计算固体力学(有限元以及无网格方法)全套教学【121P】PPT课件
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有限元入门ppt课件
有限体积法 (Finite Volume Method)
其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。
1-2 应力的概念
作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有两种： 表面力，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成分，用记号 来表示。 体力，是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号X、Y、Z表示。 弹性体受外力以后，其内部将产生应力。
边界元法 （Boundary Element Method）
边界元法是一种继有限元法之后发展起来的一种新的数值方法，与有限元法不同，边界元法仅在定义域的边界划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件。所以边界元与有限元相比具有单元和未知数少、数据准备简单等优点，但边界元法解非线性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分奇异点处的强烈的奇异性，使求解遇到困难。边界元法在塑性问题中应用还比较少。
弹性力学 — 区别与联系 — 材料力学 弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们都同属于固体力学领域，但弹性力学研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围更广泛。 弹性力学 固有弱点： 由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定：
塑性有限元常用软件
清华大学计算固体力学全套课件
清华大学计算固体力学
TSINGHUA UNIVERSITY
全套课件
计算固体力学
TSINGHUA UNIVERSITY
第1章 绪论
计算固体力学课程体系
TSINGHUA UNIVERSITY
全面介绍非线性有限元的前沿性内容，使学习 者能进入这一领域的前沿，应用非线性有限元方法 求解弹塑性材料、几何大变形和接触碰撞这些非线 性力学的主要问题，增强工程结构中非线性计算和 虚拟仿真的能力，提高非线性有限元的教学和科研 水平。
TSINGHUA UNIVERSITY
计算固体力学课程体系
教学内容：
1. 绪论：非线性有限元的基本概念，发展历史，工程应用， 标记方法，网格表述和偏微分方程的分类。（2） 2. 一维L有限元：TL和UL格式的控制方程。E有限元：E公式 的控制方程，弱形式与强形式。（4） 3. 连续介质力学：变形和运动，应力－应变的度量，守恒 方程，框架不变性。（4） 4. L网格：UL有限元离散，编制程序，旋转公式。（4） 5. 材料本构模型：一维弹性，非线性弹性，如次弹性和超 弹性。一维塑性，多轴塑性，超弹－塑性（橡胶和泡沫 模型），粘弹性（蠕变和松弛等），经验本构模型，如 J-C方程等。应变硬化和软化。（4） 6. 求解方法：应力更新算法，平衡解答和隐式时间积分 （N-R求解等），显示时间积分（中心差分等） ，波的 传播问题。（4） TSINGHUA UNIVERSITY
Engineering Science- is the systematic acquisition of knowledge for the purpose of applying it to the solution of problems effecting the needs and well-being of human kind. SBES- engineering science and science that employs the principles and methods of modeling and computer simulation to acquire and apply knowledge for the benefit of human kind.
TSINGHUA UNIVERSITY
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计算固体力学
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第1章 绪论
计算固体力学课程体系
TSINGHUA UNIVERSITY
全面介绍非线性有限元的前沿性内容，使学习 者能进入这一领域的前沿，应用非线性有限元方法 求解弹塑性材料、几何大变形和接触碰撞这些非线 性力学的主要问题，增强工程结构中非线性计算和 虚拟仿真的能力，提高非线性有限元的教学和科研 水平。
TSINGHUA UNIVERSITY
计算固体力学课程体系
教学内容：
1. 绪论：非线性有限元的基本概念，发展历史，工程应用， 标记方法，网格表述和偏微分方程的分类。（2） 2. 一维L有限元：TL和UL格式的控制方程。E有限元：E公式 的控制方程，弱形式与强形式。（4） 3. 连续介质力学：变形和运动，应力－应变的度量，守恒 方程，框架不变性。（4） 4. L网格：UL有限元离散，编制程序，旋转公式。（4） 5. 材料本构模型：一维弹性，非线性弹性，如次弹性和超 弹性。一维塑性，多轴塑性，超弹－塑性（橡胶和泡沫 模型），粘弹性（蠕变和松弛等），经验本构模型，如 J-C方程等。应变硬化和软化。（4） 6. 求解方法：应力更新算法，平衡解答和隐式时间积分 （N-R求解等），显示时间积分（中心差分等） ，波的 传播问题。（4） TSINGHUA UNIVERSITY
Engineering Science- is the systematic acquisition of knowledge for the purpose of applying it to the solution of problems effecting the needs and well-being of human kind. SBES- engineering science and science that employs the principles and methods of modeling and computer simulation to acquire and apply knowledge for the benefit of human kind.
