插值与拟合2012
计算方法第五章 插值与拟合
（2）li ( x j ) ij ( j 0,1,, n).
(5.9)
其中： ij
2021年6月26日星期六
1,i 0,i
j, j.
整理课件
11
我们不采用求解方程组(5.3)的方法求解li (x),而是根据li (x) 必须满足式(5.9)这一特点来构造li (x)。由式(5.9)知，x0 , x1 ,, xi1 , xi1 ,, xn 是li (x)的n个互异零点，且li (x)为n次多项式，所
Ln (x) y0l0 (x) y1l1(x) ... ynln (x).
(5.12)
由于基函数li (x)(i 0,1,..., n)都是n次多项式，且li (x j ) ij ,
因此Li (x)是次数不超过n次的多项式，且满足
Ln (xi ) yi
(i 0,1,..., n).
2021年6月26日星期六
2021年6月26日星期六
整理课件
7
插值余項
在[a,b]上用Pn (x)近似表示f (x)，在插值节点xi处是 没有误差的，即f (xi ) Pn (xi )(i 0,1,, n)。但在其它点 x处，一般f (x)与Pn (x)不相等（如图5.1）
记Rn (x) f (x) Pn (x) (5.4) 称Rn (x)为插值多项式的余项或 截断误差。
整理课件
14
这表明式(5.12)就是满足插值条件式(5.11)的多项式插值函数，它是插值基函数 的线性组合。
由插值多项式的存在唯一性知，将Ln(x)化简成n次多项式标准形式(5.2)后， 与用求解方程组(5.3)而得的插值多项式是相同的，称形如式(5.12)的插值多项式 Ln(x)为拉格朗日插值多项式。
插值与拟合
且 f(1.5) ≈L1(1.5) = 0.885。
Lagrange插值法的缺点
• 多数情况下，Lagrange插值法效果是不错的， 但随着节点数n的增大，Lagrange多项式的次 （Runge）现象。
• 例：在[-5,5]上用n+1个等距节点作插值多项 式Ln(x),使得它在节点处的值与函数y = 1/(1+25x2)在对应节点的值相等，当n增大时， 插值多项式在区间的中间部分趋于y(x)，但 对于满足条件0.728<|x|<1的x， Ln(x)并不趋 于y(x)在对应点的值，而是发生突变，产生 剧烈震荡，即Runge现象。
总结
• 拉格朗日插值：其插值函数在整个区间 上是一个解析表达式；曲线光滑；收敛 性不能保证，用于理论分析，实际意义 不大。
• 分段线性插值和三次样条插值：曲线不 光滑（三次样条已有很大改进）；收敛 性有保证；简单实用，应用广泛。
1.2 二维插值
• 二维插值是基于一维插值同样的思想， 但是它是对两个变量的函数Z=f(x,y)进 行插值。
• n=5; • x0=-1:1/(n-1):1;y0=1./(1+25*x0.^2);y1=lagr(x0,y0,x); • subplot(2,2,2), • plot(x,z,'r-',x,y,'m-'),hold on %原曲线 • plot(x,y1,'b'),gtext('L8(x)','FontSize',12),pause %Lagrange曲线
基函数为
l0 (x)
x x1 x0 x1
x2 1 2
2
x
l1(x)
线性插值函数为
数学建模～插值与拟合(课件ppt)
• 代数多项式插值是最常用的插值方式，其内容也 是最丰富的，它又可分为以下几种插值方式： （1）非等距节点插值，包括拉格朗日插值、利用 均差的牛顿插值和埃特金插值； （2）非等距节点插值，包括利用差分的牛顿插值 和高斯插值等； （3）在插值中增加了导数的Hermite（埃尔米特） 插值； （4）分段插值，包括分段线性插值、分段Hermite （埃尔米特）插值和样条函数插值； （5）反插值。 • 按被插值函数的变量个数还可把插值法分为一元 插值和多元插值。
引言2---插值和拟合的联系与区别
联系：二者都是函数逼近的主要方法
• 区别： •运算过程上的区别：
– 拟合：是将数据点用最恰当的曲线描述出来，以反映问题的规律， 是特殊到一般的过程。 – 插值：是在知道曲线的形状后得出某些具体点的性质的过程,是 从一般到特殊。
•求解误差上的区别：
– 拟合：考虑观察值的误差（误差不可避免时）。以偏差的某种最 小为拟合标准
n n ik
0 i k 而： lk xi 1 i k
22
例1
x1 1, x2 2, x3 4, f ( x1 ) 8, f ( x2 ) 1, f ( x3 ) 5
求二次插值多项式。
解:
按拉格朗日方法，有：
L( x) y1l1 x y2l2 x y3l3 x ( x 2)( x 4) ( x 1)( x 4) ( x 1)( x 2) 8 1 5 (1 2)(1 4) (2 1)(2 4) (4 1)(4 2) 3x 2 16 x 21
4.2 插值方法 选用不同类型的插值函数，逼近的效 果就不同，一般有： （1）拉格朗日插值（lagrange插值） （2）分段线性插值 （3）Hermite （4）三次样条插值。
插值与拟合
常用方法——最小二乘法拟合
令： f (x) a1r1(x) a2r2 (x) .... amrm (x)
其中：rk(x)为事先选定的一组关于x的函数，ak为系数，
即求解ak，使下式最小
m
2
J (a1, a2 ,...,am ) min [ f ( xi ) yi ]
i 1
即使：
J 0, k (0, k ) ak
拉格朗日插值法
已知x0、x1、x2、x3、、、xn和y0、y1、y2、y3、、、yn 则可以构造一个经过这n+1个点的次数不超过n的多 项式y=Ln(x),使其满足：
Ln(xk)=yk,k=0、1、2、、、n •这样的Ln(x)就是通过拉格朗日插值得到的函数关系 •这样的方法叫做拉格朗日插值
注： 通过上述方法可得到一个次数不超过n的多项
2
1 n1
m1 1 (1 1)m1
m2
2 (1 2 )m2
n2
2
..
