两次相遇问题公式的推导

二次相遇问题的解题思路

二次相遇问题的解题思路
二次相遇问题是指两个或多个人在不同的时间和地点出发，经过一段时间后再次相遇的问题。

这种问题在实际生活中很常见，例如两个人在不同的地点出发，要在某个地点同时到达，或者一个人在走回家的路上遇到了另一个人，然后在某个地方又再次相遇等等。

解决二次相遇问题的基本思路是利用两者行进的时间、速度、起点和终点等信息，结合一些基本的数学知识，进行推导和计算。

具体的解题思路如下：
1. 先确定二者的起点和终点，以及他们分别的出发时间和速度。

2. 利用速度、时间和路程之间的关系，计算出两者分别到达终点的时间。

3. 然后计算出他们在终点之前的相遇时间，即两者行程时间的差值。

4. 如果两者在终点之前只相遇了一次，那么计算完两者在终点之前相遇的时间后，再根据相遇时的路程、时间和速度等信息，计算出相遇点的位置。

5. 如果两者在终点之前多次相遇，那么需要用到循环的思路，即在计算出两者相遇的时间后，将其中一个人的出发时间更新为相遇时间，然后重新计算两者到达终点的时间。

6. 重复上述过程，直到两者都到达终点，或者达到某一个预设的相遇次数为止。

总之，解决二次相遇问题需要运用数学知识，并结合实际情况进
行推导和计算。

掌握了这种问题的解题思路和方法，可以帮助我们更好地解决实际生活中遇到的问题。

两次相遇行程问题的解法-(教学材料)

两次相遇行程问题的解法在小学阶段关于行程的应用题是作为一种专项应用题出现的，简称“行程问题”。

有一种“行程问题”中出现了第二次相遇（即两次相遇）的情况，较难理解。

其实此类应题只要掌握正确的方法，解答起来也十分方便。

例1．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距B地60千米处相遇。

求A、B两地间的路程。

[分析与解]根据题意可画出下面的线段图：由图中可知，甲、乙两车从同时出发到第二次相遇，共行驶了3个全程，第一次相遇距A地80千米，说明行完一个全程时，甲行了8O千米。

两车同时出发同时停止，共行了3个全程，说明两车第二次相遇时甲共行了8×3＝240（千米），从图中可以看出来甲车实际行了一个全程多60千米，所以A、B两地间的路程就是：240－60＝180（千米）例2．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距A地60千米处相遇。

求A、B两地间的路程。

[分析与解］根据题意可画出线段图：由图中可知，甲、乙两车从同时出发到第二次相遇，共行驶了3个全程，第一次相遇距A地8O千米，说明行完一个全程时，甲行了8O千米。

两车同时出发同时停止，共行了3个全程。

说明两车第二次相遇时甲车共行了：80×3＝24O （千米），从图中可以看出来甲车实际行了两个全程少60千米，所以A、B两地间的路程就是：（24O＋6O）÷2＝150（千米）可见，解答两次相遇的行程问题的关键就是抓住两次相遇共行三个全程，然后再根据题意抓住第一次相遇点与三个全程的关系即可解答出来。

例3 AB两城间有一条公路长240千米，甲乙两车同时从A、B两城出发，甲以每小时45千米的速度从A城到B城，乙以每小时35千米的速度从B城到A城，各自到达对方城市后立即以原速沿原路返回，几小时后，两车在途中第二次相遇？相遇地点离A城多少千米？分析:从图上可以看出，甲乙两人第一次相遇时，行了一个全程。

相遇问题的方程公式

相遇问题的方程公式
相遇问题是一个经典的数学问题，通常涉及到两个或多个物体（如汽车、船等）从不同的地点出发，最终在某个点相遇。

这类问题的关键在于找出物体之间的相对速度和相对距离。

在解决相遇问题时，通常需要使用以下公式：
1. 相对速度公式：
相对速度 = (速度1 + 速度2) / (1 + 速度1 × 速度2 / 相对速度)
这个公式用于计算两个物体之间的相对速度。

