沪科版八年级数学二次根式知识点总结
沪教版八年级数学上册,二次根式备课笔记
沪教版八年级数学上册,二次根式备课笔记二次根式1.二次根式：形如a的式子（a≥0）叫做二次根式。
在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
二次根式的运算：①二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．②二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．1、二次根式的概念与识别二次根式2、二次根式的化简与运算3、分母含有二次根式的分数进行分母有理化例题1：形如a （）的式子叫做二次根式。
1153a 21b -22a b +220m +144-的个数是（）．A ．4B ．3C ．2D ．12、下列式子一定是二次根式的是（）A ．2--xB ．xC ．22+xD ．22-x练习：下列各式是二次根式吗?为什么？例2 、二次根式中字母的取值范围a 有意义，被开方数a ≥0，被开方数a 可以是数，也可以是式子x 取何值时,下列根式有意义?4223(8)1(9)42(10)3x -≤++--322(1) 32 (2) 12 (3) 8(4) a (5) -m (m 0) (6)2a -1 (7)a a 21(1)21(2)2(3)(4)1x x x x练习：①、若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是（）A ．m=0B ．m=1C ．m=2D ．m=3②、二次根式31-x 有意义的条件是。
③、求使下列各式有意义的字母的取值范围：（1）43-x （2）a 831- （3）42+m （4）x1-当x +11x +在实数范围内有意义？例3、最简二次根式被开方数同时符合两个条件：1、被开方数中各因式的指数都为12、被开方数不含分母像这样的二次根式叫做最简二次根式下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A ．14B ．48C ．ba D ．44+a 将下面的两个式子化为最简二次根式 (1).315)2(;72.0练习：将下列二次根式化为最简二次根式将下列二次根式化为最简二次根式0)b >)x y >将下列二次根式化成最简二次二次根式0)a > 0)a > 0)x >例题4：同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。
2025年沪科版八年级下册数学期末大单元复习第16章 二次根式
小亮
(2)仿照上面正确所以 ，所以
，当时，原式 .
15.(13分)【发现问题】在数学活动课上，李老师给出如下一列式子：; ; ; ；….爱思考的小辉同学发现，任意一个奇数，都可以写成两个相邻整数的平方差.
【提出问题】小辉同学根据上述式子的规律，结合本学期学习的二次根式，提出这样一个问题：若与 是两个相邻的整数，其中，则 .
期末大单元复习
第16章 二次根式
大单元串联
“题串考点”是将本章重要考点全部融入题中，高效复习本章内容.
要点知识(1)当时有意义.(2)最简二次根式满足条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式，合并同类二次根式与合并同类项类似.
1.[2024·安庆期末] 下列是最简二次根式的是( )
B
A. B. C. D.
2.下列各式计算正确的是( )
D
A. B. C. D.
3.[2023·蚌埠月考] 估计 的值应在( )
B
A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间
4.[2024·淮南期末] 已知是正整数，是整数，则 的最小值是( )
三、解答题(共45分)
12.(8分)[2024·蚌埠月考] 计算：
(1) ；
解：原式 .
(2) .
解：原式 .
13.(12分)[2023·滁州月考] 已知， ，求下列各式的值：
(1) ；
解：原式 .
(2) .
解：原式 .
14.(12分)先化简，再求值： ，其中 .如图是小亮和小芳的解答过程.
