第五章 连续时间模型和Black-Scholes公式.

其中 t 代表t-1到t的时间间隔，r代表无风险利率， 代表资产波 n i 动率， 代表相互独立的标准正态分布随机数。在估计期权价格 时，我们需要估计到期日的现金流，可以通过多次价格路径模拟 来估计。下面通过一些例子来看一看离散方法在模拟资产价格路 径等方面的应用。 2 对数正态模型 r T WT 2 ST =S0 e （ 5.7）
G G 1 2G 2 G dG a b dt bdz 2 t 2 x x x
(4a )
证明：由二元函数的泰勒展开公式有： G G 1 2G 2 2G 1 2G 2 G x t x xt t ... 2 2 x t 2 x xt 2 t
代
5.2 离散模型
首先看离散资产价格模型。设在时刻 t ti i t 时的资产价格 S (t为 t0 ，然后设 得到在0≤t ≤T上离散时间的资产 i)
价格模型： S (ti 1 ) S (ti ) tS (ti ) t i S (ti )
i ~N 0,1
因此，如果 我们（采用对数纸）描述股价的对数图，我们可以看见这些点落在 一条直线上，如果模型更接近现实的话，会有一些点偏离直线。
5.3 连续时间模型的分析
方程
dS Sdt SdB 是一个随机微分方程（SDE），大多数的
2 Bt 2 t
2 i
n S0 , S1n ,..., Skn 通常以通过产生随机数或拟随机数来模拟资产的几个路径，不妨设 1 2 ，…N）则由（8）可得 n2 为n资产价格路径（ n=1， t ti 2 n ： Sin = S e (9) 1 i
பைடு நூலகம்
z 如果变量z=z(t)服从维纳过程，则其增量 基本性质：
必须满足如下两个
z和t 性质1：
之间满足关系
z t (1)
其中 为从标准正态分布中抽取的一个随机值。 t。z 的值相互独立。 性质2：对任何两个不同的时间间隔
z 服从期望值为0，方差为 t ，标准差为 由性质1，得出 t 正态分布。 性质2意味着变量z=z(t)服从马尔科夫过程。 再由性质1，当 t 0时，z的微分形式为
S t S0e
zi ~N 0,1
4
1 2 ti ti1 ti zi ti1 还能离散地得到任意时间序列 0=t 2 0<t1<t2<…<tm的资产价格为： i 1 i i
S t
S t e
z ~N 0,1
其中WT是均值为0，方差为T的随机正态分布变量，
WT T z
z ~ N 0,1
2 现将（5.7）两边取对数，得到lnST = ln S0 r T WT 2 2 ln S0 r T 是一个线性公式， WT 将围绕该直线波动， 2
由伊藤定理可知，如果x,t服从伊藤过程，则x,t的函数G也服从
伊藤过程，不过漂移率和波动率分别为：
G G 1 G 2 G a b 和 b 2 x t 2 x x
2
2
不支付红利股票价格的行为过程
如果假设股票价格服从一般维纳过程，则有不变的期望漂移率 和波动率，这不符合实际。所以，一般假设股票价格变化的比例 dS dS/S服从一般维纳过程，即： dt dz
U第一步：计算时间序列值： i ln Si 1 ln Si 得到数值序列U1、U 2…U n
Ui
由几何布朗运动 值满足如下等式： 1 U i = Bt Bt 2 t
i 1 i
模型

2

(5.9)
Bti1 Bti
t 几何布朗运动模型 具有下面的性质： Bti1 Bti 1、 是一个正态随机变量，方差为 值为0； 2、这些差是相互独立的随机变量。
因为 x=a( x, t )t b( x, t ) t 由该式有结果：
(5a)
(6)
x2 =b2 2t +o t
2
(7)
根据（6）有
xt =a( x, t )t b( x, t )
t
3
=o t
（8）
将（6）（7）和（8）代入（5），得到 G G 1 2G 2 G x t b t o t 2 x t 2 x 令 t 0 得到
2
的正态随机变 量。 在几何布朗运动模型中，有两个变量：波动率 和漂移率 ，但在定价欧式看涨期权时只需要估计 。公式中并没有用到 但这两个值如何来用股票价格估计我们还需要给出。
几何布朗运动参数估计
假设有一段时间[0,T]内的股价记录。这段时间由n个长度相 t 等的子区间 组成，再假设已知每个子区间末的股价，将股 Si { 价表示为： ：第i个子区间末的股价}，样本观测值为n+1 个。
的
dz t
（2）
一般维纳过程
变量x服从一般维纳过程的定义如下： dx=adt+bdz （3） a是一般维纳过程的预期漂移率，b是波动率。 式（3）由两项组成，如果不考虑bdz，则有dx=adt或 x=x0+at。其中x0为x在0时刻的值，经过t时刻后，x增加值为at。 如果仅考虑bdz，则dx=bdz，其中bdz可以看作是附加在变量x 轨迹上的噪声或者波动，这些噪声或波动是维纳过程的b倍。 将adt和bdz一并来考虑，则有dx=adt+bdz 。经过时间增量 t之 后，x的增量为 x at bz 。将（1）代入上式，有 x at b t (4) 如前所述， 是自标准正态分布中随机抽取的值，因此 x 服从正 2 b a t 态分布，期望值是 ，方差是 t ，标准差是 b t

