洛必达法则应用的几点思考
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【关键词】洛必达法则； 未定式； 极限
洛必达法则是 高 等 数 学 中 的 重 要 内 容，是 求 解 函 数 极
限的 一 种 有 效 方 法． 学 习 过 洛 必 达 法 则 的 同 学，在 求 解
“
0 0
”和“∞∞
”型 未 定 式 极 限 问 题 的 时 候，容 易 产 生 思 维 定
式，不够灵活，盲目 使 用 洛 必 达 法 则，出 现 对 定 理 认 识 不 到
lim
x→ + ∞
ex ex
－ +
e －x e －x
=
lim （ （ x→ + ∞
ex ex
－ +
e －x） e －x）
' '
=
lim
x→ + ∞
ex ex
+ －
e －x e －x
= lim （ （ x→ + ∞
ex ex
+ －
e －x） e －x）
' '
=
lim
x→ + ∞
ex ex
－ +
e e
－ －
lim 槡x2 + 1 = lim （ 槡x2 + 1） ' = lim x
x→ + ∞
x
x→ + ∞
x'
x→ + ∞ 槡x2 + 1
= lim
x'
= lim 槡x2 + 1．
槡 （ x→ + ∞ x2 + 1） ' x→ + ∞
x
注：
lim
x→ + ∞
槡x2
x
+ 1仍是“∞∞
”型，若继续使用洛必达法则，
则陷入无限循环，无法求出极限，故不能够继续使用洛必达
法则，需使用其他方法．
正解 例4
槡 槡 lim 槡x2 +1 = lim
x→ + ∞
x
x→ + ∞
x2 + x2
1
=
lim
x→ + ∞
1
+
1 x2
= 1．
求
lim
x→ + ∞
ex ex
－ +
e e
－ －
x x
．
错解 此极限是“∞∞ ”型，若使用洛必达法则，则
位，使用不恰当的情况． 本文比较全面地归纳了在使用洛必
达法则求解极限时常出现的几类问题和注意事项．
一、洛必达法则定理
定理 1
（
对
x→x0
时的“
0 0
”型未定式）
设函数
f（
x）
与
g（ x） 满足在点 x0 的附近（ 点 x0 可除外） 有定义，且
（ 1） limf（ x） = 0，limg（ x） = 0；
专题研究
114
ZHUANTI YANJIU
洛必达法则应用的几点思考
◎李晨鸽 （ 天津国土资源和房屋职业学院，天津 300270）
【摘要】洛必达法则是求解极限的一种有效方法，但使 用此法则需满足一定前提条件，使用不当容易导致错误． 本 文结合一些初学 者 应 用 洛 必 达 法 则 时 常 出 现 的 问 题 ，通 过 具体实例，讨论分析在使用此法则时的注意事项，提出解决 方案．
．
lim
esinx
= lim esinx ·cosx
x→0 log2 （ 1 + sinx） x→0
cosx
= ln2．
（ 1 + sinx） ·ln2
注：
此极限不是“
0 0
”型或“∞∞
”型未定式，不满足洛必
达法则使用条件，所以不能使用法则求解．
正解
lim
x→0
log2
（
1 + sinx） esinx
（ 3）
lim f'（ x） x→x0g'（ x）
= A（ A 为实数或 ± ∞ ） ，则
lim f（ x） = lim f'（ x） = A． x→x0g（ x） x→x0g'（ x）
上述定理同样适用于 x→∞ 时的“∞∞ ”型未定式．
二、在应用洛必达法则时常出现的问题
洛必达法则虽 然 是 求 解 未 定 式 的 有 效 途 径 ，但 使 用 洛
+ x
2 +
1
=
lim x→1 3
3 x2
x2 －
－3 2x －
1
=
lim 6x x→16x －
2
= lim 6 = 1． x→1 6
注： 连续多次使用洛必达法则时，每次使用法则前必须
验证“
0 0
”型或“∞∞
”型未定式条件是否成立．
lim x→1 6
6x x－
2
不
是
“
0 0
”型，不满 足 洛 必 达 法 则 使 用 条 件，不 能 继 续 使 用 洛 必
x x
．
注：
lim
x→ + ∞
ex ex
－ +
e e
－x －x
仍 是“∞∞
”型，若 继 续 使 用 洛 必 达 法
则，则陷入无限循 环，无 法 求 出 极 限，故 不 能 够 继 续 使 用 洛
必达法则，需使用其他方法． 正解 对分式进行整理，分子、分母同时除以 ex ，则 ex － e － x
