第4课时 向量的数乘运算2.11
合集下载
高中数学第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.4数乘向量课件新人教B版必修4
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
概念辨析题
【例1】 已知a,b是两个非零向量,判断下列各命题的真假,并说 明理由. (1)-2a与a是共线向量,且-2a的模是a的模的2倍; 3 (2)3a 与 5a 的方向相同,且 3a 的模是 5a 的模的 ; 5 (3)-2a与2a是一对相反向量; (4)a-b与-(b-a)是一对相反向量. 分析根据数乘向量与相反向量的定义判断.
2.教材中的“思考与讨论” 把例3中的数3改为任意实数k,你是否还能解这个问题?回想一下 初中学过的相似三角形的判定定理,例若������������'=k������������, ������'������'=k������������,则������������' = ������������' + ������'������'=k������������+k������������=k(������������ + ������������)=k������������, 当 k=0 时,������������'=0������������=0,此时 B'与 O,A'重合; 当 k≠0 时,������������'与������������共线,长度是������������的|k|倍. 这一结论可以认为是相似三角形判定定理的向量形式,其反映 的本质是一样的.
1
2
【做一做1-1】 化简(-2)· 3m-4(n-2m)的结果为 ( ) A.-14m-4n B.-6m-4n C.2m-4n D.4n+2m 解析:原式=-6m-4n+8m=2m-4n. 答案:C 【做一做1-2】 若|a|=3,b与a的方向相反,且|b|=5,则a=
向量的数乘运算+课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
2
2
3
4
例3 在△ABC中.
(1)若 D 是 BC 边的中点,试用, 表示;
(2)若 E 是 BC 边上一点,且 =
1
,试用, 表示.
4
(2)如图,因为 = + ,
而
1
= 4
所以
1
1
= 5 = 5 ( − ),
1
4
1
= + 5 ( − )=5 + 5 .
(1 ± 2) = 1 ± ��．
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，线性运算的
结果仍为向量
(1)根据定义,求作向量()和() (为非零向量),并进行比较.
(2)已知向量求作向量( + )和 + ，并进行比较.
a
（
3 2a）
6a
a
结合律
向量的数乘
定义：一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算
叫做向量的数乘，记作．
（1）长度： || = || · ||
（2）方向：当 > 0时，的方向与 方向相同；
当 < 0时，的方向与方向相反；
特别地，当 = 0时， = ．当 = −1时， = −
OP xOA yOB且x y 1.
归纳提升
证明或判断三点共线的方法：
1．证明或判断三点共线的方法
(1)一般来说，要判定 A，B，C 三点是否共线，只需看是否存在
→
→
→
→
实数 λ，使得AB＝λAC(或BC＝λAB等)即可．
(2)利用结论：若 A，B，C 三点共线，O 为直线外一点⇔存在实
③和向量 a 方向相同的单位向量是什么？
2
3
4
例3 在△ABC中.
(1)若 D 是 BC 边的中点,试用, 表示;
(2)若 E 是 BC 边上一点,且 =
1
,试用, 表示.
4
(2)如图,因为 = + ,
而
1
= 4
所以
1
1
= 5 = 5 ( − ),
1
4
1
= + 5 ( − )=5 + 5 .
(1 ± 2) = 1 ± ��．
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，线性运算的
结果仍为向量
(1)根据定义,求作向量()和() (为非零向量),并进行比较.
(2)已知向量求作向量( + )和 + ，并进行比较.
a
（
3 2a）
6a
a
结合律
向量的数乘
定义：一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算
叫做向量的数乘，记作．
（1）长度： || = || · ||
（2）方向：当 > 0时，的方向与 方向相同；
当 < 0时，的方向与方向相反；
特别地，当 = 0时， = ．当 = −1时， = −
OP xOA yOB且x y 1.
