材料成型原理—第18章_金属塑性成形力学的工程应用

r
d d r r d d
r
由于
r
，因此，独立的应力分量仅剩下三个：
r z rz
接触表面，
由于分离单元体时，单元体的一组边界面是
rz 为单元体边界上的摩擦应力，且是已知
r 和 z
只需要建立一
的，剩下的未知应力只有两个，即 个方向的平衡方程就可以了。
( x y ) 4 4k
2 2 xy
2
化简为
2k 或 d x d y 2 2 2 0 ( ) 3 x y 对于轴对称问题，塑性条件 r z zr T 可简化为
x y

d r d z 0
4．简化接触面上的摩擦。采用以下三种
主应力法的基本原理
主应力法主要是将应力状态做一些近似假设，建立以 主应力表示的简化平衡方程和塑形条件，使求解过程 大大简化。
实质：将应力平衡微分方程 和屈服方程 联立求解
1.把问题简化成平面问题或轴对称问题； 2.根据金属的流动趋向和所选取的坐标系，对变形体截取包括接 触面在内的基元体或基元板块，切面上的正应力假定为主应力， 且均匀分布； 3.主应力法（切块法）对基元体列塑性条件，假定接触面上的正 应力为主应力，忽略摩擦力对塑形条件的影响。
因为挤压变形时x方向为压应变，y方向为拉应变，故σx 的绝对值必定大于σy的绝对值，故屈服方程可以改写为
2Y x y 3 we K2 2Y y In( ) xe K1 wb yK1 3
y＝0时，σy为金属挤入深度为ye时所需的单位变形力
K 2 we p In K1 wb
2mK d x dx h
x σy
τ xe
根据屈服方程及成形镦粗成形条 件，σx<σy
y x 2K; d y d x
σye x
上两式联立求解，得
2mK y xC h 利用应力边界体条件求积分常数C：当x＝xe，σy＝σye
2mK C ye xe h 2mK y ( xe x) ye h
3.轴对称镦粗型的变形力
镦粗 方向
σz τ
σr
σze
金属流动方向
h
dθ σr
σθ σr+ dr σθ
σr+ dr dr σz
r
τ re
可得高度为h，直径为d的圆柱体自由镦粗时接触面上的 压应力σz和单位变形力p
m d z Y [1 ( r )] h 2 md p Y (1 ) 6h
3. 采用近似的屈服准则。工程法把接触面上的正应 力假定为主应力，于是对于平面应变问题，塑性条 件
( x y ) 4 4k
2 2 xy
2
化简为
2k 或 d x d y 2 2 2 0 ( ) 3 x y 对于轴对称问题，塑性条件 r z zr T 可简化为
第18章 金属塑性变形力学工程应用

解析对象
主要是求解变形力，此外可以求解变形量和变形速度等
金属塑性加工时，加工设备可动工具使金属产生塑性 变形所需加的外力称为变形力。变形力是确定设备能 力、正确设计工模具、合理拟订加工工艺规程和确定 毛坯形状尺寸的必要的基本力学参数。

解析方法
工程法（slab法，主应力法） 滑移线法（slip line） 上限法（upper bound）（下限法）、上限单元法 有限单元法（FEM,Finite Element Method）
4.将经过简化的平衡微分方程和塑形条件联立求解，利用边界条 件确定积分常数，求得接触面上的应力分布，进而求得变形力。
主应力法解题基本原理
建立以主应力表示的简化平衡微分方程和塑性条件。
假设：
1．平板压缩、宽板轧制、圆柱体镦粗、棒材挤压 和拉拔等看作是平面应变问题和轴对称问题。
2．假设变形体内应力分布均匀，仅为某个坐标的 函数。以获得近似的应力平衡微分方程，或将变形区 内截取单元体切面上的正应力假定为主应力且均匀分 布，由此把该单元体的应力平衡微分方程改变为常微 分方程。
主应力法解题基本原理
建立以主应力表示的简化平衡微分方程和塑性条件。
假设：
1．平板压缩、宽板轧制、圆柱体镦粗、棒材挤压 和拉拔等看作是平面应变问题和轴对称问题。
2．假设变形体内应力分布均匀，仅为某个坐标的 函数。以获得近似的应力平衡微分方程，或将变形区 内截取单元体切面上的正应力假定为主应力且均匀分 布，由此把该单元体的应力平衡微分方程改变为常微 分方程。
假设：
1．平板压缩、宽板轧制、圆柱体镦粗、棒材挤压 和拉拔等看作是平面应变问题和轴对称问题。
2．假设变形体内应力分布均匀，仅为某个坐标的 函数。以获得近似的应力平衡微分方程，或将变形区 内截取单元体切面上的正应力假定为主应力且均匀分 布，由此把该单元体的应力平衡微分方程改变为常微 分方程。
3. 采用近似的屈服准则。工程法把接触面上的正应 力假定为主应力，于是对于平面应变问题，塑性条 件
hd x 2 yx dx 0
、 由上图中单元体求 力平衡方程，可得：
或
2 yx d x 0 dx h
根据假设， x
y
yx 是摩擦力且对屈服无 是主应力，
把k作常量处理
影响，由屈雷斯加条件：
x y 2k
d x d y
主应力法在塑性成形中的应用
1.平面应变镦粗型的变形力 2.平面应变挤压型的变形力
2.平面应变挤压型的变形力
we wf ye
2 Y 3
ye γ
金属 流动 方向 wb
δ
σy
σx
σx
σy
宽板从平面锥形凹模挤出或锻件充填模腔形成长筋等均
属这类。
we K2 x In( ) xe K1 wb yK1 K1 tan tan （为负值） 2 K2 YK1 (2 tan 2 tan 2 ) 3
x d x x dx yx 2 yx y h
x yx 0 x y
简化
d x 2 yx 0 dx h
适用于求该过程变形 力的力平衡微分方程
实际使用主应力法时，力平衡方程的建立， 有时并不是从已有的力平衡微分方程进行简化， 而是从变形体上截取单元体，并用力平衡方法建 立适当的力平衡方程
x yx 0 x y
简化
d x 2 yx 0 dx h
适用于求该过程变形 力的力平衡微分方程
实际使用主应力法时，力平衡方程的建立， 有时并不是从已有的力平衡微分方程进行简化， 而是从变形体上截取单元体，并用力平衡方法建 立适当的力平衡方程
hd x 2 yx dx 0
3.轴对称镦粗型的变形力
4.轴对称挤压型的变形力
1.平面应变镦粗型的变形力
镦粗 方向
σy τ
σx σx+ dx dx σy
σye
设τ＝mK（m为摩擦因子 ，K＝Y/√3）
h
金属流动方向
对基元板（设长dl）列平衡方程 Px xlh ( x d x )lh 2 ldx 0
3. 采用近似的屈服准则。工程法把接触面上的正应 力假定为主应力，于是对于平面应变问题，塑性条 件
( x y ) 4 4k
2 2 xy
2
化简为
2k 或 d x d y 2 2 2 0 ( ) 3 x y 对于轴对称问题，塑性条件 r z zr T 可简化为
中满足下面的体积不变条件：
V r z C
2
dV (2rzdr r dz) 0
2
2dr dz 0 r z
即： 2d r d z 0 又因为
d r d d z 0
d r d
根据列维-米塞斯的应力-应变关系式
d d ij ij
单位面积的平均变形能力（单位流动压力/变形抗力）p
P 1 p F xe