lim
必达法则是有条件限制的． 在满足条件的前提下，可反复多
次使用，但不是万 能 工 具，有 时 需 要 与 等 价 无 穷 小 替 换、重
要极限等其他方法结合，效果更佳．
（
一）
不
满
足“
0 0
”和“∞∞
”型 未 定 式 条 件，扩 大 适 用
范围 例1
错解
求
lim x→0 log2 （
esinx 1 + sinx）
=
lxi→m0 log2 （ 1 + sinx） limesinx
=
0 1
= 0，
x→0
则
lim x→0 log2 （
esinx 1 + sinx）
=∞．
例2
求
lxi→m1 x3x－3
－ 3x x2 －
+2 ． x +1
错解
此极限是“
0 0
”型，若使用洛必达法则，则
lxi→m1 x3x－3
－ 3x x2 －
0 0
”型未定式．
定理 2 （ 对 x→x0 时的“∞∞ ”型未定式） 设函数 f（ x） 与
g（ x） 满足在点 x0 的附近（ 点 x0 可除外） 有定义，且
（ 1） limf（ x） = ∞ ，limg（ x） = ∞ ；
x→x0
x→x0
（ 2） f（ x） 与 g（ x） 在点 x0 的附近可导，且 g'（ x） ≠0；
x→x0
x→x0
（ 2） f（ x） 与 g（ x） 在点 x0 的附近可导，且 g'（ x） ≠0；
（ 3）
lim f'（ x） x→x0g'（ x）
= A（ A 为实数或 ± ∞ ） ，则
பைடு நூலகம்lim
x→x0
f（ g（
x） x）
=
lim
x→x0
f'（ g'（
x） x）
= A．
上述定理同样适用于
x→∞
时的“
达法则，否则会导致计算错误．
正解
lxi→m1 x3x－3
－ 3x x2 －
+ x
2 +
1
=
lim x→1 3
3 x2
x2 －
－3 2x －
1
= lim 6x = 3 ． x→16x － 2 2
（ 二） 盲目使用洛必达法则，陷入无限循环
例3
求
lim
x→ + ∞
槡x2
x
+1
．
错解 此极限是“∞∞ ”型，若使用洛必达法则，则
x→ + ∞
ex ex
－ +
e －x e －x
=
lim
x→ + ∞
e
x
ex + e－x
= lim 1 1 x→ + ∞
－ e －2x + e －2x
洛必达法则是 高 等 数 学 中 的 重 要 内 容，是 求 解 函 数 极
限的 一 种 有 效 方 法． 学 习 过 洛 必 达 法 则 的 同 学，在 求 解
“
0 0
”和“∞∞
”型 未 定 式 极 限 问 题 的 时 候，容 易 产 生 思 维 定
式，不够灵活，盲目 使 用 洛 必 达 法 则，出 现 对 定 理 认 识 不 到
lim
x→ + ∞
ex ex
－ +
e －x e －x
=
lim （ （ x→ + ∞
ex ex
－ +
e －x） e －x）
' '
=
lim
x→ + ∞
ex ex
+ －
e －x e －x
= lim （ （ x→ + ∞
ex ex
+ －
e －x） e －x）
' '
=
lim
x→ + ∞
ex ex
－ +
e e
－ －
lim 槡x2 + 1 = lim （ 槡x2 + 1） ' = lim x
x→ + ∞
x
x→ + ∞
x'
x→ + ∞ 槡x2 + 1
= lim
x'
= lim 槡x2 + 1．
槡 （ x→ + ∞ x2 + 1） ' x→ + ∞
x
注：
lim
x→ + ∞
槡x2
x
+ 1仍是“∞∞
”型，若继续使用洛必达法则，
则陷入无限循环，无法求出极限，故不能够继续使用洛必达
法则，需使用其他方法．
正解 例4
槡 槡 lim 槡x2 +1 = lim
x→ + ∞
x
x→ + ∞
x2 + x2
1
=
lim
x→ + ∞
1
+
1 x2
= 1．
求
lim
x→ + ∞
ex ex
－ +
e e
－ －
x x
．
错解 此极限是“∞∞ ”型，若使用洛必达法则，则
位，使用不恰当的情况． 本文比较全面地归纳了在使用洛必
达法则求解极限时常出现的几类问题和注意事项．
一、洛必达法则定理
定理 1
（
对
x→x0
时的“
0 0
”型未定式）
设函数
f（
x）
与
g（ x） 满足在点 x0 的附近（ 点 x0 可除外） 有定义，且
（ 1） limf（ x） = 0，limg（ x） = 0；
专题研究
114
