6 衡量风险与回报

概 率
0.2 0.3 0.3 0.2
S
0.25 0.20 0.15 0.10
U
0.05 0.10 0.15 0.20
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二、资产组合的风险与收益衡量
解： S、U两资产的期望收益率分别为：
E(RS)＝0.2*0.25+0.3*0.20+0.3*0.15+0.2*0.10＝17.5％ E(RU)==0.2*0.05+0.3*0.10+0.3*0.15+0.2*0.26＝12.5％
根据标准差公式 i
Genco Posicorr
2 P ( X E ( R )) i i i
1 [(0.385 0.14) 2 (0.140 0.14) 2 (0.105 0.14) 2 0.2 3 1 (0.46 0.16) 2 (0.16 0.16) 2 (0.14 0.16) 2 0.245 3
其中，XA代表证券A的收益率；XB代表证券B的收益率； E(RA)代表证券A的收益率的期望值；E(RB)代表证券B的 收益率的期望值； σAB代表A、B两种证券收益率的协方差。
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二、资产组合的风险与收益衡量
注：

协方差>0，则两种证券的回报率正相关 协方差<0，则两种证券的回报率负相关 协方差=0，则两种证券没有任何互动关系
RA、RB分别代表A、B两种证券的预期收益率 wA、wB分别为两种证券在组合中所占比例
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二、资产组合的风险与收益衡量
例子：下表是投资于国库券、股票两种证券的一个 组合，假定其投资比例各占一半，计算两种证券投资组 合的收益率。
解： RP=1/2×10%+1/2×10%=10%
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（2）各种证券投资组合的预期收益率：
E ( RP ) wi E (Ri ) 18% 40% 6% 50% 39 0 37% 67% 34.99%
i 1 4
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二、资产组合的风险与收益衡量
2、证券之间相互关系的统计描述
（1） 协方差（covariance)：两种证券收益变动相 互关系的指标。即在所有经济状况下的偏离程度乘积的平 均值（以概率为权重）。 ——收益率的平均趋势是按照相同方向（正的）变动 还是按照反方向（负的）变动的衡量标准。
Ri：证券i的预期收益率； n：证券组合中不同证券的总数。
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二、资产组合的风险与收益衡量
例子：用下表中的数据计算证券投资组合的预期收益率
证券组合 第一种证券 第二种证券 第三种证券 期初投资值（元） 1000 400 2000 期末市值（元） 1400 600 2000 数量（%） 18 6 39
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二、资产组合的风险与收益衡量
（2）相关系数（correlation coefficient） ：协方差 的标准化。即协方差除以每一种股票的标准差。
AB
COV ( A, B)
A B
1 AB 1
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二、资产组合的风险与收益衡量
在 -1和 +1之间的相 关性可减少风险但 不是全部
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二、资产组合的风险与收益衡量
两个公司股票的协方差 1, 2 P i [ X 1 E( R 1 )][X 2 E( R2 )]
Genco, Posicorr [(0.385 0.14)(0.46 0.16) (0.14 0.14)(0.16 0.16)
离散型概率分布的期望值：E ( X )
P( X
i 1
n
i
)Xi
率
其中，Xi为随机事件的值，P(Xi)为随机事件i发生的概
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二、资产组合的风险与收益衡量
例子：现有S和U两项资产收益率概率分布情况如下 表所示。求这两项资产的期望收益率。
经济状况 资产的收益率
经济状况
繁荣 适度增长 缓慢增长 衰退
1、不确定条件下的期望收益（均值）（expected rate of return, 通常用E(X)表示）: The sum over all possible outcomes of each possible rate of return multiplied by the respective probability of its happening.
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二、资产组合的风险与收益衡量
小结 对于单个证券的持有者而言：


收益指标：期望收益
风险指标：标准差或方差
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二、资产组合的风险与收益衡量
（二）组合资产（portfolio)的风险与期望收益 1、组合资产的收益 资产组合的期望收益是构成组合的每一资产收益率的 加权平均，以构成比例为权重。 每一资产对组合的预期收益率的贡献依赖于它的预期 收益率，以及它在组合初始价值中所占份额，而与其他一 切无关。
一阶原点矩——均值（数学期望）
二阶中心矩——方差 均值和方差是同一随机变量在同一时期运动轨迹的不 同统计值，分别用于对金融活动收益与风险的衡量
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一、描述单个证券特征的统计量
（二）描述单个证券特征的方法：均值-方差分析法 均值-方差分析的含义：投资者的效用函数由资产的收 益和风险决定，用简化的数学方式表示即投资者的效用函 数仅包括均值和方差两个自变量。 期望收益率的衡量：以均值来衡量，是指在未来不确 定情况下对投资收益率所有可能的取值的加权平均。其 权数为相应的概率值。 例如：扔骰子，将随机变量定义为扔骰子后的朝上 点数，则均值为： 1*（1/6)+2*(1/6)+...+6*(1/6)=3.5
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二、资产组合的风险与收益衡量
3、证券回报的正态分布(normal distribution) 在金融市场中证券回报率典型地服从一项连续概率 分布——正态分布
概 率 密 度
收益率
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二、资产组合的风险与收益衡量
正态分布的特点

