运筹学第一章作业解答

4
x1, x2 0
3
解 :以变量x1为横坐标,
2
x2为坐标画直角平面
坐标系并按比例作图
如右所示:
3x1+4x2=12 2x1+x2=2
1
2
4
x1
从右图可看出,此题无可行解。
2021/4/25
4
陆
际
恩
1.2 将下列LP问题化成标准形式
(1) min z 3x1 4x2 2x3 5x4
4x1 x2 2x3 x4 2
X6 0，0， 2.5，8，0，0T , z6 5
2021/4/25
16
陆
际
恩
12 6 0
⑦因为(P1, P3, P5 ) 8 4 2线性独立,故有:
3 0 0
12x1 6x3 9 3x2 3x4 8x1 4x3 2x5 10 x2 3x1 0 x6
令非基变量x
可得一个基解， 它同时也是一基可行解:
X(9) (0,0,0,3，2，0)T，Z 4 3 0 0 2 0 0
2021/4/25
19
陆
际
恩
12 ⑩因为(P1, P4 , P 6 ) 8 3
3 0
0 0 线性独立,故有:
0 1
12x1 3x4 9 3x2 6x3 8x1 10 x2 4x3 2x5 3x1 x6 0
st.2x1'x1' x2x2x3'x3' x3"x3"4x4 6 x1' , x2 , x3' , x3" , x4 0
2021/4/25
8
陆
际
1.3 对下列线性规划问题找出所有基解，指出哪些
恩
是基可行解，并确定最优解。
(1) max z 3x1 x2 2x3
12x1 3x2 6x3 3x4 9 st.8x1 x2 4x3 2x5 10 3x1 x6 0
12x1 6x3 9 3x2 3x4 8x1 4x3 10 x2 2x5 3x1 x6 0
令非基变量x
，x
2
，x
4
5
0，
得：
x1 1 x3 0.5 x6 3
是一个基解, 但不是基可行解, 基解的结果是：
X8 1，0， 0.5，0，0，3T z8 31 0 2 0.5 2
3
0 32/6 -7/6 0
0
10 0 -7
0
3
0
0
21/12 -4
0
0
0
0 -2.5 8
x5
x6 解的性质
5
0 基可行解
0
0 基解
0
0 基解
3.5 0 最优解
0 21/4 基解
0
0 基解
0
0 1.5 0
8
0 最优解
1
0 -0.5 0
0
3 基可行解
0
0
0
3
2
0 基可行解
5/4 0
0 -2
0 15/4 基解
x2为坐标画直角平面
坐标系并按比例作图
如右所示:
1
Z=2x1+3x2
1.5 2
x1
从右图可看出,当(x1,x2)=(1.2,0.2)到(x1,x2)=(1.5,0)时,具
有无穷多最优解,Z=3。
2021/4/25
3
陆
际
恩
(2) max z 3x1 2x2
2x1 x2 2
x2
st.3x1 4x2 12
陆 际 ⑵用单纯形法求解，过程如下表所示：
恩
cj
2
CB
XB
b
x1
0
x3
15
3
0
x4
24
6
σj=cj－zj
2
0
x3
3
0
2
x1
4
1
σj=cj－zj
0
1
x2
3/4
0
2
x1 15/4
1
σj=cj－zj
0
1
0
0 相当于 Z=2x1
+x2
x2
x3
x4 相当于
5
1
0 O(0,0) Z=0
2
0
1
1
0
0
4
1 -1/2 相当于
令非基变量x1，x
，x
4
5
0，
可得：
x 2
16 3
x 3
7 6
x6 0
可得一个基解， 但它不是一基可行解， 基解的结果是：
X 11
0，16 ，
7
T
，0，0，0
,
z 11
0
16
2
7
ຫໍສະໝຸດ Baidu
3
3 6
36
2021/4/25
22
陆
际
将上述解列表如下，表中所有解都是基解
恩
x1 x2 x3 x4
0
0
0
x1 0, x2 0, x3无约束
解 : 上述问题中令 Z Z , x1' x1, x3 x3' x3" , 其 中x3' 0, x3" 0,按照LP问题的转化规则 ,该问题 的标准形式为 :
2021/4/25
7
陆
际
恩
(1) max z 2x1' 2x2 3x3' 3x3" 0x4
故不能求解
3 6 0