归纳提升
证明或判断三点共线的方法：
1．证明或判断三点共线的方法
(1)一般来说，要判定 A，B，C 三点是否共线，只需看是否存在
→
→
→
→
实数 λ，使得AB＝λAC(或BC＝λAB等)即可．
(2)利用结论：若 A，B，C 三点共线，O 为直线外一点⇔存在实
③和向量 a 方向相同的单位向量是什么？
向量的数乘运算课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
B
a
b
b
O
BA a b
a
A
新知探究
我们知道数是可以做乘法的，平面向量既有大小，又有方向，平面
向量可以做乘法吗？它和实数可以做乘法吗？
探究 已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)，它们
的长度和方向是怎样的？
a
O
a
A
a
a
B
C
OA AB AC
a a a 3a
注：①向量数乘结果仍然是向量，其长度、方向都与λ以及 a有关；
+ − a，
a 无意义；
②实数和向量可以相乘，但不能相加减，
习题演练
5
2
AC 5
，则 AC _____
2. 点C在线段AB上，且
AB
,
BC
=
______
AB.
7
7
CB 2
A
C
B
新知探究
探究:实数与向量积的运算律
3(2a )
∴AC 2 AB .
2b
A
∴AC与 AB共线.
因此,A,B,C 三点共线.
推论 : A, B , C 三点共线 存在 R, 使 AB AC
b
a
O
归纳小结
证明或判断A、B、C三点共线的方法：
AC BC
有公共点B
C
A、B、C三点共线
B
A
新知探究
追问：已知不共线向量a，b，作向量a+λ2b，你能发现向量
a
2a
= 6a
3(2a )
a
b
b
O
BA a b
a
A
新知探究
我们知道数是可以做乘法的，平面向量既有大小，又有方向，平面
向量可以做乘法吗？它和实数可以做乘法吗？
探究 已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)，它们
的长度和方向是怎样的？
a
O
a
A
a
a
B
C
OA AB AC
a a a 3a
注：①向量数乘结果仍然是向量，其长度、方向都与λ以及 a有关；
+ − a，
a 无意义；
②实数和向量可以相乘，但不能相加减，
习题演练
5
2
AC 5
，则 AC _____
2. 点C在线段AB上，且
AB
,
BC
=
______
AB.
7
7
CB 2
A
C
B
新知探究
探究:实数与向量积的运算律
3(2a )
∴AC 2 AB .
2b
A
∴AC与 AB共线.
因此,A,B,C 三点共线.
推论 : A, B , C 三点共线 存在 R, 使 AB AC
b
a
O
归纳小结
证明或判断A、B、C三点共线的方法：
AC BC
有公共点B
C
A、B、C三点共线
B
A
新知探究
追问：已知不共线向量a，b，作向量a+λ2b，你能发现向量
a
2a
= 6a
3(2a )
向量的数乘运算高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册
特别地，当λ=0或a=0时，λa =0．
1．结合向量数乘的定义，你对零向量，相反向量有什么新的认识?
数零乘任何向量的结果为零向量，零向量与任何数的乘积为零向量；−1乘任何向量
得到这个向量的相反向量．
2．向量数乘有什么几何意义?
如图，把向量a沿着a的方向或a的反方向，将a的长度扩大（或缩小）
|λ|倍．如2a的几何意义就是沿着向量a的方向，长度放大到原来的2倍．
量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程(组)．
已知a＝5e，b＝－3e，c＝4e，则2a－3b＋c＝( C )
A．5e
B．－5e
C．23e
解：2a－3b＋c＝2×5e－3×(－3e)＋4e＝23e．
故选C．
D．－23e
设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋等于( C
故填 2 ．
➢ 知识点
(1)向量的数乘定义；(2)数乘运算的运算律．
➢ 思想方法
(1)转化的思想方法；(2)数形结合的思想方法．
➢ 易错点
(1)数乘向量仍是向量；(2)与a同向的单位向量为
，与a反向的单位向量为－ ．
||
||
教材第89页练习题．
再见
4
1
1
a－
b＋
c
21
7
7
向量x＝______________．
解：据向量的加法、减法整理、运算可得x＝
故答案应填
4
1
1
a－ b＋ c
21
7
7
．
4
1
1
a－ b＋ c．
21
7
7
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
1．结合向量数乘的定义，你对零向量，相反向量有什么新的认识?