mn
1
n1
(1
n 1 )mn 1
3.代入原式
用matlab解插值
基本格式：Interp1(x,y,cx,'methed')
其中：x,y为已知的坐标 cx为待插值的点的横坐标 methed为插值方法，有如下：
10
11
12
13
14
15
16
10.20 10.32 10.42 10.50 10.55 10.58 10.60
解 ：数据点描绘
11
10
9
8
7
6
5
4
0
2
4
6
8
10
12
14
《插值与拟合》课件
拟合的方法
1
最小二乘法
通过最小化残差平方和，找到与数据最匹配的函数。
2
局部加权回归
给予附近数据点更高的权重，拟合接近局部数据点的函数。
3
多项式拟合
用多项式函数逼近数据，通过选择合适的次数实现拟合。
插值与拟合的误差分析
插值和拟合都会引入近似误差，需要评估误差范围和影响因素。
插值与拟合在数据处理与分析中的应用
数据分析
通过插值和拟合方法对数据进 行探索和分析。
数据处理
在数据处理过程中使用插值和 拟合技术来填充缺失值和平滑 数据。
数据建模
利用插值和拟合模型对数据特 征进行捕捉和预测分析。
插值与拟合的推广和发展前景
随着数据科学和人工智能的不断发展，插值和拟合在各个领域的应用前景越 来越广阔。
插值与拟合的应用范围
科学研究
用于数据分析、信号优化设计、近似计算和 效能提升。
经济金融
用于市场分析、预测模型和 风险评估。
插值的方法
1
拉格朗日插值
基于多项式插值公式，用拉格朗日多项式逼近函数。
2
牛顿插值
基于差商的概念，用多项式逼近函数的值。
3
分段插值
将插值区间划分为多个子区间，并在每个子区间上进行插值。
《插值与拟合》PPT课件
插值与拟合是数值计算和数据分析中重要的概念。
插值与拟合的概念
插值
通过已知值的推算，计算在未知点的近似值。
拟合
通过曲线或曲面拟合已知数据，以描述和预 测未知数据。
插值与拟合的区别与联系
1 区别
2 联系
插值重点关注已知点的准确性，而拟合则 着重于整体形状的拟合。
插值和拟合都通过数学模型逼近离散数据， 以实现数据的补全和预测。
插值与拟合方法
插值与拟合方法在实际中，常常要处理由实验或测量所得到的一批离散数据．插值与拟合方法就是要通过这些数据去确定某一类已知函数的参数或寻找某个近似函数，使所得到的近似函数与已知数据有较高的拟合精度．插值问题:要求这个近似函数（曲线或曲面）经过所已知的所有数据点．通常插值方法一般用于数据较少的情况．数据拟合：不要求近似函数通过所有数据点，而是要求它能较好地反映数据的整体变化趋势。
共同点：插值与拟合都是根据实际中一组已知数据来构造一个能够反映数据变化规律的近似函数的方法，由于对近似要求的准则不同，因此二者在数学方法上有很大的差异．插值问题的一般提法：已知某函数)(x f y =（未知）的一组观测（或试验）数据),,2,1)(,(n i y x ii⋅⋅⋅=，要寻求一个函数)(x φ，使iiy x =)(φ),,2,1(n i ⋅⋅⋅=，则)()(x f x ≈φ．实际中,常常在不知道函数)(x f y =的具体表达式的情况下，对于i x x =有实验测量值iy y =),,2,1,0(n i ⋅⋅⋅=，寻求另一函数)(x φ使满足：)()(i i i x f y x ==φ),,2,1,0(n i ⋅⋅⋅=称此问题为插值问题，并称函数)(x φ为)(x f 的插值函数，nx x x x ,,,,21⋅⋅⋅称为插值节点，),,2,1,0()(n i y x ii⋅⋅⋅==φ称为插值条件，即)()(iiix f y x ==φ),,2,1,0(n i ⋅⋅⋅=，则)()(x f x ≈φ．（1） 拉格朗日（Lagrange ）插值设函数)(x f y =在1+n 个相异点nx x x x ,,,,21⋅⋅⋅上的函数值为ny y y y ,,,,21⋅⋅⋅，要求一个次数不超过n 的代数多项式nnnx a x a x a a x P +⋅⋅⋅+++=221)(使在节点i x 上有),,2,1,0()(n i y x P ii n ⋅⋅⋅==成立，称之为n 次代数插值问题，)(x P n称为插值多项式．可以证明n 次代数插值是唯一的．事实上: 可以得到j n j n i i j in y x x xx x P j i ∑∏==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=≠00)()( 当1=n 时，有二点一次（线性）插值多项式：101001011)(y x x x x y x x x x x P --+--=当n =2时，有三点二次（抛物线）插值多项式：2120210121012002010212))(())(())(())(())(())(()(y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x x P ----+----+----=（2）牛顿（Newton ） 插值牛顿插值的基本思想：由于)(x f y =关于二节点10,x x 的线性插值为)()()()()()()()()(00101000010101x x x x x f x f x p x x x x x f x f x f x p ---+=---+= 假设满足插值条件)2,1,0()()(2===i x p y x f iii的二次插值多项式一般形式为))(()()(1212x x x x c x x c c x p --+-+= 由插值条件可得⎪⎩⎪⎨⎧=--+-+=-+=)())(()()()()(21202202101011000x f x x x x c x x c c x f x x c c x f c 可以解出⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧------=--==020101121220101100)()()()()()(),(x x x x x f x f x x x f x f c x x x f x f c x f c所以))(()())(()()(10211020102x x x x c x p x x x x c x x c c x p --+=--+-+=类似的方法，可以得到三次插值多项式等，按这种思想可以得到一般的牛顿插值公式．函数的差商及其性质对于给定的函数)(x f ，用),,,(10n x x x f ⋅⋅⋅表示关于节点nx x x ,,,1⋅⋅⋅的n 阶差商，则有一阶差商：01011)()(),(x x x f x f x x f --=，121221)()(),(x x x f x f x x f --= 二阶差商：021021210),(),(),,(x x x x f x x f xx x f --=n 阶差商：0110211),,,(),,,(),,,(x x x x x f x x x f x x x f n n n n -⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-差商有下列性质：（1）差商的分加性：∑∏=≠=-=⋅⋅⋅nk nk j j j kk n x xx f xx x f 0)(01)()(),,,(．（2）差商的对称性：在),,,(1nx x x f ⋅⋅⋅中任意调换jix x ,的次序其值不变．牛顿插值公式： 一次插值公式为))(,()()(01001x x x x f x f x p -+=二次插值公式为))()(,,()())()(,,())(,()()(1021011021001002x x x x x x x f x p x x x x x x x f x x x x f x f x p --+=--+-+=于是有一般的牛顿插值公式为)())()(,,,()()())()(,,,())()(,,())(,()()(11010111010102100100----⋅⋅⋅--⋅⋅⋅+=-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+--+-+=n n n n n n x x x x x x x x x f x p x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x p可以证明：其余项为))(())()(,,,,()(11010n n n x x x x x x x x x x x x f x R --⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=-实际上，牛顿插值公式是拉格朗日插值公式的一种变形，二者是等价的．另外还有著名的埃尔米特（Hermite ）插值等．（3）样条函数插值方法样条，实质上就是由分段多项式光滑连接而成的函数，一般称为多项式样条．由于样条函数的特殊性质，决定了样条函数在实际中有着重要的应用．样条函数的一般概念定义 设给定区间],[b a 的一个分划b x x x a n=<⋅⋅⋅<<=∆1:，如果函数)(x s 满足条件：(1) 在每个子区间),,2,1](,[1n i x x ii ⋅⋅⋅=-上是k 次多项式； (2) )(x s 及直到k -1阶的导数在],[b a 上连续．则称)(x s 是关于分划△的一个k 次多项式样条函数，nx x x ,,,1⋅⋅⋅称为样条节点，121,,,-⋅⋅⋅n x x x 称为内节点，nx x ,0称为边界节点，这类样条函数的全体记作),(k S P∆，称为k 次样条函数空间．若),()(k S x s P∆∈，则)(x s 是关于分划△的k 次多项式样条函数．k 次多项式样条函数的一般形式为∑∑=-=+-+=ki n j k j jii k x x k i x x s 011)(!!)(βα其中),,1,0(k i i=α和)1,,2,1(-=n j jβ均为任意常数，而)1,,2,1(,0,)()(-=⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-+n j x x x x x x x x jj kj kj在实际中最常用的是2=k 和３的情况，即为二次样条函数和三次样条函数． 二次样条函数：对于],[b a 上的分划b x x x a n=<⋅⋅⋅<<=∆1:,则)2,()(!2!2)(11222102∆βαααP n j j jS x x x x x s ∈-+++=∑-=+其中)1,2,1(,0,)()(22-=⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-+n j x x x x x x x x j j j j ． 三次样条函数：对于],[b a 上的分划b x x xa n =<⋅⋅⋅<<=∆10:,则)3,()(!3!3!2)(1133322103∆βααααP n j j jS x x x x x x s ∈-++++=∑-=+其中)1,2,1(,0,)()(33-=⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-+n j x x x x x x x x jjj j ．