向量空间优秀课件
合集下载
空间向量基本定理--课件(共25张PPT)
都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个
基底.
3.单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，
且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 ，，
表示.
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解
为三个向量xi，yj，zk，使a=xi+yj+zk，像这样，把一个空间向量
1 2
1
A. a- b+ c
2 3
2
1 1 1
C. a+ b- c
2 2 2
2 1
1
B.- a+ b+ c
3 2
2
2 2 1
D. a+ b- c
3 3 2
答案:B
1
2
2
1
1
解析:显然 = − = 2 ( + )-3 =-3a+2b+2c.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
应用空间向量基本定理证明线线位置关系
解析:只有不共面的三个向量才能作为一个基底，在三棱柱中，
，，1 不共面，可作为基底。
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误
的打“×”.
(1)空间向量的基底是唯一的.(
)
(2)若a，b，c是空间向量的一个基底，则a，b，c均为非零向
量.(
)
(3)已知A，B，M，N是空间四点，若, , 不能构成空间的
=
1 1 1
1
+ - · --
2 2 2
3
2 √10
√3× 3
=
基底.
3.单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，
且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 ，，
表示.
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解
为三个向量xi，yj，zk，使a=xi+yj+zk，像这样，把一个空间向量
1 2
1
A. a- b+ c
2 3
2
1 1 1
C. a+ b- c
2 2 2
2 1
1
B.- a+ b+ c
3 2
2
2 2 1
D. a+ b- c
3 3 2
答案:B
1
2
2
1
1
解析:显然 = − = 2 ( + )-3 =-3a+2b+2c.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
应用空间向量基本定理证明线线位置关系
解析:只有不共面的三个向量才能作为一个基底，在三棱柱中，
，，1 不共面，可作为基底。
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误
的打“×”.
(1)空间向量的基底是唯一的.(
)
(2)若a，b，c是空间向量的一个基底，则a，b，c均为非零向
量.(
)
(3)已知A，B，M，N是空间四点，若, , 不能构成空间的
=
1 1 1
1
+ - · --
2 2 2
3
2 √10
√3× 3
=
空间向量基本定理PPT优秀课件
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
CA
/
a
b
c
OG
1
ab
1
c
2
2
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
e2
M
C 对向量a进行分
解：
a
e 1 OCOMON
O N
t1e1 t2e2
问题 情境
在空间向量中,我们还可以作怎样的推广呢? 即空间任一向量能用三个不共面的向量来 线性表示吗?
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
CA
/
a
b
c
OG
1
ab
1
c
2
2
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
e2
M
C 对向量a进行分
解：
a
e 1 OCOMON
O N
t1e1 t2e2
问题 情境
在空间向量中,我们还可以作怎样的推广呢? 即空间任一向量能用三个不共面的向量来 线性表示吗?
向量空间优秀课件
反之，对∀α ∈ L(α1, α2 ,L , αr )，∃数 l1, l2 ,L , lr ,使 α = k1α1 + k2α2 + L + kr αr , 而 α1, α2 ,L , αr 是V 的基, ∴α ∈V ⇒ L(α1, α2 ,L , αr ) ⊂ V . 故V = L(α1, α2 ,L , αr ) 证毕 5. dim V ≤ n； 向量线性相关, 证明 QV中任意n + 1 证毕 ∴V 秩 ≤ n ⇒ dim V ≤ n.
规定：只含零向量的向量空间 ， 规定：只含零向量的向量空间V，dimV＝0. ＝ 注意： 注意：向量空间的维数与向量的维数是两个不同的概念 向量空间维数: 其基所含的向量个数； 向量空间维数: 其基所含的向量个数； 此向量所含的坐标个数； 向 量 维 数：此向量所含的坐标个数； 确定V 的基的一般方法： 确定 的基的一般方法： 先通过观察找出V的一组向量 的一组向量， 先通过观察找出 的一组向量， 并证明其线性无关，再验证 中任一向量都可由该向量 并证明其线性无关，再验证V中任一向量都可由该向量 组线性表示，这组向量即为 的一组基 的一组基。 组线性表示，这组向量即为V的一组基。
§4.4
向量空间
三维向量空间R3中，向量之间的关系－－线性结构: (1) ∀α, β ∈ R3 ⇒ α + β ∈ R3 对加法运算封闭 3 , ∀k ∈ R ⇒ kα ∈ R3 对数乘运算封闭 (2) ∀α ∈ R
加法与数乘合称线性运算， 加法与数乘合称线性运算，三维向量空间对线性运算 封闭. 封闭.
y
维向量空间， 命题 设V 是由 n 维向量构成的 r 维向量空间，则 1. V 的任意 的任意r+1个向量必定线性相关. 个向量必定线性相关. 个向量必定线性相关 证明 设α1, α2 ,L , αr 是V 的一个基, 则对任意β1, β2 ,L , βr＋1 ∈V , ∴每个β j 可由α1, α2 ,L , αr 线性表示 ∴向量组β1, β2 ,L , βr＋1的秩 ≤向量组α1, α2 ,L , αr的秩 = r.
