第六章点估计教案要点
课程释疑6 第六章 点估计
置信水平表示的是一个概率值， 置信水平表示的是一个概率值，它表示的是在多 表示的是一个概率值 次抽样得到的区间中大概有多少个包含了参数的 真值，即如果你做了100次的抽样，大概有 次 次的抽样， 真值，即如果你做了 次的抽样 大概有95次 找的区间包含真值， 找的区间包含真值，有5次找到的区间不包含真 次找到的区间不包含真 显然95%置信水平的置信区间比 置信水平的置信区间比90%的可靠 值。显然 置信水平的置信区间比 的可靠 度高。一般来说，当样本容量n给定后 给定后， 度高。一般来说，当样本容量 给定后，90%置 置 信水平的置信区间长度要比95%置信水平的短。 置信水平的短 信水平的置信区间长度要比 置信水平的
的估计方法的标准可以这样被定义： 标准可以这样被定义 一个好的估计方法的标准可以这样被定义：如果 在无数个样本上应用该估计方法，得到的估计的均值 在无数个样本上应用该估计方法，得到的估计的均值 应用该估计方法 等于总体参数的真值 则这种估计即是该参数的无偏 总体参数的真值， 等于总体参数的真值，则这种估计即是该参数的无偏 估计。其次， 估计。其次，许多重复抽样所得的估计值不应该离真 值太远， 无偏估计” 值太远，“无偏估计”的方差恰好反映了估计值与真 值的偏差程度 显然方差越小， 偏差程度， 值的偏差程度，显然方差越小，该估计作为真值的估 计愈精确，由此给出了有效性的定义。 计愈精确，由此给出了有效性的定义。 无偏性是对一种估计方法的基本要求。 相合性也 无偏性是对一种估计方法的基本要求。而相合性也 是对一种估计方法的基本要求 是对估计的另一种基本要求。 是对估计的另一种基本要求。相合性的定义就是要 求当试验次数n不断增加 估计量按概率收敛 不断增加， 按概率收敛于真 求当试验次数 不断增加，估计量按概率收敛于真 即与真值相差无几。 值，即与真值相差无几。而事实上当 n → ∞ 时样本 提供的信息量越来越大，对真值的估计应该越来越 提供的信息量越来越大，对真值的估计应该越来越 精确，估计量与真值相差无几才合理。 精确，估计量与真值相差无几才合理。
小学三年级数学《估计》教案解析
小学三年级数学《估计》教案解析：在小学三年级的数学学习中，有一个重要的内容就是估算，这个知识点在数学教育中也是非常基础的。
学生通过估算，可以更好地了解数字之间的关系，提升数学思维能力和解决实际生活问题的能力。
一、教学目标1.了解估算的概念和方法；2.掌握估算的技巧和方法，能够熟练地进行简单的估算；3.培养学生的数学思维能力和实际问题解决能力。
二、教学内容1.概念介绍：什么是估算？为什么要进行估算？估算，就是在数学计算中用近似数代替实际的数字，并对计算结果进行一个粗略的判断的方法。
估算的目的在于，准确、快速地得到大致的结果。
估算的好处有很多：可以减少精确计算的时间和精力；通过估算，可以更好地把握实际问题的情况，为进一步的计算打下基础。
2.估算的方法：怎样进行估算？有哪些方法？估算的方法主要分为以下几种：（1）适当舍入法：当某一个数字很接近一个整数时，可以把这个数字舍入到最接近的整数，这样可以简化计算的过程，例如，55.4舍入到55，55.5舍入到56，33.8舍入到34。
（2）约数法：对于一个较大的数，可以尝试利用它的约数，找到一个比较近似的数，例如，对于345，可以约为300，或350。
（3）估算法则：估算法则包括下取整、上取整、中间估算，例如：36.8可以估算为36；47.3可以估算为48；81.5可以估算为80或82。
（4）识别正确答案：估算的过程中，一定要注意判断结果的合理性，考虑问题的实际情况，如果发现结果与实际相差较远，要及时检查计算过程，避免产生错误。
三、教学方法1.引导学生进行估算游戏，培养学生的兴趣和积极性；2.示范演示，让学生进行模仿，逐步熟练；3.分组合作，每组组员相互协作，进行交流和讨论；4.实践检测，让学生通过实际练习，检验并巩固所学的估算方法。
四、教学过程第一步：导入，概念介绍1.通过生活实例，引入估算概念，例如：如果有125个苹果，分给5个人，每个人能够得到多少苹果？这个问题需要进行精确计算还是估算？2.引导学生回答：估算的好处有哪些？请举例说明。
掌握小学三年级数学《估计》教案的核心思想
小学三年级数学《估计》教案的核心思想主要是让学生通过实际操作和观察来学习和掌握估算的方法和技巧。
估算是数学学科中非常重要的一部分，它不仅可以帮助学生在日常生活中迅速做出大致的计算结果，还可以为学生日后的数学学习打下坚实的基础。
教学中要注重对学生的启发和引导，让他们在实践中懂得如何用估算来解决生活中的实际问题，达到提高学生数学思维和运算能力的目的。
一、教学内容在小学三年级数学中，《估计》是很重要的一个知识点，该部分主要包含以下内容：1. 认识估算估算是指在不依靠精确计算的情况下，通过简单的数量关系推测出一个大致的数值，是进行简单数学计算的必要步骤，有助于解决实际问题。
在教学中要让学生认识估算的作用和重要性。
2. 估算的原则和方法为了让学生能够掌握估算的技巧，教师需要详细讲解估算的原则和方法。
原则包括：取整估算、分组估算、近似估算、框估算、比例估算等。
估算的方法主要包括：逆估算、估算与计算的结合、估算与验证的结合等。
通过实际操作和解题练习，学生很快就能掌握估算的方法和技巧。
3. 估算的应用场景教师需要向学生介绍估算在生活中的应用场景，如在购物、旅游、出行、测量等方面的应用。
通过这些场景的实际操作，学生能够更好地理解估算的作用和重要性，以便在日常生活中能够灵活运用。
二、教学方法1. 实验教学法估算是一个实践性很强的知识点，教学中应采用实验教学法，让学生通过观察、感受、比较来学习估算，从而使学生能够更好地掌握估算。
2. 互动教学法教师应采用互动教学法，通过与学生进行互动交流，引导学生在自我思考和发现中掌握估算的方法和技巧，以促进学生的积极参与和主动学习。