⑿ 因为(P2, P3, P5 ) 1 4 2线性也不独立,
0 0 0
故也不能求解
2021/4/25
21
陆
际
恩
3 6 0
⒀因为(P2 , P3, P6 ) 1 4 0线性独立,故有：
0 0 1
3x2 6x3 9 12x1 3x4 x2 4x3 10 8x1 2x5 x6 0 3x1
x1, x2 0
2021/4/25
24
陆 际 解：⑴用图解法求解：
恩
①以x1为横坐标，以x2为纵坐标画图如下
x2
6x1+2x2=24
12
Q5（0，12） 9 6
3
Q4（0，3）
0
Q1（4，0）
2021/4/25
3x1+5x2=15 Q3（15/4，3/4）
3 6 9 12 Q2（5，0）
x1
25
2021/4/25
18
陆
际
恩
12 3 0
⑨因为(P1, P4 , P5 ) 8 0 2线性独立,故有:
3 0 0
12x1 3x4 9 3x2 6x3 8x1 2x5 10 x2 4x3 3x1 0 x6
令非基
变量x
，x
2
3, x6
0，
得
x1 0 x4 3 x5 2
令非基变量x1，x 2 , x3 0， 得
x4 3
x5
5
x6 0
可得一个基解， 它同时也是一基可行解:
X (1) (0,0,0,3,5,0)T , z1 0
2021/4/25
11
12 3 6
陆
际
②因为(P1, P2 , P3 ) 8 1 4线性独立,故有:
恩
3 0 0
12x1 3x 2 6x3 9 3x 4
X(3) (0,10,0,7,0，0)T , z3 10
2021/4/25
13
陆
际
12 3 0
恩
④因为(P1, P2 , P5 ) 8 1 2 线性独立, 故有:
3 0 0
12x1 3x 2 9 6x3 3x 4
8x1
x2
2x5
10 4x3
3x1 0 x 6
令
非基变
量x
，x
陆 际 运筹帷幄之中 决胜千里之外
恩
运筹学作业
主讲：陆际恩
Tel：13592990256 Email：lujienli@163.com
2021/4/25
1
陆
际
恩
第一章作业
教材P43习题1.1：⑴、⑵；1.2：⑴、⑵；1.3：⑴；1.4 ：⑵；1.7：⑷；1.8；1.13；1.15；
2021/4/25
0 16/3 -7/6 0
2021/4/25
0 0 基解
Z
0 3 10 3 5/4 -5 3 2 0 15/4 3
23
陆
际
1.4 分别用图解法和单纯形求解下述线性规划问题，并
恩
对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解法中可行域
的哪一顶点。
2 max z 2x1 x2
3x1 5x2 15 st.6x1 2x2 24
2
陆 际 教材P431.1 用图解法求解下列LP问题，并指 出问题具有惟一最优解、无穷多最优解、无
恩
界解还是无可行解。x2
(1) min z 2x1 3x2 2
3x1+2x2=4
st.34xx11
6x2 2x2
6 4
x1
,
x2
0
1
4x1+6x2=6
解 :以变量x1为横坐标,
（1.2，0.2）
3
，x
4
6
0，
得
x1 0
x
2
3
x5 3.5
可得一个基解， 同时也是一基可行解:
X(4) (0,3,0,0,3.5，0)T , z2 3 0 3 2 0 3
2021/4/25
14
陆
际
恩
12 3 0
⑤因为(P1, P2 , P6 ) 8 1 0 线性独立,故有 :
3 0 1
12x1 3x2 9 6x3 3x4
令非基变量x
，x
2
，x
3
5
0，
得
x1 x 4
5 4
2
x 6
15 4
可得一个基解， 它也不是一基可行解:
X(10) ( 5 ,0,0,2，0, 15)T , z10 15
2021/4/25
4
4
4
20
陆
际
恩
3 6 3
⑾ 因为(P2, P3, P4 ) 1 4 0线性不独立,
0 0 0
x j 0 j 1,,6
2021/4/25
9
陆 际 解: ⑴首先将约束条件的系数
恩 用矩阵表示为(P1, P2 , P3 , P4 , P5 , P6 ),即:
12 3 6 3 0 0
