2018学年数学人教A版选修2-2优化复习：第一章 章末优化总结

章末检测(一)

时间：120分钟 满分：150分

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．曲线y ＝x e x

－1

在点(1,1) 处切线的斜率等于( )

A ．2e

B ．e

C ．2

D ．1

解析：由y ＝x e x

－1

得y ′＝e x －

1＋x e x －

1，所以曲线在点(1,1)处切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝e 1－

1＋1×e 1

－1

＝2.故选C. 答案：C

2．二次函数y ＝f (x )的图象过原点且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是如图所示的一条直线，y ＝f (x )

的图象的顶点在( )

A ．第Ⅰ象限

B ．第Ⅱ象限

C ．第Ⅲ象限

D ．第Ⅳ象限

解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，∵二次函数y ＝f (x )的图象过原点，∴c ＝0，∴f ′(x )＝2ax ＋b ，由y ＝f ′(x )的图象可知，2a <0，b >0，∴a <0，b >0，∴－b 2a >0，4ac －b 24a ＝－b 2

4a

>0，故选A.

答案：A

3．设函数f (x )＝ax ＋3，若f ′(1)＝3，则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．3

D ．－3

解析：∵f ′(x )＝li m Δx →

f (x ＋Δx )－f (x )

Δx

＝li m Δx →

a (x ＋Δx )＋3－(ax ＋3)

Δx

＝a ，

∴f ′(1)＝a ＝3. 答案：C

4．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f (x )的单调递增区间为( ) A ．(－1,0) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)

D ．(0，＋∞)

解析：f ′(x )＝2x －2－4x ＝2x 2

－2x －4x ＝2(x ＋1)(x －2)

x

，由f ′(x )＞0得x ＞2.

答案：C

5．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为( )

A ．－37

B ．－29

C ．－5

D ．－11

解析：由f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)＝0，解得x ＝0或x ＝2，又f (0)＝m ，f (2)＝m －8， f (－2)＝m －40，所以f (x )max ＝m ＝3，f (x )min ＝m －40＝3－40＝－37. 答案：A

6．已知f (x )＝2cos 2x ＋1，x ∈(0，π)，则f (x )的单调递增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫π4，π B.()0，π C.⎝⎛⎭⎫π2，π

D.⎝⎛⎭

⎫0，π

2 解析：∵f (x )＝2cos 2x ＋1＝2＋cos 2x ，x ∈(0，π)， ∴f ′(x )＝－2sin 2x . 令f ′(x )>0，则sin 2x <0. 又x ∈(0，π)，∴0<2x <2π. ∴π<2x <2π，即π

2

答案：C

7.设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )

的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )

A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)

B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)

C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)

D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)

解析：由图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－22时，

f ′(x )>0.由此可以得到函数在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值，选D. 答案：D

8．由y ＝－x 2与直线y ＝2x －3围成的图形的面积是( ) A.53 B.323 C.643

D ．9

解析：解⎩

⎪⎨⎪⎧

y ＝－x 2

，

y ＝2x －3，得交点A (－3，－9)，B (1，－1)．

如图，由y ＝－x 2与直线y ＝2x －3围成的图形的面积 S ＝⎠⎛1－3(－x 2)d x －⎠

⎛1－3(2x －3)d x

＝－13x 3| 1－3－(x 2－3x )| 1

－3＝323.

答案：B

9．下列函数中，x ＝0是其极值点的函数是( ) A ．f (x )＝－x 3 B ．f (x )＝－cos x C ．f (x )＝sin x －x

D ．f (x )＝1

x

解析：对于A ，f ′(x )＝－3x 2≤0恒成立，在R 上单调递减，没有极值点；对于B ，f ′(x )＝sin x ，当x ∈(－π，0)时，f ′(x )<0，当x ∈(0，π)时，f ′(x )>0，故f (x )＝－cos x 在x ＝0的左侧区间(－π，0)内单调递减，在其右侧区间(0，π)内单调递增，所以x ＝0是f (x )的一个极小值点；对于C ，f ′(x )＝cos x －1≤0恒成立，在R 上单调递减，没有极值点；对于D ，f (x )＝1

x 在x ＝0没有定义，所以x

＝0不可能成为极值点，综上可知，答案选B.

答案：B

10．已知函数f (x )＝a sin x －b cos x 在x ＝π4时取得极值，则函数y ＝f (3π

4－x )是( )

A ．偶函数且图象关于点(π，0)对称

B ．偶函数且图象关于点(3π

2，0)对称

C ．奇函数且图象关于点(3π

2，0)对称

D ．奇函数且图象关于点(π，0)对称 解析：∵f (x )的图象关于x ＝π

4对称，∴f (0)＝

f (π

2

)，∴－b ＝a ， ∴f (x )＝a sin x －b cos x ＝a sin x ＋a cos x ＝2a sin(x ＋π

4)，

∴f (3π4－x )＝2a sin(3π4－x ＋π

4)＝2a sin(π－x )＝2a sin x .

显然f (3π

4－x )是奇函数且关于点(π，0)对称，故选D.

答案：D

11．已知定义在实数集R 上的函数f (x )满足f (1)＝2，且f (x )的导数f ′(x )在R 上恒有f ′(x )＜1(x ∈R)，则不等式f (x )＜x ＋1的解集为( )

A ．(1，＋∞)

B ．(－∞，－1)

C ．(－1,1)