其中，速度1和速度2分别是两个物体的速度，相对速度是两个物体之间的距离。

2. 相对距离公式：
相对距离 = (相对速度× 时间) + 初始距离
这个公式用于计算两个物体相遇时的相对距离。

其中，相对速度是两个物体之间的速度，时间是从出发到相遇所经过的时间，初始距离是两个物体初始时的距离。

3. 时间公式：
时间 = (相对距离 - 初始距离) / 相对速度
这个公式用于计算两个物体相遇所需要的时间。

其中，相对距离是两个物体相遇时的距离，初始距离是两个物体初始时的距离，相对速度是两个物体之间的速度。

这些公式可以帮助我们解决相遇问题，并计算出物体相遇的时间、距离和相对速度。

相遇问题公式及解析

相遇问题公式及解析嘿，咱今天就来好好聊聊这相遇问题！在数学的世界里，相遇问题那可是个常客。

咱们先来说说相遇问题的公式。

一般来说，相遇路程 = 速度和×相遇时间。

这就好比两个人在同一条路上朝着对方走，他们走过的路程加起来就是相遇路程，而他们一起走的速度之和乘以一起走的时间，就得出了这个路程。

给您举个例子吧。

有一天我在街上看到两个小朋友，小明和小红，他们约好了要在一个距离为 1200 米的公园碰面一起玩耍。

小明每分钟走 80 米，小红每分钟走 70 米。

那他们多长时间能相遇呢？这时候咱们就可以用上面的公式来算啦。

速度和就是小明的速度加上小红的速度，也就是 80 + 70 = 150 米/分钟。

相遇路程是 1200 米，所以相遇时间 = 相遇路程÷速度和 = 1200 ÷ 150 = 8 分钟。

您瞧，这是不是一下子就清楚啦！再深入一点说，有时候题目可能会变得稍微复杂点。

比如说，两个人不是同时出发的，或者走的路不是直线的。

但不管怎么变，核心还是那个公式，咱们只要找准对应的量，就能迎刃而解。

我还记得之前给学生们讲这个知识点的时候，有个学生特别迷糊，怎么都弄不明白。

我就跟他说：“你就想象你和你的好朋友约好了在一个地方见面，你走得快，他走得慢，那你们啥时候能碰上，不就得看你们走的速度和走的时间嘛！”然后让他自己模拟了几次，嘿，他还真就搞懂了！其实啊，这相遇问题在咱们生活中也经常能碰到。

比如说，两辆汽车同时从两个城市出发，相向而行，要计算它们多久能相遇；或者两艘船在河里相对行驶，求相遇的时间。

这些问题本质上都是相遇问题，都能通过那个公式来解决。

所以啊，大家别觉得数学里的这些公式枯燥难学，只要咱们把它和生活中的实际情况联系起来，就会发现数学真的很有用，能帮咱们解决好多问题呢！总之，掌握好相遇问题的公式，多做些练习题，多联系实际想想，相信大家都能轻松搞定这类问题！。

二次相遇问题的解题思路

二次相遇问题的解题思路一、直线二次相遇甲村、乙村相距6千米，小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回）.在出发后40分钟两人第一次相遇.小王到达甲村后返回，在离甲村2千米的地方两人第二次相遇.问小张和小王的速度各是多少？解：画示意图如下：如图，第一次相遇两人共同走了甲、乙两村间距离，第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村间距离的3倍，因此所需时间是40×3÷60＝2（小时）.从图上可以看出从出发至第二次相遇，小张已走了6×2-2＝10（千米）.小王已走了 6＋2=8（千米）.因此，他们的速度分别是小张10÷2＝5（千米/小时），小王8÷2=4（千米/小时）.答：小张和小王的速度分别是5千米/小时和4千米/小时.知识要点提示：甲从A地出发，乙从B地出发相向而行，两人在C地相遇，相遇后甲继续走到B 地后返回，乙继续走到A地后返回，第二次在D地相遇。

一般知道AC和AD的距离，主要抓住第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。

例题：1.甲乙两车同时从A、B两地相向而行，在距B地54千米处相遇，它们各自到达对方车站后立即返回，在距A地42千米处相遇。

请问A、B两地相距多少千米？A.120B.100C.90D.80【答案】A。

解析：设两地相距x千米，由题可知，第一次相遇两车共走了x，第二次相遇两车共走了2x，由于速度不变，所以，第一次相遇到第二次相遇走的路程分别为第一次相遇的二倍，即54×2=x-54+42，得出x=120。

54乘3再减去42=120，再用120减去54加42的和=24因为第一次相遇距离B地54千米，说明行完一个全程乙走了54千米，到甲乙第二次相遇时总共走了三个全程，也就是说，这时乙走了54乘3千米，也就是162千米，这个162千米也是乙走完一个全程后还包括多走的42千米，所以用162减去42就是一个A B之间的全程。

二次相遇问题的解题思路

二次相遇问题的解题思路一、直线二次相遇甲村、乙村相距6千米，小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回）.在出发后40分钟两人第一次相遇.小王到达甲村后返回，在离甲村 2千米的地方两人第二次相遇.问小张和小王的速度各是多少？解：画示意图如下:如图，第一次相遇两人共同走了甲、乙两村间距离，第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村间距离的3倍，因此所需时间是40X3^60=2 （小时）.从图上可以看出从出发至第二次相遇，小张已走了6X2-2=10 （千米）.小王已走了 6 + 2=8 （千米）.因此，他们的速度分别是小张10^2 = 5 （千米/小时），小王8：2=4（千米/小时）.页脚内容1答：小张和小王的速度分别是5千米/小时和4千米/小时.知识要点提示：甲从A地出发，乙从B地出发相向而行，两人在C地相遇，相遇后甲继续走到B地后返回，乙继续走到A地后返回，第二次在D地相遇。

