微分方程建模实例二
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• 他们从一家曾向纳粹德国出卖过 艺术品的公司中发现线索，于 1945年5月29日以通敌罪逮捕 了三流画家汉·凡·米格伦(Han van Meegeren)，此人曾将17 世纪荷兰著名画家约翰内斯·维 米尔(Johannes Vermeer)的一些 油画卖给了当时纳粹德国的空军 司令戈林.
a
维米尔名作 《戴珍珠耳环的少女》
t0
ln 2
a
21
(3) 铀238 T 45亿年
镭226
T 1600 年
(无放射性)
铅206
钋210 T 22年 铅210
(放射性)
T 138天
地壳里几乎所有的岩石中均含有微量的铀. 一方面， 铀系中各种放射性物质均在不断衰减；另一方面，铀 又不断衰减，补充着其后继元素.
a
22
模型构成：
14
• 最初，米格伦的确惊慌了一阵子. 可是，米格伦在同 年7月12日在牢里突然宣称：他从未把真画卖给戈林， 而且他还说，这些画包括当时众所周知的油画《在埃 牟斯的门徒》都是他自己为“戏弄纳粹”的仿制品.
《在埃牟斯的门徒》 （The Disciples at
Emmaus）
米格伦最著名的伪作 之一
• 一位法官试图证明米格伦确有通过制赝牟利的动机， 他却高调回答：“如果我不卖个高价，他们就不会相 信这是真的！”
a
28
模型构成：
• 设需求量有一个上界，记此上界为 K. (对于耐用产品,人们一般不会重复购买. 因此,
产品的累积销售量可认为是购买者人数) • 记 t 时刻已销售出的商品数量为 x(t)，则尚未
使用该商品的人数为 K－x(t) . • 于是， x(t)满足
由荷兰生物数学家 P. F. Verhust 于1837 年在 研究人口问题时建立. 基于这个模型能够描述 一些事物的客观规律，常被称为Logistic 模型.
阻滞作用随人口数量增加而变大 r 是 x 的减函数
a
9
假定 r(x) r0 sx (r0, s 0)
r (0) = r0：固有增长率
(4) 各地采集的岩石中铀的含量差异很大，但从未发现 含量高于3%的.
a
25
• 由于提炼前岩石中的铀系是处于放射性平衡的，故 铀与铅的单位时间分解数相同.
• 设 λu是铀的衰变率， λ 是铅210的衰变率，
U0是 0 时刻白铅中铀的含量， N0 是 0 时刻白铅中铅210的含量.
于是， uU0 N0.
即使海洋全M 部变alt成hu陆s地模，型每实人际也上只只有有9在.3群平体方总英尺的活动范围， 而上到排2成67二0年层所净它，数生生等了以增应人.不物存原长当M故口太群空因率与a马达大 体 间 ，lt不人尔h3时的，就6u可口萨×才各有可s1能数模斯0合成限能1始量型模5理员的发个终有假型之自生，，保关设是间然生当只持.的不由资存总3好.5x常人1完01于源竞数1一数口善有及争增个，的限食等大人.的 物 现时站马尔萨，斯在模型人另口预测 一人的肩
• 设 t 时刻1克白铅中铅210的含量为 N(t)； • 设镭单位时间铅210的分解数为 r (常数)； • 设 λ 为铅210的衰变率，则N(t)满足微分方程：
dN
dt
N
r
N (t 0 ) N0
由此解得：
N (t)
r
[1 e (tt0 ) ]
N e (tt0 ) 0
a
23
于是，
N0 N (t)e (tt0 ) r[e (tt0 ) 1].
dx dt
rx(t ),
x(t) x e rt
x(0) x0.
0
x0(er )t
当 r > 0，随着时间的增加， 人口按指数规律无限增长!
x0(1 r )t .
回忆： x x (1 r)k
k
0
(r 1)
a
6
模型检验：
• 比较历年的人口统计资料，可以发现人口增长的实际情况 与马尔萨斯模型的预报结果基本相符.
解数的上界，若画上的铅分
解数大于该值，说明画是赝
品；但若是小于不能断定画
一定是真品.
a
27
4.2.3 耐用新产品的销售速度问题
• 一种耐用新产品进入市场后，一般会都经过一 个销售量先不断增加，然后下降的过程. 研究 新产品销售量的变化规律,对于制定生产计划 以及制定促销策略都很有意义.