有限元基础教学课件PPT
ε E T u （几何线性）
为梯度矢
ε u 一一对应,多连通域中未必一一对应. 在单连通域中：
31
§0.2 应力分析
取P点处一微平行六面体与xyz平行， 决定P点应力状态的6个分量记为
ζ x y z yz zx xy
f f x fy fz
T
T
ε E u,
T
u : u u : P E ν ζ
p
物体表面 u , 取未知函数 u ，经代换
: E DE u f 0 : u : u u
T
Px, y, z
: P E ν DET u （位移表示的应力边界条件）
14
应用领域：机械工程
(a) 铲运机举升工况测试
(b) 铲运机插入工况有限元分析
WJD-1.5型电动铲运机
15
液压挖掘机
(a) KOMATSU液压挖掘机
(b) 某液压挖掘机动臂有限元分析
16
驾驶室受侧向力 应力云图
接触问题结构件 应力云图
17
液压管路速度场分布云图
磨片热应力云图
支架自由振动云图
称为弹性矩阵
34
ζ Dε 或 ε D 1ζ
1 1 1 D E 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 21 0 0 0 0 0 0 21 0 0 21 0 0 0 0
i 1
RB
m
(Gu g ) 0
i 1
m
为了消除残差，通常引进内部权函数 WI 和边界权函 数WB ，将它们分别与 RI 和 RB 相乘，列出消除内部残 值方程式及消除边界方程式分别如下： RIWI dv 0 V C j ( j 1,2,, n) m S RBWB ds 0
有限元法基础ppt课件
有限单元法
一、数值模拟方法概述 二、有限单元法简介 三、有限单元法分析步骤 四、利用有限元软件进行工程分析
一、数值模拟方法概述
工程技术领域中的许多力学问题和场问题，如固 体力学中的位移场、应力场分析、电磁学中的电磁 分析、振动特性分析、热力学中的温度场分析，流 体力学中的流场分析等，都可以归结为在给定边界 条件下求解其控制方程的问题。
结构矩阵分析方法认为：整体结构可以看作是由有限 个力学小单元相互连接而组成的集合体，每个单元的 力学特征可以看作建筑物的砖瓦，装配在一起就能提 供整体结构的力学特性。
结构矩阵分析方法分析的结构本身都明显地由杆件组 成，杆件的特征可通过经典的位移法分析建立。
虽然矩阵位移法整个分析方法和步骤都与有限单元法 相似，也是用矩阵来表达、用计算机来求解，但是它 与目前广泛应用的有限单元法是有本质区别的。
❖ 国际上早在20世纪50年代末、60年代初就投入大量的人力和 物力开发具有强大功能的有限元分析程序。其中最为著名的是 由美国国家宇航局（NASA）在1965年委托美国计算科学公司 和贝尔航空系统公司开发的NASTRAN有限元分析系统。该系 统发展至今已有几十个版本，是目前世界上规模最大、功能最 强的有限元分析系统。
有限元法
既可以分析杆系结构，又分析非杆系的连续 体结构。
三、有限单元法简介
有限单元法的常用术语：
有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。
定义
真实系统
有限元模型
自由度（DOFs－ degree of freedoms）
自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。
UY ROTY
ROTZ UZ
UX ROTX
目前在工程技术领域内常用的数值模拟方法有： 1、有限单元法FEM（ Finite Element Method） 2、边界元法BEM（Boundary Element Method ） 3、有限差分法FDM（ Finite Difference Method 4、离散单元法DEM（Discrete Element Method） 其中有限单元法是最具实用性和应用最广泛的。
有限元法PPT课件
和时间。
如何克服局限性
改进模型
通过更精确地描述实际 结构，减少模型简化带
来的误差。
优化网格生成
采用先进的网格生成技 术，提高网格质量，降
低计算误差。
采用高效算法
采用并行计算、稀疏矩 阵技术等高效算法，提
高计算效率。
误差分析和验证
对有限元法的结果进行误 差分析和验证，确保结果
的准确性和可靠性。
05 有限元法的应用实例
有限元法ppt课件
目 录
• 引言 • 有限元法的基本原理 • 有限元法的实现过程 • 有限元法的优势与局限性 • 有限元法的应用实例 • 有限元法的前沿技术与发展趋势 • 结论
01 引言
有限元法的定义
01