八年级数学二次根式常考必考知识点总结
二次根式是指形如√a的表示形式，其中a为一个非负实数。
在八年级数学中，二次根式是一个非常重要且常考的知识点。
下面是对八年级数学二次根式常考必考知识点的总结：1.二次根式的定义：√a表示一个非负实数x，使得x的平方等于a。
其中，a被称为被开方数，x被称为开方根。
2.二次根式的性质：-非负实数的二次根式是唯一确定的。
-如果a≥0，则√a≥0。
-如果a≥0，则(√a)²=a。
3.二次根式的化简：-如果被开方数是一个完全平方数，则可以直接得出其简化形式，如√4=2-如果被开方数可以分解为两个完全平方数的乘积，则可以使用分解法简化，如√12=√(4×3)=2√3-如果被开方数是一个分数，则可以使用有理化方法简化，如√(1/4)=1/√4=1/24.二次根式的运算：-二次根式可以进行加减运算，只要被开方数相同，可以直接相加或相减。
如√2+√2=2√2-二次根式可以进行乘法运算，使用分配律进行展开相乘，然后根据二次根式的性质进行简化。
如(√2+√3)(√2-√3)=2-3=-1-二次根式可以进行除法运算，使用有理化方法进行化简，然后根据二次根式的性质进行简化。
如(√5)/(√2)=(√5)/(√2)×(√2)/(√2)=(√10)/25.二次根式的混合运算：-二次根式可以与整数、分数和其他二次根式进行混合运算。
-混合运算的步骤是先进行内部运算（例如，括号中的运算），然后进行外部运算（例如，开方）。
-在混合运算中，注意运算顺序和运算法则的正确应用，避免出错。
6.二次根式的应用：-二次根式经常出现在几何问题中，如计算边长、面积和体积。
-二次根式也经常出现在实际生活中的计算中，如物体的质量和长度的计算。
以上是八年级数学中关于二次根式的常考必考知识点的总结。
掌握这些知识点，可以帮助学生正确理解和运用二次根式，提高解题能力和数学思维能力。
同时，通过反复练习相关题目，也能够加深对二次根式的理解和掌握。
八下·二次根式知识点大全
沪科版·八下二次根式【二次根式·章节知识图谱】二次根式及其化简定义一般地，形如的式子叫做二次根式。
二次根式应满足两个条件，即含有二次根式且被开方数大于或等于0.注意：二次根式的被开方数a可以是数，也可以是式子，但必须满足a≥0.性质性质1：性质2：积的算术平方根：误区警示：应用积的算术平方根性质的前提条件是乘积中的每一个因数（因式）必须是非负数。
性质3：商的算术平方根：误区警示：应用商的算术平方根性质的前提条件是a≥0，b＞0最简二次根式（1）定义：一般地，被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。
（2）识别一个二次根式是否是最简二次根式，主要依据两点：①被开方数中的因数是整数，因式是整式；（被开方数不含分母）②被开方数中不含能开的尽方的因数或因式。
二次根式的乘除二次根式的乘法（1）法则：注意：a,b可以是一个具体的数，也可以是含字母的代数式。
（2）拓展：二次根式的乘法法则可以推广到多个二次根式相乘，即（3）误区警示:二次根式相乘的结果就是要化简成最简二次根式或整式。
二次根式的除法（1）法则：注意：a,b可以是一个具体的数，也可以是含字母的代数式。
（2）技巧：如果二次根式的被开方数是带分数，应先将带分数化为假分数。
分母有理化（1）定义：对于二次根式的除法，把分母中的根号化去的过程，叫做分母有理化。
（2）步骤：一移。
即将分子、分母中能开的尽方的因数或因式移到根号外面；二乘，即将分子、分母同时乘以分母的有理化因数或因式；三化，即化简计算。
（3）常用的有理化因式：二次根式的加减同类二次根式(1)定义：几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。
（2）归纳总结：①一个二次根式不能叫做同类二次根式，至少需要两个二次根式才有可能称为同类二次根式；②要判断几个根式是不是同类二次根式，需先化简根号里面的数，把非最简二次根式化为最简二次根式，然后判断.法则二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式合并.步骤一化，即化为最简二次根式，二找，即找出同类二次根式，三合，即合并同类二次根式，也就是系数相加减，指数与被开方数不变。
新沪科版八年级数学下册第16章《二次根式》精品课件
梳理四.二次根的乘除
（1）、积的算术平方根的性质
a ba b (a 0 ,b 0 )
积的算术平方根，等于积中各因式的算 术平方根的积. （2）、二次根式的乘法法则
（5）.既可表示开方运算,也可表示运算的 结果.
梳理二．二次根式的性质
（1）． a0 （ ａ 0）
（2）． ( a)2 a (a≥0, )
（3）．
a2
a
{a,a0 a,a0
梳理三.代数式的定义
形如5，a,a b,ab, s , x2, 3, a(a≥ 0 )
t 的 式 子 ， 它 们 都 是 用本基运 算 符 号 （ 基 本 运 算 包 括 加 、 减 、 乘除、、 乘 方 和 开 方 ） 把 数 和 表 示 数 的 字 母接连起 来 的 式 子 ，
则Ｘ的取值范围是＿＿＿
9 计 算 (1)： 0 2( 33)2 解：(1)0 2(33)2 1 0(3)2( 3)2 1027 17
10、式子 (a1)2 a1成立的条件
是（ D ）
A.a1
B.a1
C.a1 D.a1
11、已知三角形的三边长分别是a、b、c，
且 ac，那么 ca (acb)2
（3）.判断几个二次根式是否是同类二次根式的关键是 将几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同.
（4）.二次根式的乘除运算可以考虑先进行被开方数的 约分问题，再化简二次根式，而不一定要先将二次
根式化成最简二次根式，再约分.
（5）.对有关二次根式的代数式的求值问题一般应对已 知式先进行化简，代入化简后的待求式，同时还应注意 挖掘隐含条件和技巧的运用使求解更简捷.