1 二次样条函数插值)2,()(2∆∈P S x s 中含有2+n 个待定常数，故应需要2+n 个插值条件，因此，二次样条插值问题可分为两类：问题(1)：已知插值节点ix 和相应的函数值),,2,1,0(n i y i⋅⋅⋅=，以及端点0x (或n x )处的导数值0'y (或ny ')，求)2,()(2∆∈PS x s 使得⎩⎨⎧'=''='⋅⋅⋅==))(()(),,2,1,0()(20022n n i i y x s y x s n i y x s 或（5.1）问题(2)：已知插值节点ix 和相应的导数值),,2,1,0(n i y i⋅⋅⋅='，以及端点0x (或n x )处的函数值0y (或ny )，求)2,()(2∆∈P S x s 使得⎩⎨⎧==⋅⋅⋅='='))(()(),,2,1,0()(20022n n i i y x s y x s n i y x s 或(5.2)事实上，可以证明这两类插值问题都是唯一可解的．对于问题(1)，由条件(5.1)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧'=+='==-+++==++==++=∑-=00210211222102121211112020201002)(,,3,2,)(2121)(21)(21)(y x x s n j y x x x x x s yx x x s y x x x s j j i i j i jj j ααβααααααααα 引入记号T n ),,,,,(11210-=ββααα X 为未知向量，T nn y y y y ),,,,(10'= C 为已知向量， ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-0010)(21)(21211)(212110211211021212212222211200x x x x x x x x x x x x x x x n n n n n A 于是，问题转化为求方程组C AX =的解Tn ),,,,,(1121-=ββααα X 的问题，即可得到二次样条函数的)(2x s 的表达式．对于问题(2)的情况类似．２．三次样条函数插值由于)3,()(3∆∈P S x s 中含有3+n 个待定系数，故应需要3+n 个插值条件，因此可将三次样条插值问题分为三类： 问题(1)：已知插值节点jx 和相应的函数值),,2,1,0(n j y j⋅⋅⋅=，以及两个端点0x ，n x 处的导数值0'y ，ny '，求)3,()(3∆∈PS x s 使满足条件⎪⎩⎪⎨⎧='='⋅⋅⋅==),0()(),,1,0()(33n j y x s n j y x s j j j j(5.3)问题(2)：已知插值节点jx 和相应的函数值),,2,1,0(n j y j⋅⋅⋅=，以及两个端点0x ，nx 处的二阶导数值0y ''，n y ''，求)3,()(3∆∈PS x s 使满足条件⎪⎩⎪⎨⎧=''=''⋅⋅⋅==),0()(),,1,0()(33n j y x s n j y x s j j j j(5.4)问题(3)：类似地，求)3,()(3∆∈PSx s 使满足条件⎪⎩⎪⎨⎧=+=-==)2,1,0)(0()0(),,1,0()(0)(3)(33k x s x s n j y x s k n k j j(5.5)这三类插值问题的条件都是3+n 个，可以证明其解都是唯一的〔8〕．一般的求解方法可以仿照二次样条的情况处理方法，在这里给出一种更简单的方法．仅依问题(1)为例，问题(2)和问题(3)的情况类似处理．由于在)3,()(3∆PS x s ∈区间],[b a 上是一个分段光滑，且具有二阶连续导数的三次多项式，则在子区间],[1+j jx x 上)(3x s ''是线性函数，记),,,1,0)((3n j x s d jj =''=为待定常数．由拉格朗日插值公式可得nj x x h h x x d h x x d x s j j j jj j jj j ,,1,0,,)(1113=-=-+-=''+++显然jjj h d dx s -='''+13)(在],[1+j jx x上为常数．于是在],[1+j j x x 上有31233)(6)(2))(()(j jjj j j j j j x x h d d x x d x x x s y x s --+-+-'+=+(5.6)则当1+=j x x 时，由(5.6)式和问题(1)的条件得121231362)()(+++=-++'+=j j jj j j j j j j y h d d h d h x s y x s故可解得)2(6)(113+++--='j j j jjj j d d h h y y x s（5.7）将(5.7)式代入(5.6)式得)1,,1,0](,[,)(6)(2)()2(6)(1312113-=∈--+-+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--+=++++n j x x x x x h d d x x d x x d d h h y y y x s j j j jj j j jj j j j j j j j(5.8) 在],[1j j x x-上同样的有),,2,1](,[,)(6)(2)()2(6)(131112111111113n j x x x x x h d d x x d x x d d h h y y y x s j j j j j j j j j j j j j j j j =∈--+-+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--+=------------(5.9) 根据)(3x s的一阶导数连续性，由(5.9)式得)()2(6)0(311113j j j j j j j j x s d d h h y y x s '=++-=-'---- 结合(5.7)式整理得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=++++--+-+----11111111162j j j j j j j j j j j j j j j j j h y y h y y h h d h h h d d h h h 引入记号⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=+=--+--111116,j j j j j j j j j j j j j h y y h y y h h c h h h a ，111--+=-j j j j h h h a ．则)1,,2,1(,2)1(11-==++-+-n j c d a d d a j j j j j j（5.10）再由边界条件：nny x s y x s '=''=')(,)(33得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--'=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'--=+----111100010106262n n n n n n n h y y y h d d y h y y h d d(5.11)联立(5.10),(5.11)式得方程组C D A =⋅（5.12）其中⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=----2121212112112200n n n n a a a a a aA ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-n n d d d d 110 D ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'--=----111110001066n n n n n n hy y y h c c y h y y h C 由方程组(6.12)可以唯一解出),,1,0(n j d j=，代入（5.8）式就可以得三次样条函数)(3x s 的表达式．Ｂ样条函数插值方法磨光函数实际中的许多问题，往往是既要求近似函数（曲线或曲面）有足够的光滑性，又要求与实际函数有相同的凹凸性，一般插值函数和样条函数都不具有这种性质．如果对于一个特殊函数进行磨光处理生成磨光函数（多项式），则用磨光函数构造出样条函数作为插值函数，既有足够的光滑性，而且也具有较好的保凹凸性，因此磨光函数在一维插值（曲线）和二维插值（曲面）问题中有着广泛的应用．由积分理论可知，对于可积函数通过积分会提高函数的光滑度，因此，我们可以利用积分方法对函数进行磨光处理．定义 若)(x f 为可积函数，对于0>h ，则称积分⎰+-=22,1)(1)(hx h x h dt t f h x f为)(x f 的一次磨光函数，h 称为磨光宽度．同样的，可以定义)(x f 的k 次磨光函数为)1()(1)(22,1,>=⎰+--k dt t f h x f hx h x h k h k事实上，磨光函数)(,x f h k 比)(x f 的光滑程度要高，且当磨光宽度h 很小时)(,x f h k 很接近于)(x f ．等距Ｂ样条函数对于任意的函数)(x f ，定义其步长为１的中心差分算子δ如下：⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2121)(x f x f x f δ在此取0)(+=x x f ，则002121+++⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x δ是一个单位方波函数（如图5-1），记0)(+=Ωx x δ．并取1=h ，对)(0x Ω进行一次磨光得++++-+++-+++--+-+=-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⎰⎰⎰⎰)1(2)1(2121)()(11212100212101x x x dt t dt t dt t t dt t x x xx x x x x x ΩΩ显然)(1x Ω是连续的（如图5-2）．)(1x Ωo1-1/2 0 1/2 x -1 0 1 x 图5-1图5-2类似地可得到k 次磨光函数为kk j jk j k j k x k C x ++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-=Ω∑21!)1()(11 实际上,可以证明：)(x kΩ是分段k 次多项式，且具有1-k 阶连续导数，其k 阶导数有2+k个间断点，记为)1,,2,1,0(21+⋅⋅⋅=+-=k j k j x j．从而可知)(x kΩ是对应于分划+∞<<⋅⋅⋅<<<-∞∆+110:k x x x 的k 次多项式样条函数，称之为基本样条函数，简称为k 次Ｂ样条．由于样条节点为)1,,2,1,0(21+⋅⋅⋅=+-=k j k j xj是等距的，故)(x k Ω又称为k 次等距Ｂ样条函数．