3. 微课教学法为了使学生更好地理解和掌握估算的知识点，教师应采用微课教学法，即采用小段的、融合互动、动画等元素的、强调学习的效率和趣味性的课程设计，使学生在轻松和快速的学习氛围中掌握估算的方法和技巧。
三、教学策略1. 游戏化教学策略游戏是学生喜欢的活动，教师可以借助游戏化教学策略来吸引学生的注意力，加深学生对估算的印象，以达到提高学生数学运算能力的目的。
第六章参数估计
113第六章 参数估计一、 知识点1. 点估计的基本概念2. 点估计的常用方法(1) 矩估计法① 基本思想：以样本矩作为相应的总体矩的估计，以样本矩的函数作为相应的总体矩的同一函数的估计。
(2) 极大似然估计法设总体X 的分布形式已知，其中),,,(21k θθθθΛ=为未知参数，),,(21n X X X Λ为简单随机样本，相应的),,,(21n x x x Λ为它的一组观测值．极大似然估计法的步骤如下：① 按总体X 的分布律或概率密度写出似然函数∏==ni i n x p x x x L 121);();,,,(θθΛ （离散型）∏==ni i n x f x x x L 121);();,,,(θθΛ （连续型）若有),,,(ˆ21nx x x Λθ使得);,,,(max )ˆ;,,,(2121θθθn n x x x L x x x L ΛΛΘ∈=，则称这个θˆ为参数θ的极大似然估计值。
称统计量),,,(ˆ21nX X X Λθ为参数θ的极大似然估计量。
② 通常似然函数是l θ的可微函数，利用高等数学知识在k θθθ,,,21Λ可能的取值范围内求出参数的极大似然估计k l x x x nl l ,,2,1),,,,(ˆˆ21ΛΛ==θθ 将i x 换成i X 得到相应的极大似然估计量k l X X X nl l ,,2,1),,,,(ˆˆ21ΛΛ==θθ 注：当);,,,(21θn x x x L Λ不可微时，求似然函数的最大值要从定义出发。
3. 估计量的评选标准(1) 无偏性：设),,(ˆˆ21nX X X Λθθ=是参数θ的估计量，如果θθ=)ˆ(E ，则称θˆ为θ的无偏估计量。
(2) 有效性：设1ˆθ，2ˆθ是θ的两个无偏估计，如果)ˆ()ˆ(21θθD D ≤，则称1ˆθ较2ˆθ更有效。
4. 区间估计114 (1) 定义 设总体X 的分布函数族为{}Θ∈θθ),;(x F ．对于给定值)10(<<αα，如果有两个统计量),,(ˆˆ111n X X Λθθ=和),,(ˆˆ122n X X Λθθ=，使得{}αθθθ-≥<<1ˆˆ21P 对一切Θ∈θ成立，则称随机区间)ˆ,ˆ(21θθ是θ的双侧α-1置信区间，称α-1为置信度；分别称1ˆθ和2ˆθ为双侧置信下限和双侧置信上限． (2) 单侧置信区间(3) 一个正态总体下未知参数的双侧置信区间（置信度为α-1）二、 习题 1. 选择题(1) 设n X X X ,,,21Λ是来自总体X 的一个样本，则以下统计量①)(211n X X + ②)2(14321n X X X X X n ++++-Λ ③)2332(101121n n X X X X +++-作为总体均值μ的估计量，其中是μ的无偏估计的个数是A.0B.1C.2D.3(2) 设321,,X X X 是来自正态总体)1,(μN 的样本，现有μ的三个无偏估计量321332123211216131ˆ;1254131ˆ;2110351ˆX X X X X X X X X ++=++=++=μμμ其中方差最小的估计量是A.1ˆμB.2ˆμC. 3ˆμD.以上都不是 (3) 设0,1,0,1,1为来自0-1分布总体B(1,p)的样本观察值，则p 的矩估计值为 。
《估计》数学教案
《估计》数学教案一、教学目标：1. 让学生理解估计的概念，能够运用估计方法解决实际问题。
2. 培养学生估算能力，提高他们在日常生活和学习中的数学应用能力。
3. 培养学生团队合作精神，学会与他人交流估算方法和解题思路。
二、教学内容：1. 估计的定义及作用2. 常用估计方法介绍3. 实际问题中的应用4. 估算能力的培养5. 团队合作与交流三、教学重点与难点：1. 重点：估计的概念、估计方法及实际应用。
2. 难点：如何培养学生估算能力和团队合作精神。
四、教学方法与手段：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究估计方法。
2. 运用案例分析法，让学生在实际问题中学会估计。
3. 采用小组讨论法，培养学生团队合作精神。
4. 利用多媒体辅助教学，提高教学效果。
五、教学过程：1. 导入：通过生活中的实例，引导学生认识估计的重要性。
2. 新课导入：介绍估计的定义、作用和常用方法。
3. 案例分析：分析实际问题，让学生学会运用估计方法解决问题。
4. 实践环节：学生自主设计问题，进行估计实践。
5. 小组讨论：学生分组讨论，分享估算方法和解题思路。
7. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 评价内容：学生对估计概念的理解、估算能力的掌握以及团队合作精神。
2. 评价方法：课堂表现、练习成绩、小组讨论参与度。
3. 评价指标：a. 学生能够准确阐述估计的定义及作用。
b. 学生能够熟练运用估计方法解决实际问题。
c. 学生在小组讨论中能够积极参与，分享估算方法和解题思路。
d. 学生在团队合作中能够发挥积极作用，共同解决问题。
七、教学资源：1. 教材：数学教材相关章节。
2. 案例素材：生活中的实际问题案例。
3. 多媒体课件：教学PPT、视频、动画等。
4. 练习题库：相关估算练习题。
5. 小组讨论工具：白板、markers 等。
八、教学进度安排：1. 课时：本节课计划课时为45分钟。
2. 教学环节时间安排：a. 导入：5分钟b. 新课导入：10分钟c. 案例分析：15分钟d. 实践环节：10分钟e. 小组讨论：5分钟g. 课后作业布置：2分钟九、课后作业：a. 估计一家餐厅晚餐时的人流量。
点估计概述
(1) 无偏性 衡量统计量的好坏，有三条标准： (2) 有效性 (3) 相合性(一致性) 这里我们重点介绍前面两个标准 .