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上海市沪教版八年级数学上下册知识点梳理第十六章 二次根式第一节 二次根式的概念和性质16.1 二次根式1． 二次根式的概念: 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或0。
2． 二次根式的性质 ①⎩⎨⎧≤-≥==)0()0(2a a a a a a ； ②)0()(2≥=a a a ③)0,0(≥≥⋅=b a b a ab ； ④)0,0(>≥=b a ba b a 16.2 最简二次根式与同类二次根式1. 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．2.化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式16.3 二次根式的运算1.二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并．2.二次根式的乘法:等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ).0,0(≥≥=⋅b a ab b a3.二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式．4.二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化．二次根式的运算法则：≥0)).0,0(≥≥=⋅b a ab b a=a ≥0,b>0）n =≥0)第十七章 一元二次方程17.1 一元二次方程的概念1．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程2．一般形式y=ax ²+bx+c （a ≠0），称为一元二次方程的一般式，ax 叫做二次项,a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项17.2 一元二次方程的解法1．特殊的一元二次方程的解法：开平方法，分解因式法2．一般的一元二次方程的解法：配方法、求根公式法3．求根公式2b x a -±=：1222b b x x a a---= , = ； △=24b ac -≥017.3 一元二次方程的判别式1．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠：△＞0时，方程有两个不相等的实数根△＝0时，方程有两个相等的实数根△＜0时，方程没有实数根2．反过来说也是成立的17.4 一元二次方程的应用1．一般来说，如果二次三项式2ax bx c ++（0a ≠）通过因式分解得2ax bx c ++=12()()a x x x x --；1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根2．把二次三项式分解因式时；如果24b ac -≥0，那么先用公式法求出方程的两个实数根，再写出分解式如果24b ac -＜0，那么方程没有实数根，那此二次三项式在实数范围内不能分解因式 第十八章 正比例函数和反比例函数18.1．函数的概念1．在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量2．在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y ，如果在变量x 的允许取之范围内，变量y 随变量x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量3．表达两个变量之间依赖关系的数学是自称为函数解析式()y f x =4．函数的自变量允许取之的范围，叫做这个函数的定义域；如果变量y 是自变量x 的函数，那么对于x 在定义域内去顶的一个值a ，变量y 的对应值叫做当x=a 时的函数值18.2 正比例函数1． 如果两个变量每一组对应值的比是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成正比例2．正比例函数:解析式形如y=kx （k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，气质常数k 叫做比例系数；正比例函数的定义域是一切实数3．对于一个函数()y f x =，如果一个图形上任意一点的坐标都满足关系式()y f x =，同时以这个函数解析式所确定的x 与y 的任意一组对应值为坐标的点都在图形上，那么这个图形叫做函数()y f x =的图像4．一般地，正比例函数y kx =(0)k k ≠是常数且的图像时经过原点O （0,0）和点（1，k ）的一条直线，我们把正比例函数y kx =的图像叫做直线y kx =18.3 反比例函数1．如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例2．解析式形如(0)k y k k x=≠是常数,的函数叫做反比例函数，其中k 也叫做反比例系数 反比例函数的定义域是不等于零的一切实数18.4函数的表示法1．把两个变量之间的依赖关系用数学式子来表达------解析法2．把两个变量之间的依赖关系用图像来表示------图像法3．把两个变量之间的依赖关系用表格来表示------列表法第十九章 几何证明19.1 命题和证明1．我们现在学习的证明方式是演绎证明，简称证明2．能界定某个对象含义的句子叫做定义3．判断一件事情的句子叫做命题；其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题4．数学命题通常由题设、结论两部分组成5．命题可以写成“如果……那么……”的形式，如果后是题设，那么后是结论19.2 证明举例1．平行的判定，全等三角形的判定19.3 逆命题和逆定理1．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，二第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题2．如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理19.4线段的垂直平分线1. 线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
沪教版数学初二上——二次根式概念及性质
【习题7】化简：
（1） ；（2） ．
【习题8】计算 的值
【例11】化简：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） （ ）．
【例12】化简：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ．
【例13】把下列各式中根号外面的因式移到根号内，并使原式的值不变．
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
【例14】化简：
（1） ；（2） ．
【例15】化简：
（1） ；（2） ．．
【例16】已知 ，求x的取值范围．
2、二次根式的性质
性质1： 推广性质1可得到：
性质：
性质3：
性质4：
二、例题讲解
【例1】下列各式中，二次根式的个数有（）
； ； ； ； ； ．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【例2】添加什么条件时，下列式子是二次根式？
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