• 怎样建立数学模型描述产品的销售速度，并由 此给出一些有用的结果以指导生产？
a
17
• 然而，事情到此并未结束，许多人还是不肯相信著名 的《在埃牟斯的门徒》是米格伦伪造的. 事实上，在此 之前这幅画已经被文物鉴定家认定为真迹，并以17万 美元的高价被伦布兰特学会买下.
• 专家小组对于怀疑者的回答是：由于米格伦曾因他在 艺术界中没有地位而十分懊恼，他下决心绘制《在埃 牟斯的门徒》，来证明他高于三流画家. 当创造出这样 的杰作后，他的志气消退了. 而且，当他看到这幅《在
于是，k 年后的人口为:
x x (1 r)k
k
0
美丽的大自然
a
3
模型二 (指数增长模型，即 Malthus 模型)：
英国著名经济学家，出生于 英格兰的一个土地贵族家庭. 1784年进入剑桥大学学习， 1798年加入英国教会的僧籍, 任牧师. 1799年到欧洲一些 国家调查人口问题. 1805年 成为英国第一位(也是世界上 第一位)政治经济学教授.
4.2 微分方程建模实例(二)
4.2.1. 人口增长模型 4.2.2. 赝品的鉴定 4.2.3. 耐用新产品的销售速度问题 4.2.4. 传染病模型
a
1
4.2.1 人口增长模型
年 人口(亿)
世界人口增长概况
1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 5 10 20 30 40 50 60
马尔萨斯(1766～1834) Malthus，Thomas Robert
a
4
模型假设：
• 人口增长率 r 是常数.
• 人口的数量本应取离散
值，但由于人口数量一
般较大，为建立微分方
程模型，可以将人口数
量看作连续变量，甚至
允许它为可微变量，由
此引起的误差将是十分
微小的.
a
5
模型构成：
设 x(t) 表示 t 时刻的人口，有
放射性现象：著名物理学家卢瑟夫在二十世纪初发现， 某些“放射性”元素的原子是不稳定的，在已知的一 段时间内，有一定比例的原子会自然蜕变形成新元素 的原子，且 物质的放射性正比于现存物质的原子数.
用 N(t) 表示时刻 t 时存在的原子数,则：
dN N (λ 为物质的衰变率)
dt
a
19
dN
dt
埃牟斯的门徒》那么容易卖掉以后，他在炮制后来的 伪制品时就不太用心了.
• 这种解释不能使怀疑者感到满意，他们要求完全科学 确定地证明《在埃牟斯的门徒》的确是一个伪造品.
• 这一问题拖了20年，直到1967年，才被卡内基·梅伦 大学的科学家们基本解决.
a
18
原理与模型 出发点：测定油画中颜料矿物质的年龄. 测定年龄的关键依赖于二十世纪初发现的放射性现象.
2.309，x0 = 5, xm = 375 的Logistic曲线：
x(t)
1
375 74e2.309t
几乎完全吻合.
a
x(t)
xm
1 ( xm x0
1)1e2 r0t
总结
阻滞增长模型从一定程度上克服了指数增长模型的
不足，可以被用来做相对较长时期的人口预测；而
指数增长模型在做人口的短期预测时因为其形式的 相对简单性也常被采用.
s 的意义是什么？
xm：人口容量(资源、环境能容纳的最大数量)
r(xm ) 0
s= r0 xm
r(x)=r0(1-
x xm
)
a
10
dx dt
r(x )x
dx/dt
r0(1
x )x, xm
x(0) x0.
0
x xm
x(t)
xm
1 ( xm 1)er0t
x0
xm/2 x0 0
a
xm/2
xm x
(1) 地壳里几乎所有的岩石中均含有微量的铀. 一方面， 铀系中的各种放射性物质均在不断衰减，另一方面， 铀又不断地衰减，补充着其后继元素.
(2) 从而，各种放射性物质（除铀以外）在岩石中处于 放射性平衡中.
(3) 从铅矿中提炼铅时，铅210与铅206一起被作为铅留 下，而其余物质则有90—95%被留在矿渣里，因而 打破了原有的放射性平衡.