一般知道AC和AD的距离，主要抓住第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。

例题：1.甲乙两车同时从A、B两地相向而行，在距B地54千米处相遇，它们各自到达对方车站后立即返回，在距A地42千米处相遇。

请问A、B两地相距多少千米？A.120B.100C.90D.80【答案】A。

解析：设两地相距x千米，由题可知，第一次相遇两车共走了乂，第二次相遇两车共走了2乂，由于速度不变，所以，第一次相遇到第二次相遇走的路程分别为第一次相遇的二倍，即54X2=x-54+42,得出x=120。

54乘3再减去42=120,再用120减去54 加42的和=24因为第一次相遇距离B地54千米，说明行完一个全程乙走了 54千米，到甲乙第二次相遇时总共走了三个全程，也就是说，这时乙走了54乘3千米，也就是16 2千米，这个162千米也是乙走完一个全程后还包括多走的42千米，所以用16 2减去42就是一个AB之间的全程。

十道速度和路程的题目和

十道速度和路程的题目速度和路程:(一)平均速度问题1.时间对半分，平均速度公式：（V1+V2）/22.路程对半分，平均速度公式：2V1*V2/（V1+V2）（二）多次相遇问题1.甲乙1次相遇，走1个全程；甲乙2次相遇，走3个全程；甲乙3次相遇走5个全程。

甲乙N次相遇，走2N-1次全程。

2.两次相遇公式：双岸单岸公式记住这公式先记住这句话：n次相遇，每个人走的路程等于他第一次所走路程的（2n-1）倍。

S1表示甲第一次相遇走的路程，根据这句话推导：2次相遇，甲走的路程=3S1S2表示的是第二次相遇点到甲岸的距离：甲走的路程=2S-S2，所以：3 S1=2S- S2＝＞推导出单岸型公式S=(3 S1+ S2)/2双岸公式区别在S2 表示的不同，S1同样是甲第一次相遇走的路程，S2则是第二次相遇点到乙岸的距离：2次相遇，甲走的路程=3S1，还可以列另一式子：甲走的路程=S+ S2，所以3 S1=S+ S2＝＞推导出双岸型公式S=3 S1- S2（二）流水问题两个公式：船速=（顺速+逆速）/2 水速=（顺速-逆速）/2 漂流瓶：T等于（2t逆*t顺）/ （t逆-t顺）（三）扶梯公式同方向：扶梯可见部分=人走的距离+扶梯走的距离反方向：扶梯可见部分=人走的距离-扶梯走的距离（四）发车间隔问题发车间隔=2t 1t2/ （t1 +t2）十道题目：1.小张从家到单位有两条一样长的路．一条是平路、另一条是一半上坡路，一半下坡路，小张上班走这两条路所用的时间一样多。

已知下坡的速度是平路的1.5倍，那么上坡的速度是平路的( )倍。

A．3/5 B．2/5 C．1/4 D．3/42.在400米环形跑道上，A、B两点最近相距100米(如图)。

甲、乙两位运动员分别从A、B两点同时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒跑9米，乙每秒7米，他们每人跑100米都停5秒，那么追上乙需要多少秒？( )A．70 B．65 C．75 D．803.AB两地间有条公路，甲从A地出发步行到B地，乙骑摩托车从B地不停的往返两地之间，若它们同时出发，80分钟后两人第一次相遇，100分钟后乙第一次超过甲，当甲到达B地时，甲乙相遇（）次。

“多次相遇问题”解题技巧

“屡次相遇问题〞解题技巧“屡次相遇〞问题有直线型和环型两种模型。

相对来讲，直线型更加复杂。

环型只是单纯的周期问题。

一、直线型直线型屡次相遇问题宏观上分“两岸型〞和“单岸型〞两种。

“两岸型〞是指甲、乙两人从路的两端同时出发相向而行；“单岸型〞是指甲、乙两人从路的一端同时出发同向而行。

〔一〕两岸型两岸型甲、乙两人相遇分两种情况，可以是迎面碰头相遇，也可以是反面追及相遇。

题意如果没有明确说明是哪种相遇，对两种情况均应做出思考。

1、迎面碰头相遇：如下列图，甲、乙两人从A、B两地同时相向而行，第一次迎面相遇在a处，〔为清楚表示两人走的路程，将两人的路线分开画出〕那么共走了1个全程，到达对岸b后两人转向第二次迎面相遇在c处，共走了3个全程，那么从第一次相遇到第二次相遇走过的路程是第一次相遇的2倍。

之后的每次相遇都多走了2个全程。

所以第三次相遇共走了5个全程，依次类推得出：第n次相遇两人走的路程和为〔2n-1〕S，S为全程。

而第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍，分开看每个人都是2倍关系，经常可以用这个2倍关系解题。

