第六章第2节太阳与行星间的引力第3节万有引力定律

第2节 太阳与行星间的引力 第3节 万有引力定律2-3课时1.知道太阳与行星间存在引力作用及行星绕太阳运动的向心力是由太阳对它的引力提供．2．了解万有引力定律的发现过程，理解万有引力定律的内容，会用万有引力定律公式解决有关问题，注意公式的适用条件．3．知道引力常量的测定方法及其在物理学上的重要意义．一、太阳与行星间的引力1．太阳对行星的引力：设行星质量为m ，行星到太阳中心的距离为r ，则太阳对行星的引力：F ∝mr2．2．行星对太阳的引力：太阳与行星的地位相同，因此行星对太阳的引力和太阳对行星的引力规律相同(设太阳质量为M )，即F ′∝Mr2．3．太阳与行星间的引力：根据牛顿第三定律（相互作用力）F ＝F ′，又由于F ∝m r 2、F ′∝Mr 2，则有F ∝Mm r 2，写成等式F ＝G Mmr2，式中G 为比例系数．1．(1)太阳对行星的引力提供行星做圆周运动的向心力．( )(2)太阳对行星的引力大小与行星的质量成正比，与行星和太阳间的距离成反比．( ) (3)太阳对行星的引力公式是由实验得出的．( )(4)太阳对行星的引力公式是由开普勒行星运动定律和行星绕太阳做匀速圆周运动的规律推导出来的．( )提示：(1)√ (2)× (3)× (4)√ 二、月—地检验1．猜想：维持月球绕地球运动的力与使物体下落的力是同一种力，遵从“平方反比”的规律．2．推理：物体在月球轨道上运动时的加速度大约是它在地面附近下落时的加速度的1602．3．结论：计算结果与预期符合得很好．这表明：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律．2．(1)地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是同一种性质的力．( ) (2)地面物体所受地球的引力只与物体的质量有关，即G ＝mg .( ) (3)月球所受地球的引力只与月球质量有关．( ) 提示：(1)√ (2)× (3)× 三、万有引力定律1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的二次方成反比．2．表达式：F ＝G m 1m 2r 2．3 . 方向：连线上（画图说明）4．引力常量G ：由英国物理学家卡文迪许测量得出，常取G ＝6.67×10－11N ·m 2/kg 2.5. 适用条件：只适用于两个质点之间。

对于万有引力定律的表达式F ＝G m 1m 2r 2，下列说法中正确的是( )A ．只要m 1和m 2是球体，就可用上式求解万有引力B ．当r 趋于零时，万有引力趋于无限大C ．两物体间的引力总是大小相等的，而与m 1、m 2是否相等无关D ．两物体间的引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力知识点一 万有引力大小的计算质点、均匀球体类 非均匀球体挖补法(1)找到原来物体所受的万有引力、挖去部分所受的万有引力与剩余部分所受的万有引力之间的联系．(2)所挖去的部分为规则球体，剩余部分不再为球体时适合应用挖补法．若所挖去部分不是规则球体，则不适合应用挖补法．有一质量为M 、半径为R 的密度均匀球体，在距离球心O为2R 的地方有一质量为m 的质点，现在从M 中挖去一半径为R2的球体，如图所示，求剩下部分对m 的万有引力F 为多大？体积计算公式 半径有立方 质量与密度关系挖补法F=F1-F2 半径有平方 [答案] 7GMm36R 2知识点二 万有引力与重力的关系1.重力为地球引力的分力：如图所示，设地球的质量为M ，半径为R ，A 处物体的质量为m ，则物体受到地球的吸引力为F ，方向指向地心O ，由万有引力公式得F ＝G MmR 2.图中F 1为物体随地球自转做圆周运动的向心力，F 2就是物体的重力mg ，故一般情况下mg <G MmR2，方向并不指向地心．2．影响重力(重力加速度)大小的因素 (1)纬度对重力的影响①物体在赤道上，F 、F 1、mg 三者同向，F 1达到最大值mω2R ，由mg ＝G MmR 2－mω2R知，重力最小．②在地球两极处，由于F 向＝0，故mg ＝G MmR2，重力最大，方向指向地心．③地面上其他位置，重力mg <G MmR 2，方向并不指向地心．且随着纬度的增大，重力逐渐增大．(2)高度对重力的影响(不考虑自转)①在地球表面：mg ＝G Mm R 2，g ＝GMR2，g 为常数．②在距地面高h 处：mg ′＝G Mm （R ＋h ）2，g ′＝GM（R ＋h ）2，高度h 越大，重力加速度g ′越小．