二、点估计的无偏性与有效性 ˆ ) ， 1．无偏性 若 E (
ˆ是的无偏估计量 则称 . 定义的合理性 我们不可能要求每一次由样本得到的估计值与真值 都相等，但可以要求这些估计值的均值与真值相等.
例8 设总体 X 的均值 和方差 都存在, 且有
2
2 0, 但 和 2 均为未知, 又设 X 1 , X 2 ,, X n 是
一个样本, 求 和 2 的矩估计量. 解 1. EX ,EX 2 DX [ EX ]2 2 2 , X X 2.令 2 解得 2 2 2 2 2 X X ( X )
ab a b (a b) 2 2 , EX DX ( EX ) 解 1. EX 2 12 2 a b 2 X a b 2 X 2.令 即 2 2 2 2 (a b) a b X 2 b a 12 [ X ( X ) ] 12 2
49 1 9 1 )DX DX D( ˆ 2 ) ( 故 ˆ 3最有效. 72 9 16 144 7 1 1 1 27 DX ，D( ˆ 4 ) DX . D( ˆ 3 ) ( ) DX 18 4 9 36 50
1 无偏估计量 才可讨论有效性.
0
1 2 期望的点估计： X Xi n i 1 在无偏估计量中 X 最有效、 X也为相合估计量 .
2
2
解得 a X 3[ X 2 ( X )2 ] ，b X 3[ X 2 ( X )2 ]
点估计教案
样本值x1, x2, …,xn
,
n i 1
1
对数似然函数 ln L n ln 1 ln xi
n n d ln L n n ln x i 0 ln x i 0, d i 1 i 1
18
点估计
n
解之得， θ的最大似然估计值 ˆ
x1, x2, …,xn 是总体X一个样本观察值，若在θ的取值 范围Θ内确定一个 ,使似然函数L(x1, x2, …,xn,θ)最大. 既有 L(x1, x2, …,xn, )=max L(x1, x2, …,xn,θ)
ˆ x , x ,, x 为参数 此时称 的最大似然估计值 . 1 2 n
i 1
i
i
i
i 1
i 1
1 n ˆ xi x 解之得，p的最大似然估计值 p n i 1 1 n ˆ Xi X p的最大似然估计量 p n i 1
17
i 1 令 i 1 ln L( p )0 , 0. dp p 1 p
x d
n
ln L( p) ( xi ) ln p ( n xi ) ln( 1 p).
μ1=E(X)= μ,
i
2 ˆ
n 1 2 1 2 2 2 ( X X ) i A2 A1 X i X n i 1 n i 1
n
分别为参数μ,σ2的矩估计量.
8
点估计
说明 若总体X~N(μ,σ2) ,μ,σ2未知, X1, X2, … ,Xn是
总体X的一个样本，则参数μ,σ2的矩估计量为
1 2 n
1 2 n
ˆ ( X , X ,, X )为 的估计量； 而称 知参数θ. 此时称 1 2 n
《估计》数学教案
《估计》数学教案一、教学目标1. 让学生理解估计的概念，学会使用估计方法来解决实际问题。
2. 培养学生观察、分析、推理的能力，提高解决问题的能力。
3. 培养学生合作学习、积极思考的良好学习习惯。
二、教学内容1. 估计的定义及方法2. 估计在实际问题中的应用3. 不同估计方法的比较和选择三、教学重点与难点1. 教学重点：估计的概念、估计方法的学习和应用。
2. 教学难点：如何选择合适的估计方法解决实际问题。
四、教学准备1. 教师准备相关案例和问题，用于引导学生进行估计实践。
2. 学生准备笔记本、文具等学习用品。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生了解估计的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 新课导入：讲解估计的定义及常用方法，如四舍五入法、近似数法等。
3. 案例分析：分析实际问题，让学生运用估计方法解决问题，如估算长度、面积、重量等。
4. 小组讨论：学生分组讨论，分享各自的估计方法和心得，互相学习，提高估计能力。
5. 练习巩固：布置练习题，让学生独立完成，检验学习效果。
6. 总结与反思：教师引导学生总结估计方法的应用，鼓励学生分享自己的收获和感悟。
7. 课后作业：布置相关作业，让学生进一步巩固估计方法。
8. 教学评价：根据学生的课堂表现、练习完成情况等方面进行评价，了解学生的学习效果。
六、教学策略1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过解决实际问题来学习估计方法。
2. 运用多媒体教学手段，展示案例和问题，提高学生的学习兴趣。
3. 组织小组讨论，鼓励学生发表自己的观点，培养学生的合作精神。
4. 注重个体差异，针对不同学生的学习需求，给予个性化的指导和支持。
七、评价方法1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 练习完成情况评价：检查学生练习题的完成质量，评估学生的学习效果。
3. 小组讨论评价：评价学生在小组讨论中的表现，包括观点阐述、沟通交流等。
第六章抽样与参数估计
（1）验证 E(x) X
（2）计算重复抽样及不重复抽样的抽样平均误差。 24
第2节 参数估计的基本方法
参数估计——以实际观察的样本数据所计算的统计量作为未 知总体参数的估计值。
一、点估计(Point estimate) 点估计也称定值估计，就是直接以样本统计量作为总体参数
29
大样本(n≥30)下总体均值的区间估计
区间估计就是根据样本求出总体未知参数的估计区间，并使其 可靠程度达到预定要求。
（1） 总体方差σ 2已知时
由于 α ，有
z
x
/
n
N(0,1) ，所以对于给定的置信度1-
P {z 2
x/nz2}1
即