即对于甲和乙而言从a到c走过的路程是从起点到a的2倍。

相遇次数全程个数再走全程数111232352472,,,n2n-122、反面追及相遇与迎面相遇类似，反面相遇同样是甲、乙两人从A、B两地同时出发，如下列图，此时可假设全程为4份，甲1分钟走1份，乙1分钟走5份。

那么第一次反面追及相遇在a处，再经过1分钟，两人在b处迎面相遇，到第3分钟，甲走3份，乙走15份，两人在c处相遇。

我们可以观察，第一次反面相遇时，两人的路程差是1个全程，第二次反面相遇时，两人的路程差为3个全程。

同样第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍，单看每个人多走的路程也是第一次的2倍。

依次类推，得：第n次反面追及相遇两人的路程差为〔2n-1〕S。

〔二〕单岸型单岸型是两人同时从一端出发，与两岸型相似，单岸型也有迎面碰头相遇和反面追及相遇两种情况。

相遇问题笔记

相遇问题笔记相遇问题是指在一个环形路径上，两个或多个移动物体从不同的位置出发，按照一定的速度移动，问他们是否会在某个时间点相遇。

相遇问题在数学和物理中都有广泛的应用。

在解决相遇问题时，可以采用数学公式和方程来推导出结果。

下面是一些常见的相遇问题及解决方法：1. 两个人从同一点出发，按照不同的速度沿着一个环形路径行走，是否会在某个时间点相遇？解决方法：假设两人速度分别为v1和v2，环形路径的长度为L，假设他们相遇的时间点为t，那么根据距离等于速度乘以时间的公式，可以得到以下等式：v1*t = L - v2*t。

通过解这个方程可以得到是否存在t使得方程成立，如果存在，则两人会在某个时间点相遇。

2. 两个车沿着一个环形路径行驶，是否会在某个时间点相遇？解决方法：假设两车的速度分别为v1和v2，环形路径的长度为L，假设他们相遇的时间点为t，那么根据距离等于速度乘以时间的公式，可以得到以下等式：v1*t = L - v2*t。

通过解这个方程可以得到是否存在t使得方程成立，如果存在，则两车会在某个时间点相遇。

3. 一个人从A点沿着一个环形路径行走，同时另一个人从B 点按照不同的速度行走，他们会在某个时间点相遇吗？解决方法：假设A点到B点的距离为d，A的速度为v1，B 的速度为v2，环形路径的长度为L。

那么当且仅当d能够整除(v1-v2)时，他们才会在某个时间点相遇。

4. 一个人从A点沿着一个环形路径行走，同时另一个人从B 点按照不同的速度行走，他们会相遇几次？解决方法：假设A点到B点的距离为d，A的速度为v1，B 的速度为v2，环形路径的长度为L。

那么相遇的次数等于d 除以(v1-v2)的整数部分。

相遇问题的解决方法主要依赖于数学公式和方程，通过解方程或条件判断，可以得到是否存在相遇的情况，以及相遇的时间或次数。

在实际应用中，相遇问题可以用来解决交通规划、概率计算等问题。

行程问题-多次相遇

行程问题“多次相遇”行程问题是相对较难解决的一种题型。

而路程=速度×时间是行程问题中最基本公式。

这个基本公式中暗含着的正反比关系也是考生在复习过程中需要重点注意的地方。

正因如此，比例思想是我们解决行程问题的常用方法。

其次，数形结合也是不可或缺的工具。

即对于行程问题，最主要的是根据题干信息画出行程图，理清路程、速度、时间三者之间的关系，进而解题。

行程问题实际上还包含很多小的模块，比如：简单的相遇和追及、多次相遇问题、流水行船、时钟问题、牛吃草问题等等。

(1)最基本的多次相遇问题是指两人同时从不同的地点同时相向而行，在第一次相遇后没停，继续向前走到打对方终点后返回再次相遇，如此循环往返的过程是多次相遇问题。

基本模型如下：从出发开始到等等依次类推到第n次相遇。

在此运动过程中，基本规律如下：(1)从出发开始，到第n次相遇：每一次相遇会比前一次夺走2个全程;即：路程和具有的特点是1：2：2：2：……，含义是第一次走1个全程，第二次开始都增加2个全程;(2)由于二者在运动过程中，速度和是不变的，故每次相遇所用时间和路程和成正比，若设第一次相遇的时间为t，则第一次到第二次所用时间为2t，依次类推，每次相遇所用的时间关系也为1：2;2：2……，含义是第一次相遇用时间t，第二次开始相遇时间都会增加2t的时间;(3)各自所走路程也满足这个关系。