ZHUANTI YANJIU
洛必达法则应用的几点思考
◎李晨鸽 （ 天津国土资源和房屋职业学院，天津 300270）
【摘要】洛必达法则是求解极限的一种有效方法，但使 用此法则需满足一定前提条件，使用不当容易导致错误． 本 文结合一些初学 者 应 用 洛 必 达 法 则 时 常 出 现 的 问 题 ，通 过 具体实例，讨论分析在使用此法则时的注意事项，提出解决 方案．
．
lim
esinx
= lim esinx ·cosx
x→0 log2 （ 1 + sinx） x→0
cosx
= ln2．
（ 1 + sinx） ·ln2
注：
此极限不是“
0 0
”型或“∞∞
”型未定式，不满足洛必
达法则使用条件，所以不能使用法则求解．
正解
lim
x→0
log2
（
1 + sinx） esinx
（ 3）
lim f'（ x） x→x0g'（ x）
= A（ A 为实数或 ± ∞ ） ，则
lim f（ x） = lim f'（ x） = A． x→x0g（ x） x→x0g'（ x）
上述定理同样适用于 x→∞ 时的“∞∞ ”型未定式．
二、在应用洛必达法则时常出现的问题
洛必达法则虽 然 是 求 解 未 定 式 的 有 效 途 径 ，但 使 用 洛
+ x
2 +
1
=
lim x→1 3
3 x2
x2 －
－3 2x －
1
=
lim 6x x→16x －
2
= lim 6 = 1． x→1 6
注： 连续多次使用洛必达法则时，每次使用法则前必须
验证“
0 0
”型或“∞∞
”型未定式条件是否成立．
lim x→1 6
6x x－
2
不
是
“
0 0
”型，不满 足 洛 必 达 法 则 使 用 条 件，不 能 继 续 使 用 洛 必
x x
．
注：
lim
x→ + ∞
ex ex
－ +
e e
－x －x
仍 是“∞∞
”型，若 继 续 使 用 洛 必 达 法
则，则陷入无限循 环，无 法 求 出 极 限，故 不 能 够 继 续 使 用 洛
必达法则，需使用其他方法． 正解 对分式进行整理，分子、分母同时除以 ex ，则 ex － e － x
lim
必达法则是有条件限制的． 在满足条件的前提下，可反复多
次使用，但不是万 能 工 具，有 时 需 要 与 等 价 无 穷 小 替 换、重
要极限等其他方法结合，效果更佳．
（
一）
不
满
足“
0 0
”和“∞∞
”型 未 定 式 条 件，扩 大 适 用
范围 例1
错解
求
lim x→0 log2 （
esinx 1 + sinx）
=
lxi→m0 log2 （ 1 + sinx） limesinx
=
0 1
= 0，
x→0
则
lim x→0 log2 （
esinx 1 + sinx）
=∞．
例2
求
lxi→m1 x3x－3
－ 3x x2 －
+2 ． x +1
错解
此极限是“
0 0
”型，若使用洛必达法则，则
lxi→m1 x3x－3
－ 3x x2 －
0 0
”型未定式．
定理 2 （ 对 x→x0 时的“∞∞ ”型未定式） 设函数 f（ x） 与
g（ x） 满足在点 x0 的附近（ 点 x0 可除外） 有定义，且
（ 1） limf（ x） = ∞ ，limg（ x） = ∞ ；
x→x0
x→x0
（ 2） f（ x） 与 g（ x） 在点 x0 的附近可导，且 g'（ x） ≠0；
x→x0
x→x0
（ 2） f（ x） 与 g（ x） 在点 x0 的附近可导，且 g'（ x） ≠0；
（ 3）
lim f'（ x） x→x0g'（ x）
= A（ A 为实数或 ± ∞ ） ，则
பைடு நூலகம்lim
x→x0
f（ g（
x） x）
=
lim
x→x0
f'（ g'（
x） x）
= A．
上述定理同样适用于
x→∞
时的“
达法则，否则会导致计算错误．
正解
lxi→m1 x3x－3
－ 3x x2 －
+ x
2 +
1
=
lim x→1 3
3 x2
x2 －
－3 2x －
1
= lim 6x = 3 ． x→16x － 2 2
（ 二） 盲目使用洛必达法则，陷入无限循环
例3
求
lim
x→ + ∞
槡x2
x
+1
．
错解 此极限是“∞∞ ”型，若使用洛必达法则，则
x→ + ∞
ex ex
－ +
e －x e －x
=
lim
x→ + ∞
e
x
ex + e－x
= lim 1 1 x→ + ∞
－ e －2x + e －2x