由此推算出每克白铅中铅210每分钟分解数不能大 于30000个，否则铀的含量将超过4%，而这是不可 能的.
a
26
若 uU0 N0 30000 60 24 365
则
U0
30000 60
u
24 365
1.02 1020
(个)
这些铀约0.04克！
即每克白铅约含0.04克铀，含量为 4% .
以上确定了每克白铅中铅分
a
15
• 这件事在当时震惊了全世界，为了证明自己是一个伪造 者，米格伦在监狱里开始伪造维米尔的油画《在埃牟斯 的门徒》.
• 旁听的民众为之疯狂，在短短的时间内，卖国贼成了民 族英雄，罪名转化为盛名， 1947年10月12日米格伦被 宣告犯有伪造罪，判刑一年. 可是他在监狱中只待了两个 多月就因心脏病发作，于1947年12月30日去世了.
若 近此似画值是. 对真油品画，《t -在t0埃≈ 3牟00斯(的年门) . 徒从》而具可体求计出算λ如y0 下的：
N0 N (t)e300 r[e300 1]
由于半衰期: T ln 2 ,
于是， ln 2 .
22
N0 98050个 / 每分钟每克.
a
24
与本问题相关的进一步的知识:
象.
3
2.5
2
N/人
1.5
1
0.5
0
a
1950
2000
2050
2100
t/年
2150
82200
由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限
增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人
均资源占有率的下降及环境恶化、疾病增多等 原因，出生率将降低而死亡率却会提高.
模型三 (阻滞增长模型，即 Logistic 模型)：
(1) 艺术家们应用白铅作为颜料之一，已有两千多 年历史. 白铅中含有微量的放射铅210，白铅是从 铅矿中提炼出来的，而铅又属于铀系.
(2) 衡量物质衰变的一个常用参数是它的半衰期， 即给定数目的放射性原子衰变一半所需的时间.
利用 N (t) N0e (tt0 ) ,
令 N 1 N0 2
则有:
T
t
Malthus 模型与 Logistic 模型虽然都是为了研究种
群数量的增长情况而建立的，但它们也可用来研究
其他实际问题，只要这些实际问题的数学规律与 Malthus 模型与 Logistic 模型所反映的数学规律类似 即可.
a
13
4.2.2 赝品的鉴定
• 在第二次世界大战比利时解放后 ，荷兰野战军保安机关开始搜捕 纳粹同谋犯.
中国人口增长概况
年
1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000
人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0
研究人口变化规律，控制人口过快增长！
a
2
模型一 (最简单的人口增长模型)：
假设今年的人口是 x0, 人口的年增长率是常数 r ,
a
16
• 六十年后，美国记者、专栏作家乔 纳森·洛佩兹(Jonathan Lopez)出 版了《制造维米尔的人》(The man who made Vermeers) 一书. 在书中，洛佩兹表达了对那个时代
荷兰人民的体谅：“荷兰人对米格 伦的态度并非不可理解. 在二战中， 这个国家遭遇了残酷的羞辱，光复 也是在盟国的帮助下完成. 米格伦 给了未能主宰自身命运的荷兰人内 心深处想要得到的东西. 而对于 ‘欺骗’这种事情，他又是太熟谙 了.”
t 11
模型检验和预测：
• 大量实验资料表明用Logistic模型描述种群的增长， 效果相当不错!
百度文库• 例如，数学家高斯把 5 只草履虫放进一个盛有 0.5cm3 营养液的小试管，他发现，开始时草履虫
以每天 230.9% 的速率增长，此后增长速度不断减
慢，到第五天达到最大量375个，实验数据与r0 =
N
N (t0 ) N0
其解为: N (t) N0e(tt0 ).
与负增长的Malthus 模型完全一样
•
称 t – t0 为衰变时间,
于是
t t0
1 ln
N0 . N
•
λ和 代.
