知识讲解_对数及对数运算_基础

对数及对数运算

编稿：丁会敏 审稿：王静伟

【学习目标】

1.理解对数的概念，能够进行指数式与对数式的互化；

2.了解常用对数与自然对数的意义；

3．能够熟练地运用对数的运算性质进行计算；

4．了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明． 5．能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用． 【要点梳理】

要点一、对数概念 1.对数的概念

如果()01b

a N a a =>≠，且，那么数

b 叫做以a 为底N 的对数，记作:log a N=b.其中a 叫做对数的底

数，N 叫做真数.

要点诠释：

对数式log a N=b 中各字母的取值范围是：a>0 且a ≠1， N>0， b ∈R.

2.对数()log 0a N a >≠，且a 1具有下列性质： (1)0和负数没有对数，即0N >； (2)1的对数为0，即log 10a =； (3)底的对数等于1，即log 1a a =.

3．两种特殊的对数

通常将以10为底的对数叫做常用对数，N N lg log 10简记作.以e （e 是一个无理数， 2.7182e =⋅⋅⋅）为底的对数叫做自然对数， log ln e N N 简记作.

4．对数式与指数式的关系

由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.

由此可见a ，b ，N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化. 要点二、对数的运算法则

已知()log log 010a a M N a a M N >≠>，且，、

(1) 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；

()log log log a a a MN M N =+

推广：()()121212log log log log 0a k a a a k k N N N N N N N N N =+++>L L L 、、、 (2) 两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数；

log log log a

a a M

M N N

=- (3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；

log log a a M M αα=

要点诠释：

（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能

成立.如：log 2(-3)(-5)=log 2(-3)+log 2(-5)是不成立的，因为虽然log 2(-3)(-5)是存在的，但log 2(-3)与log 2(-5)是不存在的.

（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：

log a (M ±N)=log a M ±log a N ， log a (M·N)=log a M·log a N ，

log a

N

M N M a a log log =. 要点三、对数公式 1．对数恒等式：

log log a b N

a a N

a N N

b ⎫=⇒=⎬=⎭

2．换底公式

同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a ≠1， M>0的前提下有: (1) )(log

log R n M M n a

a n

∈=

令 log a M=b ， 则有a b

=M ， (a b )n

=M n

，即n

b n M a =)(， 即n a

M b n

log =，即:n a a M M n log log =.

(2) )1,0(log log log ≠>=

c c a

M M c c a ，令log a M=b ， 则有a b =M ， 则有 )1,0(log log ≠>=c c M a c b

c

即M a b c c log log =⋅， 即a M b c c log log =

，即)1,0(log log log ≠>=

c c a

M

M c c a 当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可

以得到一个重要的结论:

)1,0,1,0(log 1

log ≠>≠>=

b b a a a

b b a .

【典型例题】

类型一、对数的概念

例1.求下列各式中x 的取值范围：

（1）2log (5)x -；（2）(1)log (2)x x -+；（3）2

(1)log (1)x x +-． 【答案】（1）5x >；（2）1,2x x >≠且；（3）1x >-且0,1x x ≠≠ 【解析】（1）由题意50x ->，5x ∴>，即为所求． （2）由题意20,

10,11,

x x x +>⎧⎨

->-≠⎩且

即2,

1,2,x x x >-⎧⎨

>≠⎩

且1,2x x ∴>≠且． （3）由题意2(1)0,

10,11,

x x x ⎧->⎨+>+≠⎩且

解得1x >-且0,1x x ≠≠．

【总结升华】在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1．

举一反三：

【变式1】函数21log (2)x y x -=+的定义域为．