xe
0
mKxe y dx ye h
可推出宽度为b、高度为h的工件平面应变自由镦粗时接 触面上的压应力σy和单位变形力p（均为平均值）
m b y 2 K [1 ( x)] h 2 mb p 2 K (1 ) 4h
4.轴对称挤压型的变形力
P拉拔 P挤压 rb r p r K1 In re
2 e 2 e
rb r p r K1 In re
2 b 2 b
2[ (1 tan 2 ) Y tan ] K1 tan 凹模锥角 rb 原材料直径 re 产品直径
x y

d r d z 0
4．简化接触面上的摩擦。采用以下三种
k f n （滑动摩擦） 库仑摩擦定律：
最大摩擦定律： k k （粘着摩擦） 摩擦力不变条件: k m k （混合摩擦条件） 5．如不考虑工模具弹性变形的影响，材料变 形为均质和各向同性等。
平面应变问题基本方程的简化
、 由上图中单元体求 力平衡方程，可得：
或
2 yx d x 0 dx h
根据假设， x
y
yx 是摩擦力且对屈服无 是主应力，
把k作常量处理
影响，由屈雷斯加条件：
x y 2k
d x d y
轴对称问题基本方程的简化
研究轴对称问题，采用圆柱坐标系 (r, , z) 根据主应力法的假设，认为变形是均匀的。从变形体内分 离出来的单元体的界面是圆柱面，在变形过程中仍保持为 圆柱面。假想一个半径为r ，高为z的圆柱体，在变形过程
x d x x dx yx 2 yx y h
x yx 0 x y
简化
d x 2 yx 0 dx h
适用于求该过程变形 力的力平衡微分方程
实际使用主应力法时，力平衡方程的建立， 有时并不是从已有的力平衡微分方程进行简化， 而是从变形体上截取单元体，并用力平衡方法建 立适当的力平衡方程
hd x 2 yx dx 0
、 由上图中单元体求 力平衡方程，可得：
或
2 yx d x 0 dx h
根据假设， x
y
yx 是摩擦力且对屈服无 是主应力，
把k作常量处理
影响，由屈雷斯加条件：
x y 2k
d x d y
主应力法解题基本原理
建立以主应力表示的简化平衡微分方程和塑性条件。
在体积成形中的应用
对于复杂的成形问题，通过“分解”和“拼合”，可得 到整 个问题的解，通过与计算机技术的结合，能够节省人工 计算的繁琐。 1.复杂形状断面平面应变镦粗（模锻）应变镦粗变形力分析
k f n （滑动摩擦） 库仑摩擦定律：
最大摩擦定律： k k （粘着摩擦） 摩擦力不变条件: k m k （混合摩擦条件） 5．如不考虑工模具弹性变形的影响，材料变 形为均质和各向同性等。
平面应变问题基本方程的简化
x d x x dx yx 2 yx y h
x y

d r d z 0
4．简化接触面上的摩擦。采用以下三种
k f n （滑动摩擦） 库仑摩擦定律：
最大摩擦定律： k k （粘着摩擦） 摩擦力不变条件: k m k （混合摩擦条件） 5．如不考虑工模具弹性变形的影响，材料变 形为均质和各向同性等。
平面应变问题基本方程的简化