【例3】等式 成立的条件是（）
A． B． C． D．
二次根式的概念与性质
一、知识精讲
知识一、二次根式、无理数、实数的概念
当被开方数部分是整数时，该二次根式可以看作一个无理数（开方开不尽的时候），表示对一个整数求算术平方根，联想之前七年级的中点逼近法求范围
知识二、二次根式的概念和性质
1、形如 （a ）的代数式，叫做二次根式，a是被开方数．
举例说明： 、 、 、 等都是二次根式．在实数范围内，负数没有平方根，所以像 ， 这样的式子没有意义，二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．
【例17】
已知 ，求代数式 的值．
【例18】已知 的个位数字．
【例19】已知：m= ，求 的值．
上海沪教版八年级数学上下册知识点梳理完整版
上海沪教版八年级数学上下册知识点梳理 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】上海市沪教版八年级数学上下册知识点梳理第十六章 二次根式第一节 二次根式的概念和性质二次根式1．二次根式的概念: 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或0。
2．二次根式的性质 ①⎩⎨⎧≤-≥==)0()0(2a a a a a a ； ②)0()(2≥=a a a ③)0,0(≥≥⋅=b a b a ab ； ④)0,0(>≥=b a ba b a 最简二次根式与同类二次根式1. 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．2.化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式二次根式的运算1.二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并．2.二次根式的乘法:等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ).0,0(≥≥=⋅b a ab b a3.二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式．4.二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化．二次根式的运算法则：(c ≥0)=a ≥0,b>0）n =≥0)第十七章 一元二次方程一元二次方程的概念1．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程2．一般形式y=ax2+bx+c （a ≠0），称为一元二次方程的一般式，ax 叫做二次项,a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项一元二次方程的解法1．特殊的一元二次方程的解法：开平方法，分解因式法2．一般的一元二次方程的解法：配方法、求根公式法3．求根公式2b x a -±=：1222b b x x a a-+--= , = ； △=24b ac -≥0一元二次方程的判别式1．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠：△＞0时，方程有两个不相等的实数根△＝0时，方程有两个相等的实数根△＜0时，方程没有实数根2．反过来说也是成立的一元二次方程的应用1．一般来说，如果二次三项式2ax bx c ++（0a ≠）通过因式分解得2ax bx c ++=12()()a x x x x --；1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根2．把二次三项式分解因式时；如果24b ac -≥0，那么先用公式法求出方程的两个实数根，再写出分解式如果24b ac -＜0，那么方程没有实数根，那此二次三项式在实数范围内不能分解因式3．实际问题：设，列，解，答第十八章 正比例函数和反比例函数．函数的概念1．在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量2．在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y ，如果在变量x 的允许取之范围内，变量y 随变量x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量3．表达两个变量之间依赖关系的数学是自称为函数解析式()y f x =4．函数的自变量允许取之的范围，叫做这个函数的定义域；如果变量y 是自变量x 的函数，那么对于x 在定义域内去顶的一个值a ，变量y 的对应值叫做当x=a 时的函数值正比例函数1． 如果两个变量每一组对应值的比是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成正比例2．正比例函数:解析式形如y=kx （k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，气质常数k 叫做比例系数；正比例函数的定义域是一切实数3．对于一个函数()y f x =，如果一个图形上任意一点的坐标都满足关系式()y f x =，同时以这个函数解析式所确定的x 与y 的任意一组对应值为坐标的点都在图形上，那么这个图形叫做函数()y f x =的图像4．一般地，正比例函数y kx =(0)k k ≠是常数且的图像时经过原点O （0,0）和点（1，k ）的一条直线，我们把正比例函数y kx =的图像叫做直线y kx =5． 正比例函数y kx =(0)k k ≠是常数且有如下性质：（1）当k ＜0时，正比例函数的图像经过一、三象限，自变量x 的值逐渐增大时，y 的值也随着逐渐增大（2）当k ＜0时 ，正比例函数的图像经过二、四象限，自变量x 的值逐渐增大时，y 的值则随着逐渐减小反比例函数1．如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例2．解析式形如(0)k y k k x=≠是常数,的函数叫做反比例函数，其中k 也叫做反比例系数反比例函数的定义域是不等于零的一切实数3．反比例函数(0)k y k k x=≠是常数,有如下性质： （1）当k ＞0时，函数图像的两支分别在第一、三象限，在每一个象限内，当自变量x 的值逐渐增大时，y 的值则随着逐渐减小（2）当k ＜0时 ，函数图像的两支分别在第二、四象限，在每一个象限内。
二次根式知识点总结
二次根式知识点总结二次根式知识点总结上海初中数学二次根式知识点知识要领：正数a的正的平方根和零的平方根统称为算术平方根，用√ā(a≥0)来表示。
二次根式1、如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
即，如果一个数x=a，那么这个数x是a的平方根。
二次根式的定义和概念：1、定义：一般形如√ā(a≥0)的代数式叫做二次根式。
当a≥0时，表示a的算术平方根;当a小于0时，非二次根式(在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根)被开方数必须大于等于0。
2、概念：式子√ā(a≥0)叫二次根式。
√ā(a≥0)是一个非负数。
其中，a叫做被开方数。
√a的性质和几何意义1)a≥0 ; √a≥0 [ 双重非负性 ]2)(√a)^2=a (a≥0)[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式]3) c=√a^2+b^2表示直角三角形内，斜边等于两直角边的平方和的根号，即勾股定理推论。