对于任意函数)(x f 的k 次磨光函数，由归纳法可以得到 [4,8] ：⎪⎭⎫⎝⎛+≤≤--Ω=⎰∞+∞--22)()(1)(1,h x t h x dt t f htx h x f k h k 特别地，当1)(=x f 时，有1)(11⎰+∞∞--=-dt htx hk Ω，从而1)(⎰+∞∞-=dx x k Ω，且当k ≥1时有递推关系⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-Ω⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛+Ω⎪⎭⎫ ⎝⎛++=Ω--212121211)(11x x k x k x k x k k k一维等距Ｂ样条函数插值等距Ｂ样条函数与通常的样条如下的关系： 定理设有区间],[b a 的均匀分划nab h n j jh x x j -=⋅⋅⋅=+=),,,1,0(:0∆，则对任意 k 次样条函数),()(k S x S p k ∆∈都可以表示为Ｂ样条函数族1021-=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛+---n j k j k k j h x x Ω的线性组合[14]．根据定理 5.1,如果已知曲线上一组点()jjy x ,，其中),,1,0,0(0n j h jh x x j⋅⋅⋅=>+=，则可以构造出一条样条磨光曲线（即为Ｂ样条函数族的线性组合）⎪⎭⎫⎝⎛--=∑--=j h x x c x S n kj k j k 01)(Ω 其中)1,,1,(-⋅⋅⋅+--=n k k j c j为待定常数．用它来逼近曲线，既有较好的精度，又有良好的保凸性．实际中，最常用的是3=k 的情况，即一般形式为⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑+-=j h x x c x S n j j 01133)(Ω 其中3+n 个待定系数)1,,0,1(+⋅⋅⋅-=n j c j可以由三类插值条件确定．由插值条件(5.3)得()()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧'=-'='==-='=-'='∑∑∑+-=+-=+-=n n j j n i n j j i n j j y j n c h x S ni y j i c x S y j c h x S 113311330113031)(,,1,0,)(1)(ΩΩΩ(5.13)注意到)(3x Ω的局部非零性及其函数值：61)1(,32)0(33=±=ΩΩ，当2≥x 时0)(3=x Ω；且由)21()21()(223--+='x x x ΩΩΩ知，21)1(,0)0(33=±'='ΩΩ，当2≥x 时0)(3='x Ω．则(5.13)中的每一个方程中只有三个非零系数，具体的为⎪⎩⎪⎨⎧'=+-==++'=+-+-+--n n n i i i i y h c c n i y c c c y h c c 2,,1,0,6421111011(5.14)由方程组(5.14)容易求解出)1,,0,1(+⋅⋅⋅-=n j c j，即可得到三次样条函数)(3x S 表达式．类似地，由插值条件(5.4)得待定系数的)1,,0,1(+⋅⋅⋅-=n j c j所满足的方程组为⎪⎩⎪⎨⎧''=+-==++''=+-+-+--nn n n i i i i y h c c c n i y c c c y h c c c 21111021012,,1,0,642（5.15）由插值条件(5.5)得待定系数的)1,,0,1(+⋅⋅⋅-=n j cj所满足的方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=-+---=-++-=-+-+-+-+--+--+--ni y c c c c c c c c c c c c c c c c c c c i i i i n n n n n n n n ,,1,0,640)()(2)(0)(0)(0)()(4)(1111011111111011（5.16）方程组(5.15),(5.16)也都是容易求解的．注：上述等距Ｂ样条插值公式也适用于近似等距的情形，但在端点0x 和n x 处误差可能较大，实际应用时，为了提高在端点0x 和nx 处的精度，可以适当向左右延拓几个节点．二维等距Ｂ样条函数插值设有空间曲面),(y x f z =(未知),如果已知二维等距节点()()τj y ih x y x ji++=0,,)0,(>τh 上的值为),,2,1,0;,,2,1,0(m j n i z ij⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=，则相应的Ｂ样条磨光曲面的一般形式为⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛--=∑∑--=--=j y y i h x x c y x s l m lj k ij n ki τΩΩ0011),( 其中),,2,1,0;,,2,1,0(m j n i c ij⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=为待定常数，l k ,可以取不同值，常用的也是2,=l k 和３的情形．这是一种具有良好保凸性的光滑曲面(函数)，在工程设计中是常用的，但只能使用于均匀分划或近似均匀分划的情况．（4） 最小二乘拟合方法最小二乘拟合方法的思想：由于一般插值问题并不总是可解的（即当插值条件多于待定系数的个数时，其问题无解），同时，问题的插值条件本身一般是近似的，为此，只要求在节点上近似地满足插值条件，并使它们的整体误差最小，这就是最小二乘拟合法．最小二乘拟合方法可以分为线性最小二乘拟合方法和非线性最小二乘拟合方法．线性最小二乘拟合方法设{}m k kx 0)(=φ是一个线性无关的函数系，则称线性组合∑==mk k k x a x 0)()(φφ为广义多项式．如三角多项式：∑∑==+=mk k mk kkx b kx ax 0sin cos )(φ．设由给定的一组测量数据),(iiy x 和一组正数),,2,1(n i w i⋅⋅⋅=，求一个广义多项式∑==mk k k x a x 0)()(φφ使得目标函数[]21)(∑=-=ni i i i y x w S φ(5.17)达到最小，则称函数)(x φ为数据),,2,1)(,(n i y x ii⋅⋅⋅=关于权系数),,2,1(n i w i⋅⋅⋅=的最小二乘拟合函数，由于)(x φ关于待定系数ia 是线性的，故此问题又称为线性最小二乘问题． 注意：这里{}m k kx 0)(=φ可根据实际来选择，权系数iw 的选取更是灵活多变的，有时可选取1=i w ，或nw i 1=，对于nw i1=，则相应问题称为均方差的极小化问题．最小二乘拟合函数的求解要使最小二乘问题的目标函数(5.17)达到最小，则由多元函数取得极值的必要条件得),,2,1,0(0m k a Sk==∂∂ 即),,2,1,0(0)()(10m k x y x a w i k ni i m k i k k i ⋅⋅⋅⋅==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∑∑==φφ 亦即),,2,1,0()()()(001m k x y w a x x w n i i k i i j mj n i i k i j i ⋅⋅⋅⋅==⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑∑∑===φφφ(5.18)是未知量为ma a a a ,,,,21⋅⋅⋅的线性方程组，称(5.18)式为正规方程组．实际中可适当选择函数系{}m k kx 0)(=φ，由正规方程组解出ma a a a ,,,,210⋅⋅⋅，于是可得最小二乘拟合函数∑==mk kk x a x 0)()(φφ．一般线性最小二乘拟合方法将上面一元函数的最小二乘拟合问题推广到多元函数，即为多维线性最小二乘拟合问题．假设已知多元函数),,,(21nx x x f y ⋅⋅⋅=的一组测量数据);,,,(21iniiiy x x x ⋅⋅⋅),,2,1(m i ⋅⋅⋅=和一组线性无关的函数系{}N k nk x x x 021),,,(=⋅⋅⋅φ，求函数∑=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅Nk n k k n x x x a x xx 02121),,,(),,,(φφ对于一组正数mw w w ,,,21⋅⋅⋅，使得目标函数[]2121),,,(∑=⋅⋅⋅-=mi ni i i i i x x x y w S φ达到最小．其中待定系数N a a a a,,,,210⋅⋅⋅由正规方程组),,2,1,0(),(),(0N k y a Nj k j k j⋅⋅⋅==∑=φφφ确定，此处ini i i k mi i k ni i i k mi ni i i j i k j y x x x w y x x x x x x w ),,,(),(),,,(),,,(),(21121121⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∑∑==φφφφφφ注：上面的函数φ关于ia 都是线性的，这就是线性最小二乘拟合问题，对于这类问题的正规组总是容易求解的．如果φ关于ia 是非线性的，则相应的问题称为非线性最小二乘拟合问题．非线性最小二乘拟合方法假设已知多元函数),,,(21nx x x f y ⋅⋅⋅=的一组测量数据);,,,(21iniiiy x x x ⋅⋅⋅),,2,1(m i ⋅⋅⋅=，要求一个关于参数),,2,1,0(N j a j⋅⋅⋅=是非线性的函数),,,;,,,(1021Nn a a a x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=φφ对一组正数mw w w ,,,21⋅⋅⋅使得目标函数[]21102110),,,;,,,(),,,(∑=⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅mi N ni i i i i N a a a x x x y w a a a S φ达到最小，则称之为非线性最小二乘问题．这类问题属于无约束的最优化问题，一般问题的求解是很复杂的，通常情况下，可以采用共轭梯度法、最速下降法、拟牛顿法和变尺度法等方法求解．实例：黄河小浪底调水调沙问题问题的提出2004年６月至７月黄河进行了第三次调水调沙试验，特别是首次由小浪底、三门峡和万家寨三大水库联合调度，采用接力式防洪预泄放水，形成人造洪峰进行调沙试验获得成功．整个试验期为20多天，小浪底从６月19日开始预泄放水，直到７月13日恢复正常供水结束．小浪底水利工程按设计拦沙量为75.5亿立方米，在这之前，小浪底共积泥沙达14.15亿吨．这次调水调试验一个重要目的就是由小浪底上游的三门峡和万家寨水库泄洪，在小浪底形成人造洪峰，冲刷小浪底库区沉积的泥沙．在小浪底水库开闸泄洪以后，从6月27日开始三门峡水库和万家寨水库陆续开闸放水，人造洪峰于29日先后到达小浪底，7月3日达到最大流量2700立方米/每秒，使小浪底水库的排沙量也不断地增加．