插值与拟合2012

分析： 由于所给的这几个值范围很小，故我们可以考虑用线性函数逼近正弦函数 （即用线性函数近似的代替正弦函数），于是容易得到：
sin 35 16 ' sin 35 10 ' (sin 35 20 ' sin 35 10 ') 10 6
＝0.5760＋（0.5783－0.5760）×0.6＝0.5774 这就用到一种插值方法：分段线性插值。插值可以理解为：根据实验获得的数据，计 算出表中没有的函数值。
键入的程序为： 1100
t=[20.5 32.5 51 73 95.7];
1000
r=[765 826 873 942 1032];
900
plot(t,r,’k+’)
800
xlabel(‘t’),ylabel(‘r’)
700
20
40
60
80
100
从所生成的图形中可以看出，R 与 t 近似的成线性，因而我们可以写出 R 与 t 的关系式：
互不相同，不妨设ax 0 x 1 x n b ), 求任一插值点 x * ( x j ) 处的插值 y * .
y*
y1
y0 •
• •
x0 x1 x*
• •
xn
节点可视为由
y g(x)产生,
g表达式复杂,
或无表达形式。
求解的基本思路
构造一个(相对简单的)函数 y f (x), 通过全部节点, 即
f(x j) y j (j 0 ,1 , n ) 再用 f (x) 计算插值，即 y* f (x*).
若引进记号：
l0 (x)
x x1 , x0 x1
l1 ( x)
来自百度文库
x x0 x1 x0
则（3）式可以写成： L1(x) y0l0 (x) y1l1(x)
（4）
显然 l0 (x0 ) 1, l0 (x1) 0 ， l1(x0 ) 0, l1(x1) 1 ，称 l0 (x), l1(x) 为基函数。
1.2 .1 一般情形
与构造线性插值多项式类似，构造n次多项式
Ln (x)= y0l0 (x) y1l1(x)
ynln (x)
n
yili (x)
i0
（5）
这是不超过 n 次的多项式，其中基函数
(x lk (x) = (xk
x 0)( x x 0)( xk
x1)...( x x1)...( xk
xk 1)(x xk 1)...(x xn) xk 1)(xk xk 1)...(xk xn)
y*
y1
y0 •
• •
• •
x0 x1 x*
xn
返回
拉格朗日(Lagrange)插值
一般的，若已知 y=f(x)在互异的 n＋1 个点 (x j , y j ), j 0,1,..., n, ，则可以考虑构造一
个过这 n＋1 个点的次数不超过 n 的多项式 y Ln (x) ，使其满足：
Ln (xk ) yk , k 0,1, , n
实验六 插值与拟合
实验内容：1.插值的基本原理； 三种插值方法：拉格朗日插值，分段线 性插值，三次样条插值。
2.插值的MATLAB 实现及插值的应用。 3.拟合的基本原理； 4.拟合的MATLAB 实现及拟合的应用。 实验目的：掌握插值与拟合的方法以及如何用 MATLAB实现。
插值的含义：
导言
例 1：已知 sin 35 10' 0.5760,sin 35 20' 0.5783 ，求sin 35 16' 的值。
函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作 为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同 的。
插值
一、插值的的提法与思路 二、插值的方法 拉格朗日插 值
分段线性插值 三次样条插值 三、Matlab在插值中的应用
插值问题的提法
已知 n+1个节点 (xj,yj)(j 0 ,1 , n ,其中 x j
拟合的含义：
例 2：有一只对温度敏感的电阻，已经测得了一组温度 t 和电阻 R 的数据如下：
t( C)
20.5
32.7
51.0
73.0
95.7
R( )
765
826
873
942
1032
请问在 60 C 时电阻有多大？
分析：若仍用上题的解法，数据的跨度较大，这样产生的误差必然很大。现在，用我们
所学的 MATLAB 将这五个点在坐标轴中描绘出来，看看 R 与 t 之间有什么样的关系
R=at + b (其中 a，b 为待定的参数) 由于测量误差的存在，此直线不可能通过所有的节点，这与插值曲线要通过全部的节点
不同。故曲线拟合可以理解为根据一组（二维）数据，即平面上的若干点，确定一个一元
函数，即曲线，使曲线总体与这些点尽量靠近。
拟合与插值的关系
问题：给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或曲面 解决方案： •若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，就是插值问题； •若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象 整体的变化趋势，这就是数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟合。
g (n (n
1) ( ) 1)!
n
1(x)
其中 ∈(a,b)且依赖于 x， n 1(x) =（x-x0）(x-x1)…(x-xn)
若可以估计： g(n 1) ( ) Mn 1 ，
则： Rn (x)
Mn 1
n
|x
(n 1)! j 0
（1）
然后用 Ln (x) 作为准确值 f(x)的近似值，这样构造出来的多项式 Ln (x) 称为 f (x)的 n 次拉格
朗日插值多项式或插值函数。
分析如下：
结论：满足（1）的次数不超过n的多项式是存在且唯一的。
1.1 线性插值公式
已知函数 y=f(x)在互异的两个点 (x0 , y0 ), (x1, y1) ，求一个次数不超过 1 的多项式 y L1(x) ，使其满足：
L1(x0 ) y0 ， L1(x1) y1
用点斜式可写出过点 (x0 , y0 ), (x1, y1) 的直线方程：
将它写成对称式，为
y
y0
y1 x1
y0 (x x0
x0 )
L1 ( x)
y0
x x0
x1 x1
x y1 x1
x0 x0
（3）
我们称（3）式为拉格朗日线性插值函数或一次拉格朗日插值公式。
1(i k)
显然 lk (xi ) 满足 lk (xi ) = 0(i
，当 n＝1 时（5）式就是我们的（3）式。
k)
称（5）式为拉格朗日插值多项式，用Ln (x)计算插值称为拉格朗日插值。
注：当n＝2时，（5）为三点二次(抛物)插值多项式
1.2 .2 误差分析
利用泰勒展开可以推出，误差
Rn(x)=g(x)-Ln(x)=