设第一次相遇甲走路程为S0，则从第二次相遇开始甲走的路程会增加2S0，即关系式仍为1：2：2：2……。

例题1：甲从A地、乙从B地同时以均匀的速度相向而行，第一次相遇离A地6千米，继续前进，到达对方起点后立即返回，在离B地3千米处第二次相遇，则A、B两地相距多少千米?A.10B.12C.18D.15【答案】D。

解析：直线多次相遇问题。

第一次相遇时，两人走的总路程为A、B之间的路程，即1个AB全程。

第二次相遇时，甲、乙两人共走了3个全程，即两人分别走了第一次相遇时各自所走路程的3倍。

两次相遇问题公式的推导

两次相遇问题公式的推导
两次相遇问题公式的推导
设A、B两地的距离为S，第一次相遇地点时距离B地S1，第二次相遇时距离A地S2，那么S=3S1-S2（双边公式）。

第一次相遇甲的路程为：S- S1 乙的路程为：S1 第二次相遇甲的路程为：2S-S2 乙的路程为：S+ S2
由于甲与乙两次相遇用的时间相同，因此两次相遇路程之比等于甲、乙的速度之比，
即 V甲 S- S1 2
V乙
=
S1
=
2S-SS+ S2
简化：2SS2
1-S1S2=S+SS2-SS1-S1S2→2S1=S+S2-S1→S=3S1-S2 S2 S1
甲
② ① A
B
设A、B两地的距离为S，第一次相遇地点时距离B地S1，第二次相遇时距离B地S2，那么S=（3S1+S2）/2（单边公式）。

由图可知双边公式中的S2相当于单边公式中的S-S2，代入双边公式可得出S=3S1-
（S-S2）→2S=3S1+S2→S=（3S1+S2）/2 S2 S1
② ① A
B
乙
甲乙
感谢您的阅读，祝您生活愉快。

多次相遇追击问题

多次相遇追击问题多次相遇问题分析两人一次相遇问题基准1：甲乙二人分别从距离若干公里的a、b两地同时启程并肩而行，碰面后各自继续前进，甲又经1小时抵达b地，乙又经4小时抵达a地，甲步上全程用了几小时？【江苏a2021】a.2b.3c.4d.6┃------------------┊----------┃acb楚香凝解析：设立碰面时间为t，在ac段甲乙的时间比=t：4，所以甲乙速度比=4：t；在cb段甲乙的时间比=1：t，所以甲乙的速度比=t：1；只须4：t=t：1，Champsaurt=2；所以甲步上全程须要的时间=2+1=3小时，挑选b例2：甲、乙两位运动员分别从m、n两地均速骑车相向而行，两人相遇时，甲比乙多走了18千米，甲继续向n地前进，从相遇时到n地用了4.5小时。

乙继续向m地前进，从相遇到m地用了8小时。

问m、n两地距离多少千米？a.124b.125c.126d.127┃------------------┊----------┃mon楚香凝解析：设相遇时间为t，在mo段甲乙的时间比=t：8，所以甲乙速度比=8：t；在on段甲乙的时间比=4.5：t，所以甲乙的速度比=t：4.5；可得8：t=t：4.5，解得t=6；所以甲走mn需要的时间=6+4.5=10.5小时，乙走mn需要的时间=6+8=14小时，甲乙时间比=10.5:14=3:4，所以速度比=4:3（这里可以根据7因子直接锁定答案c）；路程比为4:3，差一份=18千米，总共走了7份=18*7=126，选c两人两次碰面问题核心公式：单岸型:s=（3s1+s2）/2双岸型：s=3s1-s2基准1：货车a由甲城驶往乙城，货车b由乙城驶往甲城，它们同时启程并以各自恒定的速度高速行驶。