1、2.(2016·赣州高一检测)地球可近似看成球形，由于地球表面上物体都随地球自转，所以有( A )A ．物体在赤道处受的地球引力等于两极处，而重力小于两极处B ．赤道处的角速度比南纬30°大C ．地球上物体的向心加速度都指向地心，且赤道上物体的向心加速度比两极处大D ．地面上的物体随地球自转时提供向心力的是重力 2、地球表面重力加速度为g ，忽略地球自转的影响，在距地面高度为h 的空中重力加速度是地面上重力加速度的几倍？已知地球半径为R .不计地球自转的影响，物体受到的重力等于物体受到的万有引力． [答案] R 2（R ＋h ）2知识点三 运用万有引力定律分析求解综合问题运用万有引力定律分析求解相关综合问题时，首先必须明确问题涉及哪些知识内容，需要运用哪些物理规律，并注意把握以下几点．1．无论问题是涉及运动学规律，还是动力学规律，联系的桥梁都是重力加速度g ，要注意重力加速度的变化，特别是明确星球表面上g 0＝G M R 2，高度h 处g ＝G M （R ＋h ）2，即g随h 增加而减小．2．在地球上运用的运动学规律和动力学规律，在其他星球上仍然适用，只是重力加速度g 不同．1、2两个小点主要就是F 引=mg 的应用，与g 相关类。

3．运用火箭发射人造卫星时，在卫星尚未进入轨道时的加速过程中，由于具有竖直向上的加速度(或加速度有竖直向上的分量)，卫星内的物体处于超重状态，这种情况与加速上升的电梯中物体的超重相同．应用牛顿第二定律可算出不同高度处的重力加速度，进而求解其他量．4．当卫星进入轨道后，在正常运行的过程中，万有引力提供向心力，卫星环绕的向心加速度等于轨道处的重力加速度，卫星中的物体处于完全失重状态．凡是工作原理与重力有关的仪器(如天平、水银气压计等)在卫星中都不能正常使用，且与重力有关的实验在卫星中也都无法进行．其基本动力学方程为G Mm r 2＝ma ＝m v 2r ＝mrω2＝mr 4π2T2.某物体在地面上受到的重力为160 N ，将它放置在卫星中，在卫星以a ＝12g 的加速度随火箭向上加速升空的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互挤压的力为90 N 时，卫星距地球表面有多远？(地球半径R 地＝6.4×103 km ，g 表示地面处重力加速度，g 取10 m/s 2)[解题探究] (1)物体在加速上升的过程中所受的力有哪些？(2)物体所受的力是如何变化的？[解析] 卫星在升空过程中可以认为是竖直向上做匀加速直线运动，设卫星离地面的距离为h ，这时受到地球的万有引力为F ＝G Mm（R 地＋h ）2.在地球表面G MmR 2地＝mg ①在上升至离地面h 时，F N －G Mm（R 地＋h ）2＝ma .②由①②式得（R 地＋h ）2R 2地＝mgF N －ma，则h ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫mg F N －ma －1R 地．③ 将m ＝16 kg ，F N ＝90 N ，a ＝12g ＝5 m/s 2，R 地＝6.4×103 km ，g ＝10 m/s 2代入③式得h＝1.92×104 km.[答案] 1.92×104 km会不会太难了，放在后面点讲？典型问题——物体在赤道上的失重问题设地球为匀质球体，半径为R ，表面的引力加速度为g ＝GMR 2，并不随地球自转变化．(1)物体在赤道上的视重等于地球的引力与物体随地球自转所需的向心力之差． 对地球上的物体受力分析，由牛顿第二定律得 mg －F N ＝mω2R ，所以物体在赤道上的视重F N ＝mg －mω2R <mg .(2)物体在赤道上失去的重力等于物体绕地轴转动所需的向心力． 物体在赤道上失去的重力，即视重的减小量F ＝mg －F N ＝mω2R . (3)物体在赤道上完全失重的条件．设想地球自转角速度增大为ω0，使赤道上的物体刚好处于完全失重状态，即F N ＝0，则有F N ＝mg －mω20R ＝0，得mg ＝ma 0＝mω20R ＝m v 20R＝m⎝⎛⎭⎫2πT 02R ， 所以完全失重的临界条件为a 0＝g ＝9.8 m/s 2， ω0＝g R ≈1800rad/s ， v 0＝Rg ≈7.9 km/s ， T 0＝2πRg≈5 024 s ≈84 min. (4)地球不因自转而瓦解的最小密度．地球以T ＝24 h 的周期自转，不发生瓦解的条件是赤道上的物体受到的万有引力大于或等于该物体做圆周运动所需的向心力，即mg ≥m ⎝⎛⎭⎫2πT 2R ，由万有引力定律得g ＝GM R 2＝43GπρR ，所以，地球的密度ρ≥3πGT 2≈18.9 kg/m 3，即最小密度为ρmin ＝18.9 kg/m 3.