数零乘任何向量的结果为零向量，零向量与任何数的乘积为零向量；−1乘任何向量
得到这个向量的相反向量．
2．向量数乘有什么几何意义?
如图，把向量a沿着a的方向或a的反方向，将a的长度扩大（或缩小）
|λ|倍．如2a的几何意义就是沿着向量a的方向，长度放大到原来的2倍．
量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程(组)．
已知a＝5e，b＝－3e，c＝4e，则2a－3b＋c＝( C )
A．5e
B．－5e
C．23e
解：2a－3b＋c＝2×5e－3×(－3e)＋4e＝23e．
故选C．
D．－23e
设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋等于( C
故填 2 ．
➢ 知识点
(1)向量的数乘定义；(2)数乘运算的运算律．
➢ 思想方法
(1)转化的思想方法；(2)数形结合的思想方法．
➢ 易错点
(1)数乘向量仍是向量；(2)与a同向的单位向量为
，与a反向的单位向量为－ ．
||
||
教材第89页练习题．
再见
4
1
1
a－
b＋
c
21
7
7
向量x＝______________．
解：据向量的加法、减法整理、运算可得x＝
故答案应填
4
1
1
a－ b＋ c
21
7
7
．
4
1
1
a－ b＋ c．
21
7
7
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
向量的数乘运算课件——2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线；
证明：∵ ＝e1＋3e2， ＝2e1－e2，
∴ ＝ － ＝e1－4e2.
又 ＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，
∴ ＝2 ，∴ ∥ .
∵AB与BD有交点B，
∴A，B，D三点共线．
[例2] (2)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x ＋y，
＝ + +
＝ − + +
＝ − + +
＝ + +
1
1
2
2
1
1
＝ − c − +
2
2
1
1
＝ −− c
2
2
＝ − − +
随堂检测
1．判断正误
(1)若b＝λa，则a与b共线．( × )
(2)若λa＝0，则a＝0.( × )
= ，
所以 ＝ ＋ ＝ ＋
1
1
＝ a＋b.
3
3
变式2 本例(1)中，若点F为边AB的中点，设a＝ ，b＝ ，
用a，b表示.
1
2
a＝ −
1
b＝
2
−
4
3
2
3
＝ a−
＝
a
b
2
4
a−
3
3
＝ − ＝
2
3
2
a+
提示：定理中a≠0不能漏掉．
• 若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；
• 若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa.
题型突破
典例深度剖析
向量的数乘运算 课件(1)-人教A版高中数学必修第二册(共24张PPT)
2
2
因为向量 a, b不共线,
所以
t3121
0 0
2
解得 t 1 3
所以,当向量 b ta, 1 a 3 b共线时, t 1
22
3
达标检测
1．下列各式中不表示向量的是( C )
A．0·a
B．a＋3b
C．|3a|
D．x－1 ye(x，y∈R，且 x≠y)
【解析】 向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a|不是向 量．
第六章
人教2019A版必修 第二册
平面向量及其应用
6.2.3 向量的数乘运算
1.向量加法三角形法则: 2.向量加法平行四边形法则:
特点:首尾相接,连首尾
特点:同一起点,对角线
C
ab b
A
a
B
3.向量减法三角形法则:
B
C
b
ab
O
a
A
特点：共起点,连终点,方向指向被减向量
a
bB
BA a b
2．下列计算正确的个数是( C )
①(－3)·2a＝－6a；②2(a＋b)－(2b－a)＝3a；③(a＋2b)－(2b＋
a)＝0.
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】 因为(－3)·2a＝－6a 故①正确；②中左＝2a＋2b－2b
＋a＝3a 成立，故②正确；③中左＝a＋2b－2b－a＝0≠0，故③错误．
探究:实数与向量积的运算律
3(2a) = 6a
a
3(2a)
2a
6a
（1）(a) ()a
探究:实数与向量积的运算律
(2 3)a 2a 3a ?
5a
a
2a
2021年6月人教版高中数学必修四向量数乘运算及其几何意义教学课件
方向放大或缩短.若
,当
沿 的方
向放大了 倍.当 .