下面是由小浪底观测站从6月29日到7月10日检测到的试验数据：表5-1: 试验观测数据单位：水流为立方米/每秒，含沙量为公斤/立方米·84··85·注：以上数据主要是根据媒体公开报道的结果整理而成的，不一定与真实数据完全相符．现在，根据试验数据建立数学模型研究下面的问题：(1) 给出估算任意时刻的排沙量及总排沙量的方法；(2) 确定排沙量与水流量的变化关系．模型的建立与求解对于问题（１），根据所给问题的试验数据，要计算任意时刻的排沙量，就要确定出排沙量随时间变化的规律，可以通过插值来实现．考虑到实际中排沙量应该是随时间连续变化的，为了提高精度，我们采用三次Ｂ样条函数进行插值．下面构造三次Ｂ样条函数)(x S y =．由试验数据，时间是每天的早８点和晚８点，间隔都是12个小时，共24个点)24,,2,1(⋅⋅⋅=i t i．为了计算方便，令)23,,,1,0(122128⋅⋅⋅=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+-=i i t x i i(5.19)则it 对应于)23,,1,0(1⋅⋅⋅=+=i i x i．于是以)23,,1,0(⋅⋅⋅=i x i为插值节点（等距），步长1=h ．其相应的排沙量为)23,,1,0(⋅⋅⋅=i y i 对应关系如下表：·86·表5-2: 插值数据对应关系单位：排沙量为公斤函数)(x S y =所满足的条件为 (1)23,,1,0,)(⋅⋅⋅==i y x S ii；(2) 3500)(,56400)(2223222323231212-=--≈'='=--≈'='x x y y x S y x xy yx S y .取)(x S 的三次Ｂ样条函数一般形式为∑-=⎪⎭⎫⎝⎛--=24103)(j j j h x x c x S Ω·87·其中)24,,1,0,1(⋅⋅⋅-=j cj为待定常数，1=h ．在这里⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<<+-+-≤+-=Ω2,021,342611,3221)(23233x x x x x x x x x且易知⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥±===Ω2,01,610,32)(3x x x x和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥±===Ω'2,01,210,0)(3x x x x 根据Ｂ样条函数的性质，)(x S ''在[]23,x x 上连续，则有()∑-=--'='='2413)(j jj xx c x S y Ω由插值条件(1),(2)可得到下列方程组()()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧'=-'=''=-'='⋅⋅⋅==-=∑∑∑-=-=-=23241323024130241323)()(23,,1,0,)(y j c x S y j c x S i y j i c x S j j j j i j j i ΩΩΩ 即⎪⎩⎪⎨⎧'=+-'=+-⋅⋅⋅==++-+-23242311112223,,1,0,64y c c y c c i y c c c i i i i 将232324112,2y c c y c c '+='-=-代入前24个方程中的第一个和最后一个，便可得到方程组F AC =，其中·88·⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⨯232102424,421410141014124c c c c C A ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡'-'+=3400048000684000458400266626232322100 y y y y y y F显然A 为满秩阵，方程组F AC =一定有解，用消元法求解可得问题的解为56044.39830=c , 4117111.2031=c , 2159510.7882=c , 9189845.6433=c ,1203106.6364=c , 8239727.8115=c ,8249182.1166=c , 1263543.7217=c ,9287842.9988=c , 2302284.2839=c ,4317419.86810=c , 1304836.24311=c ,3307635.15912=c ,6305423.11913=c ,2270672.36214=c ,4240287.43115=c ,0154177.91216=c ,4103000.92017=c ,99818.406218=c , 43725.454719=c ,49279.775020=c ,32155.445221=c , 2098.444222=c ,7450.777923=c ,-450.777924311.2034,2232324011='+=='-=-y c c y c c . 将)24,,1,0,1(⋅⋅⋅-=j c j代入()∑-=--==24131)(j jj x c x S y Ω(5.20)即得排沙量的变化规律．由（5.19）和(5.20)式可得到第i 时间段（12小时为一段）内，任意时刻]12,0[∈t 的排沙量．则总的排沙量为()dt j t c dx x S Y j j⎰∑⎰-=--Ω==284824132411)(经计算可得1110844.1⨯=Y 吨，即从6月29日至7月10日小浪底水库排沙总量大约为1.844亿吨,此与媒体报道的排沙量基本相符.对于问题(2),研究排沙量与水量的关系，从试验数据可以看出，开始排沙量是随着水流量的增加而增长，而后是随着水流量的减少而减少．显然，变化规律并非是线性的关系，为此，我们问题分为两部分，从开始水流量增加到最大值2720立方米/每秒（即增长的过程）为一段，从水流量的最大值到结束为第二段，分别来研究水流量与排沙量的关系．具体数据如表5-3和5-4.表5-3: 第一阶段试验观测数据 单位：水流为立方米/每秒，含沙量为公斤/立方米表5-4: 第二阶段试验观测数据单位：水流为立方米/每秒，含沙量为公斤/立方米对于第一阶段，由表5-3用Matlab作图（如图5-3）可以看出其变化趋势，我们用多项式作最小二乘拟合．·90··91·图5-3设拟合函数为∑==mk kk x a x 1)(φ确定待定常数),,1,0(m k ak=使得211111102])([∑∑∑===⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=i i i m k k i k i i y x a y x S φ有最小值．于是可以得到正规方程组为m k x y a x mj i k i i j i j k i ,,1,0,0111111 ==⎪⎭⎫⎝⎛∑∑∑===+ 当3=m 时，即取三次多项式拟合，则3,2,1,0,1113111321112111110111==⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑∑∑==+=+=+=k x y a x a x a x a x i k i i i k i i k i i k i i k i求解可得73321108423.1,103172.1,3.1784,-2492.9318--⨯=⨯-===a a a a ．于是可得拟合多项式为332213)(x a x a x a a x +++=φ，最小误差为847.72=S ，拟合效果如图所示．·92·图:三次拟合效果，带*号的为拟合曲线．类似地，当4=m 时，即取四次多项式拟合，则正规方程组为4,3,2,1,0111411143111321112111110111==⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑∑∑∑==+=+=+=+=k x y a x a x a x a x a x i ki i i k i i k i i k i i k i i k i求解可得104633210109312.1,1094.1,102626.7,12.0624,-7434.6557---⨯-=⨯=⨯-===a a a a a 于是可得拟合多项式为443322104)(x a x a x a x a a x ++++=φ，最小误差为102.66=S ，拟合效果如图5-5所示．图5-5:四次拟合效果，带*号的为拟合曲线．从上面的三次多项式拟合和四次多项拟合效果来看，差别不大．基本可以看出排沙量与水流量的关系．图5-6:第二段三·93··94· 次多项式拟合效果对于第二阶段，由表5-4可以类似地处理．我们用线性最小二乘法作三次和四多项式拟合．拟合效果如图5-6和5-7所示，最小误差分别为5.459=S 和1.236=S ． 从拟合效果来看，显然四次多项式拟合要比三次多项式拟合好的多．图5-7:第二段四次多项式拟合效果。
拟合与插值专题ppt课件
一种是插值法，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数 据点之间所发生的情况。
另一种方法是曲线拟合或回归。人们设法找出某条光滑曲线， 它最佳地拟合数据，但不必要经过任何数据点。
本专题的主要目的是：了解插值和拟合的基本内容； 掌握用Matlab求解插值与拟合问题的基本命令。
cj 103 4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 6.10 6.26 6.39 6.50 6.59
该问题即解最优化问题：
min 1 F (a,b, k)
2
1 2
10
[a be0.02kt j
j 1
c j ]2
解法1. 用命令lsqcurvefit
F(x，tdata)= (a be0.02kt1 ,, a be0.02kt10 )T ，x=(a，b，k)
ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan） lsqcurvefit用以求含参量x（向量）的向量值函数
F(x,xdata)=（F（x，xdata1），…，F（x，xdatan））T
中的参变量x(向量),使得
1
2
n i 1
( F ( x,
xdatai )
2
ydatai )
最小
输入格式: (1) x = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata); (2) x =lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,lb, ub);
1）编写M-文件 curvefun1.m
function f=curvefun1(x,tdata)
f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)
第五章插值法与曲线拟合插值法精品PPT课件
f (n1) (x
(n 1)!