在途中第一次碰面时，它们距甲城为35千米。

碰面后两车稳步以原来的速度高速行驶至目的城市后立即调头，途中再一次碰面，这时它们距乙城为25千米。

则甲乙两城距离()千米。

多次相遇问题原理及解题方法

多次相遇问题原理及解题方法多次相遇问题指的是在一定条件下，两个或多个人或物体在某一时刻相遇，然后经过一段时间后再次相遇。

这种问题可以应用于很多场景，如两个人在同一地点同时出发，同时以不同的速度前往另一个地点，问他们何时再次相遇。

解决多次相遇问题可以使用最小公倍数的概念。

最小公倍数是指能被两个或多个整数整除的最小正整数。

对于多次相遇问题，我们需要找到两个或多个物体在相遇之间所需的时间间隔，然后将这些时间间隔的最小公倍数作为解。

假设有两个人A和B，在同一地点同时出发，A的速度是a，B的速度是b。

设t是他们再次相遇的时间，那么在这段时间内，A走了a*t的距离，B走了b*t的距离。

因为他们再次相遇时，走过的距离是相同的，所以可以得到以下等式：a*t =b*t。

从中解出t的值，就可以得到他们再次相遇的时间。

而在解决多次相遇问题时，我们需要找到一个最小的t的值，也就是他们多次相遇的最小时间间隔。

这个最小的t值就是两个速度a和b的最小公倍数。

解题方法可以总结如下：1. 确定问题中的已知条件，如两个物体的速度，或者多个物体的速度等。

2. 根据已知条件，列出方程或等式。

根据两个物体再次相遇时走过的距离相等的原则，可以得到相应的方程。

3. 求解方程，得到两个物体再次相遇的时间。

4. 如果问题要求多次相遇的最小时间间隔，找到所有时间的最小公倍数，即为解。

继续以上面的问题为例，假设A和B两人同时出发，A的速度是3m/s，B的速度是5m/s。

我们想知道他们何时再次相遇。

根据以上的解题方法，我们可以列出方程：3t = 5t，其中t为他们再次相遇的时间。

解这个方程可以得到t=0，但这显然不符合实际情况，因为他们必须要有一段时间才能相遇。

我们知道，t的最小值就是他们再次相遇的时间，但我们想要求的是他们多次相遇的最小时间间隔。

为了求得最小时间间隔，我们需要求解出两个物体相遇的周期。

两个物体再次相遇的周期是两个物体速度的最小公倍数。

两次相遇及“多次相遇”问题

两次相遇及“多次相遇”问题两次相遇问题核心公式：单岸型S=（3S'＋S''）/2；两岸型S=3S'-S''（S 表示两岸的距离）一：单岸型：这里S'代表第一次相遇，S''第二次相遇距离A地的距离。

1：例题：两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后立即原路返回，第二次在距A 地60千米处相遇，则A、B两地路程为多少？解：S=（3S'＋S''）/2=（3x80+60）/2=150千米向左转|向右转二：两岸型：这里S'代表第一次相遇，S''第二次相遇距离B地的距离。

1：例题：甲从A地、乙从B地同时以均匀速度相向而行，第一次相遇离A 地6千米，继续前进，到达对方起点后立即返回，在离B地3千米处第二次相遇，则AB两地距离多少？解：S=3S'-S''=3x6-3=15千米向左转|向右转“多次相遇”问题有直线型和环型两种模型。

相对来讲，直线型更加复杂。

环型只是单纯的周期问题。

一、直线型直线型多次相遇问题宏观上分“两岸型”和“单岸型”两种。

“两岸型”是指甲、乙两人从路的两端同时出发相向而行；“单岸型”是指甲、乙两人从路的一端同时出发同向而行。

（一）两岸型两岸型甲、乙两人相遇分两种情况，可以是迎面碰头相遇，也可以是背面追及相遇。

题意如果没有明确说明是哪种相遇，对两种情况均应做出思考。

1、迎面碰头相遇：如下图，甲、乙两人从A、B两地同时相向而行，第一次迎面相遇在a处，（为清楚表示两人走的路程，将两人的路线分开画出）则共走了1个全程，到达对岸b后两人转向第二次迎面相遇在c处，共走了3个全程，则从第一次相遇到第二次相遇走过的路程是第一次相遇的2倍。

之后的每次相遇都多走了2个全程。

所以第三次相遇共走了5个全程，依次类推得出：第n次相遇两人走的路程和为（2n-1）S，S为全程。

二次相遇问题的解题思路

二次相遇问题的解题思路一、直线二次相遇甲村、乙村相距6千米，小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走〔到达另一村后就马上返回〕.在出发后40分钟两人第一次相遇.小王到达甲村后返回，在离甲村2千米的地方两人第二次相遇.问小张和小王的速度各是多少？解：画示意图如下：如图，第一次相遇两人共同走了甲、乙两村间距离，第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村间距离的3倍，因此所需时间是40×3÷60＝2〔小时〕.从图上可以看出从出发至第二次相遇，小张已走了6×2-2＝10〔千米〕.小王已走了 6＋2=8〔千米〕.因此，他们的速度分别是小张10÷2＝5〔千米/小时〕，小王8÷2=4〔千米/小时〕.答：小张和小王的速度分别是5千米/小时和4千米/小时.知识要点提示：甲从A地出发，乙从B地出发相向而行，两人在C地相遇，相遇后甲继续走到B地后返回，乙继续走到A地后返回，第二次在D地相遇。

一般知道AC和AD的距离，主要抓住第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。

例题：1.甲乙两车同时从A、B两地相向而行，在距B地54千米处相遇，它们各自到达对方车站后立即返回，在距A地42千米处相遇。

请问A、B两地相距多少千米？A.120B.100C.90D.80【答案】A。

解析：设两地相距x千米，由题可知，第一次相遇两车共走了x，第二次相遇两车共走了2x，由于速度不变，所以，第一次相遇到第二次相遇走的路程分别为第一次相遇的二倍，即54×2=x-54+42，得出x=120。