课件_人教版数学高中二年级选修-节空间向量及其运算复习PPT课件_优秀版
共线定理、共面定理的应用
【训练 2】 已知 A，B，C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O， 若点 M 满足O→M＝1(O→A＋O→B＋O→C)．
3 (1)判断M→A，M→B，M→C三个向量是否共面； (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内．
解 (1)由已知O→A＋O→B＋O→C＝3 O→M， ∴O→A －O→M＝ (O→M －O→B )＋(O→M －O→C)， 即M→A＝B→M＋C→M＝－M→B－M→C， ∴M→A，M→B，M→C共面． (2)由(1)知，M→A，M→B，M→C共面且基线过同一点 M， ∴四点 M，A，B，C 共面，从而点 M 在平面 ABC 内．
空间向量的数量积及其应用
【例3】如图所示，已知空间四边形的ABCD各边和对角线的长都等
于a ，点M , N分别是AB,CD 的中点．
在空间中，具有 的量叫做(空1间)向求量，证其大：M小叫N做向量A的B长度；或模(．2)求 MN 的长；
a1＝ b1，a2＝ b2，a3＝ 探究三 空间向量的数量
(b33 )求异面直线AN与CM
2.空间向量中的有关定理
(1)共线（平行）向量定理：对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b⇔存
在λ∈R，使 a＝ b . (2)共面向量定理：若两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与向量 a，b 共面 ⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使 p＝ xa＋yb . (3)空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一 向量 p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得 p＝ xa＋yb＋zc .
【例3】如图所示，已知空间四边形的 各边和对角线的长都等于 ，点 分别是 的中点．
（1）利用数量积解决问题的两种途径：
线性代数第-章向量空间PPT课件
3
子空间在映射下的变化
线性映射可以导致子空间中的向量发生旋转、平 移或拉伸等变化。
子空间与线性映射的相互影响
子空间对线性映射的限制
子空间的性质可以影响线性映射的作用范围和结果。
线性映射对子空间的构造
通过选择特定的线性映射，可以构造出具有特定性质的子空间。
子空间与线性映射的关系
子空间和线性映射之间存在密切的关系，它们在许多数学问题中都 扮演着重要的角色。
详细描述
子空间是向量空间的一个非空子集，这个子集中的向量之间同样可以进行加法运算和数乘运算，并且这些运算也 满足封闭性、结合性和交换性等性质。子空间的定义是为了研究向量空间的一个特定部分，以便更好地理解和应 用向量空间。
向量空间的基与维数
总结词
基是向量空间中线性无关的向量组，它能够生成整个向量空间；维数则是向量空间的基 所包含的向量个数。
向量空间的推广到矩阵空 间
将向量空间中的元素推广到矩阵，形成矩阵 空间，使得线性变换和矩阵运算的结合更加 紧密，为解决实际问题提供更多数学工具。
向量空间的推广到函数空 间
将向量空间的元素推广到函数，形成函数空 间，使得函数的线性组合、内积等运算成为 可能，为解决实际问题提供更多数学工具。
向量空间的应用前景
判定条件二
如果存在一个线性映射f：V→W，使得V和W的基底之间存在一一对应关系，并且 这种对应关系保持向量加法和标量乘法的运算关系，则称V和W同构。
同构的应用场景
线性变换
几何变换
同构映射可以应用于线性变换中，将 一个向量空间中的线性变换转移到另 一个向量空间中。
同构映射可以应用于几何变换中，如 旋转、平移等，将一个向量空间中的 几何变换转移到另一个向量空间中。
1.4 空间向量的应用 课件(可编辑图片版)(共31张PPT)
(2，－1,1)．
[方法技巧] 求平面法向量的三个注意点 (1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量． (2)取特值：在求→n 的坐标时，可令 x，y，z 中一个为一特殊值 得另两个值，就是平面的一个法向量． (3)注意 0：提前假定法向量→n ＝(x，y，z)的某个坐标为某特定 值时一定要注意这个坐标不为 0.
解析：∵μ·a＝－12＋16－4＝0， ∴μ⊥a，∴l⊂α或l∥α. 答案：l⊂α或l∥α
题型一 求平面的法向量
如图，已知 ABCD 是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面 ABCD，
SA＝AB＝BC＝1，AD＝1，试建立适当的坐标系． 2
(1)求平面 ABCD 的一个法向量； (2)求平面 SAB 的一个法向量； (3)求平面 SCD 的一个法向量．
[方法技巧] 1.在空间中，一个向量成为直线 l 的方向向量，必须具备以下 两个条件：(1)是非零向量；(2)向量所在的直线与直线 l 平行或重合． 2．与直线 l 平行的任意非零向量→a 都是直线的方向向量，且直 线 l 的方向向量有无数个． 3．给定空间中任意一点 A 和非零向量→a ，就可以确定唯一一 条过点 A 且平行于向量→a 的直线． 4．表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等， 因此，它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们
3．若平面α，β的一个法向量分别为m＝(－
1 6
，
1 3
，－1)，n＝
(12，－1,3)，则( )
A．α∥β
B．α⊥β
C．α与β相交但不垂直 D．α∥β或α与β重合
解析：∵n＝－3m，∴m∥n，∴α∥β或α与β重合．故选D. 答案：D
4．若直线l的方向向量a＝(2,2，－1)，平面α的法向量μ＝(－ 6，8,4)，则直线l与平面α的位置关系是________．
线性代数课件 03.向量空间
-9-
注意 1°零向量可由任一组向量线性表示。 2°向量组 线性表示， 中每个向量都可由向量组本身
i 01 0i 1 1i 0i 1 0 m
3°任一n元向量
都可由n元单位向量组 线性表示，即
a1e1 a2e2 anen
-10-
A 的行组.
a11 a 21 a m1
再如:
a12 a 22 am 2
a1n a2n a mn
a11 a 21 a m1
a12 a 22 am 2
a1n a2n a mn
(转换为方程组) 方程组 x1 1 x 2 2 x n n
即 Ax A [ 1 , 2 ,, n ] 有解
(用矩阵的秩) r ( A) r[ A | ]
另外, 如果解唯一, 则表示方法是唯一的. 如果 ……
学会这种转换就可以了!
k
-2-
建立坐标系的目的就是把向量的运算转化为数(坐标)的运算.