)
wn1(x)
,
x (a,b)
n
Ln(x) f (xi)li(x)
i0
其中
li(x ) (( x x i x x 0 0 ))(( x x i x x ii 1 1 ) )( (x x i x x ii 1 1 ) )
(x x n ) ,i
(x i x n )
计算各阶差分可按如下差分表进行.
向前差分表
xi fi fi 2 fi 3 fi
n fi
x0 f0 x1 f1 f0 x2 f2 f1 2 f0 x3 f3 f2 2 f1 3 f0
xn fn fn1 2 fn2 3 fn3
n f0
差分具有如下性质:
.
性质1(差分与函数值的关系) 各阶差分均可表示为函值
(1)
使满足
cn(xx0)(xx1)(xx2) (xxn 1)
N n (x i) f(x i), i 0 ,1 , n
(2)
为了使 N n ( x ) 的形式得到简化,引入如下记号
0(x)1
i(x)(xxi1)i1(x)
(3)
(xx0)(xx1) (xxi1), i1,2, n
定义 由式(3)定义的n+1个多项式 0(x),1(x), ,n(x)
表示f(x)在x0及x1两点的一阶差商. 用记号 f[x0,x1,x2]f[x0,xx10 ] xf2[x1,x2]
表示f(x)在x0,x1,x2三点的二阶差商. 一般地,有了k-1阶差商之后, 可以定义f(x)在x0,x1,..,xk的k阶差商
f[x 0 ,x 1 ,
,x k] f[x 0 ,x 1 ,
2 f (xi ) (f (xi )) ( f (xi h) f (xi )) f (xi h) f (xi ) f (xi 2h) 2 f (xi h) f (xi )
插值与拟合（最小二乘法）
二者区别：插值必须精确的经过所给定的点 x,f(x); 但是拟合不需要，拟合允许f(x) , p(x) 之间有误差的存在，但是误差不能太大，要尽可能的 小， 到底怎么来最小化误差，可以： error = |f(x) - p(x)|, min(error), 或者 min(error^2)........ 因为最小化误差的平方和， 所以叫 least square method, 其实翻译的不好，应该叫 最小平方和法。。。。。。
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插值与拟合（最小二乘法）
插值与拟合都是给பைடு நூலகம்一组y = f(x)数据的前提下，用函数 p(x) 近似表示 f(x)的方法；
插值用很多种方法，比如多项式插值，三角函数插值等，意思就是选取哪种函数作为插值的函数； 拟合方法很多，其中包括最小二乘法等；
数学建模插值和拟合问题的总结
插值和数据拟合一、 插值方法问题：已知n+1个节点(x j ,y j )(j=0,1,…,n)，a=x 0<x 1<…< x n =b ，求任一插值点x*处的插值y*方法：构造一个相对简单的函数y=f(x)，使得f 通过所有节点，即f(x j )= y j ,再用y=f(x)计算x*的值。
1. 拉格朗日多项式插值设f(x)是n 次多项式，记作1110()n n n n n L x a x a x a x a --=++++要求对于节点(,)j j x y 有(),0,1,,n j j L x y j n ==将n+1个条件带入多项式，就可以解出多项式的n+1个系数。
实际上，我们有n 次多项式011011()()()()()()()()()i i n i i i i i i i n x x x x x x x x l x x x x x x x x x -+-+----=----满足1,()0,,,0,1,,i j i jl x i j i j n =⎧=⎨≠=⎩则0()()nn i i i L x y l x ==∑就是所要的n 次多项式，称为拉格朗日多项式。
由拉格朗日多项式计算的插值称为拉格朗日插值。
一般来讲，并不是多项式的阶数越高就越精确，一般采用三阶、二阶或一阶（线性）多项式，对相邻点进行分段插值。
2. 样条插值在分段插值时，会造成分段点处不光滑，如果要求在分段点处光滑，即不仅函数值相同，还要一阶导数和二阶导数相同，则构成三阶样条插值。
一般用于曲线绘制，数据估计等。
例 对21,[5,5](1)y x x =∈-+，用n=11个等分节点做插值运算，用m=21个等分插值点作图比较结果。
见inter.m 程序二、 曲线拟合 三、 给药方案 １． 问题一种新药用于临床必须设计给药方案，在快速静脉注射的给药方式下，就是要确定每次注射剂量多大，间隔时间多长．我们考虑最简单的一室模型，即整个机体看作一个房室，称为中心室，室内血液浓度是均匀的．注射后浓度上升，然后逐渐下降，要求有一个最小浓度1c 和一个最大浓度2c ．设计给药浓度时，要使血药浓度保持在1c ~2c 之间．２． 假设（１）药物排向体外的速度与中心室的血药浓度成正比，比例系数是k(>0)，称为排出速度．（２）中心室血液容积为常数V ，t=0的瞬间注入药物的剂量为d ，血药浓度立即为dV． ３． 建模设中心室血药浓度为c(t)，满足微分方程(0)dckc dtd c V=-=用分离变量法解微分方程，有()ktd c te V-=(*) ４． 方案设计每隔一段时间τ，重复注入固定剂量D ，使血药浓度c(t)呈周期变化，并保持在1c ~2c 之间．如图：设初次剂量加大到D 0，易知0221,D Vc D Vc Vc ==-，2121()11ln[],()()ln c Vc t t t c t c k d k c τ=-=-= 那么，当12,c c 确定后，要确定给药方案0{,,}D D τ，就要知道参数V 和k ．５． 由实验数据做曲线拟合确定参数值已知1210,25(/)c c g ml μ==，一次注入300mg 药物后，间隔一定ln lndc kt V=- 记12ln ,,lndy c a k a V==-=，则有 12y a t a =+求解过程见medicine_1.m得120.2347, 2.9943a a =-=，由d=300(mg)代入算出k=0.2347,V=15.02(L) 从而有0375.5(),225.3(), 3.9()D mg D mg τ===小时四、 口服给药方案 １． 问题口服给药相当于先有一个将药物从肠胃吸收入血液的过程，可简化为一个吸收室，一个中心室，记t 时刻，中心室和吸收室的血液浓度分别是1()()c t c t 和，容积分别是V ,V1，中心室的排除速度为k ，吸收速度为k1，且k,k1分别是中心室和吸收室血液浓度变化率与浓度的比例系数，t=0口服药物的剂量为d ，则有11111,(0)dc dk c c dt V =-= (1) 111,(0)0V dckc k c c dt V=-+= (2) 解方程(1)有111()k td c te V -=代入方程(2)有111()()k t kt k d c t e e V k k--=--其中三个参数1,,dk k b V=,可由下列数据拟合得到：（非线性拟合）。
第三章插值与拟合
? ? Rn(x) ?
f (n?1) (? )
(n ? 1)!
n
(x? xi )
i?0
?
Mn (n ? 1)! i?0
x? xi
因 max (e? x )''' ? e， ?1 故误差的余项 1? x? 2
R2 (2.1)
?
e?1 3!
(2.1? 1)( 2.1 ? 2)(2.1 ? 3)
? 0.00607001
（3-6）
li(x) 叫做拉格朗日插值多项式的插值 基函数，显然它满足
li
(xj
)
?
?0 ??1
j
?
i ;i,
j
?
0,1,2,?
,n
j?i
线性插值多项式
两个节点 (x0, f (x0)),(x1, f (x1))
带公式得
L1(x)
?
x? x1 (x0 ? x1)
f (x0) ?