Px z/2
7
抽样法的特点：随机原则 部分估计总体 存在误差并可以控制
抽样法的应用：对某些不可能进行全面调查 而又需要了解其 全面情况的社会经济现象， 必须应用抽样法。（破坏性试验、总体过大、 单位过于分散，实际调查不可能的）
8
第1节 抽样与抽样分布
一、有关抽样的基本概念
总体（母体）(Population) 样本（子样）(Sample) 总体指标(总体参数)（Population parameter） 样本指标(样本统计量)（Sample statistic）
2、某工厂共生产新型聚光灯2000只，随机抽选400只进行耐 用时间调查，结果平均寿命为4800小时，标准差为300小时。 求抽样误差。
3、从某校学生中随机抽选400名，发现戴眼镜的有80人。计 算求抽样误差。
高中数学备课教案数理统计中的区间估计与点估计
高中数学备课教案数理统计中的区间估计与点估计高中数学备课教案：数理统计中的区间估计与点估计在数理统计学中，点估计和区间估计是非常重要的概念。
它们是用来估计总体参数的方法，能够帮助我们从样本数据中了解总体的特征。
本文将重点讨论高中数学备课教案中的区间估计与点估计。
一、点估计点估计是通过样本数据来估计总体参数的方法。
在统计学中，常用的点估计方法有最大似然估计和矩估计，它们可以帮助我们得到一个单一的数值作为总体参数的估计值。
最大似然估计是通过选择使得样本观测值出现的概率最大化的参数值来进行估计。
它建立在样本独立同分布的假设下，通过优化似然函数来找到最优的参数估计值。
最大似然估计通常具有良好的性质，例如无偏性和有效性。
另一种常用的点估计方法是矩估计。
矩估计是通过样本矩的函数来进行参数估计。
例如，通过样本均值来估计总体均值，通过样本方差来估计总体方差等。
矩估计通常比最大似然估计更简单，但有时可能会产生不良的性质，如偏差较大或方差较大等。
二、区间估计区间估计是通过样本数据给出参数估计结果的一个范围，称为置信区间。
与点估计不同，区间估计提供了一个关于总体参数真值可能范围的估计。
在构建置信区间时，我们需要选定一个置信水平，通常选择95%或99%。
置信水平表示在重复采样中，统计方法能够包含真实参数的概率。
例如，95%置信水平意味着在100次独立采样中，有95次的置信区间包含了真实参数。
对于大样本来说，我们可以使用正态分布进行置信区间的构建。
对于小样本，我们需要使用t分布。
构建置信区间的步骤包括计算样本统计量，计算标准误差，找到分布对应的临界值，计算置信区间。
三、应用实例下面以一个实际案例来说明区间估计与点估计在高中数学备课教案中的应用。
假设我们要研究某高中学生的身高分布情况，我们随机抽取了100名学生进行测量。
假设我们想要估计全校学生的平均身高。
首先，我们采用点估计的方法，计算样本均值。
假设我们得到的样本均值为165cm。
《点估计的求法》课件
有效性
总结词
有效性是指估计量的方差应该尽可能小。
详细描述
有效性关注的是估计量的稳定性，即估计量在多次重复抽样中的变异性。一个有 效的估计量应该具有较小的方差，这意味着该估计量在多次抽样中给出的结果应 该相对稳定。方差越小，估计量的有效性越高。
一致性
总结词
一致性是指随着样本容量的增加，估计量的值应该趋近于被估计参数的真实值。
《点估计的求法》ppt课件
目录
CONTENTS
• 点估计的概述 • 点估计的常用方法 • 点估计的优良性准则 • 点估计的应用实例 • 点估计的未来发展
01
CHAPTER
点估计的概述
点估计的定义
总结词
点估计是一种统计学方法，用于估计某个未知参数或总体分布的特征值。
详细描述
点估计是一种统计学方法，通过使用样本数据来估计未知的总体参数或总体分 布的特征值。它是一种近似估计，以样本统计量作为总体参数的估计值。
点估计的优缺点
总结词
点估计的优点包括简单易行、直观明了和计算方便， 但缺点是存在误差且无法衡量误差大小。
详细描述
点估计是统计学中最为基础和直观的估计方法之一，其 优点在于简单易行、直观明了和计算方便。它能够快速 地给出未知参数的近似值，因此在许多情况下被广泛应 用。然而，点估计也存在一定的缺点，主要是由于它是 基于样本统计量来估计总体参数，因此不可避免地存在 误差，而且无法提供一个准确的衡量误差大小的指标。 因此，在某些情况下，可能需要更精确的估计方法来替 代点估计。
随着数据流的处理需求增加，在线估计方法能够实时更新估计结 果，减小计算和存储开销。
分布式估计
利用分布式计算框架（如Hadoop、Spark）进行大规模数据的并 行处理和估计，提高计算效率。
第六章点估计教案要点
第六章参数估计在实际问题中, 当所研究的总体分布类型已知, 但分布中含有一个或多个未知参数时, 如何根据样本来估计未知参数，这就是参数估计问题.参数估计问题分为点估计问题与区间估计问题两类.点估计就是用某一个函数值作为总体未知参数的估计值；区间估计就是对于未知参数给出一个范围，并且在一定的可靠度下使这个范围包含未知参数.参数估计问题的一般提法:设有一个统计总体, 总体的分布函数为),(x F ,其中为未知参数(可以是向量). 现从该总体中随机地抽样, 得一样本nX X X ,,,21,再依据该样本对参数作出估计, 或估计参数的某已知函数).(g 第一节点估计问题概述一、点估计的概念设n X X X ,,,21是取自总体X 的一个样本, n x x x ,,,21是相应的一个样本值. 是总体分布中的未知参数, 为估计未知参数, 需构造一个适当的统计量),,,,(?21n X X X 然后用其观察值),,,(?21n x x x 来估计的值.称),,,(?21n X X X 为的估计量. 称),,,(?21n x x x 为的估计值. 在不致混淆的情况下,估计量与估计值统称为点估计,简称为估计, 并简记为?.