(完整版)解三角形单元测试题及答案
2020届 人教A版__解三角形-单元测试
解三角形一、单选题1．在ABC ∆中，B=30︒，C=45︒， c=1，则最短边长为（ ）A C ．12D【答案】B【解析】由题意，易知B C A <<，所以b 最小．由正弦定理，得sin sin c B b C == 2．已知ABC ∆中，2=a ，3=b ， 60=B ，那么=∠A （ ）A ． 45B ． 90C ． 135或 45D ． 150或 30 【答案】A 【解析】试题分析：利用正弦定理，B bA a sin sin =得：22360sin 2sin sin 0===bB a A ，由于b a <，则B A <，于是045=A ，选A. 考点：利用正、余弦定理解三角形.【易错点评】利用正弦定理求三角形的内角，当求出b a <22sin =A 时，容易得出045=A 或 135，这时务必要研究角A 的范围，由于，则B A <，说明角A 为锐角，所以045=A .3．已知ABC ∆满足a b >，则下列结论错误的是（ ）A ．AB > B ．sin sin A B >C ．cos cos A B <D ．sin2sin2A B > 【答案】D【解析】由大边对大角，可知A B >，所以A 正确； 由正弦定理可知， sin sin A B >，所以B 正确；由A B >，且cos y x =在()0,π单调递减，可知cos cos A B <，所以C 正确； 当90,30A B ==时， a b >，但sin2sin2A B <，所以D 错误。
故选D 。
点睛：本题考查三角函数与解三角形的应用。
本题中涉及到大边对大角的应用，正弦定理的应用，三角函数单调性的应用等，需要学生对三角模块的综合掌握，同时结合特殊值法去找反例，提高解题效率。
4．在∆ABC 中，,30,,1=∠==A x b a 则使∆ABC 有两解的x 的范围是（ ）A 、)332,1( B 、),1(+∞ C 、)2,332( D 、)2,1( 【答案】D 【解析】试题分析：结合图形可知，三角形有两解的条件为,sin b x a b A a =><，所以01,sin 301b x x =><，12x <<，故选D 。
2020届人教A版__解三角形单元测试
解三角形一、单选题1．已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边， a =2，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为A B ．2 C ． D ． 【答案】A【解析】由正弦定理得: ()()()2b a b c b c +-=-,即224b c bc +-=,由余弦定理得:2241cos 222b c bc A bc bc +-===, 3A π∴=,又2242b c bc bc bc bc +-=≥-=,4bc ∴≤,当且仅当2b c ==时取等号,此时ABC ∆为正三角形,则ABC ∆的面积的最大值为11sin 422S bc A ==⨯=故选A. 点睛: 解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.2．ABC ∆中,)0,5(),0,5(B A -，点C 在双曲线191622=-y x 上，则CB A sin sin sin -=（ ） A53 B 53± C 54 D 54± 【答案】D 【解析】试题分析：根据正弦定理可知C BA sin sin sin -84105BC AC AB ,故选D. 考点：正弦定理，双曲线的定义. 3．如果等腰三角形的顶角的余弦值为35，则底边上的高与底边的比值为 A ．12 B ．45 C ．23D ．1 【答案】D【解析】设等腰三角形的顶角为2α，底边上的高为h ，底边长为2x ，由三角形知识得tan x h α=，∵3cos 25α=，∴222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin 1tan 5ααααααα--===++，∴1tan 2xhα==，∴2h x =，∴底边上的高与底边的比值为1，故选D 4．ABC ∆的内角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ， 2a =，b =，45A =︒，则B =（ ）A ．30︒B ．60︒C ．30︒或150︒D ．60︒或120︒ 【答案】A【解析】由正弦定理可得：a bsinA sinB=，1222bsinA sinB a ===. 又因为2a =，b =， a b >，所以A B >，所以30B =︒，故选A.5．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =b ，a cos C =c （2-cos A ），则cos B =（ ） AB ．