NP完全理论

判定问题的重要特性——证比求易 证比求易 判定问题的重要特性 判定问题→语言的识别问题 计算模型 判定问题 语言的识别问题→计算模型 语言的识别问题
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算法设计与分析
2.3.2 确定性算法与 类问题 确定性算法与P类问题
定义2.1 设A是求解问题 的一个算法，如果在算法 是求解问题Π的一个算法 定义 是求解问题 的一个算法， 的整个执行过程中，每一步只有一个确定的选择， 的整个执行过程中，每一步只有一个确定的选择， 则称算法A是确定性（Determinism）算法。 则称算法A是确定性（Determinism）算法。 定义2.2 如果对于某个判定问题Π，存在一个非负 如果对于某个判定问题Π 定义 整数k，对于输入规模为n的实例 能够以O(nk)的 的实例， 整数 ，对于输入规模为 的实例，能够以 的 时间运行一个确定性算法，得到yes或 的答案 的答案， 时间运行一个确定性算法，得到 或no的答案， 则该判定问题Π是一个 P 类（Polynomial）问题。 则该判定问题Π ）问题。 所有易解问题都是P类问题 所有易解问题都是 类问题
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定义2.4 如果对于某个判定问题Π，存在一个非 如果对于某个判定问题Π 定义 负整数k，对于输入规模为n的实例 能够以O(nk)的 的实例， 负整数 ，对于输入规模为 的实例，能够以 的 时间运行一个非确定性算法，得到yes或no的答案， 时间运行一个非确定性算法，得到 或 的答案， 的答案 则该判定问题Π 则该判定问题Π是一个 NP 类（Nondeterministic Polynomial）问题。 ）问题。
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第2章 NP完全理论 章 完全理论
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 下界 算法的极限 P类问题和 类问题 类问题和NP类问题 类问题和 NP完全问题 完全问题 实验项目——SAT问题 实验项目 问题
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2.1 下界
对于任何待求解的问题， 对于任何待求解的问题，如果能找到一个尽可能 大的函数g(n)（n为问题规模），使得求解该问题的 为问题规模）， 大的函数 （ 为问题规模），使得求解该问题的 的时间内完成， 所有算法都可以在 (g(n))的时间内完成，则函数 的时间内完成 则函数g(n) 称为该问题计算复杂性的下界（ 称为该问题计算复杂性的下界（Lower Bound）。 ）。 如果已经知道一个和下界的效率类型相同的算法， 如果已经知道一个和下界的效率类型相同的算法， 则称该下界是紧密（ 则称该下界是紧密（Close）的。 ） 意义：评价算法；改进算法。 意义：评价算法；改进算法。
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例：对三个数进行排序的判定树
是 a1<a2 否
是 a1<a2<a3
a2<a3
否 a1<a
3
是 a2<a1<a3
a1<a3
否
是 a1<a3<a2
否 a3<a1<a2
是 a2<a3<a1
a2<a
3
否 a3<a2<a1
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2.1.3 最优算法
所谓最优算法（ 所谓最优算法（Optimality Algorithm）是 ） 指在某一种度量标准下， 指在某一种度量标准下 ， 优于该问题的所有 可能的）算法。 （可能的）算法。
假设问题Π'存在一个算法 存在一个算法A，对于问题Π' 定义 2.5 假设问题 存在一个算法 ，对于问题 的输入实例I'，算法A求解问题 得到一个输出O'， 求解问题Π'得到一个输出 的输入实例 ，算法 求解问题 得到一个输出 ，另外 一个问题Π的输入实例是 对应于输入I，问题Π有一个 的输入实例是I， 一个问题 的输入实例是 ，对应于输入 ，问题 有一个 输出O，则问题Π变换到问题 是一个三步的过程： 变换到问题Π'是一个三步的过程 输出 ，则问题 变换到问题 是一个三步的过程： 1. 输入转换：把问题 的输入 转换为问题 的适当输 输入转换：把问题Π的输入 转换为问题Π'的适当输 的输入I转换为问题 入I'； ； 2. 问题求解：对问题 应用算法 产生一个输出 '； 问题求解：对问题Π'应用算法 产生一个输出O ； 应用算法A产生一个输出 3.输出转换：把问题Π'的输出 转换为问题Π对应于 .输出转换：把问题Π 的输出 转换为问题Π 的输出O'转换为问题 输入I的正确输出 的正确输出。 输入 的正确输出。
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2.3 P类问题和 类问题 类问题和NP类问题 类问题和
2.3.1 判定问题 2.3.2 确定性算法与 类问题 确定性算法与P类问题 2.3.3 非确定性算法与 类问题 非确定性算法与NP类问题
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2.3.1 判定问题
一个判定问题（ 一个判定问题（Decision Problem）是仅 ） 仅要求回答“ 的问题。 仅要求回答“yes”或“no”的问题。 或 的问题