注: 估计量),,,(?21n X X X 是一个随机变量, 是样本的函数，即是一个统计量, 对不同的样本值,的估计值?一般是不同的.例1设X 表示某种型号的电子元件的寿命(以小时计)，它服从指数分布：.0,00,1),(~/xx ex f X x 为未知参数, 0. 现得样本值为168, 130, 169, 143, 174, 198, 108, 212, 252,试估计未知参数.二、评价估计量的标准估计量的评价一般有三条标准:无偏性; 有效性; 相合性（一致性）.1．无偏性定义1设),,(?1n X X 是未知参数的估计量, 若,)?(E 则称?为的无偏估计量.注: 无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求, 其实际意义是指估计量没有系统偏差，只有随机偏差. 在科学技术中, 称)?(E 为用?估计而产生的系统误差.定理1 设n X X ,,1为取自总体X 的样本,总体X 的均值为, 方差为2.则(1) 样本均值X 是的无偏估计量;(2) 样本方差2S 是2的无偏估计量;(3) 样本二阶中心矩ni iX X n12)(1是2的有偏估计量.2．有效性定义2设),,(??111n X X 和),,(??122n X X 都是参数的无偏估计量, 若)?()?(21D D ,则称1?较2?有效.注:在数理统计中常用到最小方差无偏估计, 其定义如下:设n X X ,,1是取自总体X 的一个样本, ),,(?1n X X 是未知参数的一个估计量,若?满足:(1) ,)?(E 即?为的无偏估计;(2) ),?()?(E ?是的任一无偏估计.则称?为的最小方差无偏估计(也称最佳无偏估计).3．相合性(一致性) 定义 3 设),,(??1n X X 为未知参数的估计量, 若?依概率收敛于, 即对任意0, 有,1}|?{|lim P n或,0}|?{|lim P n则称?为的(弱)相合估计量.例2设总体),0(~2N X ,n x x x ,,,21是来自这一总体的样本.(1) 证明ni ix n1221?是2的无偏估计;(2) 求).?(2D 例3设n X X X ,,,21为来自总体X 的样本, X ,),,2,1(n i X i 均为总体均值)(X E 的无偏估计量, 问哪一个估计量有效?例4 设总体),(~2N X ,n X X ,,1为其样本. 试证样本方差2S 是2的相合估计量.课堂练习设总体X 的k 阶矩)1)((kX E kk存在, 又设nX X X ,,,21是X 的一个样本. 试证明不论总体服从什么分布, k 阶样本矩ni k ikXnA 11是k 阶总体矩k的无偏估计量.课后作业：P137 T 3、4第二节点估计的常用方法（1）一、矩估计法矩估计法的基本思想是用样本矩估计总体矩. 因为由在大数定理知, 当总体的k 阶矩存在时,样本的k 阶矩依概率收敛于总体的k 阶矩.例如, 可用样本均值X 作为总体均值)(X E 的估计量, 一般地, 记总体k 阶矩);(kkX E 样本k 阶矩ni kik X n A 11;总体k 阶中心矩;)]([kk X E X E V 样本k 阶中心矩.)(11ni kikX X nB 用相应的样本矩去估计总体矩的方法就称为矩估计法. 用矩估计法确定的估计量称为矩估计量. 相应的估计值称为据估计值. 矩估计量与矩估计值统称为矩估计.求矩估计的方法：设总体X 的分布函数),,;(1k x F 中含有k 个未知参数k,,1, 则(1) 求总体X 的前k 阶矩k,,1，一般都是这k 个未知参数的函数, 记为k i g ki i,,2,1),,,(1（*）(2) 从（*）中解得kjh kj j,,2,1),,,(1(3) 再用),,2,1(k ii 的估计量i A 分别代替上式中的i,即可得),,2,1(k i j的矩估计量:.,,2,1),,,(?1k j A A h k j j注：求,,,1k V V 类似于上述步骤，最后用kB B ,,1代替k V V ,,1，求出矩估计j?),,2,1(k I。
《估计》数学教案
《估计》数学教案一、教学目标：1. 让学生理解估计的概念，能够运用估计解决实际问题。
2. 培养学生运用数学知识进行估计的能力，提高学生的数感。
3. 培养学生合作、交流的意识，提高学生的团队协作能力。
二、教学内容：1. 估计的定义及方法。
2. 运用估计解决实际问题。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：估计的方法及运用。
2. 教学难点：如何运用估计解决实际问题。
四、教学准备：1. 教师准备相关实例和问题。
2. 学生准备笔记本、文具。
五、教学过程：1. 导入：教师通过生活实例引入估计的概念，引导学生初步认识估计。
2. 新课讲解：教师讲解估计的方法，引导学生学会如何进行估计。
3. 课堂练习：教师给出实例，学生独立进行估计，并与实际结果进行对比。
4. 小组讨论：学生分组讨论，分享各自的估计方法和心得，互相学习。
5. 总结提升：教师引导学生总结估计的方法和技巧，并强调估计在实际生活中的应用。
6. 课后作业：教师布置相关作业，巩固学生对估计的理解和运用。
7. 教学反思：教师根据学生的课堂表现和作业完成情况，对教学进行反思和调整。
六、教学评价：1. 评价学生对估计概念的理解程度。
2. 评价学生运用估计方法解决实际问题的能力。
3. 评价学生在小组讨论中的参与程度及合作意识。
七、教学拓展：1. 引导学生探索其他估计方法，如平均数、中位数等。
2. 引导学生将估计方法应用于其他学科，如物理、化学等。
八、教学策略：1. 采用实例教学，让学生直观地理解估计的概念和方法。
2. 采用分组讨论的方式，提高学生的参与度和合作意识。
3. 注重课后作业的布置与批改，及时了解学生掌握情况，并进行针对性的辅导。