而地球平均密度的公认值为ρ0＝5 523 kg/m 3≫ρmin ，所以足以保证地球处于稳定状态．地球赤道上的物体，由于地球自转产生的向心加速度a ＝3.37×10－2 m/s 2，赤道上的重力加速度g ＝9.77 m/s 2，试问：(1)质量为1 kg 的物体在地球赤道上所受地球的万有引力为多大？(2)要使在赤道上的物体由于地球的自转而飘起来，地球自转的角速度应加快到实际角速度的多少倍？[解析] (1)在赤道上，F 万＝mg ＋F 向＝mg ＋ma ＝9.803 7 N.(2)要使在赤道上的物体由于地球自转而飘起来，则有F 万＝F ′向＝mω20R ，得ω0＝F 万mR. ω0为飘起时地球自转的角速度，R 为地球半径．正常情况即实际角速度为ω，则mω2R＝ma ，ω＝aR ，故ω0ω＝9.803 73.37×10－2≈17.即自转角速度应加快到实际角速度的17倍． [答案] (1)9.803 7 N (2)17倍假设地球自转角速度增大，则赤道上的物体随地球自转做圆周运动所需向心力增大，“飘起”时，万有引力全部用来提供向心力．中子星是恒星演化过程中的一种可能结果，它的密度很大．现有一中子星，观测到它的自转周期T ＝130 s ，问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定，不致因自转而瓦解．(计算时星体可视为均匀球体，引力常量G ＝6.67×10－11N ·m 2/kg 2)解析：设中子星的密度为ρ，质量为M ，半径为R ，自转角速度为ω，位于赤道处的物体质量为m ，则有G MmR2＝mω2R ， 又知ω＝2πT ，中子星质量M ＝43πR 3ρ，联立以上各式得ρ＝3πGT 2，代入数据得ρ≈1.27×1014 kg/m 3. 答案：1.27×1014 kg/m 3[随堂达标]1．在牛顿的月－地检验中有以下两点：(1)由天文观测数据可知，月球绕地球运行周期为27.32天，月球与地球间相距3.84×108 m ，由此可计算出加速度a ＝0.002 7 m/s 2；(2)地球表面的重力加速度为9.8 m/s 2，月球的向心加速度与地球表面重力加速度之比为1∶3 630，而地球半径(6.4×106 m)和月球与地球间距离的比值为1∶60.这个比值的平方1∶3 600与上面的加速度比值非常接近．以上结果说明( )A ．地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是同一种性质的力B ．地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力不是同一种性质的力C ．地面物体所受地球的引力只与物体质量有关，即G ＝mgD ．月球所受地球的引力除与月球质量有关外，还与地球质量有关2．(多选)(2016·无锡高一检测)对于太阳与行星间的引力及其表达式F ＝G Mm r 2，下列说法正确的是( )A ．公式中G 为比例系数，与太阳、行星有关B ．太阳、行星彼此受到的引力总是大小相等C ．太阳、行星彼此受到的引力是一对平衡力，合力为零，M 、m 都处于平衡状态D ．太阳、行星彼此受到的引力是一对相互作用力3．如图所示，两球的半径小于R ，两球质量均匀分布，质量分别为m 1、m 2，则两球间的万有引力大小为( )A ．G m 1m 2R 21B ．G m 1m 2R 22C ．G m 1m 2（R 1＋R 2）2D ．G m 1m 2（R 1＋R 2＋R ）24．（讲了知识点1后才能做）设地球表面重力加速度为g 0，物体在距离地心4R (R 是地球的半径)处，由于地球对物体的万有引力的作用而产生的加速度为g ，则gg 0为( )A ．1 B.19 C.14D.1165．(选做题)如图所示，一个质量为M 的匀质实心球，半径为R .如果从球的正中心挖去一个直径为R 的球，放在相距为d 的地方．求两球之间的引力是多大．解析：根据匀质球的质量与其半径的关系 M ＝ρ×43πR 3∝R 3，两部分的质量分别为m ＝M 8，M ′＝7M 8根据万有引力定律，这时两球之间的引力为 F ＝G M ′m d 2＝7GM 264d 2.答案：7GM 264d 2[课时作业]第一节课后可以做1.2.3.6.7.8 一、单项选择题1．有两个大小一样、由同种材料制成的均匀球体紧靠在一起，它们之间的万有引力为F ，若用上述材料制成的两个半径更小的靠在一起的均匀球体，它们之间的万有引力将( )A ．等于FB ．小于FC ．