54乘3再减去42=120，再用120减去54加42的和=24因为第一次相遇距离B地54千米，说明行完一个全程乙走了54千米，到甲乙第二次相遇时总共走了三个全程，也就是说，这时乙走了54乘3千米，也就是16 2千米，这个162千米也是乙走完一个全程后还包括多走的42千米，所以用16 2减去42就是一个AB之间的全程。

数学相遇问题

1.多次相遇的定义及核心公式直线多次相遇：两人同时相向出发并不停地在两地间往返的过程，在此过程中两人多次相遇。

环线多次相遇：两人同时同地背向出发，并不停地绕环线进行在此过程中多次相遇。

等量关系：路程=速度×时间两人相遇走过路程之和=两人速度之和×相遇时间2.直线上多次相遇的行程过程及规律推导由于环线多次相遇问题与解决直线多次相遇问题的思路相同，所以在此只分析直线上的多次相遇行程过程。

甲乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，经过时间t在C点相遇，继续前行分别到达对方起点后立即返回，在D点第二次相遇，继续前行分别到达对方起点后返回，如此往返。

设甲的速度为V甲，乙的速度为V乙，第一次相遇时两人的相遇路程和就是两地间距离AB，从第一次相遇后到第二次相遇时两人共走了2倍的AB，依次类推，后面每次相遇时两人走的路程和都是2AB，所以每从前一次相遇到下一次相遇之间两人走的路程和的比例是1：2：2：2•••由于甲乙两人的速度不变，相遇过程中速度和也始终不变，由相遇路程=两人速度之和×相遇时间，可知，从前一次相遇到下一次相遇之间两人走的路程所用时间比例也是1：2：2：2•••同理可得，从前一次相遇到下一次相遇之间单个人甲或者乙走的总路程S甲或S 乙的比例也是1：2：2：2•••那么，从最开始出发到第一次相遇两人走的路程和为AB，由上述推出，从最开始出发到第二次相遇两人走的路程和是3AB，从最开始出发到第三次相遇两人走的路程和是5AB，依次推出从最开始到第N次相遇时两人走的总路程和的比例是1：3：5：7：9•••，由此总结出从最开始出发到第N次相遇时两人走的总路程是S总=（2N-1）AB所以在行程问题的多次相遇中，一定要掌握好多次相遇的具体行程过程和规律，牢记住每前一次相遇结束到下一次相遇之间两人走的路程总和、所用时间和两人分别走的路程的比例都是1：2：2：2•••，从最开始出发到每一次相遇两人走的路程总和的比例是1：3：5：7：9•••，在解题的过程中巧妙的应用这两个比例关系，就能轻松地解决复杂的行程问题。

二次相遇问题的解题思路

二次相遇问题的解题思路一、直线二次相遇甲村、乙村相距6千米，小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回）.在出发后40分钟两人第一次相遇.小王到达甲村后返回，在离甲村2千米的地方两人第二次相遇.问小张和小王的速度各是多少？解：画示意图如下：如图，第一次相遇两人共同走了甲、乙两村间距离，第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村间距离的3倍，因此所需时间是40×3÷60＝2（小时）.从图上可以看出从出发至第二次相遇，小张已走了6×2-2＝10（千米）.小王已走了 6＋2=8（千米）.因此，他们的速度分别是小张10÷2＝5（千米/小时），小王8÷2=4（千米/小时）.答：小张和小王的速度分别是5千米/小时和4千米/小时.知识要点提示：甲从A地出发，乙从B地出发相向而行，两人在C地相遇，相遇后甲继续走到B地后返回，乙继续走到A地后返回，第二次在D地相遇。

一般知道AC和AD的距离，主要抓住第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。

例题：1.甲乙两车同时从A、B两地相向而行，在距B地54千米处相遇，它们各自到达对方车站后立即返回，在距A地42千米处相遇。

请问A、B两地相距多少千米？A.120B.100C.90D.80【答案】A。

解析：设两地相距x千米，由题可知，第一次相遇两车共走了x，第二次相遇两车共走了2x，由于速度不变，所以，第一次相遇到第二次相遇走的路程分别为第一次相遇的二倍，即54×2=x-54+42，得出x=120。

54乘3再减去42=120，再用120减去54加42的和=24因为第一次相遇距离B地54千米，说明行完一个全程乙走了54千米，到甲乙第二次相遇时总共走了三个全程，也就是说，这时乙走了54乘3千米，也就是16 2千米，这个162千米也是乙走完一个全程后还包括多走的42千米，所以用16 2减去42就是一个AB之间的全程。