( x1 , y1 , z1 ) , ( x2 , y2 , z 2 )
( x1 x 2 , y1 y2 , z1 z 2 )
k ( kx1 , ky1 , kz1 )
第三章
向量空间Rn
§3.1 向量及其线性组合
§3.2 一个n元向量组的线性相关性
§3.3 向量组的秩
§3.4 向量空间 §3.5 欧氏空间Rn
§3.1 向量及其线性组合
三维空间的向量: 有向线段。建立标准直角坐标系后，
P ( x, y, z )
高一数学空间向量PPT优秀课件
SA＝SC＝2 3，M、N 分别为 AB、SB 的中点． (1)证明：AC⊥SB； (2)求二面角 N-CM-B 的余弦值； (3)求点 B 到平面 CMN 的距离．
【解】 (1)证明：取AC中点O，连接OS、
OB. ∵SA ＝ SC ， AB ＝ BC ， ∴ AC⊥SO 且
AC⊥BO. ∵ 平 面 SAC⊥ 平 面 ABC ， 平 面 SAC∩ 平 面
－2 2)＝0， ∴AC⊥SB.
【名师点评】 本题中(2)的求解是将二面 角问题转化为两平面法向量的夹角，而(3)中 点到平面的距离的求解是将所求距离转化为 向量的投影的长度，这两种转化方法是立体 几何问题的常见解法，使用这两种方法时要 将点的坐标写准，平面的法向量求正确．
专题五 利用空间向量解决存在性问题
【思路点拨】 可建立空间直角坐标系，求出 两个平面的法向量，通过法向量的夹角进行求 解．
【解】 建立如图所示空间直角坐标系，则 A(0,0,0)、 D(12，0,0)、C(1,1,0)、S(0,0,1)，面 SAB 的一个法向量是A→D＝ (12，0,0)．设 n＝(x，y，z)是面 SCD 的一个法向量，则 n⊥D→C，
ABC＝AC， ∴SO⊥平面ABC，∴SO⊥BO.
如图，建立空间直角坐标系
O xyz. 则 A(2,0,0)，B(0,2 3，0)，C(－
2,0,0)，S(0,0，2 2)，M(1， 3， 0)，N(0， 3， 2)．
∴A→C ＝(－4,0,0)，S→B ＝(0，
2 3，－2 2)．
∵A→C ·S→B ＝(－4,0,0)·(0,2 3，
本章优化总结
知识体系网络
本
章
优
专题探究精讲
化
总
结
【解】 (1)证明：取AC中点O，连接OS、
OB. ∵SA ＝ SC ， AB ＝ BC ， ∴ AC⊥SO 且
AC⊥BO. ∵ 平 面 SAC⊥ 平 面 ABC ， 平 面 SAC∩ 平 面
－2 2)＝0， ∴AC⊥SB.
【名师点评】 本题中(2)的求解是将二面 角问题转化为两平面法向量的夹角，而(3)中 点到平面的距离的求解是将所求距离转化为 向量的投影的长度，这两种转化方法是立体 几何问题的常见解法，使用这两种方法时要 将点的坐标写准，平面的法向量求正确．
专题五 利用空间向量解决存在性问题
【思路点拨】 可建立空间直角坐标系，求出 两个平面的法向量，通过法向量的夹角进行求 解．
【解】 建立如图所示空间直角坐标系，则 A(0,0,0)、 D(12，0,0)、C(1,1,0)、S(0,0,1)，面 SAB 的一个法向量是A→D＝ (12，0,0)．设 n＝(x，y，z)是面 SCD 的一个法向量，则 n⊥D→C，
ABC＝AC， ∴SO⊥平面ABC，∴SO⊥BO.
如图，建立空间直角坐标系
O xyz. 则 A(2,0,0)，B(0,2 3，0)，C(－
2,0,0)，S(0,0，2 2)，M(1， 3， 0)，N(0， 3， 2)．
∴A→C ＝(－4,0,0)，S→B ＝(0，
2 3，－2 2)．
∵A→C ·S→B ＝(－4,0,0)·(0,2 3，
本章优化总结
知识体系网络
本
章
优
专题探究精讲
化
总
结
1.2空间向量基本定理 课件(共16张PPT)
⑴用 a 、b 、c 表示 MN , MP ; ⑵求 MN MP .
略解:⑴ MN MO ON
1 OA 1 (OB OC )= 1 (a b c)
22
2
MP OP OM = 1 (c a) 2
⑵易知 a b
bc
ca
1,
2
a
2
b
2
c
1 ,∴ MN
MP
1
2
4
13
巩固练习
OP OQ zk xi y j zk x
p
j
P Q
y
由此可知,如果 i, j, k 是空间两两垂直的向量,
那么,对空间任一向量 p , 存在一个有序实数组
{x,y,z}使得 p xi y j zk.我们称 xi, y j, zk 为向
量 P 在 i, j, k 上的分向量.
11
巩固练习
2、已知向量{a,b,c}是空间的一个基底． 求证:向量a+b,a-b,c能构成空间的一个基底.