有限元法是一种数值分析方法， 通过将复杂的结构或系统离散化 为有限个简单元（或称为元素） 的组合，来模拟和分析其行为。
有限元法在流体动力学分析中能够处理复杂的流体流动和 压力分布。
详细描述
通过将流体域离散化为有限个小的单元，有限元法能够模 拟流体的流动、压力、速度等状态，广泛应用于航空、航 天、船舶等领域。
实例
分析飞机机翼在不同飞行状态下的气动性能，优化机翼设 计。
热传导分析
总结词
有限元法在热传导分析中能够处理复杂的热传递过程。
实例
分析复杂电磁设备的电磁干扰问题，优化设备性能。
06 有限元法的前沿技术与发 展趋势
多物理场耦合的有限元法
总结词
多物理场耦合的有限元法是当前有限元法的重要发展方向， 它能够模拟多个物理场之间的相互作用，为复杂工程问题提 供更精确的解决方案。
详细描述
多物理场耦合的有限元法涉及到流体力学、热力学、电磁学 等多个物理场的耦合，通过建立统一的数学模型，能够更准 确地模拟多物理场之间的相互作用。这种方法在航空航天、 能源、环境等领域具有广泛的应用前景。
如何克服局限性
改进模型
通过更精确地描述实际 结构，减少模型简化带
来的误差。
优化网格生成
采用先进的网格生成技 术，提高网格质量，降
低计算误差。
采用高效算法
采用并行计算、稀疏矩 阵技术等高效算法，提
高计算效率。
误差分析和验证
对有限元法的结果进行误 差分析和验证，确保结果
的准确性和可靠性。
05 有限元法的应用实例
有限元法ppt课件
目 录
• 引言 • 有限元法的基本原理 • 有限元法的实现过程 • 有限元法的优势与局限性 • 有限元法的应用实例 • 有限元法的前沿技术与发展趋势 • 结论
01 引言
有限元法的定义
01
有限元法是一种数值分析方法， 通过将复杂的结构或系统离散化 为有限个简单元（或称为元素） 的组合，来模拟和分析其行为。
有限元法在流体动力学分析中能够处理复杂的流体流动和 压力分布。
详细描述
通过将流体域离散化为有限个小的单元，有限元法能够模 拟流体的流动、压力、速度等状态，广泛应用于航空、航 天、船舶等领域。
实例
分析飞机机翼在不同飞行状态下的气动性能，优化机翼设 计。
热传导分析
总结词
有限元法在热传导分析中能够处理复杂的热传递过程。
实例
分析复杂电磁设备的电磁干扰问题，优化设备性能。
06 有限元法的前沿技术与发 展趋势
多物理场耦合的有限元法
总结词
多物理场耦合的有限元法是当前有限元法的重要发展方向， 它能够模拟多个物理场之间的相互作用，为复杂工程问题提 供更精确的解决方案。
详细描述
多物理场耦合的有限元法涉及到流体力学、热力学、电磁学 等多个物理场的耦合，通过建立统一的数学模型，能够更准 确地模拟多物理场之间的相互作用。这种方法在航空航天、 能源、环境等领域具有广泛的应用前景。
有限元课件ppt
整体刚度矩阵
将所有单元的刚度矩阵依照一定的方式组合起来，形成整体的刚度 矩阵。
载荷向量与束缚条件
载荷向量
表示作用在结构上的外力，包括集中力和散布力。
束缚条件
表示结构在某些结点上的位移受到限制，常见的束缚有固定束缚、 弹性束缚等。
载荷向量和束缚条件的引入
在建立整体刚度矩阵后，需要将载荷向量和束缚条件引入到整体刚 度矩阵中，形成完全的线性方程组。
并行计算
采取并行计算技术，提高计算效率。
算法改进
优化算法，提高计算精度和效率。
06 有限元分析软件 介绍
ANSYS
01
功能特点
ANSYS是一款功能强大的有限元分析软件，广泛应用于结构、流体、
电磁等多种工程领域。它提供了丰富的建模工具和求解器，能够处理复
杂的工程问题。
02
优点
ANSYS具有友好的用户界面和强大的前后处理功能，使得建模和网格
有限元法的应用领域
结构分析
有限元法在结构分析中应用最 为广泛，可以用于分析各种类 型的结构，如桥梁、建筑、机
械零件等。
热传导
有限元法可以用于求解温度场 的问题，如热传导、热对流和 热辐射等问题。
流体动力学
有限元法在流体动力学领域也 有广泛应用，可以用于求解流 体流动和流体传热等问题。
其他领域
除了上述领域外，有限元法还 广泛应用于电磁场、声场、化
学反应等领域。
02 有限元的数学基 础
线性代数基础
向量与矩阵
01
介绍向量的基本概念、向量的运算、矩阵的表示和运算规则等
。
线性方程组
02
论述线性方程组的解法，包括高斯消元法、LU分解等。
特征值与特征向量
将所有单元的刚度矩阵依照一定的方式组合起来，形成整体的刚度 矩阵。
载荷向量与束缚条件
载荷向量
表示作用在结构上的外力，包括集中力和散布力。
束缚条件