(P1, P2 , P3, P4 , P5 , P6 ) 8 1 4 0 2 0
3 0 0 0 0 1
st.x12x1x23xx23
2x4 x3
14 x4
2
x1, x2 , x3 0, x4无约束
解 : 上述问题中令 Z Z , x4 x4' x4" , 其中x4' 0,
x4" 0,按照LP问题的转化规则 ,该问题的标准
形式为 :
2021/4/25
5
陆
际
恩 (1) max z 3x1 4x2 2x3 5x4' 5x4" 0x5 0x6
陆
际
恩
12 6 3
⑥因为(P1, P3, P4 ) 8 4 0线性独立,故有:
3 0 0
12x1 6x3 3x4 9 3x2 8x1 4x3 10 x2 2x5 3x1 0 x6
令非基
变量x
，x
2
，x
5
6
0，
得：
x1 0 x3 2.5 x4 8
是一个基解, 但不是基可行解， 其基解为：
st.x124xx11x23x2xx232x2x33x4' xx4'42' x4"xx4"4"
2 x5 x6
14 2
x1
,
x2 ,
x3 ,
x4' ,
x4" ,
x5 ,
x6
0
2021/4/25
6
陆
际
恩
(2) min z 2x1 2x2 3x3
x1 x2 x3 4 st. 2x1 x2 x3 6
，x
2
，x
4
6
0，
得：
x1 0 x3 1.5 x5 8
是一个基解, 也是一个基可行解为：
X7 0，0，1.5，0，8，0T，Z 3 3 0 0 21.5 3
2021/4/25
17
陆
际
恩
12 6 0
⑧因为(P1, P3, P6 ) 8 4 0 线性独立,故有:
3 0 1
恩
③因为(P1, P2 , P4 ) 8 1 0 线性独立, 故有:
3 0 0
182xx1 1x32x2
3x 10
4
4
9 6x x3 2x5
3
3x1 0 x 6
令
非
基
变
量x
，x
3
，x
5
6
0，
得
x1 0 x 2 10 x 4 7
可得一个基解， 因x 4 7，
所以它不是一基可行解， 不可能有最优解
恩
规划问题，并指出属哪一类解。
4 max z 10x1 15x2 12x3
5x1 3x2 x3 9 st. 5x1 6x2 15x3 15 2x1 x2 x3 5 x1, x2 , x3 0
2021/4/25
27
陆 际解：⑴先用大M法求解。 恩 ①把原问题化为标准型
max z 10x1 15x2 12x3
5x1 3x2 x3 x4 9
st. 5x1 6x2 15x3 2x1 x2 x3
⑵判断(P1, P2 , P3, P4 , P5, P6 )能组合成多少个线性独 立的子矩阵 ,
则LP问题存在多少个基解
2021/4/25
10
陆
际
恩
3
①因为(P4 , P5, P6 ) 0
0
0 0 2 0 线性独立,故有: 0 1
3x4 9 12x1 3x2 6x3 2x5 10 8x1 x2 4x3 x6 0 3x1
8x1
x2
10
4 x3
2 x5
3x1 x6 0
令非基变量x3，x
，x
4
5
0，
得
x1
21 12
x2 4
x6
21 4
可得一个基解， 但它并不是一基可行解:
X (5) ( 21,4,0,0,0，21)T , z5 3 21 48 0 15 5
2021/4/25
12
4
12
12 4
15
8x1 x2 4x3 10 2x5
3x1 0 x6
令非
基变
量x
，x
4
，x
5
6
0，
得
x1 0
x 2
32 6
x
3
7 6
可得一个基解，
因 为x 3
7， 6
所以它不是一基可行解。X
2
0，32 ，
7
，0，0，0
T
,
z2
32 2 7
3
2021/4/25
6 6
66
12
陆
际
12 3 3
1/3
0
1/6 Q1(4,0) Z=8
1/3
0 -1/3
1
1/4 -1/8 相当于
0
-1/12 1/24 Q3(15/4, Z=33/
3/4)
4
0
0 -3/2
最优解：Z=2x1+x2=2*15/4+3/4=33/4，即Q3点。
2021/4/25
26
陆
际
1.7 分别用单纯形中的大M法和两阶段法求解下述线性