14
达标练习
15
课堂小结 应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行,可 求两条异面直线所成的角等. 首先根据几何体的特点,选择一个基底,把题目中涉及的两条直 线所在的向量用基向量表示. (1)若证明线线垂直,只需证明两向量数量积为0; (2)若证明线线平行,只需证明两向量共线; (3)若要求异面直线所成的角,则转化为两向量的夹角(或其补角).
a, b, c都叫做基向量
4
学习新知
特别提示：对于基底{a,
b,
c},除了应知道
a,b,c
不共面，
还应明确： （1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底.
（2）由于可视 0 为与任意一个非零向量共线,与任意两个 非零向量共面,所以三个向量不共面,就隐含着它们都不是0.
略解:⑴ MN MO ON
1 OA 1 (OB OC )= 1 (a b c)
22
2
MP OP OM = 1 (c a) 2
⑵易知 a b
bc
ca
1,
2
a
2
b
2
c
1 ,∴ MN
MP
1
2
4
13
巩固练习
OP OQ zk xi y j zk x
p
j
P Q
y
由此可知,如果 i, j, k 是空间两两垂直的向量,
那么,对空间任一向量 p , 存在一个有序实数组
{x,y,z}使得 p xi y j zk.我们称 xi, y j, zk 为向
量 P 在 i, j, k 上的分向量.
11
巩固练习
2、已知向量{a,b,c}是空间的一个基底． 求证:向量a+b,a-b,c能构成空间的一个基底.
14
达标练习
15
课堂小结 应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行,可 求两条异面直线所成的角等. 首先根据几何体的特点,选择一个基底,把题目中涉及的两条直 线所在的向量用基向量表示. (1)若证明线线垂直,只需证明两向量数量积为0; (2)若证明线线平行,只需证明两向量共线; (3)若要求异面直线所成的角,则转化为两向量的夹角(或其补角).
a, b, c都叫做基向量
4
学习新知
特别提示：对于基底{a,
b,
c},除了应知道
a,b,c
不共面，
还应明确： （1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底.
（2）由于可视 0 为与任意一个非零向量共线,与任意两个 非零向量共面,所以三个向量不共面,就隐含着它们都不是0.
向量与空间解析几何.ppt
存在唯一的实数 , 使b a .
证明: 充分性显然,
3
b 必要性: 设 b // a , 取 , a 当 b 与 a 同向时 取正值, 当 b 与 a 反向时 取负值, 即有 b a . b 此时 b 与 a 同向. 且 a a a b , a 再证 的唯一性: 设 b a， b a , 两式相减, 得: ( )a 0， 即 a 0， a 0, 故 0, 即 . 定理1 . 两个非零向量a与b 平行的充要条件是 : 存在不全为零的实数和 , 使得： a b 0.
B
B. 内积的运算法则
A
c a
b
C
证明 : 记 AB c , AC b , BC a , 2 | a | (b c ) (b c ) b b 2b c c c 2 2 | b | | c | 2 | b || c | cos A.
a
10
(1) a b b a . ( 2) a ( b c ) a b a c . ( 3) (a b ) (a ) b a (b ).
例2.用向量方法证明三角形余弦定理
定理3 空间三个向量a , b , c 共面的充要条件是它们
的混合积等于零.
推论 空间四点A, B, C , D 共面的充要条件是 :
[ AB, AC , AD] 0.
16
定理4. 空间三个向量 a , b , c 共面的充要条件是存在 不 全为零的实数 k1 , k2 , k3 , 使得 : k1a k2b k3c 0.
空间向量及其线性运算(26张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
C D
2.已知空间任一点O 和不共线的三点A,B,C, 下列能得到P,A,B,C四点共面的是(B )A.OP=OA+OB+OC
解 析 ：若点P,A,B,C 共面，设OP=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=1, 满足条件的只有B, 故选B.
D. 以上都不对
(2)∵M 是AA的中点，
又N 是BC的中点，
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢?1.空间向量的概念2.空间向量的运算律3.共线向量和共面向量
小结：
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
的充要条件是
如图，0是直线1上一点，在直线1上取非零向量a, 则对于直线1上任意一 点P, 由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ,使得
直线的方向向量
OP=λa. 把与向量a 平行的非零向量称为直线l的方向向量.
共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线1平行或重合，那么称向量α平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.a0 Aa 1aa如果两个向量a,b 不共线，那么向量p 与 向 量a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使 P=xa+yb.
证明：设 DA=a,DC=b.则DB=DC+CB=b+a,
10.如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁CD₁中，设AA M,N,P 分别是AA,BC,C₁D₁的中点，试用a,b,c
=a,AB=b,AD=c,表示以下向量：
2.已知空间任一点O 和不共线的三点A,B,C, 下列能得到P,A,B,C四点共面的是(B )A.OP=OA+OB+OC
解 析 ：若点P,A,B,C 共面，设OP=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=1, 满足条件的只有B, 故选B.
D. 以上都不对
(2)∵M 是AA的中点，
又N 是BC的中点，
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢?1.空间向量的概念2.空间向量的运算律3.共线向量和共面向量
小结：
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
的充要条件是
如图，0是直线1上一点，在直线1上取非零向量a, 则对于直线1上任意一 点P, 由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ,使得
直线的方向向量
OP=λa. 把与向量a 平行的非零向量称为直线l的方向向量.
共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线1平行或重合，那么称向量α平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.a0 Aa 1aa如果两个向量a,b 不共线，那么向量p 与 向 量a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使 P=xa+yb.