沿 的方向缩短了 倍
当
,沿 的反方向放大了 倍.当
沿 的反方向缩短了 倍.由其几何意义可以看出
用数乘向量能解决几何中的相似问题.
新知探究
(1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a为 非零向量)，并进行比较。 (2)已知向量 a,b，求作向量2(a+b) 、2a+2b， 并进行比较。
直线AB∥直线CD
作业： P90练习：3，4，5，6.
入
向量之间的位置关系吗
探
？
究
OAB C
知
三、共线向量定理
：
识
新
授
典型例题
知识应用
例6 如图，已知任意两个非零向量
你能判断A、B、C三点之间的位置 关系吗？为什么？
思路点拨：先利用向量加法作出OA、 OB、OC，通过观察A、B、C三点的位 置关系，再用向量共线证明三点共线 .
解 如图分别作向量OA、OB、OC，过点A、C作直线AC， ： 观察发现点B始终在直线AC上，猜想A、B、C三点共线。
C B A
O
例7如图,
且 解：在
的两条对角线相交于点M,
D
C
M
A
B
方法梳理
1.证明三点共线的方法：
2.解决与向量共线有关的存在性问题的方法： 通常先假设存在，再根据已知条件找等量关系列方程 求解.若有解且与题目条件无矛盾则存在，反之不存在 . 3.本节学习中用到哪些思想方法：
特殊到一般，归纳、猜想、类比， 分类讨论，等价转化.
2021年6月人教版高中数 学必修四向量数乘运算 及其几何意义教学课件
6.2.3向量的数乘运算-【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件(4)
②(m+n)(a+b)-(m+n)(a-b)= 2(m+n)b .
解析:①原式=4a+12b-6c+9a-12b+6c=13a.
②原式=(m+n)[(a+b)-(a-b)]=(m+n)×2b=2(m+n)b.
(2)若 3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,则 x= 4b-3a .
解析:由已知,得 3x+3a+2x-4a-4x+4a4b=0,所以 x+3a-4b=0,所以 x=4b-3a.
类项”是指向量,实数看作是向量的系数.
(2)方程法:向量也可以通过列方程来解,即把所求向量
当作未知数,利用解方程的方法求解,同时在运算过程中多
注意观察,恰当地运用运算律简化运算.
【跟踪训练】
1 1
1.化简 (2a+8b)-(4a-2b) 的结果是(
3 2
A.2a-b
B.2b-a
C.b-a
D.a-b
= -4.
=4
1
2
因为 ke1+2e2 与 8e1+ke2 反向,所以 λ=- ,k=-4.
4.拔高练设两个不共线的向量 e1,e2,若 a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,
c=2e1-9e2,问是否存在实数 λ,μ,使 d=λa+μb 与 c 共线?
解:d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)=(2λ+2μ)e1+(3μ-3λ)e2,
3
,,.
3
1
3
1
6பைடு நூலகம்
1
解析:①原式=4a+12b-6c+9a-12b+6c=13a.
②原式=(m+n)[(a+b)-(a-b)]=(m+n)×2b=2(m+n)b.
(2)若 3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,则 x= 4b-3a .
解析:由已知,得 3x+3a+2x-4a-4x+4a4b=0,所以 x+3a-4b=0,所以 x=4b-3a.
类项”是指向量,实数看作是向量的系数.
(2)方程法:向量也可以通过列方程来解,即把所求向量
当作未知数,利用解方程的方法求解,同时在运算过程中多
注意观察,恰当地运用运算律简化运算.
【跟踪训练】
1 1
1.化简 (2a+8b)-(4a-2b) 的结果是(
3 2
A.2a-b
B.2b-a
C.b-a
D.a-b
= -4.
=4
1
2
因为 ke1+2e2 与 8e1+ke2 反向,所以 λ=- ,k=-4.
4.拔高练设两个不共线的向量 e1,e2,若 a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,
c=2e1-9e2,问是否存在实数 λ,μ,使 d=λa+μb 与 c 共线?