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P类问题和 类问题的主要差别： 类问题和NP类问题的主要差别 类问题和 类问题的主要差别： P类问题可以用 多项式时间 的 确定性 算法来 类问题可以用多项式时间 确定性算法来 类问题可以用 多项式时间的 进行判定或求解； 进行判定或求解； NP类问题可以用多项式时间的非确定性算法 类问题可以用多项式时间的非确定性算法 类问题可以用多项式时间 来进行判定或求解。 来进行判定或求解。
例：易解问题——排序问题、查找问题、欧拉回路 易解问题 排序问题、查找问题、 排序问题 难解问题——TSP问题、 Hanio问题、Hamilton回路 TSP问题、 Hanio问题 Hamilton回路 问题、 难解问题 TSP问题
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为什么把多项式时间复杂性作为易解问题和 难解问题的分界线？ 难解问题的分界线？
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2.2.3 不可解问题
不能用计算机求解（ 不论耗费多少时间） 的问题 不能用计算机求解 （ 不论耗费多少时间 ） 称为不可解问题 不可解问题（ Problem） 称为不可解问题（Unsoluble Problem）。
停机问题、 例：不可解问题——停机问题、病毒检测 不可解问题 停机问题 作业：证明停机问题是不可解问题。 作业：证明停机问题是不可解问题。
1．多项式函数与指数函数的增长率有本质的差别 ． 2．计算机性能的提高对多项式时间算法和指数时间 ． 算法的影响不同 3．多项式时间复杂性忽略了系数 ， 但不影响易解问 ． 多项式时间复杂性忽略了系数， 题和难解问题的划分 4．多项式时间复杂性的闭包性 ． 5．多项式时间复杂性的独立性 ．
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2.1.1 平凡下界
对问题的输入中必须要处理的元素进行计 同时，对必须要输出的元素进行计数。 数，同时，对必须要输出的元素进行计数。这 种计数方法产生的是一个平凡下界（ 种计数方法产生的是一个平凡下界（Ordinary Lower Bound）. ）
例 ：生成 n 个元素的所有排列对象的算法属于 (n!)
如果能够证明求解问题Π的任何算法的运行时 如果能够证明求解问题 的任何算法的运行时 间下界是 (g(n))， 那么 ， 对以时间 ， 那么， 对以时间O(g(n))来求解 来求解 问题Π的任何算法 都认为是最优算法。 的任何算法， 问题 的任何算法，都认为是最优算法。
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算法设计与分析Βιβλιοθήκη 2.2 算法的极限清华大学出版社
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问题变换的一般过程
问题Π 问题 问题Π' 问题
I
输入转换
I '
算法A 算法
O '
输出转换
O
问题变换的主要目的不是给出解决一个问题的 算法，而是给出通过另一个问题理解 理解一个问题的 算法，而是给出通过另一个问题理解一个问题的 计算时间上下限的一种方式 的一种方式。 计算时间上下限的一种方式。
2.2.1 易解问题与难解问题 2.2.2 实际问题难以求解的原因 2.2.3 不可解问题
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2.2.1 易解问题与难解问题
通常将存在多项式时间算法的问题看作是易解问题 通常将存在多项式时间算法的问题看作是易解问题 ），将需要指数时间算法解决的问题 （Easy Problem），将需要指数时间算法解决的问题 ）， 看作是难解问题 难解问题（ 看作是难解问题（Hard Problem）。 ）。
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2.4 NP完全问题 完全问题
2.4.1 问题变换与计算复杂性归约 2.4.2 NP完全问题的定义 完全问题的定义 2.4.3 基本的 完全问题 基本的NP完全问题 2.4.4 NP完全问题的计算机处理 完全问题的计算机处理
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2.4.1 问题变换与计算复杂性归约
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例：配对问题到排序问题的变换
排序问题——输入 是一组整数 输入I'是一组整数 排序问题 输入 是一组整数X=(x1, x2, …, xn)， ， 输出O'是这组整数的一个排列 是这组整数的一个排列x 输出 是这组整数的一个排列 i1≤xi2≤…≤xin。 ≤ 配对问题——输入 是两组整数 输入I是两组整数 配对问题 输入 是两组整数X=(x1, x2, …, xn)和 和 Y=(y1, y2, …, yn)，输出 是两组整数的元素配对， 是两组整数的元素配对， ，输出O是两组整数的元素配对 中的最小值与Y中的最小值配对 即X中的最小值与 中的最小值配对，X中的次小 中的最小值与 中的最小值配对， 中的次小 值与Y中的次小值配对 依此类推。 中的次小值配对， 值与 中的次小值配对，依此类推。