大于FD ．无法比较2．(2016·成都高一检测)两颗行星的质量分别为m 1和m 2，它们绕太阳运行的轨道半径分别是r 1和r 2，若它们只受太阳引力的作用，那么这两颗行星的向心加速度之比为( )A ．1 B.m 2r 1m 1r 2 C.m 1r 2m 2r 1D.r 22r 213．假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d .已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )A ．1－dRB ．1＋dRC.⎝⎛⎭⎫R －d R 2D.⎝⎛⎭⎫R R －d 24．某行星可看成一个均匀的球体，密度为ρ，若在其赤道上随行星一起转动的物体对行星表面的压力恰好为零，则该行星的自转周期为(引力常量为G )( )A.4πG 3B.3πG 4C.3πρGD.πρG5．某星球的质量约为地球质量的9倍，半径约为地球半径的一半，若从地球表面高h 处平抛一物体，射程为60 m ，则在该星球上，从同样高度以同样的初速度平抛同一物体，射程应为( )A ．10 mB ．15 mC ．90 mD ．360 m二、多项选择题6．关于引力常量，下列说法正确的是( )A ．引力常量是两个质量为1 kg 的质点相距1 m 时的相互吸引力B ．牛顿发现了万有引力定律，测出了引力常量的值C ．引力常量的测定，证明了万有引力的存在D ．引力常量的测定，使人们可以测出天体的质量 7．下列说法正确的是( )A ．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了F ＝m v 2r ，这个关系式实际上是牛顿第二定律的公式，是可以在实验室中得到验证的B ．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了v ＝2πrT，这个关系式实际上是匀速圆周运动的一个公式，它是由速度的定义式得到的C ．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了r 3T 2＝k ，这个关系式实际上是开普勒第三定律，是可以在实验室中得到验证的D ．在探究太阳对行星的引力规律时，使用的三个公式都是可以在实验室中得到验证的 8．(2016·海口一中高一月考)要使两物体间的万有引力减小到原来的14，下列办法可以采用的是( )A ．使两物体的质量各减小一半，距离不变B ．使其中一个物体的质量减小到原来的14，距离不变C ．使两物体间的距离增为原来的2倍，质量不变D ．使两物体间的距离和质量都减为原来的149.(2016·厦门高一检测)如图所示，P 、Q 为质量均为m 的两个质点，分别置于地球表面上的不同纬度上，如果把地球看成一个均匀球体，P 、Q 两质点随地球自转做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )A ．P 、Q 受地球引力大小相等B ．P 、Q 做圆周运动的向心力大小相等C ．P 、Q 做圆周运动的角速度大小相等D ．P 受地球引力大于Q 所受地球引力 三、非选择题(难题，考虑自传影响，信息量大)10．(2016·河南焦作一模改编)由于地球的自转，物体在地球上不同纬度处随地球自转所需向心力的大小不同，所以同一个物体在地球上不同纬度处重力大小也不同，在地球赤道上的物体受到的重力与其在地球两极受到的重力大小之比约为299∶300，因此我们通常忽略两者的差异，可认为两者相等．而有些星球，却不能忽略．假如某星球因为自转的原因，一物体在星球赤道上的重力与其在该星球两极点受到的重力大小之比为7∶8，已知该星球的半径与地球的半径之比为12∶1，该星球的自转角速度与地球的自转角速度之比为5∶4，求该星球与地球表面的重力加速度之比．解析：在地球的极点处： G M 地mR 2地＝mg 地① 在地球的赤道处：G M 地m R 2地＝m ·299300g 地＋mω2地R 地② 在星球的极点处：G M 星mR 2星＝mg 星③在星球的赤道处： G M 星m R 2星＝m ·78g 星＋mω2星R 星④ 联立①②③④得g 星g 地＝8ω2星R 星300ω2地R 地＝12. 答案：1∶211．火星半径是地球半径的12，火星质量大约是地球质量的19，那么地球表面上质量为50 kg 的宇航员．(1)在火星表面上受到的重力是多少？(2)若宇航员在地球表面能跳1.5 m 高，那他在火星表面能跳多高？(在地球表面的重力加速度g 取10 m/s 2)答案：(1)222.2 N (2)3.375 m。