解:d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)=(2λ+2μ)e1+(3μ-3λ)e2,
3
,,.
3
1
3
1
6பைடு நூலகம்
1
向量的数乘运算-高一数学课件(北师大版2019必修第二册)
所以 = + =
3
.
2
即向量与共线且方向相同，
3
长度是向量长度的 倍.
2
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
教材P87练习
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
教材P81练习
1，的大小为的2倍，方向与
Ԧ
相同，
Ԧ
2
的大小为的−
Ԧ
倍，方向与相反，
Ԧ
3
取点, ，使得 = = 1，
分别过点, 作, 的平行线，且两平行线相
交于点，则 = + =
+
，
因为 = = 1，所以四边形为菱形，
所以为∠的平分线.
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
思考探究：数乘运算的运算律
= 3Ԧ + 3 −
1
Ԧ
2
+
1
2
2
− Ԧ =
3
Ԧ
2
7
+ ；
2
(3)依题得 2λ − Ԧ − λ − λ − Ԧ −
= 2λԦ − Ԧ − λ − λ Ԧ − + Ԧ −
= 2λԦ − Ԧ − λ − λԦ + λ + Ԧ − = λԦ − .
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
教材P94例题
例2 设是未知向量，解方程Ԧ + Ԧ − 3 Ԧ − = 0；
解：原式可变形为
Ԧ + Ԧ − 3Ԧ + 3 = 0，
即2Ԧ = Ԧ + 3，
1
3
即Ԧ = Ԧ + .
人教版高中数学必修2《向量的数乘运算》PPT课件
)
2.4(a-b)-3(a+b)-b等于(
)
A.a-2b B.a
C.a-6b D.a-8b
答案 D
解析 原式=4a-4b-3a-3b-b=a-8b.
1
3.在△ABC 中,D 是 AB 边上一点.若 = , = +λ,则
2
λ=
.
1
答案
2
解析 ∵ = ,∴D 是 AB 的中点.
|| ||
,则是以 A 为起点,向量
与
所在线段为邻边的菱形对角线对应
|| ||
的向量,即在∠BAC 的平分线上.
∵=λ,∴, 共线.
∴点 P 的轨迹一定通过△ABC 的内心.
方法点睛 (1)三角形的内心:三角形内切圆的圆心,三角形三条角平分线的
交点,内心到三角形三边的距离相等.
=x+y 且 x+y=1.
2.利用向量共线求参数的方法
判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ,
使得b=λa(a≠0).而已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向
量系数相等求解,利用待定系数法建立方程,从而解方程求得λ的值.若两向
量不共线,必有向量的系数为零.
(2)三角形的外心:三角形外接圆的圆心,三角形三条边的中垂线的交点,外
心到三角形三个顶点的距离相等.若M是△ABC内一点,且满足
||=| |=| |,则点 M 为△ABC 的外心.
(3)三角形的垂心:三角形三条高线的交点.
(4)三角形的重心:三角形三条中线的交点.若 G 是△ABC 内一点,且满足 +
C.b-a D.a-b
(2)已知2a-b=m,a+3b=n,那么a,b用m,n可以表示为
向量的数乘运算高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册
4－32a＋－3＋31＋74b
＝
2 3
52a－1112b＝53a－1118b.
(2)把已知中的两个等式看成关于 m，n 的方程，联立得方程组
3m＋2n＝a， m－3n＝b，
解得mn＝＝111311aa－＋113211bb.，
答案：(1)见解析 (2)131a＋121b 111a－131b
(2)若 3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中 a，b 是已知向量， 则 m＝1_31_a_＋__1_21_b_，n＝_1_11_a_－__13_1_b.
2.3.1 向量的数乘运算
新知初探-课前预习
[教材要点]
要点一 数乘运算的定义 1．定义：实数λ与向量 a 的乘积是一个向量，记作__λ_a_____，满 足以下条件： (1)当λ>0 时，向量λa 与向量 a 的方向___相__同___； 当λ<0 时，向量λa 与向量 a 的方向____相__反__； 当λ＝0 时，0a＝___0_____. (2)|λa|＝__|λ_||_a_| ___，这种运算称为向量的数乘．
2．λa 几何意义：
当 λ>0 时，表示向量 a 的有向线段在___原_____方向伸长或缩短为
原来的|λ|倍．
当 λ<0 时，表示向量 a 的有向线段在____反____方向伸长或缩短为
原来的|λ|倍．
a
3．非零向量 a 的单位向量：___±_|a_|___.