九、教学反馈：1. 收集学生对估计方法的应用实例，进行分析和总结。
2. 听取学生的意见和建议，对教学方法和内容进行调整。
3. 与家长沟通，了解学生在家庭中的估计实践情况，共同促进学生的成长。
十、教学改进：1. 根据学生的掌握情况，调整教学内容和难度。
点估计的几种方法
如果某统计量 ˆ ˆ(x1, x2满, 足, xn)
L ˆ max L( ),
则称 是ˆ 的极(最)大似然估计，简记为MLE
（Maximum Likelihood Estimate）。
求极大似然估计通常分如下两种情形：
1. 总体X 的取值范围与未知参数无关； 2. 总体X 的取值范围与未知参数有关。
现做了n次试验，观测到三种结果发生的次数 分别为 n1 , n2 , n3 (n1+ n2+ n3 = n)。求的最大 似然估计。
例6.1.7 设(X1,X2,…,Xn)是来自正态总体X~N(μ,σ2)的一 个样本，μ,σ2未知，求μ,σ2的极大似然估计。
解 设(x1,x2,…,xn)为样本(X1,X2,…,Xn)的一个观察值，则
现在我们来介绍一类重要的统计推断问题
参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息 来估计总体的某些平均体重
估计废品率 估计湖中鱼数
估计平均降雨量
… …
第六章 参数估计
§6.1 点估计的几种方法 §6.2 点估计的评价标准 §6.3 最小方差无偏估计 §6.4 贝叶斯估计 §6.5 区间估计
ˆjˆj j(aj1(,a1 ,,ak ),, ak )j,1,j ,k1,, , k,
其中a jaj n1in1n1 xiijn1 xij为j阶样本原点矩.
矩法的步骤：
设总体X的分布为F(x;θ1,θ2,…,θk)，k个参数θ1,θ2,…,θk待 估计，(X1,X2,…,Xn)是一个样本 。
Xk
1 n
n j 1
X
k j
从中解出方程组的解，记为 ˆ1，ˆ2，，ˆk
则 ˆ1，ˆ2，，ˆk 分别为参数θ1,θ2,…,θk的矩估计。
统计学,刘照德06-1第六章 参数估计
第一节 点估计
点估计的求解方法主要有 ： • 矩估计法 • 最大似然估计法
第一节 点估计
一 、矩估计法
• 矩估计法是一种常用的估计方法，其基本 思想是，用样本原点矩作为总体原点矩的 估计。
第一节 点估计
• 设k个参数 ( , , )，求 k个参数 ˆ (ˆ ,ˆ ,ˆ ) 矩估计 需要建立k个方程，方法是：设总体 的一个样本观测值是 (x , x ,, x ) ，其l阶原点 1 A x 矩 ，总体观测量X的l阶原点矩 n ml E( X l ) ml ( ) ，用样本原点矩Al作为总体 原点矩ml的估计，得出k个方程Al =ml(θ )(l =1,…,k)，解此方程组得出的 即为参数 的矩 估计。
对于给定的抽样方法 ，不同的抽样，就有不同的 ˆ , ˆ) 估计区间 ( 1 2
在用同样方法构造的总体参数的多个估计区间 中，包含总体参数真值的区间所占的比例称为 置信水平，表示为 (1 - 。 2.为是未包含总体参数的区间所占的比例。 •
3. 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%
第一节点估计??????????222221???xexdxemxem??????2221??????aa??????21221??aaa????????????????niiniixxnxxnx12122211?????二最大似然估计法?最大似然方法的基本思想是固定样本观测值在可能的取值中挑选使似然函数达到最大从而概率p达到最大的作为参数的估计
1 2
ˆ) P(
ˆ 的抽样分布 1
B A
ˆ2 的抽样分布
ˆ
第一节 点估计
• 3．一致性 依 设 为 的一个估计量，若当 n 时， ，则称 为 的一致估计量。此即 概率收敛于 随着样本容量n的增大，点估计量 越来越接近 被估总体参数 。
概率论与数理统计教案参数估计
概率论与数理统计教学教案第6章参数估计二.最大似然估计法1 .最大似然估计的步骤：若总体X 的分布中含有k 个未知待估参数0 1, 0 2,…，0 k ，则似然函数为a L .一 . a ln L 一一 .解似然方程组10- = 0, i = 1,2<..,k ，或者对数似然方程组焉一=0,i = 1,2,・・・,k ，即可得到参数的最大似然 i i八 八 八 估计0 ,0， 012 k2.定理：若0为参数0的最大似然估计，g (®)为参数0的函数，则g (®)是g (0)的最大似然估计. 三.点估计的评价标准1 .无偏性：设=(X1,X2,…,X)是未知参数。
的估计量,若E (0 )=0,则称为0的无偏估计。
八 八八八八 八2 .有效性：设0 ,0均为参数0的无偏估计量，若D (0 )< D (0 ),则称0比0有效。
121212,3 .相合性(一致性)：设0为未知参数0的估计量，若对任意的s > 0,都有lim P 卜-0 <£ n fsn fs四.例题讲解4 1.设X 为某零配件供应商每周的发货批次，其分布律为X 0 1 23P 0 2 20 (1-0) 0 2 1-20其中0是未知参数，假设收集了该供应商8周的发货批次如下：3, 1, 3,0, 3, 1, 2, 3,求0的矩估计值.—^―, X > 1,例2.设某种钛金属制品的技术指标为X 其概率密度为f (X )=《X B+1其中未知参数P > 1,0, X V 上X ,X ，…,X 为来自总体X 的简单随机样本，求P 的矩估计量.12n例3.已知某种金属板的厚度X 在(a , b)上服从均匀分布，其中a , b 未知，设抽查了 口片金属板，厚 度分别为X 1,X 之,…,r 试用矩估计法估计a , b .例4.设袋中放有很多的白球和黑球，已知两种球的比例为1:9,但不知道哪种颜色的球多，现从中有放 回地抽取三次，每次一球，发现前两次为黑球，第三次为白球，试判断哪种颜色的球多。