4) √a^2 = |a|化最简二次根式如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√2、√3、√6、√7、√a(a≥0)、√x+y 等;含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√4、√9、√16、√25、√a^2、√(x+y)^2、√x^2+2xy+y^2等最简二次根式同时满足下列三个条件：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式;(2)被开方数中不含有能开的尽的因式;(3)被开方数不含分母。
知识点总结：一般形如√ā(a≥0)的代数式叫做二次根式。
初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。
平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
二次根式的加减(知识讲解)-八年级数学下册基础知识专项讲练(沪科版)
专题16.7 二次根式的加减（知识讲解）【学习目标】1、理解并掌握同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；2、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.【要点梳理】要点一、同类二次根式1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.特别说明：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)特别说明：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.要点二、二次根式的加减1.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.特别说明：（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.（2）二次根式加减运算的步骤：1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；3)合并同类二次根式.要点三、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.特别说明：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.【典型例题】类型一、二次根式➽➼概念➽➼同类二次根式✭✭分母有理化1．判断下列二次根式中哪些是同类二次根式：举一反三：【变式1a的值．【点拨】本题考查同类二次根式，掌握同类二次根式的定义，即“被开方数相同的几个最简二次根式是同类二次根式”正确解答的前提．【变式2】分别求出满足下列条件的字母a的取值：(1)(2)2．【阅读材料】把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的．．=【理解应用】(1) 化简： ∵∵ (2)2020++ 2020++【点拨】本题考查了分母有理化，正确的计算是解题的关键．举一反三：【变式1)3x x ≤【变式2【点拨】本题考查根式的运算，解题的关键是熟练掌握根式的运算及根式分母有理化．类型二、二次根式➽➼二次根式的加减运算-+-+．3．计算：38|32|12举一反三：【变式1】计算：6-【变式2】计算：(1)(2) )011+类型三、二次根式➽➼二次根式的混合运算4．计算下列各式．(1)1)举一反三：．【变式1|1【分析】先运用二次根式乘法法则计算，并化简二次根式，去绝对值符号，最后合并同类二次根式即可．【点拨】本题考查二次根式的混合运算，化简绝对值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【变式2】计算：(1)1 (2))21+．类型四、二次根式➽➼二次根式的化简求值5．解答下列各题(1) 已知2x =，2y =．求22x xy y ++的值．(2) 若2y =，求y x 的平方根．【答案】(1) 19; (2) 3±.【分析】（1）分别求出22,,x y xy ，再代入到代数式求值即可；举一反三：【变式1】已知x =y 22205520x xy y ＋＋的值．【点拨】本题主要考查了分母有理化，正确化简各数是解题关键．【变式2】已知3x =+3y =-(1) x y +=______；x y -=______；xy =______．(2) 根据以上的计算结果，利用整体代入的数学方法，计算式子223x xy y x y -+--的值．【点拨】本题考查了二次根式的化简求值问题，正确对所求式子变形是解本题的关键．类型五、二次根式➽➼应用6．阅读材料并回答问题肖博睿同学发现如下正确结论：材料一：若0A B ->，则A B >；若0A B -=，则A B =；若0A B -<，则A B <；材料二：完全平方公式：（1）()2222a ab b a b ++=+；（2）()2222a ab b a b -+=-．(1)(2) 2912x x ++___________()2______2=+；(3) 试比较142x x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭与()2y x y -的大小（写出相应的解答过程）． ）解：又32>(322-）解：根据题意，）解：4又()22x y -142x x y ⎛- ⎝【点拨】本题考查利用作差法解代数式比较大小，整式混合运算、合并同类项、完全平方公式因式分解、平方式的非负性等知识，读懂材料，掌握作差法比较代数式大小的方法是解决问题的关键．举一反三：【变式1】设一个三角形的三边分别为a ，b ，c ，p =12（a +b +c ），则有下列面积公式：S S (1) 一个三角形的三边长依次为3，5，6，任选以上一个公式求这个三角形的面积；(2)任选以上一个公式求这个三角形的面积．解题的关键．【变式2】某居民小区有一块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为，宽AB，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为m，宽为1)m．(1)长方形ABCD的周长是多少？(2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通通上要铺上造价为2元的地砖，5/m要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？答：购买地砖需要花费660元．【点拨】本题考查二次根式的应用，长方形的周长和面积，平方差公式．解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质．。
沪教版初中数学八年级第一学期第二章：二次根式 本章小结 课件优秀课件资料
二次根式的加减
二次根式的运算
二次根式的乘除
二次根式的 混合运算
15、思路决定出路，气度决定高度，细节决定成败，性格决定命运。 8、人生的冷暖取决于心灵的温度。 1. 每天都是一个起点，每天都有一点进步，每天都有一点收获！ 6、空谈家用空谈来装饰自己，实干家用实干去创造业绩。 9. 谁虚度年华，青春就会褪色，生命就会抛弃他们。 8.不是井里没水，是挖的不够深。不是成功来的慢，而是放弃的太快。所以成功不是靠奇迹，而是靠轨迹。失败的人习惯了放弃，而成功的人 永远选择了坚持！
二次根式
一、二次根式的概念
★ 代数式 a (a 0)叫做二次根式.
