？AC = BD
1.如图，在⊙O中，A︵B＝A︵C，∠B＝7的长为8厘米，圆心 A O到AB的距离为3厘米， 求⊙O的半径。
E
B
.
O
解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E，
则OE＝3厘米，AE＝BE。
∵AB＝8厘米
∴AE＝4厘米
在Rt AOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米。
垂径定理的逆定理
③ AM=BM,
条件 结论
命
题
C
A
B
M└
●O
①② ①③ ①④ ①⑤ ②③ ②④
③④ ⑤
②④ ⑤
②③ ⑤
②③ ④
①④ ⑤
①③ ⑤
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两D 条弧.
平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 另一条弧.
垂径定理• 如图,小明的理由是:
• 连接OA,O则B,OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
C
∵OA=OB，OM=OM，
A
M└
B
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
●O
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称. D ∵⊙O关于直径CD对称,
∴重当合圆, 沿⌒ AC和着B直C⌒重径合,CD对⌒ AD折和B时D⌒重,点合.A与点B ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ AC =BC, AD =BD.
垂径定理三种语言
• 定理: 垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的两条弧.
C
如图∵ CD是直径, CD⊥AB,
• 老师提示: • 垂径定理是
A
B
M└
●O
∴AM=BM,
圆中一个重
A⌒C =B⌒C,
要的结论,三 种语言要相
D
A⌒D=B⌒D.
互转化,形成 整体,才能运
用自如.
垂径定理的逆定理
• AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
∵ AB=BC=AC．
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
B
= 1 3600 3
O·
C
＝ 1200
例题选讲
2、如图，点O是∠EPF的平分线上的一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于点 A、B和C、D。 求证：AB=CD
证明：作OM⊥AB于M ，
M
ON⊥CD于N 点O是
∠EPF的平分线上的一点，
∵OM=ON (角平分线性质）
（4）如果 AB = CD 那么 OE=OF 、AB=CD 、∠AOB= ∠CO。D
（5）要证AB=CD，必须有
或
或
条件。
OE=OF
AB = CD ∠AOB=∠COD
B O
E A
F
C
D
例题选讲
例1 如图, 等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上. ∠AOB=∠BOC=∠AOC=1200.
求证：
A
证明：
AM⌒ －CM⌒
＝
⌒
BM
－D⌒M
∴AC⌒＝BD⌒ 圆的两条平行弦所夹的弧相等
3.如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于
E．则下列结论中错误的是( C ).
A.∠COE＝∠DOE B.CE＝DE
C.AE＝OE
D.BC= BD
试一试P93 12
挑战自我填一填
• 1、判断：
• ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 平分弦和所对的另一条弧.
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
②⑤ ①③
垂径定理的推论
• 如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相 等吗?
过点M作直径CD.
右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
• 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说 说你的想法和理由.
C
A
┗●
M
●O
B 由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
②CD⊥AB,
⌒ ⌒ ④AC=BC,
⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
平分弦（不是．直径）的直径
D
垂直于弦,并且平 分弦所对不的是两直条弧径.