2

1 2 第二步：解方程 U t 和S 2 2 t 得到 和 很容易得到： 2 U S2 / 2 S 及 t t
5.4 Black-Scholes公式
我们先介绍与B-S期权定价理论有关的一些预备知识，这些知识
主要是围绕着股票价格的变化过程而展开的，内容包括维纳过程 、伊藤过程、伊藤引理、几何布朗运动、对数正态分布等等这些 内容是理解期权定价和更加复杂的衍生证券定价的基础。
6
7
来计算 Si i 1 故轨迹 ti , Si
：
S t t S t e
就是离散资本几个路径，也可以用公式
t zi
1 2 t 2
zi ~N 0,1
由于在风险中性世界里，所以资产的期望收益率μ等于无风险利率r 1 故（7）可以重写为： r t t z S t t S t e 2 zi ~N 0,1 8
5
资产价格路径的随机模拟
可以用（5）计算资产价格路径的计算机模拟。假设以 0=t0<t1<t2<…<tm =T模拟S（t）的值，则可根据公式：
Si 1 Si e
M
1 2 ti1 ti ti1 ti zi 2
zi ~N 0,1
维纳过程
在介绍维纳过程之前，先简单介绍一下马尔科夫过程。 它是一种特殊的随机过程，在该过程中，变量的变化仅依赖于该 变量前一瞬间的状态。当变量遵从马尔科夫过程时，变量在相邻 时间内变化的方差具有可加性，但标准差不具有可加性。马尔科 夫过程的重要特征是：变量的随机变化是独立同分布的。 维纳过程是马尔科夫过程的特殊形式。如果变量服从维 纳过程，则该变量的期望为0，方差为1.股票价格模型通常用维 纳过程表达。在物理学中，这种过程也被称为布朗运动。
（ 2）
S ( t )、S (2 t )…S ( L t )
L 1 其次看连续资产价格模型，由 (2)式分别表示 令 t 0或L S t S0 i 0 1 t t zi ，得到极限形式


由 t 0和 log 1
G G 1 2G 2 dG dx dt b dt 2 x t 2 x
(9)
再将dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz，代入（9）得到：
G G 1 2G 2 G dG a b dt bdz 证毕 2 t 2 x x x
可表示为具有数
望
1 2
2t S t 和方差 log ~
S 0
1
2
的正态随机变量。即： 1 N 2 t , 2t 2
i
t t z 由此，在t时刻资产价格的动态连续时间可表达为： 2
金融市场学
第五章 连续时间模型和Black-Scholes公式
5.1 连续时间股票模型
令S（t）代表某股票在t时刻的价格，假设 S（t）服从几何布朗
运动，即股票价格变动由模型 dS Sdt SdW （1） 来决定。其中S代表股票价格， 代表期望回报率， 表资产波动率，dW代表标准布朗运动。
，均
…Un 的均值和方差。 第二步：计算系列数值 U1、U2n 2 令U表示均值，则 U n 1 U i 样本方差 S 表示为： n 2 i 1 1 2 1 2 2 S = n 1 U i U U的观测值均值为 t 方差为 t
i 1
SDE没有简洁的的封闭形式的解，但幸运的是这个方程存在。其解 就是几何布朗运动。
St S 0 e
(5.8)
这正是具有连续时间变量T的离散模型（5.7） 这里，Bt是均值为0，方差为t的正态随机变量。由此得到的是股价 的几何布朗运动模型（GBM）。注意：
St 2 ln Bt t S 2 0 2 2t 右边的表达式是一个均值为 t ，方差为
2
2
... 1 则有 （3）
S t L 1 1 2 2 log t t z tz i i S 2 i 0 0
对（3）用中心极限定理，则 学期
2
S t log S 0
伊藤过程和伊藤引理
如果上面随机过程中的a与b是x和t的函数，则可得到伊藤过程: dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz （5） 其中dz是维纳过程。伊藤过程中的预期漂移率和波动率随时间 而变化。 定理5.4.1（伊藤引理）假设变量x服从伊藤过程，设G=G(x,t)是 x的二次连续可微函数，则G(x,t)遵从如下过程：
G G 1 2G 2 G dG a b dt bdz 2 t 2 x x x G G 1 2G 2 2 G = S S dt Sdz 2 t 2 x x x
S
因此，股票价格S可用漂移率 S 和波动率 S 的伊藤过程描述，即： dS Sdt Sdz (10) 其离散形式为：
S S t S z
(11)
如果和 为常数，则称式（10）为几何布朗运动。几何布朗 运动是最广泛的描绘股票价格行为的模型。 如果S服从伊藤过程，则S和t的函数G也服从伊藤过程。