N(t)
能测出或算出，只要再知道
N0
就可断
• 这正是问题的难处，下面是间接确定N0 的方法.
a
20
与本问题相关的其他知识:
• 特别，利用马尔萨斯模型验证并检查1700年至1961的260 年间人口实际数据，发现两者几乎完全一致！
• 例如，1961年世界人口数为30.6 亿 ，人口数大约每35年 增加一倍.
a
7
模型预测：
假如人口数真能保持每35年增加一倍，那么人口数将以
几何级数的方式增长。例如，到2510年，人口达2×1014个，
a
维米尔名作 《戴珍珠耳环的少女》
t0
ln 2
a
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(3) 铀238 T 45亿年
镭226
T 1600 年
(无放射性)
铅206
钋210 T 22年 铅210
(放射性)
T 138天
地壳里几乎所有的岩石中均含有微量的铀. 一方面， 铀系中各种放射性物质均在不断衰减；另一方面，铀 又不断衰减，补充着其后继元素.
a
22
模型构成：
14
• 最初，米格伦的确惊慌了一阵子. 可是，米格伦在同 年7月12日在牢里突然宣称：他从未把真画卖给戈林， 而且他还说，这些画包括当时众所周知的油画《在埃 牟斯的门徒》都是他自己为“戏弄纳粹”的仿制品.
《在埃牟斯的门徒》 （The Disciples at
Emmaus）
米格伦最著名的伪作 之一
• 一位法官试图证明米格伦确有通过制赝牟利的动机， 他却高调回答：“如果我不卖个高价，他们就不会相 信这是真的！”
a
28
模型构成：
• 设需求量有一个上界，记此上界为 K. (对于耐用产品,人们一般不会重复购买. 因此,
产品的累积销售量可认为是购买者人数) • 记 t 时刻已销售出的商品数量为 x(t)，则尚未
使用该商品的人数为 K－x(t) . • 于是， x(t)满足
由荷兰生物数学家 P. F. Verhust 于1837 年在 研究人口问题时建立. 基于这个模型能够描述 一些事物的客观规律，常被称为Logistic 模型.
阻滞作用随人口数量增加而变大 r 是 x 的减函数
a
9
假定 r(x) r0 sx (r0, s 0)
r (0) = r0：固有增长率
(4) 各地采集的岩石中铀的含量差异很大，但从未发现 含量高于3%的.
a
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• 由于提炼前岩石中的铀系是处于放射性平衡的，故 铀与铅的单位时间分解数相同.
• 设 λu是铀的衰变率， λ 是铅210的衰变率，
U0是 0 时刻白铅中铀的含量， N0 是 0 时刻白铅中铅210的含量.
于是， uU0 N0.
即使海洋全M 部变alt成hu陆s地模，型每实人际也上只只有有9在.3群平体方总英尺的活动范围， 而上到排2成67二0年层所净它，数生生等了以增应人.不物存原长当M故口太群空因率与a马达大 体 间 ，lt不人尔h3时的，就6u可口萨×才各有可s1能数模斯0合成限能1始量型模5理员的发个终有假型之自生，，保关设是间然生当只持.的不由资存总3好.5x常人1完01于源竞数1一数口善有及争增个，的限食等大人.的 物 现时站马尔萨，斯在模型人另口预测 一人的肩
• 设 t 时刻1克白铅中铅210的含量为 N(t)； • 设镭单位时间铅210的分解数为 r (常数)； • 设 λ 为铅210的衰变率，则N(t)满足微分方程：
dN
dt
N
r
N (t 0 ) N0
由此解得：
N (t)
r
[1 e (tt0 ) ]
N e (tt0 ) 0
a
23
于是，
N0 N (t)e (tt0 ) r[e (tt0 ) 1].
dx dt
rx(t ),
x(t) x e rt
x(0) x0.
0
x0(er )t
当 r > 0，随着时间的增加， 人口按指数规律无限增长!
x0(1 r )t .
回忆： x x (1 r)k
k
0
(r 1)
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模型检验：
• 比较历年的人口统计资料，可以发现人口增长的实际情况 与马尔萨斯模型的预报结果基本相符.
解数的上界，若画上的铅分
解数大于该值，说明画是赝
品；但若是小于不能断定画
一定是真品.
a
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4.2.3 耐用新产品的销售速度问题
• 一种耐用新产品进入市场后，一般会都经过一 个销售量先不断增加，然后下降的过程. 研究 新产品销售量的变化规律,对于制定生产计划 以及制定促销策略都很有意义.