(x? x0) (x1 ? x0)
Rn(x) ? f (x) ? Pn(x)
（3-9）
定理2-2 设函数y=f (x)在插值区间上具
有直到n+1阶的连续导数，x0，x1，...， xn是互异节点，则插值多项式(3-2)的余 项为
? Rn(x) ?
f (n?1) (?)
(n? 1)!
n i?0
(x?
xi ) ?
f (n?1) (? )
第三节 牛顿插值多项式
当使用拉格朗日插值多项式为了提高精度 增加插值节点时，插值多项式就得重新构造， 整个公式改变之后，之前的计算结果不能继续 使用，计算工作必须全部从头做起。为了克服 这一缺点，下面介绍另一种插值多项式 —牛顿 插值多项式，它的使用比较灵活，当增加插值 节点时，只要在原来的基础上增加部分计算工 作量，而原来的计算结果仍可利用，这为实际 计算带来了方便。
第九讲 数据插值与拟合
最常用的确定待定系数的方法是，曲线拟合的最小二乘法
二、 插值与拟合
1、插值方法 （1）分段线性插值 分段线性插值的提法如下：
（2）分段三次埃尔米特插值
在插值问题中，如果除了插值节点的函数值给定外，还 要求在节点的导数值为给定值，即插值问题变为
相当于在每一小段上应满足四个条件（方程），可以确 定四个待定参数．三次多项式正好有四个系数，所以可 以考虑用三次多项式函数作为插值函数，这就是分段三 次埃尔米特插值，它与分段线性插值一起都称为分段多 项式插值
x,y,z是已知样本点的坐标，可以是任意分布的。
X0,y0是期望的插值位置，即被插值节点, 可以是单点， 向量或者网格型矩阵
插值方法，除了上面的 方法外，还有一个是4.0版本提供 的一个插值方法，选项为’v4’
四、曲线拟合的matlab实现
1、已知函数原型的 （1）多项式拟合
y a1 x n a n x a n1 假设已知函数原型为
（2）、一般二维分布的数据插值
在实际应用问题中，大部分的数据以实测的多组 （xi,yi,zi）给出，所以不能直接使用interp2（）函数。 Matlab中提供了另一个函数griddata( )，用来专 门解决这类问题。其调用格式如下
Z=griddata(x,y,z,x0,y0,’method’)
（3）一般的曲线拟合
假设已知函数原型是一般的函数，可以是多项式，可以 是线性，也可以是非线性的，一般情况下用这个来求解 非线性情况 Matlab在优化工具箱中提供的求解一般的曲线拟合函 数lsqcurvefit(),其调用格式如下 p=lsqcurvefit(‘Fun’,p0,xdata,ydata)
其中Fun表示函数Fun(p,data)的M函数文件，p0表示 函数的初值.。
插值与拟合
y2=interp1(x0,y0,x); y3=interp1(x0,y0,x,'spline'); pp1=csape(x0,y0); y4=ppval(pp1,x); pp2=csape(x0,y0,'second'); y5=ppval(pp2,x); fprintf('比较一下不同插值方法和边界条件的结果:\n') fprintf('x y1 y2 y3 y4 y5\n') xianshi=[x',y1',y2',y3',y4',y5']; fprintf('%f\t%f\t%f\t%f\t%f\t%f\n',xianshi') subplot(2,2,1), plot(x0,y0,'+',x,y1), title('Lagrange') subplot(2,2,2), plot(x0,y0,'+',x,y2), title('Piecewise linear') subplot(2,2,3), plot(x0,y0,'+',x,y3), title('Spline1') subplot(2,2,4), plot(x0,y0,'+',x,y4), title('Spline2') dyx0=ppval(fnder(pp1),x0(1)) %求x=0处的导数 ytemp=y3(131:151); index=find(ytemp==min(ytemp)); xymin=[x(130+index),ytemp(index)]
插值与拟合(2012年) 2
所以
M 2 max | f // ( x) | | f // (169 ) | 1.14 10 4
169 x 225
M 3 max | f /// ( x) | | f /// (144 ) | 1.51 10 6
144 x 225
于是
M2 | r1 (175) | | (175 169)(175 225) | 1.71 102 2! M3 | r2 (175) | | (175 144)(175 169)(175 225) | 2.34 103 3!
系数矩阵
A (an , an1 ,, a0 )T ,
Y ( y0 , y1 ,, yn )T
方程组（３）简写作
XA Y
(4)
其中detX是Vandermonde行列式，利用行列式性质可得
det X
0 j k n
(x
k
xj )
因x j互不相同，故det X≠0. 于是方程组(4)中有唯一解， 即根据 n+1个节点可以确定唯一的 n次插值多项式． ★实际上比较方便的作法不是解方程组(4)求 A，而 是先构造一组基函数（ n次多项式 ）.
该作法为： 构造一组基函数（n次多项式）：
l j ( x) ( x x0 )(x x1 ) ( x x j 1 )(x x j 1 ) ( x xn ) ( x j x0 )(x j x1 ) ( x j x j 1 )(x j x j 1 ) ( x j xn )
1 g ( x) , x [5,5] 2 1 x
取 x j 5 10 j / n, j 0,1,, n , 对于n=2,4,6,· · · , 作Ln(x) 会得到如图6.1.1所示的结果． 用MATLAB编程：
插值与拟合-2012
? si ( xi )
si+ 1 ( xi ), siⅱi ) = si+ 1 ( xi ), siⅱi ) = siⅱ( xi ) (i = 1, , n - 1) (x (x +1
2) 3) 4) 揶 ai , bi , ci , di S ( x)
4) S ⅱ 0 ) = S ⅱ n ) = 0 ( (x (x 自然边界条件）
言
例 1：已知 sin35 10' = 0.5760,sin35 20' =0.5783 ，求 sin 35 16' 的值。
分析： 由于所给的这几个值范围很小， 故我们可以考虑用线性函数逼近正弦函数 （即用线性函数近似的代替正弦函数），于是容易得到：
sin 3516' = sin 3510'+ (sin 3520'- sin 3510') 复 10 6
拟合与插值的关系
问题：给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或曲面
解决方案： •若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，就是插值问题； •若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象 整体的变化趋势，这就是数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟合。
函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作 为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同 的。
y 0 , y1 , , y n 。
要求：求一个分段( 共 n 段)多项式函数 q(x)，使其满足：q(xi)=yi,
q ( xi ) y i ，i=0,1,…,n.