1. 二次根式的两个特征：
（1）根指数为 2
形
（2）被开方数大于等于0
质
2. 被开方数a可为整式或分式.
Байду номын сангаас
如 2, 2 , a2 1, b2 4ac (b2 4ac), 1 (x 2)
3
x2
等，都是二次根式
练习1：x取何值时,下列二次根式有意义?
二、不想认命，就去拼命！相信付出就会有收获，或大或小，或迟或早，所有的梦想，始终不会辜负你的努力！有一种落差是，你总是羡慕别 人的成功，自己却不敢开始！
4. 曾经的肆无忌惮，放声的哭闹，想笑就笑，想使小性子就使，不必怕别人说些什么，因为我们会自豪的说——我们还青春。
（1）已知：y 4 x
求：xy 的平方根.
x 4 2，
（2）已知： a 4 3 a a ，
求：a 的值.
a ≥０
3.二次根式的双重非负性 a
a ≥０
经常作为隐含条件，是解题的关键
例 已知 x 1 y 3 0，求x＋y的值
八年级数学暑假专题：二次根式上海科技版知识精讲
初二数学暑假专题：二次根式某某科技版【本讲教育信息】一. 教学内容暑假专题：二次根式二. 重点、难点重点：二次根式的运算法则难点：二次根式的性质三. 具体教学内容1. 二次根式 一般地，我们把形如)0a (a ≥的式子叫做二次根式。
注：a 也表示一个非负数a 的算术平方根，a 为被开方数，为非负数，a 也是非负数。
2. 二次根式的性质（1）a )a (2=（2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 23. 二次根式的乘法)0b 0a (b·a ab )0b 0a (abb ·a ≥≥=≥≥=4. 二次根式的除法 )0b ,0a (b a b a )0b ,0a (b ab a>≥=>≥= 5. 最简二次根式最简二次根式具备的两个条件（1）被开方数不含分母（2）被开方数中没有能开得尽的因数或因式注：二次根式运算的最后结果要化成最简二次根式6. 同类二次根式同类二次根式要满足的条件（1）几个二次根式必须是最简二次根式（2）几个二次根式的被开方数相同注：被开方数相同的二次根式肯定是同类二次根式，被开方数不同的不一定不是同类二次根式，在判断几个二次根式是否为同类二次根式之前须把它们化成最简二次根式。
7. 二次根式的加减二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式，二次根式的加减实质上就是合并同类项。
考点分析：本节内容的考点有：平方根、算术平方根的意义。
二次根式的运算，最简二次根式的识别。
化简二次根式，同类二次根式的识别，试题以基础题为主，多出现在选择填空中。
【典型例题】例1. 函数3x 1x y -+=中自变量x 的取值X 围是（ ） A.1x -≥ B.3x ≠ C.3x 1x ≠-≥且 D.1x -<解析：要使3x 1x y -+=有意义，需满足 ⎩⎨⎧≠-≥+03x 01x ∴3x 1x ≠-≥且 故选C 。
第16章 二次根式 核心素养整合与提升-2022-2023学年八年级下册初二数学(沪科版)
第16章二次根式核心素养整合与提升-2022-2023学年八年级下册初二数学(沪科版)1. 二次根式的定义二次根式是指形如√a的数。
其中，a是一个非负实数。
二次根式可以是一个非负实数或一个无理数。
2. 二次根式的性质2.1 二次根式的化简•若 a 是一个非负实数，则√(a^2) = |a|•若 a、b 是一个非负实数，则√(ab) = √a * √b ### 2.2 二次根式的加法与减法•若 a、b 是二次根式，则a ± b = √(a^2 ± 2ab + b^2) ### 2.3 二次根式的乘法•若 a、b 是二次根式，则a * b = √(a^2 * b^2) ### 2.4 二次根式的除法•若 a、b 是二次根式，则a / b = √(a^2 / b^2) ### 2.5 二次根式的乘方•若 a 是一个二次根式，n 是一个正整数，则(a^n) = √(a^2n)3. 解二次方程解二次方程是指求出满足方程形式为ax^2 + bx + c = 0的x的值。
二次方程的解可以通过求解根式来得到。
解二次方程的步骤如下： 1. 利用配方法将方程化为标准形式。
2. 根据二次根式的性质，求出方程的根式解。
3. 根据解的形式，得出方程的解集。
4. 二次根式在几何中的应用二次根式在几何中有着广泛的应用，可以用来表示线段长度、面积等。
4.1 线段长度假设有一条线段的长度为√a，另一条线段的长度为√b，则这两条线段的和为√(a + b)，差为√(a - b)。
4.2 面积假设一个矩形的长为√a，宽为√b，则该矩形的面积为√(a * b)。
4.3 三角形面积对于一个边长为a的等边三角形，其面积可以表示为（√3 * a^2）/ 4。
5. 二次根式的综合应用二次根式在实际生活中有许多应用场景，如建筑、科学等领域。
5.1 建筑领域在建筑领域中，二次根式可以用来计算电缆的长度、建筑物的高度等。