证明：设 DA=a,DC=b.则DB=DC+CB=b+a,
10.如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁CD₁中，设AA M,N,P 分别是AA,BC,C₁D₁的中点，试用a,b,c
=a,AB=b,AD=c,表示以下向量：
空间向量基本定理ppt课件
定理的必要性是由平面向量基本定理保证的，而充分性只要
注意到当 xa 与 xb 不共线时，xa，xb，xa+xb 分别是平行四边形的
两条邻边和一条对角线即可．
例 1 如图所示，已知斜三棱柱
= ，
=
1
= ，在
1上和
−
1
1 1 中，
上分别有一点 和 ，且
，其中 0⩽ ⩽1. 求证：
，a，c 共面.
= ，
( x y )e1 ( x 2 y )e2 ( x 2 y )e3 .因为 e1, e2 , e3 是空间的一组基底，所以
5
x
,
2
k x y,
1
x 2 y 3, 解得 y , 故选 D.
4
x 2 y 2,
9
k
AC1 113 .
9.如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，BC1 与 B1C 交于点 O，A1 AB A1 AC 60 ，
BAC 90 ， A1 A 4 ， AB AC 2 ， AO xAB yAC z AA1 ，则
xyz _________， | AO | __________.
第一章 空间向量与立体几何
课标要点
核心素养
1.理解共线向量
数学抽象
2.了解共面向量定理
数学运算
3.了解空间向量基本定理
数学运算
共线向量基本定理 如果 a≠0 且 b∥a，则存在唯一的实数 λ，使得
b＝λa．
平面向量基本定理 如果平面内两个向量 a 与 b 不共线，则对该平
北京大学出版社_4.5 向量空间 PPT课件
基，r 称为向量空间V 的维数，并称 V为r 维向量
空间．
向量组的最大无关组
向量组的秩
说明：(1)只含有零向量的向量空间没有基，定义为0维向量空 间，即维数为零； (2)明确向量的维数和空间的维数的区别。
概念总结
n维向量的全体称为n维向量空间，记为Rn，可以在该向量 空间中找到n维单位坐标向量组作为它的一个基。 其实，任何n个线性无关的n维向量都是它的一个基。
若向量组 1 , 2 ,, r是向量空间V 的一
个基，则 V可表示为
V x 11 22 rr 1 ,,r R
则称V是基所生成的向量空间，V中的任一向量都可由这 组基唯一表示。
向量的坐标
定义 如果在向量空间V中取定一个基 1,2 r ，那么V中
设 A=(1,2 ,3),B=(b1, b2 , b3) ， 求用 1,2 ,3 表示
b1, b2 , b3 的表示式（基变换公式），并求向量在两个基中的
坐标之间的关系式（坐标变换公式）
p A1B 称为从旧基到新基的过渡矩阵
设向量x在旧基和新基中的坐标分别为 y1, y2, y3和z1, z2, z3
注明：齐次线性方程组的解集可构成解空间，但非齐次线性方 程组不存在解空间一说。
例4 设a, b为两个已知的 n维向量，集合
V x a b , R
试判断集合是否为向量空间.
解 V是一个向量空间 .因为若 x1 1a 1b x2 2a 2b， 则有
任一向量X可唯一的表示为：
x 11 22 rr
1, , r R
1, 2 n 称为向量x在基 1,2 r 中的坐标。
线性组合系数
特别的,在n维向量空间中取单位坐标向量 e1,e2, en为基，则以
向量空间线性代数的课堂PPT
中的坐标. 中的坐标
向量空间
向量空间的概念 向量空间的基、 向量空间的基、维数与坐标
一、向量空间的概念
维向量的集合， 定义 设 V 为 n 维向量的集合，并且 V 满足 集合非空； ⑴ 集合非空； 对于加法运算封闭； ⑵ 对于加法运算封闭； 对于数乘运算封闭； ⑶ 对于数乘运算封闭； 向量空间. 那么称集合 V 为向量空间
λ乘 3维向量仍然是 3维向量，它们都属于 R 3 . 维向量，
类似地， 类似地， n维向量的全体 R n，也是一个向量空 间.
R = {α = (a1 , a2 ,⋯ , an ) ai ∈ R}
n T
一、向量空间的概念
判别下列集合是否为向量空间. 例2 判别下列集合是否为向量空间
V1 = x = (0, x 2 , ⋯ , x n ) x 2 , ⋯ , x n ∈ R
T
因此，V1是向量空间 .
一、向量空间的概念
判别下列集合是否为向量空间. 例3 判别下列集合是否为向量空间
V2 = x = (1, x 2 , ⋯ , x n ) x 2 , ⋯ , x n ∈ R
T
{
}
解 V2不是向量空间 .
因为若α = (1, a 2 ,⋯, a n ) ∈ V2 ,
T
则2α = (2,2a 2 ,⋯,2a n ) ∉ V2 .
x = k1α 1 + k 2α 2 + ⋯ + k rα r , 数组 k1 , k 2 , ⋯ , k r 称为向量 x 在基 α 1 , α 2 , ⋯ , α r 中的坐标 坐标. 中的坐标 ⇔ 线性表示的系数
• 基底改变，则相应的坐标随着改变. 基底改变，则相应的坐标随着改变.