二次相遇问题的解题思路

二次相遇问题的解题思路一、直线二次相遇甲村、乙村相距6千米，小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回）.在出发后40分钟两人第一次相遇.小王到达甲村后返回，在离甲村2千米的地方两人第二次相遇.问小张和小王的速度各是多少？解：画示意图如下：如图，第一次相遇两人共同走了甲、乙两村间距离，第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村间距离的3倍，因此所需时间是40×3÷60＝2（小时）.从图上可以看出从出发至第二次相遇，小张已走了6×2-2＝10（千米）.小王已走了6＋2=8（千米）.因此，他们的速度分别是小张10÷2＝5（千米/小时），小王8÷2=4（千米/小时）.答：小张和小王的速度分别是5千米/小时和4千米/小时.知识要点提示：甲从A地出发，乙从B地出发相向而行，两人在C地相遇，相遇后甲继续走到B地后返回，乙继续走到A地后返回，第二次在D地相遇。

一般知道AC和AD的距离，主要抓住第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。

例题：1.甲乙两车同时从A、B两地相向而行，在距B地54千米处相遇，它们各自到达对方车站后立即返回，在距A地42千米处相遇。

请问A、B两地相距多少千米？A.120B.100C.90D.80【答案】A。

解析：设两地相距x千米，由题可知，第一次相遇两车共走了x，第二次相遇两车共走了2x，由于速度不变，所以，第一次相遇到第二次相遇走的路程分别为第一次相遇的二倍，即54×2=x-54+42，得出x=120。

54乘3再减去42=120，再用120减去54加42的和=24因为第一次相遇距离B地54千米，说明行完一个全程乙走了54千米，到甲乙第二次相遇时总共走了三个全程，也就是说，这时乙走了54乘3千米，也就是162千米，这个162千米也是乙走完一个全程后还包括多走的42千米，所以用162减去42就是一个AB之间的全程。

数量关系)

数量关系：1.两次相遇公式：单岸型S=(3S1+S2)/2 两岸型S=3S1-S2例题：两艘渡轮在同一时刻垂直驶离H 河的甲、乙两岸相向而行，一艘从甲岸驶向乙岸，另一艘从乙岸开往甲岸，它们在距离较近的甲岸720 米处相遇。

到达预定地点后，每艘船都要停留10 分钟，以便让乘客上船下船，然后返航。

这两艘船在距离乙岸400 米处又重新相遇。

问：该河的宽度是多少？A. 1120 米B. 1280 米C. 1520 米D. 1760 米典型两次相遇问题，这题属于两岸型（距离较近的甲岸720 米处相遇、距离乙岸400 米处又重新相遇）代入公式3*720-400=1760选D如果第一次相遇距离甲岸X米，第二次相遇距离甲岸Y米，这就属于单岸型了，也就是说属于哪类型取决于参照的是一边岸还是两边岸2.漂流瓶公式：T=（2t逆*t顺）/ （t逆-t顺）例题：AB两城由一条河流相连，轮船匀速前进，A――B，从A城到B城需行3天时间，而从B城到A城需行4天，从A城放一个无动力的木筏，它漂到B城需多少天？A、3天B、21天C、24天D、木筏无法自己漂到B城解：公式代入直接求得243.沿途数车问题公式：发车时间间隔T=(2t1*t2)/ （t1+t2 ）车速/人速=(t1+t2)/ (t2-t1)例题：小红沿某路公共汽车路线以不变速度骑车去学校，该路公共汽车也以不变速度不停地运行，没隔6分钟就有辆公共汽车从后面超过她，每隔10分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车，公共汽车的速度是小红骑车速度的（）倍？A. 3B.4C. 5D.6解：车速/人速=（10+6）/（10-6）=4 选B4.往返运动问题公式：V均=(2v1*v2)/(v1+v2)例题：一辆汽车从A地到B地的速度为每小时30千米，返回时速度为每小时20千米，则它的平均速度为多少千米/小时？（）A.24B.24.5C.25D.25.5解：代入公式得2*30*20/(30+20)=24选A5.电梯问题：能看到级数=（人速+电梯速度）*顺行运动所需时间（顺）能看到级数=（人速-电梯速度）*逆行运动所需时间（逆）6.什锦糖问题公式：均价A=n /｛（1/a1）+(1/a2)+(1/a3)+(1/an)｝例题：商店购进甲、乙、丙三种不同的糖，所有费用相等，已知甲、乙、丙三种糖每千克费用分别为4.4 元，6 元，6.6 元，如果把这三种糖混在一起成为什锦糖，那么这种什锦糖每千克成本多少元？A．4.8 元B．5 元C．5.3 元D．5.5 元7.十字交叉法：A/B=(r-b)/(a-r)例：某班男生比女生人数多80%，一次考试后，全班平均成级为75 分，而女生的平均分比男生的平均分高20% ，则此班女生的平均分是：析：男生平均分X，女生1.2X1.2X 75-X 175 =X 1.2X-75 1.8得X=70 女生为848.N人传接球M次公式：次数=（N-1）的M次方/N 最接近的整数为末次传他人次数，第二接近的整数为末次传给自己的次数例题：四人进行篮球传接球练习，要求每人接球后再传给别人。