证明行列式和矩阵等于零的几种经典方法

前言：

一、线代的特点：

1、内容抽象

2、概念多

3、符号多

4、计算原理简单但计算量大

5、证明简洁但技巧性强

6、应用广泛

二、学习中要注意的问题

1、不要急于求成，不要急于做难题。要分层次，扎扎实实的学习

2、熟练掌握基本内容。

基本概念（定义、符号）

基本结论（定理、公式）

基本计算（计算行列式、解线性方程组、求逆矩阵等）

基本证明和推理方法

3、自己动手推证书中的每个结果

尽量体会结论、证明的思想方法

用自己喜欢的方式写出简要总结

4、贯穿前后，注意发现线代课内容的重要规律。

提出问题的规律（存在、个数、结构、求法）

变换和标准形式（如行列式和上三角行列式）

问题相互转化

5、要多与同学讨论，虚心向别人请教问题。要经常提出问题，思考问题，乐于同别人交流

该方法引至李永乐老师的讲义，由KJ1234CN整理

一、行列式等于零的证明方法

例题1：A^2=A,A≠E,证明|A|=0(复习全书理工类P364例1.35)

由于书上已经有详尽的解题方法（四种），KJ不再复述，KJ在此只强调证法二

在这里有一种常见的错误解法

由A^2＝A，有A（A－E）＝0，∵A≠E∴（A－E）≠0，∴A=0 ∴|A|=0

其错误在于没有搞清楚矩阵的运算规则，AB＝0，若B≠0不能推出A＝0。

例如

[1 1][ 1 1]

[1 1][-1 -1]=0,但是A、B都不等于0

（KJ废话：该种方法由错误的方法解出了正确的答案，很多人在做题过程中经常只对答案而不管过程，考试的时候也使用他用过的错误的方法，结果出来的分数与他估计的相去甚远，其原因我想也就在与此！他们没有细细体味书上的解题过程，也没有反省自己的解题方法与书上的不同之处。KJ奉劝大家，在看书时，对于例题一定要先做后看，并对和书上的不同的解题方法细细体会，辨别对错）

二、矩阵等于零的证明方法

例题2：A是m*n的矩阵，B是n*p的矩阵，R(B)=n。证明当AB＝0时，A＝0

证法一：<方法>矩阵的秩等于0，则矩阵等于0

∵AB＝0，∴B的每一列都是AX＝0的解

又∵齐次方程组的基础解系的向量个数＝未知数的个数－系数矩阵的秩；R(B)=n

∴AX＝0的解中至少有n个线性无关，n-R(A)≥n

∴0≤R(A)≤0 ∴R(A)=0

证法二：

∵R(B)=n∴设β1，β2......βn是B中线性无关的列向量

设B1＝(β1，β2......βn),则B1可逆

∴AB1=0

∴AB1B1^-1=0B1^-1=0

∴A =0

证法三：<方法>矩阵的每一个元素都为0

将A按矩阵的通用表示方法表示，B按行分列

[a11 ... a1n]

[... ... ...]=A

[an1 ... ann]

[α1]

[α2]

[...]=B

[αn]

则

[a11α1+...+a1nαn]

[.................]=AB=0

[an1α1+...+annαn]

∴有方程组

[a11α1+...+a1nαn=0

[.................=0

[an1α1+...+annαn=0

∵R(B)=n∴α1...αn现性无关

∴

a11 ... a1n＝0

................

an1 ... ann=0

∴A=0

通过方法三，我们要注意到矩阵乘法的一些简便运算，即:初等矩阵P左(右)乘A，所得P A(AP)就是A作了一次与P同样的行(列)变换。

例如：

[ 1 0 0]

[ 0 1 0]

[-1 0 1]相当于第一行乘以－1加到第三行

再如：

[ 1 0 1][ 1 2 3]

[ 0 1 0][ 2 3 4]=

[ 1 2 0][ 3 4 5]

[α1+α3]

[α2]

[α1+2α2]= [4 6 8] [2 3 4] [5 8 11]