表示结构在某些结点上的位移受到限制，常见的束缚有固定束缚、 弹性束缚等。
载荷向量和束缚条件的引入
在建立整体刚度矩阵后，需要将载荷向量和束缚条件引入到整体刚 度矩阵中，形成完全的线性方程组。
并行计算
采取并行计算技术，提高计算效率。
算法改进
优化算法，提高计算精度和效率。
06 有限元分析软件 介绍
ANSYS
01
功能特点
ANSYS是一款功能强大的有限元分析软件，广泛应用于结构、流体、
电磁等多种工程领域。它提供了丰富的建模工具和求解器，能够处理复
杂的工程问题。
02
优点
ANSYS具有友好的用户界面和强大的前后处理功能，使得建模和网格
有限元法的应用领域
结构分析
有限元法在结构分析中应用最 为广泛，可以用于分析各种类 型的结构，如桥梁、建筑、机
械零件等。
热传导
有限元法可以用于求解温度场 的问题，如热传导、热对流和 热辐射等问题。
流体动力学
有限元法在流体动力学领域也 有广泛应用，可以用于求解流 体流动和流体传热等问题。
其他领域
除了上述领域外，有限元法还 广泛应用于电磁场、声场、化
学反应等领域。
02 有限元的数学基 础
线性代数基础
向量与矩阵
01
介绍向量的基本概念、向量的运算、矩阵的表示和运算规则等
。
线性方程组
02
论述线性方程组的解法，包括高斯消元法、LU分解等。
特征值与特征向量
《有限元基本原理》课件
这些有限元在节点处相互连接，形成 一个离散化的模型，用于模拟真实结 构的力学行为、热传导、电磁场分布 等。
有限元法的历史与发展
01
有限元法的思想起源于20世纪40年代，但直到1960年 才由美国科学家克拉夫（Clough）正式提出“有限元 法”这一术语。
02
随着计算机技术的发展，有限元法得到了广泛应用和推 广，成为工程领域中解决复杂问题的有力工具。
03
近年来，随着计算能力的提升和算法优化，有限元法的 应用范围不断扩大，涉及的领域也更加广泛。
有限元法的基本思想
01
将连续体离散化为有限个单元，每个单元具 有简单的几何形状和物理属性。
03
02
通过在节点处设置位移约束，将各个单元相 互连接，形成一个整体模型。
通过在各个单元上设置方程，建立整个离散 化模型的平衡方程组。
高阶有限元方法
与其他方法的结合
研究高阶有限元方法，以提高计算的精度 和稳定性。
研究有限元方法与其他数值方法的结合， 如有限差分法、有限体积法等，以拓展其 应用范围。
谢谢聆听
04 有限元法的应用实例
静力分析实例
总结词
静力分析是有限元法最常用的领域之一，主要用于分析结构在恒定载荷下的响应。
详细描述
静力分析用于评估结构在恒定载荷下的应力、应变和位移。例如，桥梁、高层建筑和飞机机身等结构 的稳定性分析。通过有限元法，可以模拟复杂结构的整体行为，并预测其在各种载荷条件下的性能。
动力分析实例
总结词
动力分析涉及结构在动态载荷下的响应 ，如地震、风载和冲击载荷等。
VS
详细描述
动力分析用于评估结构在动态载荷作用下 的振动、冲击和响应。例如，地震工程中 建筑物和桥梁的抗震性能分析。通过有限 元法，可以模拟结构的动态行为，预测其 在地震或其他动态载荷下的破坏模式和倒 塌过程。
有限元法的历史与发展
01
有限元法的思想起源于20世纪40年代，但直到1960年 才由美国科学家克拉夫（Clough）正式提出“有限元 法”这一术语。
02
随着计算机技术的发展，有限元法得到了广泛应用和推 广，成为工程领域中解决复杂问题的有力工具。
03
近年来，随着计算能力的提升和算法优化，有限元法的 应用范围不断扩大，涉及的领域也更加广泛。
有限元法的基本思想
01
将连续体离散化为有限个单元，每个单元具 有简单的几何形状和物理属性。
03
02
通过在节点处设置位移约束，将各个单元相 互连接，形成一个整体模型。
通过在各个单元上设置方程，建立整个离散 化模型的平衡方程组。
高阶有限元方法
与其他方法的结合
研究高阶有限元方法，以提高计算的精度 和稳定性。
研究有限元方法与其他数值方法的结合， 如有限差分法、有限体积法等，以拓展其 应用范围。
谢谢聆听
04 有限元法的应用实例
静力分析实例
总结词
静力分析是有限元法最常用的领域之一，主要用于分析结构在恒定载荷下的响应。
详细描述
静力分析用于评估结构在恒定载荷下的应力、应变和位移。例如，桥梁、高层建筑和飞机机身等结构 的稳定性分析。通过有限元法，可以模拟复杂结构的整体行为，并预测其在各种载荷条件下的性能。
动力分析实例
总结词
动力分析涉及结构在动态载荷下的响应 ，如地震、风载和冲击载荷等。
VS
详细描述