14CD【答案】B【解析】∵a cos C =c （2-cos A ），∴a cos C +c cos A =2c ，由正弦定理可得：sin A cos C +sin C cos A =2sin C ， ∴sin B =sin （A +C ）=2sin C ， ∴b =2c ，由a =b ，可得a =b =2c ，∴22221cos 2224a cbc B ac c c +-===⋅．故选：B ．6．在ABC ∆中，已知A=45，2,a b ==B 等于（ ）A ．30B ．60C ．150D ．30或150 【答案】A 【解析】 试题分析：由正弦定理得045,21sin sin sin sin 0>>∴>==⇒=B b a A a b B B b A a 故知B=300,所以选A. 考点：正弦定理.7．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，若060=A ，045=B ，6=a 则=b （ ）A ．5B ．2C ．3D ．2 【答案】B 【解析】试题分析：由正弦定理得sin sin a bA B=，即006sin 60sin 45b =，得006sin 452sin 60b ==，选B ．考点：正弦定理 8．在中，则等于（ ）A ．60°B ．45°C ．120°D ．150° 【答案】D【解析】试题分析：由已知得b 2+c 2-a 2=−√3bc,根据余弦定理cosA =b 2+c 2−a 22bc=−√32, ∴∠A =150°.考点：1、余弦定理；2、特殊角的三角函数值.9．已知a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 的对边长，b 和c 是关于x 的方程x 2﹣9x+25cosA=0的两个根（b ＞c ），且，则△ABC 的形状为（ ）A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形 【答案】C 【解析】试题分析：由已知：（sinB+sinC+sinA ）（sinB+sinC ﹣sinA ）=sinBsinC ，利用正弦定理可得b 2+c 2﹣a 2=bc ，进而利用余弦定理求cosA ，从而可求sinA 的值，由方程x 2﹣9x+25cosA=0，可得x 2﹣9x+20=0，从而b ，c ，利用余弦定理a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=9，可求得a ，直接判断三角形的形状即可．解：由已知：（sinB+sinC+sinA ）（sinB+sinC ﹣sinA ）=sinBsinC ，∴sin 2B+sin 2C ﹣sin 2A=sinBsinC ， 由正弦定理：∴b 2+c 2﹣a 2=bc ，由余弦定理cosA==，∴sinA=，又∵由（1）方程x 2﹣9x+25cosA=0即x 2﹣9x+20=0，则b=5，c=4， ∴a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=9，∴a=3， ∴b 2=c 2+a 2，三角形是直角三角形10．在锐角三角形中， ,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，设2B A =，则ab的取值范围是（ ） A ．3232 B ．)2,2 C ．2,3 D ．02（，） 【答案】A 【解析】2,B A =∴由正弦定理sin sin a bA B=得：sin sin sin 1sin sin22sin cos 2cos a A A A b B A A A A ====， B 为锐角，即090B <<，且2,B A A=∴C为锐角，0290{ 0180390A A ︒︒︒<<<-< ,所以233045,cos 22A A <<∴<<22cos 3A <<， 31232cos 2A <<ab 的取值范围是3232，故选A. 11．已知ΔABC 的面积为4，∠A =900，则2AB +AC 的最小值为（ ） A ．8 B ．4 C ．8√2 D ．4√2 【答案】A【解析】分析：由题意知ΔABC 的面积为4，且∠A =900，得AB ⋅AC =8，再由均值不等式，即可求解2AB +AC 的最小值.详解：由题意知ΔABC 的面积为4，且∠A =900，所以S =12AB ⋅AC =4，即AB ⋅AC =8，所以2AB +AC ≥2√2AB ⋅AC =2√2×8=8，当且仅当AB =2,AC =4时取得等号， 所以2AB +AC 的最小值为8，故选A.点睛：本题主要考查了均值不等式求最小值和三角形的面积公式的应用，其中解答中熟记均值不等式的使用条件，以及等号成立的条件是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.12．若ΔABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+b)2−c2=4，且C=60∘，则ab的值为（）A．34B．23C．32D．43【答案】D【解析】【分析】：根据题意和余弦定理，直接求解。