三章向量空间ppt课件
简称极大无关组。
极大无关组中所含想了个数r称为向量组π的秩，
记作 Rr
注:
（1）只含零向量的向量组没有极大无关组. 规定它的秩为零
（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。
（ 3）一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组 线性表示
例如：对于向量组 T ：
1 = ( 1, 2, －1), 2 = (2, －3, 1) , 3 = (4, 1, －1)
数a1,a2,…,an称为这个向量的分量。ai称为
这个向量的第i个分量或坐标。
分量都是实数的向量称为实向量；分量是 复数的向量称为复向量。
注：向量既有大小也有方向。
z
y
M(x, y)
M(x,y,z)
0
x
y
0
xiyj(x,y)OMxxiyjzk(x,y,z)OM
矩阵与向量的关系：
通常把维数相同的一组向量简称为一个向量组，n维行
第三章
向量空间
1、向量及其运算 2、向量组的线性相关性 3、向量组的等价与向量组的秩 4、矩阵的秩及其行秩列秩 5、向量空间的基
§1 向量及其运算
定义1 n个数组成的有序数组（a1,a2,…,an）
a 1
或
a2
an
列向量
行向量
称为一个n维向量，简称向量。
用希腊字母αβγ等来表示向量 ，其中n为向量 的维数。一般向量看作是列向量,即用αβγ表示列 向量,行向量用它们的转置表示。
见书47页例3.2.4
§3 向量组的等价与向量组的秩
定义4 如果向量组 1:1,2,Lr中的每个向量都可 以由向量组 2:1,2,Ls线性表示，就称向量组 1:1,2,Lr 可由2:1,2,Ls线性表示，如果
极大无关组中所含想了个数r称为向量组π的秩，
记作 Rr
注:
（1）只含零向量的向量组没有极大无关组. 规定它的秩为零
（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。
（ 3）一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组 线性表示
例如：对于向量组 T ：
1 = ( 1, 2, －1), 2 = (2, －3, 1) , 3 = (4, 1, －1)
数a1,a2,…,an称为这个向量的分量。ai称为
这个向量的第i个分量或坐标。
分量都是实数的向量称为实向量；分量是 复数的向量称为复向量。
注：向量既有大小也有方向。
z
y
M(x, y)
M(x,y,z)
0
x
y
0
xiyj(x,y)OMxxiyjzk(x,y,z)OM
矩阵与向量的关系：
通常把维数相同的一组向量简称为一个向量组，n维行
第三章
向量空间
1、向量及其运算 2、向量组的线性相关性 3、向量组的等价与向量组的秩 4、矩阵的秩及其行秩列秩 5、向量空间的基
§1 向量及其运算
定义1 n个数组成的有序数组（a1,a2,…,an）
a 1
或
a2
an
列向量
行向量
称为一个n维向量，简称向量。
用希腊字母αβγ等来表示向量 ，其中n为向量 的维数。一般向量看作是列向量,即用αβγ表示列 向量,行向量用它们的转置表示。
见书47页例3.2.4
§3 向量组的等价与向量组的秩
定义4 如果向量组 1:1,2,Lr中的每个向量都可 以由向量组 2:1,2,Ls线性表示，就称向量组 1:1,2,Lr 可由2:1,2,Ls线性表示，如果
第四章 向量空间.ppt
1 3 2 1 3 r4r3 1 3 2 1 3
而(
A
|
B)
1 1
1
1 1 3
0 1 1
1 0 2
1 2 0
r3 r2
~
r2 r1
0 0 0
4 2 4
2 1 2
2 1 2
2 1 2
1 3 2 1 3
r4 r2
~
r3
1 2
r2
0 0 0
2 0 0
1 0 0
1 0 0
1 0
，所以R(
定理3.向量组a1,a2 ,...,am线性相关的充要条件是它 构成的矩阵A (a1,a2,...,am )的秩小于向量个数m ； 向量组线性无关的充要条件是R( A) m
定理4：向量组a1,a2,…,am(m≥2)线性相关的充要条 件是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合.
证明：若向量组a1, a2 ,..., am线性相关，则有
B
1 2
2
2 1 3
1 4 0
0 3 1
r4 r3
~
r2 r1 r3 2r1
0 0 0
1 1 2
2 2 4
1 1 2
r3 r2
~
r4 2r2 r1 r2
0 0 0
1 0 0
2 0 0
1 0 0
所以R( A) R(B) 2，且a 2a1 a2
1 1 3 5 例2.设β1 01 β2 11 β3 11 β4 31,判 断β4可否由β1、β2、β3线性表示？
定理2.向量组B：b1,b2 ,...,bp能由向量组A：a1,a2 ,...,am 线性表示的充要条件是矩阵A (a1,a2,...,am )的秩等于 矩阵(A|B) (a1,a2,...,am | b1,b2,...,bp )的秩，即
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
向量空间
数学研究理想结构（突出应用于实际问题），并在这 种研究中去发现各种结构之间的未知关系。 ---皮尔斯(S. Peirce,1838－1914)
不懂几何者勿入内 (指:柏拉图学园) ---柏拉图(Plato，约公元前427年－前347年)
不懂向量空间者无法进入数学圣殿的大门 ---匿名者
宁波工程学院理学院《高 等代数》课程组制作
(m4) 1 f(x)= f(x).
注1：刚开始，步骤要完整.
宁波工程学院理学院《高 等代数》课程组制作
例5 C[a,b]表示区间[a,b]上连续实函数按照通常的加法 与数乘构成实数域R的向量空间，称为函数空间. 证明： 比照例3，给出完整步骤. 例6 （1）数域F是F上的向量空间. （2）R是Q上的向量
用公理系宁统处波理工代程数问学题院的理思维学方院法《、逻高辑推理的方法. 等代数》课程组制作
§6.1 向量空间的定义和例子
1. 引例―――定义产生的背景. 2. 向量空间的定义――――抽象出的数学本质. 3. 进一步的例子―――加深对定义的理解. 4. 一些简单性质.