要点二 数乘运算的运算律
向量的数乘的运算律
设 λ，μ 为实数，那么 (1)结合律：λ(μ a)＝_(_λ_μ_)a____； (2)第一分配律：(λ＋μ)a＝_λa_＋__μ__a__； (3)第二分配律：λ(a＋b)＝_λa_＋__λ_b___. 特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
人教A版2025高中数学必修二6.2.2 向量的数乘运算 课件
1
向量的数乘
向量数乘的几何意义
如图，在向量数乘中，|| 可视为将向量 的长度伸长
(|| ≥ ) 或缩短 (|| ≤ ) 的倍数.
的符号表示是够改变向量的方向，当 > 时，向量 的方向和
相同；当 < 时，向量 的方向和向量 相反；当 = 时，向量 =
③当 = 时，若 = ，则对一切的实数 ，都有 = ，与“有唯
一 一个实数 ”矛盾.
3
向量共线定理
向量共线的条件
【1】当向量 = 时， 与任意向量 共线；
【2】当向量 ≠ 时，对于向量 ，如果有一个实数 ，使 = ，那么由
向量数乘的定义知 与 共线.
【解】(1)原式= + − + =
(2)原式= ( + − + )
=
(− + )
= +
2
向量的线性运算
线性运算
向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算，线性运算的结果还
是向量.对于任意向量 ， ，以及任意实数 ， ， ，恒有以下等式成立：
★ 结合率的几何意义：将表示向量 的有向线段先伸长或缩短至原来的 倍，再伸长或
缩短 倍，与将表示向量 的有向线段伸长或缩短至原来的 倍所得的结果相同.
★ 第一分配率的几何意义：将表示向量 的有向线段伸长或缩短至原来的 ( + ) 倍，与
将表示向量 的有向线段先伸长或缩短至原来的 倍后，在与表示向量 的有向线段
3
向量共线定理
向量共线定理
向量的数乘运算 高一数学(北师大版2019必修第二册)
非零向量)，并进行比较。
(2) 已知向量 a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，
并进行比较。 a
3(2a)
b
a
3(2a)
=
6a
2a 2b
ab
2b
2(a b ) 2a 2b 2a
数乘运算的几何意义：
a
数乘向量的几何意义就是把向量a 沿a 的方向或反 方向放大或缩短.若 a 0 ,当 1时，沿 a 的方
向放大了 倍.当〈0 〈1时，沿 a 的方向缩短了 倍.
当 1时,沿 a 的反方向放大了 倍.当〈1 〈0时， 沿a 的反方向缩短了 倍.由其几何意义可以看出
用数乘向量能解决几何中的相似问题.
二、数乘运算的运算律:
设 a、b 为向量，λ、μ为实数，则有： 结合律 λ(μa) (λμ)a
第一分配律 λ(a b) λa λb 第二分配律 (λ μ)a λa μa
(2) 1 (a b) 1 (a b)
2
2
2 设 是未知向量,解方程
解 原式可变形为
5x 5a 3x 3b 0，
8x 5a 3b，
x 5 a 3 b． 88
3.解关于 的方程：
(1)3(a x) x (2)x 2(a x) 0
4：计算下列各式
(1)(3) 4a
非零向量 a 的单位向量
与 a 同方向且长度为 1 的向量，通常记做 a0 ．
a0
|
a a
|
向量的加法、减法和实数与向量积的 综合运算，通常叫作向量的线性运算.
对于任意的向量 a,b以及任意实数λ，μ1， μ2 ，恒有
λ(μ1a μ2 b) λμ1a λμ2 b
例1 如图，已知 a 、 b , 作 3 a －2 b