人教版八年级数学上册 三角形解答题单元测试卷(含答案解析)
人教版八年级数学上册 三角形解答题单元测试卷（含答案解析）一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）1．如图1，直线MN 与直线AB 、CD 分别交于点E 、F ，1∠与2∠互补.(1)试判断直线AB 与直线CD 的位置关系，并说明理由.(2)如图2，BEF ∠与EFD ∠的角平分线交于点P ，EP 与CD 交于点G ，点H 是MN 上一点，且GH EG ⊥，求证：//PF GH .(3)如图3，在(2)的条件下，连接PH ，K 是GH 上一点使PHK HPK ∠=∠，作PQ 平分EPK ∠，求HPQ ∠的度数.【答案】(1)AB//CD ，理由见解析；(2)证明见解析；(3)45HPQ ∠=. 【解析】 【分析】（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF 、∠CFE 互补，即可证明； （2）利用（1）中平行线的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理可得∠EPF=90°，即EG ⊥PF ，再结合GH ⊥EG ，即可证明;（3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠A=90°-∠3=90°-2∠2；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知∠QPK=-12∠EPK=45°+∠2，最后根据角与角间的和差关系即可求解. 【详解】 (1)//AB CD ， 理由如下：如图1，图1∵1∠与2∠互补， ∴12180∠+∠=︒，又∵1AEF ∠=∠，2CFE ∠=∠， ∴180AEF CFE ∠+∠=︒， ∴//AB CD ；(2)如图2，由(1)知，//AB CD ，图2∴180BEF EFD ∠+∠=︒．又∵BEF ∠与EFD ∠的角平分线交于点P ， ∴1(2)90FEP EFP BEF EFD ∠+∠=∠+∠=︒， ∴90EPF ∠=︒，即EG PF ⊥． ∵GH EG ⊥， ∴//PF GH ； (3)如图3，∵PHK HPK ∠=∠，2PKG HPK ∴∠=∠. 又∵GH EG ⊥，∴90902KPG PKG HPK ∠=-∠=-∠． ∴180902EPK KPG HPK ∠=-∠=+∠． ∵PQ 平分EPK ∠， ∴1452QPK EPK HPK ∠=∠=+∠． ∴45HPQ QPK HPK ∠=∠-∠=．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理等知识.解题过程关注中“数形结合”思想是解答本题的关键.2．（1）如图1．在△ABC 中，∠B =60°，∠DAC 和∠ACE 的角平分线交于点O ，则∠O = °，（2）如图2，若∠B =α，其他条件与（1）相同，请用含α的代数式表示∠O 的大小； （3）如图3，若∠B =α，11,PAC DAC PCA E n nAC ∠=∠∠=∠，则∠P = （用含α的代数式表示）．【答案】（1）∠O =60°；（2）90°－12α；（3）11(1)180P n nα∠=-⨯- 【解析】 【分析】（1）由题意利用角平分线的性质和三角形内角和为180°进行分析求解；（2）根据题意设∠BAC=β，∠ACB=γ，则α+β+γ=180°，利用角平分线性质和外角定义找等量关系，用含α的代数式表示∠O 的大小；（3）利用（2）的条件可知n=2时，∠P=111-18022α︒⨯-（），再将2替换成n 即可分析求解. 【详解】解：（1）因为∠DAC 和∠ACE 的角平分线交于点O ，且∠B=60°， 所以18060120OAC OCA οοο∠+∠=-=， 有∠O=180120οο-=60°.（2）设∠BAC=β，∠ACB=γ，则α+β+γ=180° ∵∠ACE 是△ABC 的外角， ∴∠ACE=∠B+∠BAC=α+β ∵CO 平分∠ACE11()22ACO ACE αβ∴∠=∠=+ 同理可得：1()2CAO αγ∠=+ ∵∠O+∠ACO+∠CAO=180°，∴11180180()()22O ACO CAO αβαγ︒︒∠=-∠-∠=-+-+ 1180()2αβαγ︒=-+++111180()1809090222αβααα︒︒︒︒=-++=--=-；（3）∵∠B=α，11,PAC DAC PCA E n nAC ∠=∠∠=∠， 由（2）可知n=2时，有∠P=1180902α︒︒--=111-18022α︒⨯-（），将2替换成n 即可， ∴11(1)180P n nα∠=-⨯-. 