第3章 同构图

3.1 同构的定义
• 看一个例子:
x1
z1
H1
u1
u2
v2
z2
1
v1 y1
H2
2
x2
y2
图3.7 图 H1 和 H2
注: 用两种方法判断图H1和H2是否同构.
3.1 同构的定义
定理 3.2 如果图G和H是同构图, 则它们对应的顶点有相同
的度. 证 [直接证法] 因为G和H是同构的,所以存在一个同构 ： V G V H . 设u是G中的一个顶点且 u v, 其中v是H中的顶 点. 我们来证明H中v的度等于G中u的度. (1)首先假设 degGu=0, 则G中没有与u邻接的顶点. 假设 y是H中除v之外的任一顶点, 则G中存在一个顶点x使得 x y. 因为x和u是G中不邻接的顶点(因为degGu=0), 故y和v是 H中不邻接的顶点.所以, H中不含与v邻接的顶点, 即degHv=0.
3.1 同构的定义
定理 3.1 两个图G1和G2是同构的当且仅当它们的补图 G1 和
G2 是同构的. (同构的充分必要条件)
• 注意到, V G1 V G1 ,V G2 V G2 , 所以同一映射 ： V G1 V G2 也把 G1中邻接的顶点映射到 G2 中邻接的顶点, G1 中不邻接的顶点映射到 G2 中不邻接的顶点.
v1
1
v2
2
u1
G1
x1 z1 y1
G2
u2 z2 y2
x2
图3.6 两个非同构图
3.1 同构的定义
• 重述同构的定义: 定义4 两个图G1和G2是同构的, 如果存在从V(G1)到V(G2)的一 个一一对应 使得G1中的每对邻接顶点映射到G2中邻接的顶点, 且G1中的每对不邻接顶点映射到G2中不邻接的顶点. • 具有这些性质的映射 是一个同构.
所以y和v在H中是不邻接的 (定义4). 因此degHv=k. (证毕)
3.1 同构的定义
定理 3.5
设G和H为同构图, 则
(a) G是二部的当且仅当H是二部的, (b) G是连通的当且仅当H是连通的. 注: 该定理更多地当作同构的性质来用.
更一般地, G所具有的任何结构性质也应该被H所具有.
3.2 同构关系
u2
u3
v1
H2
x2 v2
2
H3
y3
v3
3
x3
x1
1
y2
图 3.2 一个阶和边数均为 5 的图
3.1 同构的定义
• 从图3.2中 H2 的画法中可以看出, 如下定义的映射 ： V(H1) V(H2) ,
u1 u2 , v1 2 , 1 y2 , x1 v2 , y1 x2 ,
3.2 同构关系
定理 3.6
在图的集合上, 同构是一种等价关系. (自反的、对称的、传递的)
同构的等价关系的证明依赖于双射的三个基本性质: 1) 每一个恒等映射是双射; 2) 每一个双射有一个逆映射, 并且该逆映射也是一个双射; 3) 两个双射的复合是一个双射. 注: 定理3.5的证明过程见书本 P56.
3.1 同构的定义
• 更精确的描述: 定义2 若两个图仅仅区别在画法与(或顶点)的标号方式上, 则称 它们为同构的. • 正式地说: 定义3 两个(标号)图G1和G2称为同构的( isomorphic ) (或者,有 相同结构),如果存在一个从V(G1)到V(G2)的一一对应 , 使得： u1v1 E G1 当且仅当 u1 v1 E G2 . 此时, 称为是从G1到G2的一个同构( isomorphism ).
是一个同构.因此 H1≌ H2 . • 从上述例子中我们可以看出, 同构的图之间必须满足的条件是:有 相同的阶和想同的边数. 但这只是个必要条件,并不充分. 也就是 说,即使两个图有相同的阶和相同的边数, 这也不能确保它们是同 构的.
3.1 同构的定义
• 以下举一个例子说明: 有相同的阶且有相同的边数, 但并不同构 的两个图. 如图3.6 所示.
3.1 同构的定义
• 举个例子加深理解:
u1
y1
Biblioteka BaiduH1
u2
u3
v1 x1
1
H2
y2
v2 x2
2
H3
y3
v3 x3
3
图 3.1 阶和边数均为 5 的图
3.1 同构的定义
• 通过重新放置H2的顶点, H2可以被重新画为图3.2中的H2. 类似 地, H3也可以被重画为图3.2中的H3.
u1
y1
H1
3.4 重构与可解性
• 首先看一个例子:
1 2 3 4 5
图3.35 由五张卡片组成的一副纸牌

3.1 同构的定义
下面假设degGu=k ≥ 1. 设 N(u) = {x1, x1, …, xk } 是G中与顶点u邻接的顶点集合,其中 xi yi 1 i k . 因为u和 xi (1≤i ≤k)是邻接的, 所以v和 yi (1≤i ≤k)是邻接的 (定义4). 若y是H中的一个顶点, 满足 y v y1 , y2 , yk , 则在G中存在顶 点x使得 x y, 其中 x u N u . 因为x和u在G中是不邻接的,
主要内容
• 3.1 同构的定义 • 3.2 同构关系 • 3.4 延伸阅读: 重构与可解性
3.1 同构的定义
• 回顾: 两个图G和H称为相同的, 若V(G)=V(H)且E(G)=E(H). 两个图G和H是“同构的”, 若它们有相同的结构，并记之为 G≌H. • 换句话说： 定义1 如果G和H的顶点可以通过标号(或重新标号)而形成两个 相同的图, 那么G≌H.
•
什么是“双射”？
既是单射又是满射的映射称为双射，亦称“一一映射” . (1) 设 f 是从集合A到集合B的映射, 若 R(f)=B, 即B中任一元素b 都是 A中某元素的像, 则称f为A到B上的满射； (2) 若对A中任意两个不同元素a1不等于a2, 他们的像 f(a1) 不等 f(a2), 则称 f 为A到B的单射； (3) 若映射 f 既是单射, 又是满射, 则称映射 f 为 A 到 B 的“双 射” (或“一一映射”). 函数为双射当且仅当每个可能的像有且仅有一个变量与之对应.