函数概念基本初等函数 函数的奇偶性 配套练习

第11课 函数的奇偶性(2)

分层训练

1．已知定义域为R 的偶函数y=f(x)的一个单调区间是(2,6),则函数y=f(2－x)的（C ）

A ．对称轴为x=－2,且一个单调区间是(4,8)

B ．对称轴为x=－2,且一个单调区间是(0,4)

C ．对称轴为 x = 2, 且一个单调区间是(4,8)

D ．对称轴为 x = 2, 且一个单调区间是(0,4)

2．设f （x ）是R 上的偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数，若x 1＜0且x 1＋x 2＞0，则（ ）

A ．f （－x 1）＞f （－x 2）

B ．f （－x 1）＝f （－x 2）

C ．f （－x 1）＜f （－x 2）

D ．f （－x 1）与f （－x 2）大小不确定

3．函数()y f x =与()y g x =的定义域相同，且对定义域中任何x 有()()0f x f x -+=，

()()1g x g x -=，若()1g x =的解集是{}0，则函数()()()()21

f x F x f x

g x =+-是（ ） A ．奇函数

B ．非奇非偶函数

C ．既奇又偶函数

D ．偶函数

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4．奇函数f(x)在区间[－b,－a]上单调递减且f(x)>0(0

A ．单调递减

B ．单调递增

C ．不增不减

D ．无法判断单调性 5．构造一个满足下面三个条件的函数实例，

①函数在)1,(--∞上递减；②函数具有奇偶性；③函数有最小值为； .

6．若f （x ）是偶函数，其定义域为R 且在[0,)+∞上是减函数，则f （－

4

3）与2(1)f a a -+的大小关系是____．

7．设f(x) 是定义在R 上的偶函数, 且图象关于x=2对称, 己知x ∈[－2,2] 时, f(x) =－x 2+1, 求x ∈[－6,－2] 时,f(x) 的表达式.

8．设f （x ）是定义在实数集R 上的函数，且对任何x 1，x 2∈R 满足f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2），求证f （0）=0，且f （x ）是奇函数.

拓展延伸

9．已知函数f （x ）＝x ＋m ，且f （1）＝2．

（1）求m ；

（2）判断f （x ）的奇偶性；

（3）函数f （x ）在（1，＋∞）上是增函数还是减函数?并证明．

10．⑴已知()f x 的定义域为{|0}x x ≠，且12()()f x f x x +=，试判断()f x 的奇偶性。 ⑵函数()f x 定义域为R ，且对于一切实数,x y 都有()()()f x y f x f y +=+，试判断()f x 的奇偶性。

本节学习疑点：

第11课 函数的奇偶性（2） 1．()C ；2．()A ；3．()D 4．()B ； 5．R x x y ∈=,2；

6．f （a 2一a +1）≤f （4

3）； 7．f （x ）的图象关于x=2对称，

22(2)(2)

()(4)(4),

(4)(44)(),(6,2),()(4)

(4)1815.

f x f x f x f x f x f x f x f x x f x f x x x x ∴+=-∴=-=-+=+-=∈--=+=-++=---当时

8．提示：令x 1=x 2=0，代入得f （x ）=0，令x 1=x ，x 2=-x ，代入可证。

9．（1）f （1）=1＋m ＝2，m ＝1．

（2）f （x ）＝x ＋x 1，f （－x ）＝－x －x

1＝－f （x ），∴f （x ）是奇函数． （3）设x 1、x 2是（1，＋∞）上的任意两个实数，且x 1＜x 2，

则f （x 1）－f （x 2）＝x 1＋11x －（x 2＋21x ）＝x 1－x 2＋（11x －2

1x ） ＝x 1－x 2－2121x x x x －＝（x 1－x 2）2

1211x x x x －． 当1＜x 1＜x 2时，x 1x 2＞1，x 1x 2－1＞0，从而f （x 1）－f （x 2）＜0，

即f （x 1）＜f （x 2）．

∴函数f （x ）＝x

1＋x 在（1，＋∞）上为增函数．

10．⑴∵()f x 的定义域为{|0}x x ≠，且1

2()()f x f x x

+= ① 令①式中x 为

1x 得：112()()f f x x x

+= ② 解①、②得221()3x f x x

-=， ∵定义域为{|0}x x ≠关于原点对称， 又∵222()121()3()3x x f x x x ----==--()f x =-，∴221()3x f x x

-=是奇函数． ⑵∵定义域关于原点对称， 又∵令0x y ==的(0)(0)(0)f f f =+则(0)0f =， 再令y x =-得(0)()()f f x f x =+-， ∴()()f x f x -=-，∴原函数为奇函数．