【点睛】本题考查用代数式表示角，熟练掌握并综合利用角平分线定义和三角形内角和为180°以及等量替换技巧与数形结合思维分析是解题的关键.3．如图1，线段AB 、CD 相交于点O ，连结AD 、CB ，我们把这个图形称为“8字型”根据三角形内角和容易得到：∠A +∠D =∠C +∠B .(1)用“8字型”如图2,∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =___________； (2)造“8字型”如图3,∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G =_____________; (3)发现“8字型”如图4，BE 、CD 相交于点A ，CF 为∠BCD 的平分 线，EF 为∠BED 的平分线. ①图中共有________个“8字型”； ②若∠B ：∠D ：∠F =4：6：x ，求x 的值. 【答案】(1)360°；(2)540；(3)①6；②x =5. 【解析】分析：（1）根据题意即可得到结论；（3）①由图形即可得到结论；②根据三角形内角和为180°的性质即可证得关系为∠D+∠B=2∠F ，再根据∠B 、∠D 、∠F 的比值，即可求得x 的值； 详解：（1）∵∠A+∠B=∠GKH+∠GHK ， ∠C+∠D=∠GHK+∠HGK ， ∠E+∠F=∠HGK+∠GKH ，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2（∠GKH+∠GHK+∠HGK ）=2×180°=360°，故答案为：360°；（2）如图，连结BC ，∵∠E+∠G=∠GCB+∠EBC ，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=五边形FABCD 的内角和， 即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（5-2）•180°=540°， 故答案为：540°；（3）①图中共有6个“8字型”； 故答案为：6．②：∵CF 平分∠BCD ，EF 平分∠BED ∴∠DEG=∠AEG ，∠ACH=∠BCH ， ∵在△DGE 和△FGC 中，∠DGE=∠FGC ∴∠D+∠DEG=∠F+∠ACH∵在△BHC 和△FHE 中，∠BHC=∠FHE∴∠B+∠BCH=∠F+∠AEG∴∠D+∠DEG+∠B+∠BCH=∠F+∠ACH+∠F+∠AEG ∴∠D+∠B=2∠F ；∵∠B ：∠D ：∠F=4：6：x ，∠D+∠B=2∠F ， ∴x=5．点睛：考查了多边形的内角与外角，三角形的内角和，三角形的外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．4．如图①，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()0,4，4OC OB =.① ②（1）若ABC ∆的面积为20，求点B ，C 的坐标.（2）如图①，向x 轴正方向移动点B ，使90ABC ACB ∠-∠=︒，作BAC ∠的平分线AD 交x 轴于点D ，求ADO ∠的度数.（3）如图②，在（2）的条件下，线段AD 上有一动点Q ，作AQM DQP ∠=∠，它们的边分别交x 轴、y 轴于点M ，P ，作FMG DMQ ∠=∠，试判断FM 与PQ 的位置关系，并说明理由. 【答案】（1）10,03B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，40,03C ⎛⎫⎪⎝⎭；（2）45°；（3）FM PQ ⊥【解析】 【分析】(1)设OB=a ，根据三角形的面积公式列式求出a ，即可得到点B 、C 的坐标；(2)设ACB α∠=，根据题意得到∠ABC=90°+α，根据三角形内角和定理得到∠BAC=90°-2α，再根据角平分线的定义、三角形外角的性质即可得到答案；(3)延长FM 交QP 于H ，设∠DQP=∠AQM=α，∠FMG=∠DMQ=β，根据三角形外角的性质、三角形内角和定理求出∠2+∠DMH=90°即可得到答案. 【详解】(1)设OB=a ，则OC=4a ， ∴BC=3a ， 由题意得，134202a ⨯⨯=， 解得：a=103， ∴OB=103，OC=403， ∴10,03B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，40,03C ⎛⎫⎪⎝⎭； (2)设ACB α∠=， ∵90ABC ACB ∠-∠=︒， ∴90ABC α∠=︒+，∴180BAC ABC ACB ∠=︒-∠-∠()18090αα=︒-︒+-902α=︒-，∵AD 平分BAC ∠，∴1452DAC BAC α∠=∠=︒-， ∴4545ADO DAC ACB αα∠=∠+∠=︒-+=︒； (3)FM ⊥PQ ，理由如下： 延长FM 交PQ 于点H ，.