• 怎样建立数学模型描述产品的销售速度，并由 此给出一些有用的结果以指导生产？
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• 然而，事情到此并未结束，许多人还是不肯相信著名 的《在埃牟斯的门徒》是米格伦伪造的. 事实上，在此 之前这幅画已经被文物鉴定家认定为真迹，并以17万 美元的高价被伦布兰特学会买下.
• 专家小组对于怀疑者的回答是：由于米格伦曾因他在 艺术界中没有地位而十分懊恼，他下决心绘制《在埃 牟斯的门徒》，来证明他高于三流画家. 当创造出这样 的杰作后，他的志气消退了. 而且，当他看到这幅《在
于是，k 年后的人口为:
x x (1 r)k
k
0
美丽的大自然
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模型二 (指数增长模型，即 Malthus 模型)：
英国著名经济学家，出生于 英格兰的一个土地贵族家庭. 1784年进入剑桥大学学习， 1798年加入英国教会的僧籍, 任牧师. 1799年到欧洲一些 国家调查人口问题. 1805年 成为英国第一位(也是世界上 第一位)政治经济学教授.
4.2 微分方程建模实例(二)
4.2.1. 人口增长模型 4.2.2. 赝品的鉴定 4.2.3. 耐用新产品的销售速度问题 4.2.4. 传染病模型
a
1
4.2.1 人口增长模型
年 人口(亿)
世界人口增长概况
1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 5 10 20 30 40 50 60
马尔萨斯(1766～1834) Malthus，Thomas Robert
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模型假设：
• 人口增长率 r 是常数.
• 人口的数量本应取离散
值，但由于人口数量一
般较大，为建立微分方
程模型，可以将人口数
量看作连续变量，甚至
允许它为可微变量，由
此引起的误差将是十分
微小的.
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模型构成：
设 x(t) 表示 t 时刻的人口，有
放射性现象：著名物理学家卢瑟夫在二十世纪初发现， 某些“放射性”元素的原子是不稳定的，在已知的一 段时间内，有一定比例的原子会自然蜕变形成新元素 的原子，且 物质的放射性正比于现存物质的原子数.
用 N(t) 表示时刻 t 时存在的原子数,则：
dN N (λ 为物质的衰变率)
dt
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dN
dt
埃牟斯的门徒》那么容易卖掉以后，他在炮制后来的 伪制品时就不太用心了.
• 这种解释不能使怀疑者感到满意，他们要求完全科学 确定地证明《在埃牟斯的门徒》的确是一个伪造品.
• 这一问题拖了20年，直到1967年，才被卡内基·梅伦 大学的科学家们基本解决.
a
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原理与模型 出发点：测定油画中颜料矿物质的年龄. 测定年龄的关键依赖于二十世纪初发现的放射性现象.
2.309，x0 = 5, xm = 375 的Logistic曲线：
x(t)
1
375 74e2.309t
几乎完全吻合.
a
x(t)
xm
1 ( xm x0
1)1e2 r0t
总结
阻滞增长模型从一定程度上克服了指数增长模型的
不足，可以被用来做相对较长时期的人口预测；而
指数增长模型在做人口的短期预测时因为其形式的 相对简单性也常被采用.
s 的意义是什么？
xm：人口容量(资源、环境能容纳的最大数量)
r(xm ) 0
s= r0 xm
r(x)=r0(1-
x xm
)
a
10
dx dt
r(x )x
dx/dt
r0(1
x )x, xm
x(0) x0.
0
x xm
x(t)
xm
1 ( xm 1)er0t
x0
xm/2 x0 0
a
xm/2
xm x
(1) 地壳里几乎所有的岩石中均含有微量的铀. 一方面， 铀系中的各种放射性物质均在不断衰减，另一方面， 铀又不断地衰减，补充着其后继元素.
(2) 从而，各种放射性物质（除铀以外）在岩石中处于 放射性平衡中.
(3) 从铅矿中提炼铅时，铅210与铅206一起被作为铅留 下，而其余物质则有90—95%被留在矿渣里，因而 打破了原有的放射性平衡.