宁波工程学院理学院《高 等代数》课程组制作
宁波工程学院理学院《高 等代数》课程组制作
3. 进一步的例子――加深定义的理解
例3 按照定义1，F mn 是数域F上的向量空间，称为矩阵
空间.
（1） F1n , F n1 统称为ｎ元向量空间，统一用符号 F n表示.
（2） Rn是解析几何的坐标平面、坐标空间的推广它是常
用的一类. ……
例4 数域F上一元多项式集合F[x]按照通常的加法与数乘 构成F上的向量空间，称为多项式空间. 证明：根据多项式加法和数乘的定义，
1. 引例―――定义产生的背景
例1 设 F 是一个数域，F mn 表示上m×n矩阵的集合， 回忆一下 F mn 上所能够施行的运算（教材P182）：只有 加法和数乘两种，并且满足(教材P183)：
1. A+B=B+A
5. a(A+B)= aA+Ab
2. (A+B) O＋A=A 4. A+(-A)=O
I. 涉及两个集合（其中一个集合……）. II. 涉及两种运算（什么样的运算？）. III. 满足8条运算性质.
宁波工程学院理学院《高 等代数》课程组制作
2. 向量空间的定义－抽象出的数学本质
定义1 设F是一个数域，V是一个非空集合.我们把V中的 元素称为向量，V称为向量空间，如果下列条件成立：
闭合性： (c1) V上有(闭合的)加法运算，即：对任意u,v属于V, 一定有u+v属于 V. (c2) F上的数对V上的向量有 (闭合的)数乘运算，即：对任意F中数 和V中元素v, 一定有： v属于V. 加法的性质： (a1) u+v= v +u，对所有u和v属于V. (a2) u+(v+w)= (u+v)+w, 对所有u、v和w属于V. (a3) V中存在一个向量，记作o, 它满足：v+o= v 对所有V中的v.
宁波工程学院理学院《高 等代数》课程组制作
例8 在 R 2 上定义加法和数乘：
(a,b) (c, d ) (a c,b d ac) k (a,b) (ka, kb k(k 1) a2 )
2
证明 R 2 关于给定运算构成R上的向量空间.
任给f(x),g(x),h(x) F[x].
(a3) 0向量就是零多项式. (a4) f(x)的负向量为（- f(x)）. (m1) (ab) f(x)= a(bf(x)).
(m2) a [f(x)+g(x)]= a f(x)+ a g(x). (m3) (a b) f(x)= a f(x)+ b f(x).
空间，R是否为C上的向量空间？
注2：这个例子说明向量空间与F有关.
宁波工程学院理学院《高 等代数》课程组制作
例7 设数域取R, 集合为R+(实数)，加法和数乘定义为：
a b ab, k a ak , a,b R, k R 证明 R 关于给定的运算构成R上的向量空间. 证明：……
注3：运算可以是通常的，可以重新定义的. 如何理解 运算？…… 注4：取数乘为通常的乘法如何？……，向量空间与运算 有关. 注5：证明向量空间需要10条性质，其中：8条是验证，2 条需要解方程求出零向量与负向量.
6. (a+b)B=a B +Bb 7. (ab)A=a(b)A 还有一个显而易见的：
宁波工程学院理8学. 1A院＝《A高 等代数》课程组制作
例2 设R是实数域，V3表示空间向量的集合.两个向量可 以作加法（平行四边形法则），可以用R中的一个数乘一个 向量，加法和数乘满足同样的8条性质. 按照解析几何的 方法，向量可以用的坐标（x,y,z）来表达，加法和数乘都 有表达式，…… 类似的问题许多，……，有必要总结它们的共性：
(c1) f(x)+g(x) F[x], 任给f(x),g(x) F[x].
(c2) a f(x) F[x]，任给 a F，f(x)F[x].
(a1) f宁(x)波+g(工x)=程g(学x) +院f (理x),学任给院f(《x),高g(x)F[x].
等代数》课程组制作
(a2) [f(x)+g(x)]+h(x)= f(x)+ [g(x) +h(x) ],
向量空间（Vector Spaces）又称线性空间（Linear Spaces）.本章的特点及要求：
Ø 向量空间是线性代数的最基本的、最重要的概念之一， 是进一步学习数学必备的内容.
Ø 向量空间产生有着丰富的数学背景，又在许多领域（包 括数学本身）中有着广泛的应用，例如：线性非常组解 的结构.
Ø 向量空间是我们遇到的第一抽象的代数系统. 所谓代数 系统，就是带有运算的集合.通过本章的学习，初步熟悉
(a4) 给定V中宁每一波个向工量程v, V学中存院在理一个学向量院u满《足高： u+v= 0. 这样等的u代称为数v的》负课向量程. 组制作
乘法的性质： (m1) (ab)V a(bV )，a，b F.
(m2) a(U V ) aU aV. (m3) （a b)U aU bU.
(m4) 1u= u 对所有u属于V.
数学研究理想结构（突出应用于实际问题），并在这 种研究中去发现各种结构之间的未知关系。 ---皮尔斯(S. Peirce,1838－1914)
不懂几何者勿入内 (指:柏拉图学园) ---柏拉图(Plato，约公元前427年－前347年)
不懂向量空间者无法进入数学圣殿的大门 ---匿名者
宁波工程学院理学院《高 等代数》课程组制作
(m4) 1 f(x)= f(x).
注1：刚开始，步骤要完整.