设∠DQP=∠AQM=α，∠FMG=∠DM Q=β， 则∠DMH=∠FMG=β，∠AQM=∠QMD+∠QDM ，即α=β+45°， ∴∠1=180°-∠DQP-∠ADO=90°-β， ∴∠2=∠1=90°-β，∴∠2+∠DMH=β+90°-β=90°， ∴∠MHQ=90°，即FM ⊥PQ.【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键.5．（1）如图1，有一块直角三角板XYZ （其中∠X=90°）放置在△ABC 上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY ，XZ 分别经过B ，C 两点，且直角顶点X 在△ABC 内部．①若∠A=40°，∠ABC+∠ACB= °；∠XBC+∠XCB= °；②试判断∠A 与∠XBA+∠XCA 之间存在怎样数量关系？并写出证明过程．（2）如图2，如果直角顶点X 在△ABC 外部，试判断∠A 、∠XBA 、∠XCA 之间又存在怎样的数量关系？（只写出答案，无需证明）．【答案】（1）①140，90；②∠A+∠XBA +∠XCA=90°，证明见解析；（2）∠A+（∠XBA －∠XCA ）=90° 【解析】试题分析：（1）①根据三角形内角和定理可得∠ABC +∠ACB =180°﹣∠A =140°，∠XBC +∠XCB =180°﹣∠XBC =90°，进而可求出∠ABX +∠ACX 的度数；②根据三角形内角和定义有90°+（∠ABX +∠ACX ）+∠A =180°，则可得出结论． （2）由②的解题思路可得：∠A+（∠XBA －∠XCA ）=90°． （1）①若∠A =40°，∠ABC +∠ACB = 140 °； ∠XBC +∠XCB = 90 °；②∠A+∠XBA +∠XCA=90°（或等式的变形也可以） 证明：∵∠X=90°∴∠XBC +∠XCB=180°－∠X=90° ∵∠A +∠ABC +∠ACB =180°，∴∠A +（∠XBA +∠XCA ）+（∠XBC +∠XCB ）=180°， ∴∠A +（∠XBA +∠XCA ）=180°－90°=90°， ∴∠A=90°－（∠XBA +∠XCA ） （2） ∠A+（∠XBA －∠XCA ） =90°．点睛：本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是熟练掌握三角形的内角和为180°以及沟通外角和内角的关系．6．如图1：ABC 中，AD 是高，AE 是BAC ∠的平分线，=40=70ABC ACB ，∠︒∠︒． （1）求EAD ∠的度数（2）当==ABC ACB αβ∠∠，，请用αβ，表示EAD ∠，并写出推导过程（3）当AE 是BAC ∠的外角FAC ∠的平分线，如图2则此时EAD ∠的度数是多少，用,αβ表示，直接写出结果．【答案】（1）15o;(2) -2EAD βα∠=;(3) 902EAD αβ-∠=︒+【解析】 【分析】（1）先根据三角形的内角和定理求得∠BAC=180°-∠B-∠C=70°，利用角平分线的定义得∠EAC=12∠BAC=35°，而∠DAC=90°-∠C=20°，通过∠EAD=∠EAC-∠DAC 即可得到结果．（2）猜想∠DAE=12（β-α），重复（1）的过程找出∠BAD 和∠BAE 的度数，二者做差即可得出结论；（3）作∠BAC 的内角平分线AE ′，根据角平分线的性质求出∠EAE′=∠CAE+∠CAE′=12∠CAB+12∠CAF=90°，进而求出∠DAE 的度数. 【详解】 解:（1）40,70,ABC ACB ∠=︒∠=︒180704070BAC ∴∠=︒-︒-︒=︒,AE 是BAC ∠的平分线，1=352BAE CAE BAC ∴∠=∠=∠︒,在ACD Rt 中，9020CAD C ∠=︒-∠=︒, 15EAD EAC CAD ∴∠=∠-∠=︒. （2）,,ABC ACB αβ∠=∠=180BAC αβ∴∠=︒--,AE 是BAC ∠的平分线，1111=180--=90--2222BAE CAE BAC αβαβ∴∠=∠=∠︒︒（）,在Rt △ACD 中，90CAD β∠=︒-，-=2EAD CAE CAD βα∴∠=∠-∠.（3）902EAD αβ-∠=︒+.如图，作∠CAB 的内角平分线AE′，则∠DAE′=-2βα．因为AE 是∠ACB 的外角平分线， 所以∠EAE′=∠CAE+∠CAE′=12∠CAB+12∠CAF=12（∠CAB+∠CAF ）=90°， 所以∠DAE=90°-∠DAE′=90°--2βα=902αβ-︒+．即∠DAE 的度数为902αβ-︒+.【点睛】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．