由此推算出每克白铅中铅210每分钟分解数不能大 于30000个，否则铀的含量将超过4%，而这是不可 能的.
a
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若 uU0 N0 30000 60 24 365
则
U0
30000 60
u
24 365
1.02 1020
(个)
这些铀约0.04克！
即每克白铅约含0.04克铀，含量为 4% .
以上确定了每克白铅中铅分
a
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• 这件事在当时震惊了全世界，为了证明自己是一个伪造 者，米格伦在监狱里开始伪造维米尔的油画《在埃牟斯 的门徒》.
• 旁听的民众为之疯狂，在短短的时间内，卖国贼成了民 族英雄，罪名转化为盛名， 1947年10月12日米格伦被 宣告犯有伪造罪，判刑一年. 可是他在监狱中只待了两个 多月就因心脏病发作，于1947年12月30日去世了.
若 近此似画值是. 对真油品画，《t -在t0埃≈ 3牟00斯(的年门) . 徒从》而具可体求计出算λ如y0 下的：
N0 N (t)e300 r[e300 1]
由于半衰期: T ln 2 ,
于是， ln 2 .
22
N0 98050个 / 每分钟每克.
a
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与本问题相关的进一步的知识:
象.
3
2.5
2
N/人
1.5
1
0.5
0
a
1950
2000
2050
2100
t/年
2150
82200
由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限
增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人
均资源占有率的下降及环境恶化、疾病增多等 原因，出生率将降低而死亡率却会提高.
模型三 (阻滞增长模型，即 Logistic 模型)：
(1) 艺术家们应用白铅作为颜料之一，已有两千多 年历史. 白铅中含有微量的放射铅210，白铅是从 铅矿中提炼出来的，而铅又属于铀系.
(2) 衡量物质衰变的一个常用参数是它的半衰期， 即给定数目的放射性原子衰变一半所需的时间.
利用 N (t) N0e (tt0 ) ,
令 N 1 N0 2
则有:
T
t
Malthus 模型与 Logistic 模型虽然都是为了研究种
群数量的增长情况而建立的，但它们也可用来研究
其他实际问题，只要这些实际问题的数学规律与 Malthus 模型与 Logistic 模型所反映的数学规律类似 即可.
a
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4.2.2 赝品的鉴定
• 在第二次世界大战比利时解放后 ，荷兰野战军保安机关开始搜捕 纳粹同谋犯.
中国人口增长概况
年
1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000
人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0
研究人口变化规律，控制人口过快增长！
a
2
模型一 (最简单的人口增长模型)：
假设今年的人口是 x0, 人口的年增长率是常数 r ,
a
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• 六十年后，美国记者、专栏作家乔 纳森·洛佩兹(Jonathan Lopez)出 版了《制造维米尔的人》(The man who made Vermeers) 一书. 在书中，洛佩兹表达了对那个时代
荷兰人民的体谅：“荷兰人对米格 伦的态度并非不可理解. 在二战中， 这个国家遭遇了残酷的羞辱，光复 也是在盟国的帮助下完成. 米格伦 给了未能主宰自身命运的荷兰人内 心深处想要得到的东西. 而对于 ‘欺骗’这种事情，他又是太熟谙 了.”
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模型检验和预测：
• 大量实验资料表明用Logistic模型描述种群的增长， 效果相当不错!
百度文库• 例如，数学家高斯把 5 只草履虫放进一个盛有 0.5cm3 营养液的小试管，他发现，开始时草履虫
以每天 230.9% 的速率增长，此后增长速度不断减
慢，到第五天达到最大量375个，实验数据与r0 =
N
N (t0 ) N0
其解为: N (t) N0e(tt0 ).
与负增长的Malthus 模型完全一样
•
称 t – t0 为衰变时间,
于是
t t0
1 ln
N0 . N
•
λ和 代.
N(t)
能测出或算出，只要再知道
N0
就可断
• 这正是问题的难处，下面是间接确定N0 的方法.
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与本问题相关的其他知识:
• 特别，利用马尔萨斯模型验证并检查1700年至1961的260 年间人口实际数据，发现两者几乎完全一致！
• 例如，1961年世界人口数为30.6 亿 ，人口数大约每35年 增加一倍.
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模型预测：
假如人口数真能保持每35年增加一倍，那么人口数将以
几何级数的方式增长。例如，到2510年，人口达2×1014个，