动力分析用于评估结构在动态载荷作用下 的振动、冲击和响应。例如，地震工程中 建筑物和桥梁的抗震性能分析。通过有限 元法，可以模拟结构的动态行为，预测其 在地震或其他动态载荷下的破坏模式和倒 塌过程。
有限元课件第1讲有限元方法概述-PPT精品文档
ui 1 ui u ( x ) ui ( x xi ) Li ui 第i结点的位移 xi 第i结点的坐标
第i个单元的应变 应力 内力
du ui 1 ui i dx Li
E (ui 1 ui ) i E i Li
EA(ui 1 ui ) N i A i Li
基本思路：分割-组合
将连续系统分割成有限个分区或单元（离散化） 用标准方法对每个单元提出一个近似解（单元分 析） 将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近 似的系统（整体分析）
这种分割-组合思想古而有之，如求圆面积。
圆面积
自重作用下等截面直杆的解
受自重作用的等截面直杆 如图所示，杆的长度为L， 截面积为A，弹性模量为E， 单位长度的重量为q，杆的 内力为N。
这一时期的理论研究是比较超前的。
我国力学工作者的贡献
陈伯屏（结构矩阵方法） 钱伟长、胡海昌（广义变分原理） 冯康（有限单元法理论）
20世纪60年代初期，冯康等人在大型水坝 应力计算的基础上，独立于西方创造了有 限元方法并最早奠定其理论基础。--《数 学辞海》第四卷
1.2 有限元分析的基本原理和思路
试求：杆的位移分布，杆 的应变和应力。
材料力学解答
N ( x) q ( L x)
N ( x) q x ( L x) A A
q x ( L x) E EA du ( x) q x ( L x) dx EA
q x2 u ( x) ( Lx ) EA 2
2等参北京航空航天大学34进度安排?第1讲有限元方法概述?第2讲矩阵分析及弹性力学基础?第3讲弹性问题有限元方法?第4讲等参元和高斯积分?第4讲等参元和高斯积分?第5讲结构单元?第6讲材料非线性?第7讲几何非线性?第8讲有限元应用专题北京航空航天大学课程评估?出勤率10?课堂作业40?期末考试50北京航空航天大学主要参考书籍1
有限元ppt课件
h h
y(xi )2 y(xi1) h
a x b x
y(xi1) 2 y(xi ) y(xi1)
h hi 2 i1
yi1 2 yi yi1 h2
(1 5)
x
13
将(1-4)(1-5)代入(1-3),得
yi1 2 yi h2
yi1
yi1 yi h
39
厚度为1的微分体,在水平方向拉
力F的作用下发生了位移 xdx
拉力表达式:
F xdy 1
x
x dy
拉力做的功:
dx
xdx
dW
1 2
F xdx
将F代入:
dW
1 2
x
x
dxdy
40
储存在微分体内的应变能:
x
x dy
dU
dW
1 2
x
x
dxdy
单位体积内的应变能:
17
因此有 y(x) (x)
试探函数中所取的项数越多，逼近的精度越高。
将试探函数代入式(1-9)，可以得到关于n个待定系数
的泛函表达式，简记为 I y(x) I(1,2,3, ,n)
根据多元函数有极值的必要条件，有
1
I (1,2 ,3,
2
I (1,2 ,3,
机械工程有限元法基础
1
有限元法是根据变分原理求解数学物理问题的一 种数值方法.
它从最初的固体力学领域 拓展到了
发展到了
从简单的静力分析
电磁学,流体力学,传热学, 声学等领域
动态分析,非线性分析, 多物理场耦合分析等复 杂问题的计算
y(xi )2 y(xi1) h
a x b x
y(xi1) 2 y(xi ) y(xi1)
h hi 2 i1
yi1 2 yi yi1 h2
(1 5)
x
13
将(1-4)(1-5)代入(1-3),得
yi1 2 yi h2
yi1
yi1 yi h
39
厚度为1的微分体,在水平方向拉
力F的作用下发生了位移 xdx
拉力表达式:
F xdy 1
x
x dy
拉力做的功:
dx
xdx
dW
1 2
F xdx
将F代入:
dW
1 2
x
x
dxdy
40
储存在微分体内的应变能:
x
x dy
dU
dW
1 2
x
x
dxdy
单位体积内的应变能:
17
因此有 y(x) (x)
试探函数中所取的项数越多，逼近的精度越高。
将试探函数代入式(1-9)，可以得到关于n个待定系数
的泛函表达式，简记为 I y(x) I(1,2,3, ,n)
根据多元函数有极值的必要条件，有
1
I (1,2 ,3,
2
I (1,2 ,3,
机械工程有限元法基础
1
有限元法是根据变分原理求解数学物理问题的一 种数值方法.