宁波工程学院理学院《高 等代数》课程组制作
例5 C[a,b]表示区间[a,b]上连续实函数按照通常的加法 与数乘构成实数域R的向量空间，称为函数空间. 证明： 比照例3，给出完整步骤. 例6 （1）数域F是F上的向量空间. （2）R是Q上的向量
用公理系宁统处波理工代程数问学题院的理思维学方院法《、逻高辑推理的方法. 等代数》课程组制作
§6.1 向量空间的定义和例子
1. 引例―――定义产生的背景. 2. 向量空间的定义――――抽象出的数学本质. 3. 进一步的例子―――加深对定义的理解. 4. 一些简单性质.
宁波工程学院理学院《高 等代数》课程组制作
宁波工程学院理学院《高 等代数》课程组制作
3. 进一步的例子――加深定义的理解
例3 按照定义1，F mn 是数域F上的向量空间，称为矩阵
空间.
（1） F1n , F n1 统称为ｎ元向量空间，统一用符号 F n表示.
（2） Rn是解析几何的坐标平面、坐标空间的推广它是常
用的一类. ……
例4 数域F上一元多项式集合F[x]按照通常的加法与数乘 构成F上的向量空间，称为多项式空间. 证明：根据多项式加法和数乘的定义，
1. 引例―――定义产生的背景
例1 设 F 是一个数域，F mn 表示上m×n矩阵的集合， 回忆一下 F mn 上所能够施行的运算（教材P182）：只有 加法和数乘两种，并且满足(教材P183)：
1. A+B=B+A
5. a(A+B)= aA+Ab
2. (A+B) O＋A=A 4. A+(-A)=O
I. 涉及两个集合（其中一个集合……）. II. 涉及两种运算（什么样的运算？）. III. 满足8条运算性质.
宁波工程学院理学院《高 等代数》课程组制作
2. 向量空间的定义－抽象出的数学本质
定义1 设F是一个数域，V是一个非空集合.我们把V中的 元素称为向量，V称为向量空间，如果下列条件成立：
闭合性： (c1) V上有(闭合的)加法运算，即：对任意u,v属于V, 一定有u+v属于 V. (c2) F上的数对V上的向量有 (闭合的)数乘运算，即：对任意F中数 和V中元素v, 一定有： v属于V. 加法的性质： (a1) u+v= v +u，对所有u和v属于V. (a2) u+(v+w)= (u+v)+w, 对所有u、v和w属于V. (a3) V中存在一个向量，记作o, 它满足：v+o= v 对所有V中的v.
宁波工程学院理学院《高 等代数》课程组制作
例8 在 R 2 上定义加法和数乘：
(a,b) (c, d ) (a c,b d ac) k (a,b) (ka, kb k(k 1) a2 )
2
证明 R 2 关于给定运算构成R上的向量空间.
任给f(x),g(x),h(x) F[x].
(a3) 0向量就是零多项式. (a4) f(x)的负向量为（- f(x)）. (m1) (ab) f(x)= a(bf(x)).
(m2) a [f(x)+g(x)]= a f(x)+ a g(x). (m3) (a b) f(x)= a f(x)+ b f(x).
空间，R是否为C上的向量空间？
注2：这个例子说明向量空间与F有关.
宁波工程学院理学院《高 等代数》课程组制作
例7 设数域取R, 集合为R+(实数)，加法和数乘定义为：
a b ab, k a ak , a,b R, k R 证明 R 关于给定的运算构成R上的向量空间. 证明：……
注3：运算可以是通常的，可以重新定义的. 如何理解 运算？…… 注4：取数乘为通常的乘法如何？……，向量空间与运算 有关. 注5：证明向量空间需要10条性质，其中：8条是验证，2 条需要解方程求出零向量与负向量.
6. (a+b)B=a B +Bb 7. (ab)A=a(b)A 还有一个显而易见的：
宁波工程学院理8学. 1A院＝《A高 等代数》课程组制作
例2 设R是实数域，V3表示空间向量的集合.两个向量可 以作加法（平行四边形法则），可以用R中的一个数乘一个 向量，加法和数乘满足同样的8条性质. 按照解析几何的 方法，向量可以用的坐标（x,y,z）来表达，加法和数乘都 有表达式，…… 类似的问题许多，……，有必要总结它们的共性：
(c1) f(x)+g(x) F[x], 任给f(x),g(x) F[x].
(c2) a f(x) F[x]，任给 a F，f(x)F[x].
(a1) f宁(x)波+g(工x)=程g(学x) +院f (理x),学任给院f(《x),高g(x)F[x].
等代数》课程组制作
(a2) [f(x)+g(x)]+h(x)= f(x)+ [g(x) +h(x) ],
向量空间（Vector Spaces）又称线性空间（Linear Spaces）.本章的特点及要求：
Ø 向量空间是线性代数的最基本的、最重要的概念之一， 是进一步学习数学必备的内容.
Ø 向量空间产生有着丰富的数学背景，又在许多领域（包 括数学本身）中有着广泛的应用，例如：线性非常组解 的结构.
Ø 向量空间是我们遇到的第一抽象的代数系统. 所谓代数 系统，就是带有运算的集合.通过本章的学习，初步熟悉
(a4) 给定V中宁每一波个向工量程v, V学中存院在理一个学向量院u满《足高： u+v= 0. 这样等的u代称为数v的》负课向量程. 组制作
乘法的性质： (m1) (ab)V a(bV )，a，b F.
(m2) a(U V ) aU aV. (m3) （a b)U aU bU.
(m4) 1u= u 对所有u属于V.