估计(教案)2023-2024学年数学 三年级上册 人教版
教案标题：估计（教案）2023-2024学年数学三年级上册人教版一、教学目标1. 让学生理解估计的含义，能够运用估计的方法对数量进行大致的判断。
2. 培养学生的观察能力、分析能力和逻辑思维能力。
3. 培养学生运用估计解决实际问题的能力，提高学生的数学素养。
二、教学内容1. 估计的含义和作用2. 估计的方法和技巧3. 估计在实际生活中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：理解估计的含义，掌握估计的方法和技巧。
2. 教学难点：如何引导学生运用估计解决实际问题。
四、教学过程1. 导入新课通过一个生活实例，引导学生思考估计在日常生活中的重要性，激发学生的学习兴趣。
2. 讲授新课（1）估计的含义和作用引导学生理解估计的含义，即在无法准确计算的情况下，通过对已知信息的观察和分析，对未知数量进行大致的判断。
（2）估计的方法和技巧介绍常用的估计方法，如比较法、比例法、四舍五入法等，并举例说明如何运用这些方法进行估计。
（3）估计在实际生活中的应用通过生活中的实例，让学生体会估计在购物、烹饪、出行等方面的应用，培养学生的估算意识。
3. 实践活动组织学生进行小组讨论，探讨如何运用估计解决实际问题，提高学生的估算能力。
4. 总结与反思引导学生回顾本节课所学内容，总结估计的方法和技巧，并对自己的估算过程进行反思，提高学生的估算能力。
五、作业布置1. 完成课后练习题，巩固所学知识。
2. 观察生活中的估计现象，与家长分享自己的估算经验。
六、教学评价1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和讨论情况，了解学生对估计知识的掌握程度。
2. 作业完成情况：检查学生课后练习题的完成情况，评估学生对估计方法的运用能力。
3. 实践活动表现：评价学生在实践活动中的表现，了解学生运用估计解决实际问题的能力。
七、教学建议1. 注重培养学生的观察能力和分析能力，引导学生关注生活中的估计现象。
2. 鼓励学生积极参与课堂讨论，提高学生的估算能力。
3. 加强课后辅导，关注学生的学习需求，帮助学生克服学习难点。
《点估计的求法》课件
点估计的常用方法
矩法
原理：利用样本矩来估计总体参数 优点：计算简单，易于理解 缺点：精度较低，对样本分布的假设要求较高 应用：常用于样本量较小、分布未知的情况
最大似然法
原理：利用已知样本信息，估计总 体分布的参数
缺点：可能陷入局部最优解，对初 始值敏感
添加标题
添加标题
优点：简单易行，计算量小
添加标题
注意事项：在构建回归模型时，要 注意检查自变量之间的相关性，避 免出现多重共线性问题
模型的可解释性和泛化能力
可解释性：模型应该能够解释其预测结 果，以便于用户理解和信任
泛化能力：模型应该能够在不同的数据 集上表现良好，避免过拟合和欠拟合
数据预处理：对数据进行适当的预处理， 如归一化、标准化等，以提高模型的泛 化能力
模型融合：融合多个模型 可以提高估计精度
点估计在实际应用 中的注意事项
Байду номын сангаас 适用范围和局限性
适用范围：适用于样本量较大、分布较均 匀的情况
局限性：不适用于样本量较小、分布不均 匀的情况
适用范围：适用于线性模型、正态分布的 情况
局限性：不适用于非线性模型、非正态分 布的情况
适用范围：适用于参数估计的情况
均方根误差（RMSE）：均方误差的 平方根
绝对误差（AE）：估计量与真实值 之差的绝对值
相对误差（RE）：绝对误差与真实 值的比值
平均绝对误差（MAE）：绝对误差 的平均值
平均相对误差（MRE）：相对误差的 平均值
误差的传播和计算
误差计算：通过计算点估计 的方差或标准差来衡量误差 的大小
误差传播：点估计的误差会 通过计算传播到其他相关变 量
数据合并： 将多个数 据集合并 为一个数 据集，便 于分析
社会统计学教案(参数估计)
2009-2010学年第二学期山东财政学院教案
课程名称__ __ 统计学
课程编号____ _授课对象 08级政行___ 任课教师_________ 刘建冰
职称_______ __ 副教授_________ 统计与数理学院统计学教研室
山东财政学院教案
填表说明：
1.任课教师可以参考提供样式将本课程的一些共同信息放在封面。
2.建议按每次课（两学时）来编写教案，有的专业如外语等可以适当灵活。
3.教案的编写应适当体现出个性化设计，不要因参考样式而固化、僵化。
4.课程类型：在“通识必修课、通识选修课、学科共同基础课，专业必修课，专业选修课”中选择。
5．授课方式：在“理论讲授；讨论；实验；练习；模拟；参观；双语”中选择。
6．教研室主任和分管教学院长应该在期中和期末，通过对照教学大纲对教师编写的教案进行检查，了解教师的课前备课、授课内容、授课进度，并签署意见。
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在实际问题中,当所研究的总体分布类型已知,但分布中含有一个或多个未知参数时,如何根据样本来估计未知参数，这就是参数估计问题.
参数估计问题分为点估计问题与区间估计问题两类.
点估计就是用某一个函数值作为总体未知参数的估计值；
区间估计就是对于未知参数给出一个范围，并且在一定的可靠度下使这个范围包含未知参数.
1、置信区间的概念
定义1设 为总体分布的未知参数, 是取自总体X的一个样本,对给定的数 ,若存在统计量
使得
则称随机区间 为 的 双侧置信区间,称 为置信度,又分别称 与 为 的双侧置信下限与双侧置信上限.
