高数ⅱa卷答案

高数ⅱa卷答案 Prepared on 22 November 2020

广东海洋大学2014—2015学年第二学期

《高等数学Ⅱ》课程试题参考答案（A 卷）

一、填空题（每空3分，共21分）

1.

若)()(x g x f 是的一个原函数，则⎰=dx x g )(C x f +)( . 2.

=⎰x x dt t dx d sin 22cos 42cos 2)cos(sin cos x x x x -⋅ . 3.

已知⎰+=C x F dx x f )()(，则=--⎰dx e f e x x )(C e F x +--)( 4.

设x x f sin )(=时，则='⎰dx x x f )ln （C x +)sin(ln 5.

设是连续的奇函数，)(x f 则=⎰-dx x f l l )( 0 6.

改变二次积分的积分次序，⎰⎰=100),(y dx y x f dy ⎰⎰101),(x dy y x f dx 7. 方程032=-'-''y y y 的通解是x x e c e c y -+=231

二、计算下列积分（每小题6分，共36分）

1. 解:C x x x d x

dx x x +==⎰⎰ln ln )(ln ln 1ln 1 …………（6分） 2. 解:C x x x x x x dx +-+-=--+-=-+⎰⎰)2

1(ln 31)211131)2)(1(（ （或 C x x ++-=)1

2(ln 31

） …………（6分） 3. 解: dx x e e x e d x xdx e x x x x ⎰

⎰⎰----+-=-=cos sin )(sin sin …（3分）

= )(cos sin x x e d x e x --⎰-- ………（4分）

=xdx e e x x x x x sin cos sin ⎰------e ………（5分）

所以，C x x e xdx e x x ++-=--⎰)cos (sin 2

1sin ………（6分） 4. 解: dt t dx t x t x 2333,22=-==+，则令 ……（1

分）

C x x x C t t t dt t t t dt t x dx +++++-+=+++-=++-=+=++⎰⎰⎰3332222321ln 323)1(2

31ln 332

311131321）（……（6分）

5. 解:

2sin sin cos cos cos 2220200=-=-=⎰⎰⎰πππππππx x xdx dx x dx x （6分）

6. 解:

1sin 2sin 2cos 20)cos sin (1

010112==+=+⎰⎰-x dx x dx x x x …（6分） 三、计算下列各题（每小题5分，共15分）.

1.xy e z xy sin +=，求y

z x z ∂∂∂∂，. 解：xy y ye x

z xy cos +=∂∂ …………（3分） cos xy z xe x xy y

∂=+∂ …………（5分） 2.）2ln(y x z +=，求 22x

z ∂∂和y x z ∂∂∂2. 解：2

221y x y y z y x x z +=∂∂+=∂∂， …………（2分）

2222222(2(1）

，）y x y y x z y x x z +-=∂∂∂+-=∂∂ …………（5分） 3. )643ln(z y x u -+=，求du . 解：dz z y x dy z y x dx z y x du 643664346433-+-+-++-+=

…（5分）

四、计算重积分(每小题5分，共10分).

1. ⎰⎰-+D

dxdy x y x )(22，其中D 是由直线2=x 、x y =及x y 2=所围成的区域.

解：原式=⎰⎰-+x x dy x y x dx 22220)( ………（3分） =dx x x )3

10(2320-⎰ ………（4分） =3

32 ………（5分） 2. dxdy y x D

⎰⎰+22sin ，其中}4),({2222ππ≤+≤=y x y x D .

解：原式 =220sin d r r dr πππθ⎰⎰ ………（3分）

= -26π ………（5分）

五、求解微分方程（8分）. 解：3)1()(1

2)(+=+-=x x q x x p ， ………（2分） 利用公式法，得所求微分方程的通解为：

])1([12

312

C dx e x e y dx x dx x +⎰+⎰=+-+⎰ ………（6分）

)2

1()1(22C x x x +++= ………（8分） 六、三个正数之和为21，问三个数为何值时才使三者之积最大（10分）

解：设三个正数分别为z y x ,,，依题意得：xyz u =，满足

21=++z y x

设)21(),,(-+++=z y x xyz z y x L λ ………（4分）

因为⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧=-++==+==+==+=02100L 0z y x L xy L xz yz L z y x λλλλ 得7===z y x ………（9分）

由于只有一个驻点，所以当7===z y x 时，三者之积u 最大。…（10分）