它从最初的固体力学领域 拓展到了
发展到了
从简单的静力分析
电磁学,流体力学,传热学, 声学等领域
动态分析,非线性分析, 多物理场耦合分析等复 杂问题的计算
固体力学线弹性问题有限元分析PPT课件
✓求解位移的微分方程描述文件
未知变量： DISP u v w uv w
未知变量对应微分方程弱形式中 的变量(几何方程中)
第17页/共22页
材料参数：
MATE pe pv fx fy fz rou alpha E v fx fy fz
单元刚度矩阵：
材料参数行对应微分方程弱形式 中的变量
dist =+[ev_i;ev_j]*sm_i_j*fact+[ep_i;ep_i]*shear*fact
V
xy xy
(1
E )(1
2
)
(0.5
)dV
V fx u f y v fz wdV Tx u Ty v Tz wd
第4页/共22页
对于弹性体的应力，采用最小二乘法，由线弹性问题的本构方程可以得到如下的弱形式：
V dV V DdV
线弹性问题属于固体力学中基础的学科分支，在ELAB1.0有限元软件中以公式库的形式提 供给大家，因此可以采用【公式库-固体力学-线弹性】直接生成的方式生成程序代码，
DEFI a ell b str a START a SOLV a SOLVSTR b a gidres(coor0);
第20页/共22页
坐标系(三维直角坐标系) a场0个初值3个自由度 a场方程描述文件+单元类型和积分方法 a场边界描述文件+单元类型和积分方法 b场0个初值6个自由度 b场方程描述文件+单元类型和积分方法 结束标志
zz xx
(1
E )(1
2
)
(
)dV
V
zz
yy
(1
E )(1
2
)
(
)dV
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vi
i(xi , yi ) u i
um vj
uj j(xj , yj )
x O
三角形单元
将位移试函数代入上式，并求偏导数，得
xxyy222111 (((bcciiiuuviii
bjuj cjvj cjuj
bmum) cmvm) cmum)(bivi
bjvj
bmvm)
第二章 平面弹性力学的有限元法
反映了单元的位移形态，称为形函数
vm
m (xm, ym)
vi
i(xi , yi ) u i
um vj
uj j(xj , yj )
x
三角形单元
同理有 vN iv i N jvj N m v m N kv k
则位移向量可表示为
i,j,m
{ } e 单元节点位移向量
ui
vi
{f
}
u v
Ni
0
0 Ni
求
L(u)0
解 域
u aiui
离 散
i
L'(ui) 0
AXB
各种数值方法
ui u(xi)离散节点的变量值
第一章 科学和工程中的数值方法
1.3 几个简单示例
(a) 开孔板力学模型
(b) 力学模型离散化
平面问题有限元法
第一章 科学和工程中的数值方法
BEM的变形
起重机吊钩
FEM的变形
第一章 科学和工程中的数值方法
2.2 三角形常应变单元
y
3 单元中的应变和应力
{}[B]{}e
由于[B]是常量，单元内各点应变分
量也都是常量，这是由于采用了线性位移 O 函数的缘故，这种单元称为三角形常应变 单元。
vm
m (xm, ym)
vi
i(xi , yi ) u i
E
1
1
0 0
1 2 0
0
1
2
第二章 平面弹性力学的有限元法
2.1 平面弹性力学的基本方程
2 平面应变问题
x 0 , x z0 , y z0
但一般情况下 z 0
平面应变问题的弹性矩阵只需将上页中的
E
换成 1
E
2
换成
1
即可。
1
D
E(1) (1)(12)
1
1
1
0
0
0
0
12
2(1)
第二章 平面弹性力学的有限元法
2.1 平面弹性力学的基本方程
无论是平面应力问题还是平面应变问题的应力
与 应变 之间的关系均为：
D 0 ，其中：
x
y
T xyxy源自 xy式中 0 为初应变。
第二章 平面弹性力学的有限元法
2.2 三角形常应变单元 1 结构的离散化
um vj
uj j(xj , yj )
x O
三角形单元
u (x,y)1 2x 3y v(x,y) 4 5x 6y
u iui
i
第二章 平面弹性力学的有限元法
2.2 三角形常应变单元
2 位移试函数
由于位移函数适用于单元中的任意 一点，所以代入3个节点的坐标后，得 出节点处位移函数为
ui12xi3yi uj 12xj3yj um12xm3ym
联立求解，得
121(aiui ajuj amum) 221(biui bjuj bmum) 321(ciui cjuj cmum)
y
vm
m (xm, ym)
vi
i(xi , yi ) u i
um vj
uj j(xj , yj )
x O
三角形单元