注:1.置信度 的含义:在随机抽样中,若重复抽样多次,得到样本 的多个样本值 ,对应每个样本值都确定了一个置信区间 ,每个这样的区间要么包含了 的真值,要么不包含 的真值.根据伯努利大数定理,当抽样次数充分大时,这些区间中包含 的真值的频率接近于置信度(即概率) ,即在这些区间中包含 的真值的区间大约有 个,不包含 的真值的区间大约有 个.例如,若令 ,重复抽样100次,则其中大约有95个区间包含 的真值,大约有5个区间不包含 的真值.
2.置信区间 也是对未知参数 的一种估计,区间的长度意味着误差,故区间估计与点估计是互补的两种参数估计.
3.置信度与估计精度是一对矛盾.置信度 越大,置信区间 包含 的真值的概率就越大,但区间 的长度就越大,对未知参数 的估计精度就越差.反之,对参数 的估计精度越高,置信区间 长度就越小, 包含 的真值的概率就越低,置信度 越小.一般准则是:在保证置信度的条件下尽可能提高估计精度.
然后用其观察值
来估计 的值.
称 为 的估计量.称 为 的估计值.在不致混淆的情况下,估计量与估计值统称为点估计,简称为估计,并简记为 .
注:估计量 是一个随机变量,是样本的函数，即是一个统计量,对不同的样本值, 的估计值 一般是不同的.
例1
设X表示某种型号的电子元件的寿命(以小时计)，它服从指数分布：
为未知参数, .现得样本值为
168, 130, 169, 143, 174, 198, 108, 212, 252,
试估计未知参数 .
2、评价估计量的标准
估计量的评价一般有三条标准:
无偏性;有效性;相合性（一致性）.
1．无偏性
定义1设 是未知参数 的估计量,若
则称 为 的无偏估计量.
注:无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求,其实际意义是指估计量没有系统偏差，只有随机偏差.在科学技术中,称
(1)选取未知参数 的某个较优估计量 ;
(2)围绕 构造一个依赖于样本与参数 的函数
(3)对给定的置信水平 ,确定 与 ,使
通常可选取满足 的 与 ，在常用分布情况下,这可由分位数表查得;
(4)对不等式作恒等变形化后为
例1设总体 为已知, 为未知,设 是来自X的样本,求 的置信水平为 的置信区间.
例2设总体 为未知参数, 是取自总体X的简单随机样本,如果以区间 作为 的置信区间,那么置信度是多少?
2、寻求置信区间的方法
寻求置信区间的基本思想:在点估计的基础上,构造合适的函数,并针对给定的置信度导出置信区间.
一般步骤:
参数估计问题的一般提法:
设有一个统计总体,总体的分布函数为 ,其中 为未知参数( 可以是向量).现从该总体中随机地抽样,得一样本
,
再依据该样本对参数 作出估计,或估计参数 的某已知函数
第一节点估计问题概述
一、点估计的概念
设 是取自总体X的一个样本, 是相应的一个样本值. 是总体分布中的未知参数,为估计未知参数 ,需构造一个适当的统计量
求矩估计的方法：
设总体 的分布函数 中含有k个未知参数 ,则
(1)求总体 的前k阶矩 ，一般都是这k个未知参数的函数,记为
（*）
(2)从（*）中解得
(3)再用 的估计量 分别代替上式中的 ,即可得 的矩估计量:
注：求 类似于上述步骤，最后用 代替 ，求出矩估计 。
例1设总体X的概率密度为
其中 是未知数， 是取自X的样本,求参数 的矩估计.
第二节点估计的常用方法（1）
1、矩估计法
矩估计法的基本思想是用样本矩估计总体矩.因为由在大数定理知,当总体的k阶矩存在时,样本的k阶矩依概率收敛于总体的k阶矩.例如,可用样本均值 作为总体均值 的估计量,一般地,记
总体k阶矩
样本k阶矩பைடு நூலகம்;
总体k阶中心矩
样本k阶中心矩
用相应的样本矩去估计总体矩的方法就称为矩估计法.用矩估计法确定的估计量称为矩估计量.相应的估计值称为据估计值.矩估计量与矩估计值统称为矩估计.
为用 估计 而产生的系统误差.
定理1设 为取自总体X的样本,总体X的均值为 ,方差为 .则
(1)样本均值 是 的无偏估计量;
(2)样本方差 是 的无偏估计量;
(3)样本二阶中心矩 是 的有偏估计量.
2．有效性
定义2设 和 都是参数 的无偏估计量,若
,
则称 较 有效.
注:在数理统计中常用到最小方差无偏估计,其定义如下:
设 是取自总体X的一个样本, 是未知参数 的一个估计量,若 满足:
(1) 即 为 的无偏估计;
(2) 是 的任一无偏估计.
则称 为 的最小方差无偏估计(也称最佳无偏估计).
3．相合性(一致性)
定义3设 为未知参数 的估计量,若 依概率收敛于 ,即对任意 ,有
或
则称 为 的(弱)相合估计量.
例2设总体 , 是来自这一总体的样本.
(1)证明 是 的无偏估计;
(2)求
例3设 为来自总体X的样本, , 均为总体均值 的无偏估计量,问哪一个估计量有效?
例4设总体 , 为其样本.试证样本方差 是 的相合估计量.
课堂练习
设总体X的k阶矩 存在,又设 是X的一个样本.试证明不论总体服从什么分布,k阶样本矩 是k阶总体矩 的无偏估计量.
课后作业：P137 T 3、4
例2设总体 的均值 及方差 都存在,且有 ,但 均为未知,又设 是来自 的样本.试求 的矩估计量.
例3设总体X的概率分布为
其中 为未知参数.现抽得一个样本 求 的矩估计值.
课堂练习
设总体 在 上服从均匀分布， 未知. 是来自
的样本,试求 的矩估计量.
课后作业：P142 T 2
第三节置信区间
在区间估计理论中,被广泛接受的一种观点是置信区间,它由奈曼(Neymann)于1934年提出。