对于任何正态分布，只需要知道其均值和标准差便可以直 接给出其概率描述。 分布是对称的。证券回报超过其均值的概率与低于其均值 的概率是相等的Hale Waihona Puke Baidu 离均值更远时，取这个偏离均值的回报率的概率下降。 方差越大，取值在均值周围散得越开，因此投资者面临的 风险程度越大。
0.3 (0.15 0.175) 2 0.2 (0.10 0.175) 2 0.0026
2 U 0.2 (0.05 0.125) 2 0.3 (0.10 0.125) 2
0.3 (0.15 0.125) 2 0.2 (0.20 0.125) 2 0.0026
一、描述单个证券特征的统计量
2、概率分布：是对随机变量的值进行赋值。
例如：扔骰子 当扔出的点数是奇数时，令随机变量取值1，因此 f(1)=P(X=1)； 当扔出的点数是偶数时，令随机变量取值2，因此 f(2)=P(X=2)；
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一、描述单个证券特征的统计量
3、均值和方差
一个随机变量的概率分布可以用一些数值特征—矩来 描述：
1 3 (0.105 0.14)(0.14 0.16)] 0.049
二、资产组合的风险与收益衡量
（2）多种证券投资组合收益率的测定
证券投资组合的预期收益率就是组成该组合的各种证 券的预期收益率的加权平均数，权数是投资于各种证券的 资金占总投资额的比例，即：
E ( R p ) wi E (Ri )
i 1
n
Rp：代表证券投资组合的预期收益率；
wi：投资于i证券的资金占总投资额的比例或权数；
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二、资产组合的风险与收益衡量
——某只证券预期回报率的离差或波动性越 大，则意味着这只证券的风险高于离差较小的证 券。
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二、资产组合的风险与收益衡量
上例：S、U两资产收益率的方差分别计算如下：
2 S 0.2 (0.25 0.175) 2 0.3 (0.20 0.175) 2
6 衡量风险与回报
杜晓蓉
一、描述单个证券特征的统计量
（一）随机变量和概率分布
1、随机变量：是这样一个函数，对来源于样本空间 元素的结果进行赋值。 例如：扔骰子 样本空间S=（1, 2, 3, 4, 5, 6） 定义随机变量X，当扔出的点数是奇数时X=1；当扔 出的点数是偶数时，X=2
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一、描述单个证券特征的统计量

风险的衡量：以方差来衡量，是未来收益率的所有可 能取值对期望收益率的偏离的加权平均。权数仍然为 相应的概率值。
标准差：也反映未来收益率的所有可能取值对期望收 益率的偏离程度。

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二、资产组合的风险与收益衡量
（一）单项资产的投资风险与期望收益
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二、资产组合的风险与收益衡量
2、单项资产的风险：被定义为实际现金流收益对 其预期现金流收益的背离 ——用方差（ deviation)来描述和衡量风险:一个证 券在该时期的方差是未来收益可能值对期望收益率的偏 离（通常称为离差）的平方的加权平均，权数是相应的 可能值的概率。即
Var ( X ) 2 P ( X i )[ X i E ( X i )]2 E( X 2 ) E( X )2
第四种证券
1800
3000
37
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二、资产组合的风险与收益衡量
解：（1）各种证券的预期收益率如下：
1400 1000 600 400 E ( R1 ) 40%; E ( R2 ) 50% 1000 400 2000 2000 3000 1800 E ( R3 ) 0; E ( R4 ) 67% 2000 1800
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二、资产组合的风险与收益衡量
（1）两种证券形成的投资组合的收益率测定
投资者将资金投资于A、B两种证券，其投资比重分 别为wA和wB，wA+wB=1，则两证券投资组合的预期收益 率Rp等于每个预期收益率的加权平均数，即： E（Rp）= wA E（RA） +wBE（RB）
其中：Rp代表两种证券投资组合预期收益率；
相关系数的符号取决于协方差的符号：
AB 0
，两种证券收益率负相关 ，完全负相关
AB 1
AB 0
AB 0
，两种证券收益率完全不相关
，两种证券收益率正相关 ， 完全正相关
AB 1
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二、资产组合的风险与收益衡量
例题：下表分别是Genco和Posicorr公司股票收益率 情况。计算这两个公司股票收益率间的协方差和相关系 数。
经济状况 概率 Genco的收益率 Posicorr的收益率
强劲
正常 疲软
1/3
1/3 1/3
0.385
0.140 0.105
0.46
0.16 -0.14
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二、资产组合的风险与收益衡量
解：根据预期收益率公式 E(R ) P X i i i
1 E ( RGenco ) (0.385 0.140 0.105) 0.14 3 1 E ( RPosicorr ) (0.46 0.16 0.14) 0.16 3
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二、资产组合的风险与收益衡量
若以A、B两种证券组合为例，则其协方差为：
COV ( X A , X B ) AB E{[ X A E ( RA )][X B E ( RB )]} Pk {[ X Ak E ( RA )][X Bk E ( RB )]}


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二、资产组合的风险与收益衡量

在正态分布条件下，证券的实际回报率落入离预期回报 一个标准差的置信区间的概率大概是0.68；落入离预期回 报两个标准差的置信区间的概率大概是0.95；落入离预期 回报三个标准差的置信区间的概率大概是0.99。
置信区间（confidence intervals）：一项特定的数 值范围（区间），下期证券收益率的实际值将以特定概率 落入这一数值范围之内。 例子：一只拥有10%预期收益率和20%标准差的股票 ，服从正态分布。 预期回报率落在10%±（2*20%）=30%~50%之间的概率为95%。