1 11
2
xi xj
1 xm
yi yj
12(bicj bjci)
岩体裂隙扩展
第二章 平面弹性力学的有限元法
2.1 平面弹性力学的基本方程 2.2 三角形常应变单元 2.3 单元的总势能 2.4 物体的总势能 2.5 有限元方程组 2.6 面积坐标 2.7 节点荷载向量的计算 2.8 结构总刚度矩阵的性质 2.9 有限元程序设计 2.10 有限元解的收敛性 2.11 矩形单元 2.12 6节点三角形单元 2.13 等参元
计算固体力学
整体 概述
一 请在这里输入您的主要叙述内容
二
请在这里输入您的主要 叙述内容
三 请在这里输入您的主要叙述内容
说
目录
第一章 科学和工程中的数值方法 第二章 平面弹性力学的有限元法 第三章 三维弹性力学的有限元法 第四章 无网格方法
第一章 科学和工程中的数值方法
1.1 科学和工程问题的研究方法 1.2 科学和工程中的数值方法 1.3 几个简单示例
加权余量法（加权残数法）
基础方法
最小二乘法、Galerkin方法
有限差分法
辅助方法
有限元法 边界元法
目前常用的计算固体力学方法
(在科学和工程各个领域得到广泛应用)
无网格方法
目前研究的热点之一
第一章 科学和工程中的数值方法
1.2 科学和工程中的数值方法
科学和工程中的数值方法的一般思路： 连续－离散
求解方程离散
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
uvjj
[IN i IN j IN m]{}e
um
vm
（位移试函数）
第二章 平面弹性力学的有限元法
2.2 三角形常应变单元 3 单元中的应变和应力
由几何方程知
{ }
x y
xy
x
0
y
0
y
u v
x
y
vm
m (xm, ym)
第一章 科学和工程中的数值方法
1.1 科学和工程问题的研究方法
科学研究的三大方法： 实验研究 (真实性)
实验条件，人力、物力和财力
理论分析 (严密性)
基本基于简单问题，难以适应复杂问题
数值方法 (近似性、虚拟性)
应用广泛，与实验和理论分析结合具有广阔前景
第一章 科学和工程中的数值方法
1.2 科学和工程中的数值方法
第二章 平面弹性力学的有限元法
2.1 平面弹性力学的基本方程
O
平面问题应力状态
平衡方程 几何方程 物理方程 边界条件
最小势能原理
第二章 平面弹性力学的有限元法
2.1 平面弹性力学的基本方程 1 平面应力问题
z 0 , x zz x0 , y zz y0 ,
z 0
平面应力问题的弹性矩阵为：
D
(a) 均匀受力板力学模型
(b) 力学模型离散化
平面问题有限单元法的计算力学模型
第二章 平面弹性力学的有限元法
2.2 三角形常应变单元
y
vm
2 位移试函数
在以位移为基本未知量的有 限元法中，需构造出单元的位移 插值函数，即位移试函数。
采用线性插值，位移试函数 可表示为
m (xm, ym)
vi
i(xi , yi ) u i
ym
（ ijm的面积，ijm逆时针0 ）
ai xjymxmyj bi yj ym ci xj xm
第二章 平面弹性力学的有限元法
2.2 三角形常应变单元
y
2 位移试函数
u N iu i N ju j N m u m N ku k
i,j,m
N i2 1 (aibixciy), (i,j,m )
O
i(xi , yi ) u i
um vj
uj j(xj , yj )
x O
三角形单元
将位移试函数代入上式，并求偏导数，得
xxyy222111 (((bcciiiuuviii
bjuj cjvj cjuj
bmum) cmvm) cmum)(bivi
bjvj
bmvm)
第二章 平面弹性力学的有限元法
反映了单元的位移形态，称为形函数
vm
m (xm, ym)
vi
i(xi , yi ) u i
um vj
uj j(xj , yj )
x
三角形单元
同理有 vN iv i N jvj N m v m N kv k
则位移向量可表示为
i,j,m
{ } e 单元节点位移向量
ui
vi
{f
}
u v
Ni
0
0 Ni
求
L(u)0
解 域
u aiui
离 散
i
L'(ui) 0
AXB
各种数值方法
ui u(xi)离散节点的变量值
第一章 科学和工程中的数值方法
1.3 几个简单示例
(a) 开孔板力学模型
(b) 力学模型离散化
平面问题有限元法
第一章 科学和工程中的数值方法
BEM的变形
起重机吊钩
FEM的变形
第一章 科学和工程中的数值方法
2.2 三角形常应变单元
y
3 单元中的应变和应力
{}[B]{}e
由于[B]是常量，单元内各点应变分
量也都是常量，这是由于采用了线性位移 O 函数的缘故，这种单元称为三角形常应变 单元。
vm
m (xm, ym)
vi
i(xi , yi ) u i
