数系的扩充

课题：§3.1 数系的扩充

授课人：江苏省盐城中学沈晓敏

【教学目标】

1．经历数的概念的发展和数系扩充的过程，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求．

2．理解复数的基本概念及复数相等的充要条件．

3．使学生感悟与体会数学的科学价值与文化价值，提高学生的数学素养．

【教学重点】复数的引入与复数的分类．

【教学难点】复数概念的引入．

【教学过程】

一、问题情境：

问题的提出：将数字10分成两部分，使他们的乘积等于40，求这两部分？

（让学生展开讨论，提出解决问题的方案，并引导学生发现：由于负数不能开平方，从而该方程在实数范围内无解．）

二、学生活动

被誉为最后一位数学通才的彭加勒曾说：“若想预见数学的未来，正确的方法是研究它的历史和现状”．现在，还是先让我们沿着历史的足迹，重温数的发展历程即数系不断扩充的过程！（板书课题）（与学生一起回顾数学史，经历数的概念的发展和数系扩充的过程，感受数学的应用价值与文化价值，体会数学创造与发现的过程．）1．数系的扩充是生产实践与社会发展的需要．

（1）计数的需要产生了自然数．

（2）为了表示具有相反意义的量引入了负数，数集由自然数集扩充为整数集．

（3）为了测量与分配的需要，引入了分数，数集由整数集扩充为有理数集．

（4）第一次数学危机，使人们发现了无理数，数集由有理数集扩充为实数集．

2．数系的扩充是数学内部发展的需求．

从数学内部来看，数集是在按某种“规则”不断扩充的，不妨以解方

程为例：

问题1：在自然数集中方程有自然数解吗？

问题2：在整数集中方程有自然数解吗？

问题3：在整数集中方程有解吗？

问题4：在有理数集中方程有解吗？

点评：从自然数集、整数集、有理数集到实数集：

（1）每一次数的概念的发展，新的数集都是在原来数集的基础

上“添加”了一种新的数得来的．

（2）在新的数集中，原有的运算及其性质仍然适用，同时解决了某些运算在原来数集中不是总可以实施的矛盾．

三、意义建构

1．数集进一步扩充的必要性

问题5：方程有实数解吗？

说明：面临方程无解，负数不能开平方的问题，表明数的概念需要进一步发展，实数集需要进一步扩充．

2．实数集扩充的方法

（1）引入新数

数集每一次的扩充，都引入了一种新数，使得到的新的数集包含了扩充前的旧数集．因此，实数集再扩充，就要引入新数．（2）引入虚数

①历史回顾：1545年，卡尔丹在《大衍术》中写道：“要把10分成两部分，使二者乘积为40，这是不可能的，不过我却用下列方式解决了.”

能作为“数”吗？它表示什么意义呢？

②1637年，法国数学家笛卡儿给这样的新数起名为虚数，即 “虚的数”与“实数”相对应．

（3）认识复数

①引入虚数后，数系又扩充为什么样的数集呢？

②1777年，瑞士数学家欧拉在其论文中首次用符号“i”,它满足： i，且称为虚数单位．

四、数学理论

1．引入一个新数i，叫做虚数单位，并规定：

（1）i；（说明是方程的的一个根）

（2）实数可以与进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．

2．复数的定义：形如i的数叫复数，用字母C表示，叫复数的实

部，叫复数的虚部，全体复数所成的集合叫做复数集．

3．认识复数集

提出问题：复数集和实数集有什么关系？

师生互动：对于复数i，当且仅当b=0时，是实数a；当b≠0时，叫做虚数；特别地，当a=0且b≠0时，叫做纯虚数．

点评：（1）实数集是复数集的真子集，即RC．

（2）引入虚数后，实数和虚数合称为复数，数系又由实数集扩充为复数集了．

五、数学运用

1．理解概念：

（1）练习：说明下列复数的实部和虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数：．

（2）练习：判断下列命题是否正确：

①若a，b为实数，则必为虚数（F）

②若b为实数，则必为纯虚数（F）

③若a为实数，则z = a一定不是复数（F）

2．简单应用：

例1．实数m取什么值时，复数是

（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？

反思1：是复数为纯虚数的充分条件吗？

反思2：例1中，实数m取什么值时，复数z是6+2 i ?（引出复数相等的充要条件）

3．复数相等问题

引导学生由反思2得出两个复数相等的充要条件．

复数相等的充要条件：如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就说这两个复数相等，反之亦然．即：

，．

例2．已知，求x与y．

解题反思：解决复数问题的一种基本方法——复数问题实数化．

4．随堂练习（学生板演）

当为何实数时，复数是

（1）实数（2）虚数（3）纯虚数（4）（5）

六、回顾反思

与学生一起小结本课所学知识，并进行归纳提炼，指出：

1．数系的每一次扩充，既是源于生产生活的需要，又是数学学科自身发展的要求．

2．数系的每一次扩充，新的数集都是在原来数集的基础上“添加”了一种新的数得来的．在新的数集中，原有的运算及其性质仍然适用，同时解决了某些运算在原来数集中不是总可以实施的矛盾．3．数系的每一次扩充，都是一个发现问题，研究问题，解决问题的过程．

4．复数的引入，完成了中学阶段数系的最后一次扩充，复数作为一种新的数学工具，在数学及物理多个领域中有着广泛的应用．

七、作业

课本第105页/习题3.1/1,2,3

八、拓展延伸

1．数系还能再扩充吗？

2．作为一个新数集，如何定义复数的四则运算呢？