通过对二次根式的运算，可以得到精确的结果，为工程的设计和施工提供支持。
沪教版八年级数学下知识点总结
沪教版八年级数学下知识点总结沪科版八年级数学下知识点总结二次根式知识点：知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。
在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以等是二次根式，而知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤时，义。
知识点三：二次根式表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，的）表示a的算术平方根，也就是说，（）没有意算术平方根是，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若知识点四：二次根式（）的性质则a=0,b=0；若，则a=0,b=0.（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式也可以反过来应用：若，则知识点五：二次根式的性质是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式，如。
文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：1、化___本身，即2、3、化简知识点六：1、不同点：时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或，则等于；若a是负数，则等于a的相反数-a,即一定有意义；时，先将它化成与与，再根据绝对值的意义来进行化简。
表示一个正数a的算术平方根的平方。
中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值。
的异同点表示的意义是不同的。
而表示一个实数a的平方的算术平方根；在与都是非负数，即，而时。
中而中a可以是正实数。
负实数。
但差别的。
因而它的运算的结果是有2、相同点：当被开方数都是非负数，即=；时，无意义，而知识点七：二次根式的性质和最简二次根式不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√2、√3、√a（a≥）、√x+y等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√4、√9、a、x+y、以及x^2+2xy+y^2等。
八年级数学二次根式全章复习上海科技版知识精讲
初二数学二次根式全章复习某某科技版【本讲教育信息】一. 教学内容：二次根式全章复习二. 知识点回顾1、1）能够比较熟练应用二次根式的性质进行化简。
2）能够比较熟练地进行二次根式的运算。
3）会运用二次根式的性质及运算，解决简单的实际问题。
2、重点：二次根式的性质的应用，二次根式的运算，二次根式的应用。
3、难点：二次根式的性质和二次根式的运算及其应用。
4、知识点复习1）形如的代数式叫做二次根式.（即一个的算术平方根叫做二次根式）强调：二次根式被开方数不小于02）二次根式的性质：双重非负性=2)a (（a ≥0），=2a =⎩⎨⎧<≥0)（a 0）(a=ab （a ≥0，b ≥0） =ba（a ≥0，b ＞0） 3）二次根式的运算： 二次根式乘法法则ab b a =⨯（a ≥0，b ≥0）二次根式除法法则baba =（a ≥0，b ＞0） 二次根式的加减：类似于合并同类项，把相同二次根式的项合并.二次根式的混合运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用，原来所学的乘法公式（如22222b 2ab a )b a (;b a b)-b)(a (a +±=±-=+）仍然适用. 5、补充概念强化：①被开方式是整式（分母中不含有根号）；（1）最简二次根式：②被开方式中不含有能开得尽的因数或因式。
注：化简时应注意把被开方数分解因式或分解因数①最简二次根式； （2）同类二次根式：②被开方数相同。
【典型例题】例1. x 是怎样的实数时，下列式子有意义？;34)1(x -;53)2(x x -+-;)1()3(2+x .31)4(--x x思路点拨：要使二次根式有意义，必须使被开方数为非负数. 对于(1)、（2）、(3)题只要使被开方数非负就可以了，对于(4)题不但要使被开方数非负，而且要使分母不等于零.解：.34,34,.34,034)1(有意义时当所以得由x x x x -≤≤≥-.53,53,.53,05,03)2(有意义式子时当所以得由x x x x x x -+-≤≤≤≤⎩⎨⎧≥-≥-.)1(,,.)1(,)3(22总有意义取任何实数时当所以都是非负数为任何实数无论++x x x x .31,3.3,03,01)4(有意义时所以当得由-->>⎩⎨⎧>-≥-x x x x x x例2. .,03422的值求已知b a b a a +=-+-思路点拨：,03,04≥-≥-b a a 两个非负数的和等于零，则这两个数都等于零，从而得到,03,04=-=-b a a 再由零的算术平方根等于零求得a 、b 的值.