相当于在每一小段上应满足四个条件(方程)，可以确定四个待定参数。三次多项式正 好有四个系数，所以可以考虑用用三次多项式函数作为插值函数，这就是所谓的分段三次 埃尔米特插值，与分段线性插值一起都称为分段多项式插值。
插值与拟合
当 x ∈ [ x i 1 , x i ] 时, S ( x ) 的表达式由(2.3.4)平移下标可得 的表达式由 平移下标可得, 平移下标可得 因此有
S ′( x i 0) = f [ x i 1 , x i ] + hi 1 ( M i 1 + 2 M i ). 6
利用条件 S ′( x i + 0) = S ′( x i 0) 得
第二章 插值与拟合
2.3.2 三弯矩算法
可以有多种表达式， 三次样条插值函数 S ( x ) 可以有多种表达式，有时用二阶导数
S′ 值′ ( x i ) = M
i
( i = 0 ,1 , , n )
M
i
表示时，使用更方便。 表示时，使用更方便。 在力学上解释 ( x) 处的弯矩，并且得到的弯矩与相邻两个弯矩有关， 为细梁在 S处的弯矩，并且得到的弯矩与相邻两个弯矩有关，故 Mi 的算法为三弯矩算法 三弯矩算法。 称用 表示 的算法为三弯矩算法。 由于 S ( x )在区间 [ x i , x i + 1]( i = 0 ,1, , n 1) 上是三次多项式， 上是三次多项式， 故 S ′′( ) [ , ]
0
先消去 M 3 和 M 3 得
3 .5 1 1 3 .5
M M
1
5 .1 = 10 . 5 2
由此解得 M 1 = 2.52, M 2 = 3.72 。 代回方程组得 M 0 = 0.36, M 3 = 0.36. 的值代入三次样条插值函数的表达式（ ），经化简有 用 M 0 , M 1 , M 2 , M 3的值代入三次样条插值函数的表达式（2.3.4），经化简有 ），
n
=λn0来自= 0,第二章 插值与拟合
试验二 插值法与数据拟合
试验二 插值法一、实验目的（1） 学会Lagrange 插值和牛顿插值等基本插值方法； （2） 讨论插值的Runge 现象，掌握分段线性插值方法（3） 学会Matlab 提供的插值函数的使用方法，会用这些函数解决实际问题。
二、实验要求（1） 按照题目要求完成实验内容； （2） 写出相应的Matlab 程序；（3） 给出实验结果(可以用表格展示实验结果)； （4） 分析和讨论实验结果并提出可能的优化实验。
（5） 写出实验报告。
三、实验步骤1、用编好的Lagrange 插值法程序计算书本P66 的例1、用牛顿插值法计算P77的例1。
2、已知函数在下列各点的值为：试用4次牛顿插值多项式4()P x 对数据进行插值，根据｛(,),0.20.08,0,1,2,,10i i i x y x i i =+=｝，画出图形。
3、在区间[-1,1]上分别取10,2n =用两组等距节点对龙格函数21(),(11)125f x x x =-≤≤+作多项式插值，对不同n 值，分别画出插值函数及()f x 的图形。
4、下列数据点的插值可以得到平方根函数的近似，在区间[0,64]上作图。
（1）用这9个点作8次多项式插值8()L x。
附：试验报告格式样本（正式报告这行可删除）佛山科学技术学院实 验 报 告课程名称 数值分析 实验项目 插值法 专业班级 12.数学与应用数学（师范） 姓名 叶楚欣 学号 2012214103 指导教师 黄国顺 成 绩 日 期 月 日一、实验目的1、学会Lagrange 插值、牛顿插值和 分段线性插值等基本插值方法；2、讨论插值的Runge 现象，掌握分段线性插值方法3、学会Matlab 提供的插值函数的使用方法，会用这些函数解决实际问题。
二、实验原理1、拉格朗日插值多项式2、牛顿插值多项式3、分段线性插值三、实验步骤1、用MA TLAB 编写独立的拉格朗日插值多项式函数2、用MA TLAB 编写独立的牛顿插值多项式函数3、利用编写好的函数计算本章P66例1、P77例1的结果并比较。
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y*
y1
y0 •
• •
x0 x1 x*
• •
xn
节点可视为由
y g(x)产生,
g表达式复杂,
或无表达形式。
求解的基本思路
构造一个(相对简单的)函数 y f (x), 通过全部节点, 即
f(x j) y j (j 0 ,1 , n ) 再用 f (x) 计算插值，即 y* f (x*).
分析： 由于所给的这几个值范围很小，故我们可以考虑用线性函数逼近正弦函数 （即用线性函数近似的代替正弦函数），于是容易得到：
sin 35 16 ' sin 35 10 ' (sin 35 20 ' sin 35 10 ') 10 6
＝0.5760＋（0.5783－0.5760）×0.6＝0.5774 这就用到一种插值方法：分段线性插值。插值可以理解为：根据实验获得的数据，计 算出表中没有的函数值。
与构造线性插值多项式类似，构造n次多项式
Ln (x)= y0l0 (x) y1l1(x)
ynln (x)
n
yili (x)
i0
（5）
这是不超过 n 次的多项式，其中基函数
(x lk (x) = (xk
x 0)( x x 0)( xk
x1)...( x x1)...( xk
xk 1)(x xk 1)...(x xn) xk 1)(xk xk 1)...(xk xn)
实验六 插值与拟合
实验内容：1.插值的基本原理； 三种插值方法：拉格朗日插值，分段线 性插值，三次样条插值。
2.插值的MATLAB 实现及插值的应用。 3.拟合的基本原理； 4.拟合的MATLAB 实现及拟合的应用。 实验目的：掌握插值与拟合的方法以及如何用 MATLAB实现。
插值的含义：
导言
例 1：已知 sin 35 10' 0.5760,sin 35 20' 0.5783 ，求sin 35 16' 的值。
若引进记号：
l0 (x)
x x1 , x0 x1
l1 ( x)
x x0 x1 x0
则（3）式可以写成： L1(x) y0l0 (x) y1l1(x)
（4）
显然 l0 (x0 ) 1, l0 (x1) 0 ， l1(x0 ) 0, l1(x1) 1 ，称 l0 (x), l1(x) 为基函数。
1.2 .1 一般情形
（1）
然后用 Ln (x) 作为准确值 f(x)的近似值，这样构造出来的多项式 Ln (x) 称为 f (x)的 n 次拉格
朗日插值多项式或插值函数。
分析如下：
结论：满足（1）的次数不超过n的多项式是存在且唯一的。
1.1 线性插值公式
已知函数 y=f(x)在互异的两个点 (x0 , y0 ), (x1, y1) ，求一个次数不超过 1 的多项式 y L1(x) ，使其满足：
y*
y1
y0 •
• •
• •
x0 x1 x*
xn
返回
拉格朗日(Lagrange)插值
一般的，若已知 y=f(x)在互异的 n＋1 个点 (x j , y j ), j 0,1,..., n, ，则可以考虑构造一
个过这 n＋1 个点的次数不超过 n 的多项式 y Ln (x) ，使其满足：
Ln (xk ) yk , k 0,1, , n
拟合的含义：
例 2：有一只对温度敏感的电阻，已经测得了一组温度 t 和电阻 R 的数据如下：
t( C)
20.5
32.7
51.0
73.0
95.7
R( )
765
826
873
942
1032
请问在 60 C 时电阻有多大？
分析：若仍用上题的解法，数据的跨度较大，这样产生的误差必然很大。现在，用我们
所学的 MATLAB 将这五个点在坐标轴中描绘出来，看看 R 与 t 之间有什么样的关系
键入的程序为： 1100
t=[20.5 32.5 51 73 95.7];
1000
r=[765 826 873 942 1032];
900
plot(t,r,’k+’)
800
xlabel(‘t’),ylabel(‘r’)
700
20
40
60
80
100
从所生成的图形中可以看出，R 与 t 近似的成线性，因而我们可以写出 R 与 t ) 1)!
n
1(x)
其中 ∈(a,b)且依赖于 x， n 1(x) =（x-x0）(x-x1)…(x-xn)
若可以估计： g(n 1) ( ) Mn 1 ，
则： Rn (x)
Mn 1
n
|x
(n 1)! j 0
L1(x0 ) y0 ， L1(x1) y1
用点斜式可写出过点 (x0 , y0 ), (x1, y1) 的直线方程：
将它写成对称式，为
y
y0
y1 x1
y0 (x x0
x0 )
L1 ( x)
y0
x x0
x1 x1
x y1 x1
x0 x0
（3）
我们称（3）式为拉格朗日线性插值函数或一次拉格朗日插值公式。
函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作 为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同 的。
插值
一、插值的的提法与思路 二、插值的方法 拉格朗日插 值
分段线性插值 三次样条插值 三、Matlab在插值中的应用
插值问题的提法
已知 n+1个节点 (xj,yj)(j 0 ,1 , n ,其中 x j
1(i k)
显然 lk (xi ) 满足 lk (xi ) = 0(i
，当 n＝1 时（5）式就是我们的（3）式。
k)
称（5）式为拉格朗日插值多项式，用Ln (x)计算插值称为拉格朗日插值。
注：当n＝2时，（5）为三点二次(抛物)插值多项式
1.2 .2 误差分析
利用泰勒展开可以推出，误差
Rn(x)=g(x)-Ln(x)=
R=at + b (其中 a，b 为待定的参数) 由于测量误差的存在，此直线不可能通过所有的节点，这与插值曲线要通过全部的节点
不同。故曲线拟合可以理解为根据一组（二维）数据，即平面上的若干点，确定一个一元
函数，即曲线，使曲线总体与这些点尽量靠近。
拟合与插值的关系
问题：给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或曲面 解决方案： •若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，就是插值问题； •若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象 整体的变化趋势，这就是数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟合。