E
1
1
0 0
1 2 0
0
1
2
第二章 平面弹性力学的有限元法
2.1 平面弹性力学的基本方程
2 平面应变问题
x 0 , x z0 , y z0
但一般情况下 z 0
平面应变问题的弹性矩阵只需将上页中的
E
换成 1
E
2
换成
1
即可。
1
D
E(1) (1)(12)
1
1
1
0
0
0
0
12
2(1)
第二章 平面弹性力学的有限元法
2.1 平面弹性力学的基本方程
无论是平面应力问题还是平面应变问题的应力
与 应变 之间的关系均为：
D 0 ，其中：
x
y
T xyxy源自 xy式中 0 为初应变。
第二章 平面弹性力学的有限元法
2.2 三角形常应变单元 1 结构的离散化
um vj
uj j(xj , yj )
x O
三角形单元
u (x,y)1 2x 3y v(x,y) 4 5x 6y
u iui
i
第二章 平面弹性力学的有限元法
2.2 三角形常应变单元
2 位移试函数
由于位移函数适用于单元中的任意 一点，所以代入3个节点的坐标后，得 出节点处位移函数为
ui12xi3yi uj 12xj3yj um12xm3ym
联立求解，得
121(aiui ajuj amum) 221(biui bjuj bmum) 321(ciui cjuj cmum)
y
vm
m (xm, ym)
vi
i(xi , yi ) u i
um vj
uj j(xj , yj )
x O
三角形单元
1 11
2
xi xj
1 xm
yi yj
12(bicj bjci)
岩体裂隙扩展
第二章 平面弹性力学的有限元法
2.1 平面弹性力学的基本方程 2.2 三角形常应变单元 2.3 单元的总势能 2.4 物体的总势能 2.5 有限元方程组 2.6 面积坐标 2.7 节点荷载向量的计算 2.8 结构总刚度矩阵的性质 2.9 有限元程序设计 2.10 有限元解的收敛性 2.11 矩形单元 2.12 6节点三角形单元 2.13 等参元
计算固体力学
整体 概述
一 请在这里输入您的主要叙述内容
二
请在这里输入您的主要 叙述内容
三 请在这里输入您的主要叙述内容
说
目录
第一章 科学和工程中的数值方法 第二章 平面弹性力学的有限元法 第三章 三维弹性力学的有限元法 第四章 无网格方法
第一章 科学和工程中的数值方法
1.1 科学和工程问题的研究方法 1.2 科学和工程中的数值方法 1.3 几个简单示例
加权余量法（加权残数法）
基础方法
最小二乘法、Galerkin方法
有限差分法
辅助方法
有限元法 边界元法
目前常用的计算固体力学方法
(在科学和工程各个领域得到广泛应用)
无网格方法
目前研究的热点之一
第一章 科学和工程中的数值方法
1.2 科学和工程中的数值方法
科学和工程中的数值方法的一般思路： 连续－离散
求解方程离散
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
uvjj
[IN i IN j IN m]{}e
um
vm
（位移试函数）
第二章 平面弹性力学的有限元法
2.2 三角形常应变单元 3 单元中的应变和应力
由几何方程知
{ }
x y
xy
x
0
y
0
y
u v
x
y
vm
m (xm, ym)
第一章 科学和工程中的数值方法
1.1 科学和工程问题的研究方法
科学研究的三大方法： 实验研究 (真实性)
实验条件，人力、物力和财力
理论分析 (严密性)
基本基于简单问题，难以适应复杂问题
数值方法 (近似性、虚拟性)
应用广泛，与实验和理论分析结合具有广阔前景
第一章 科学和工程中的数值方法
1.2 科学和工程中的数值方法
第二章 平面弹性力学的有限元法
2.1 平面弹性力学的基本方程
O
平面问题应力状态
平衡方程 几何方程 物理方程 边界条件
最小势能原理
第二章 平面弹性力学的有限元法
2.1 平面弹性力学的基本方程 1 平面应力问题
z 0 , x zz x0 , y zz y0 ,
z 0
平面应力问题的弹性矩阵为：
D
(a) 均匀受力板力学模型
(b) 力学模型离散化
平面问题有限单元法的计算力学模型
第二章 平面弹性力学的有限元法
2.2 三角形常应变单元
y
vm
2 位移试函数
在以位移为基本未知量的有 限元法中，需构造出单元的位移 插值函数，即位移试函数。
采用线性插值，位移试函数 可表示为
m (xm, ym)
vi
i(xi , yi ) u i
ym
（ ijm的面积，ijm逆时针0 ）
ai xjymxmyj bi yj ym ci xj xm
第二章 平面弹性力学的有限元法
2.2 三角形常应变单元
y
2 位移试函数
u N iu i N ju j N m u m N ku k
i,j,m
N i2 1 (aibixciy), (i,j,m )
O