解：.160124b a .12b ,4a .0b a 3,04a .0b a 3,04a ,0b a 3,04a ,0b a 34a 2222=+=+⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=-∴=-=-∴≥-≥-=-+-则解得且而例3.把下列各式化成最简二次根式：3945)1(a ；x x2)2(2;20)3(522z y x ()91414+思路启迪：根据化简二次根式的方法步骤，进行化简.规X 解法：.37949945)1(33a a a a == .22222)2(2222x x x x x x x xx xx x x=⋅=⋅⋅=⋅=.52522020)3(322222522522z zxy zz z z z y x zy x z y x =⋅⋅⋅⋅⋅==()613361336436991414==+=+例4. 计算：).32(312)4();323)(232)(3(;)3)(2();65153(1021)1(33+÷---÷+--⋅xy xy xy y x思路点拨：这里可以把二次根式看成是一个“单项式”或者“多项式”利用整式乘法或除法法则进行运算.解：.1556215152256523610251510236510211531021)65153(1021)1(-=⋅-⋅=⨯-⨯=⋅-⋅=-⋅.y xy 3x xyxy y xyxy xy xy 3xyxy x xy xy xy xy 3xy y x xy )xy xy 3y x )(2(3333+-=+⋅-=÷+÷-÷=÷+-.626366662323322332)323)(232)(3(+--=+⨯-⨯-⨯=--.333232)32(332)32()32()32(33232312)32(312)4(=+-=--=-⋅+-⋅-=+-=+÷-例5..,623420012002423的值求是同类根式和最简根式已知最简根式b a b a b a b a -+-+++思路点拨：是同类根式必须满足以下条件：在最简根式的前提下，(1)根指数相同，(2)被开方数相同。
沪科版八年级下册数学精品教学课件 第16章 二次根式 第1课时 二次根式的概念
∴ m＞2． (2) 无论 x 取任何实数，代数式 x2 6x m 都有意义， 求 m 的取值范围． 解：由题意得 x2 + 6x + m≥0 对任意实数 x 恒成立，
即 (x + 3)2 + m - 9≥0 对任意实数 x 恒成立. ∵ (x + 3)2≥0，∴ m - 9≥0，即 m≥9.
解：由题意得 x (x - 1)≥0，
由乘法法则得
x
x≥1≥0，0，或
x
x≤0， 1≤0，
解得 x≥1 或 x≤0.
即当 x≥1 或 x≤0 时， x x 1 有意义.
体会解题思想后，试着解答：当 x 为何值时， x 2
2x 1
有意义？
解：由题意得 x 2 ≥0，
2x 1
则 2xx21≥＞00，，或2xx21≤＜00，，
∴ 3x + 2y 的算术平方根为 5．
【变式题】已知 a，b 为等腰三角形的两条边长，且 a，
b 满足 b 3 a 2a 6 4 ，求此三角形的周长．
解：由题意得
3 a≥0， 2a 6≥0，
∴ a = 3. ∴ b = 4.
当 a 为腰长时，三角形的周长为 3 + 3 + 4 = 10；
归纳 若多个非负式的和为零，则可得每个非负式均为 零.初中阶段学过的非负式主要有绝对值式、偶次幂式 及二次根式.
例4 已知 y = x 3 3 x 8，求 3x + 2y 的算术平
方根.
解：由题意得
x 3≥0， 3 x≥0，
∴ x = 3．∴ y = 8．
∴ 3x + 2y = 3×3 + 2×8 = 25．
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课 题
二次根式
教学目标
1、熟悉二次根式，理解二次根式有意义的条件。
2、理解二次根式与算术平方根的关系，灵活运用二次根式的性质解题。
3、列举多种题型，使其对二次根式解题的步骤有个大致了解。
教师姓名： 科目： 学生姓名：
日 期：2014. 时间段： : - :
课堂内容
课后作业
本次课学习情况
掌握很好（ ） 基本能掌握 （ ） 能听懂 （ ）
学生总结：
学生签字：
本次课学生掌握情况：
1、
2、
教师签字：
教学部主任签字：日期：
中小学名师1对1个性化辅导专
1.第一部分由全人任课教师在每次学生互动授课后填写，学生带回给家长审阅。
重点、难点
考点及考试要求
教学内容
知识点：
最简二次根式和同类二次根式
若|
题型二、二次根式有意义的条件
题型三、定义的运用
题型四ห้องสมุดไป่ตู้整数部分与小数部分