解决（3）作辅助线是关键．7．数学活动课上，老师提出了一个问题：我们知道，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系？ （1）独立思考，请你完成老师提出的问题：如图所示，已知∠DBC 和∠BCE 分别为△ABC 的两个外角，试探究∠A 和∠DBC ，∠BCE 之间的数量关系.解：⑵合作交流，“创新小组”受此问题的启发：分别作外角∠CBD 和∠BCE 的平分线BF 和CF ，交于点F （如图所示），那么∠A 与∠F 之间有何数量关系？请写出解答过程.【答案】（1）∠DBC+∠BCE －∠A=180º（2）12∠A+∠F=90º 【解析】 【分析】（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，三角形内角和定理计算即可. （2）根据角平分线可知∠FBC+∠FCB=12（∠DBC+∠BCE ，）再根据三角形内角和定理，结合（1）即可解答.⑴∠DBC+∠BCE－∠A=180º.∠DBC+∠BCE=∠ABC+∠A+∠ACB+∠A=180°+∠A即∠DBC+∠BCE－∠A=180º.（2）12∠A+∠F=90°∵BF和CF分别平分∠CBD和∠BCE，∴∠CBF=12∠CBD，∠BCF=12∠BCE.∴∠CBF+∠BCF=12(∠CBD+∠BCE).∵∠CBF+∠BCF=180º－∠F，∠DBC+∠BCE=180º+∠A.∴180º－∠F =12（∠CBD+∠BCE）=12(180º+∠A)∴12∠A+∠F=90º.【点睛】本题考查了三角形外角性质及三角形内角和定理，熟练掌握三角形外角性质是解题的关键.8．如图1，在△ABC中，∠B=90°，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E．（1）∠E= °；（2）分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条角平分线交于点F．①依题意在图1中补全图形；②求∠AFC的度数；（3）在（2）的条件下，射线FM在∠AFC的内部且∠AFM=∠AFC，设EC与AB的交点为H，射线HN在∠AHC的内部且∠AHN=∠AHC，射线HN与FM交于点P，若∠FAH，∠FPH和∠FCH满足的数量关系为∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，请直接写出m，n的值．【答案】（1）45；（2）67.5°；（3）m=2，n=﹣3．【解析】（1）根据角平分线的定义可得∠CAF=12∠DAC，∠ACE=12∠ACB，设∠CAF=x，∠ACE=y，根据已知可推导得出x﹣y=45，再根据三角形外角的性质即可求得答案；（2）①根据角平分线的尺规作图的方法作出图形即可；②如图2，由CF平分∠ECB可得∠ECF=12y，再根据∠E+∠EAF=∠F+∠ECF以及∠E+∠EAB=∠B+∠ECB，可推导得出45°+452y+=∠F+12y，由此即可求得答案；（3）如图3，设∠FAH=α，根据AF平分∠EAB可得∠FAH=∠EAF=α，根据已知可推导得出∠FCH=α﹣22.5①，α+22.5=30+23∠FCH+∠FPH②，由此可得∠FPH=22.53α+，再根据∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，即可求得答案.【详解】（1）如图1，∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，∴∠CAF=12∠DAC，∠ACE=12∠ACB，设∠CAF=x，∠ACE=y，∵∠B=90°，∴∠ACB+∠BAC=90°，∴2y+180﹣2x=90，x﹣y=45，∵∠CAF=∠E+∠ACE，∴∠E=∠CAF﹣∠ACE=x﹣y=45°，故答案为：45；（2）①如图2所示，②如图2，∵CF平分∠ECB，∴∠ECF=12 y，∵∠E+∠EAF=∠F+∠ECF，∴45°+∠EAF=∠F+12y ①，同理可得：∠E+∠EAB=∠B+∠ECB，∴45°+2∠EAF=90°+y，∴∠EAF=452y+②，把②代入①得：45°+452y+=∠F+12y，∴∠F=67.5°，即∠AFC=67.5°；（3）如图3，设∠FAH=α，∵AF平分∠EAB，∴∠FAH=∠EAF=α，∵∠AFM=13∠AFC=13×67.5°=22.5°，∵∠E+∠EAF=∠AFC+∠FCH，∴45+α=67.5+∠FCH，∴∠FCH=α﹣22.5①，∵∠AHN=13∠AHC=13（∠B+∠BCH ）=13（90+2∠FCH ）=30+23∠FCH ， ∵∠FAH+∠AFM=∠AHN+∠FPH ， ∴α+22.5=30+23∠FCH+∠FPH ，② 把①代入②得：∠FPH=22.53α+， ∵∠FCH=m ∠FAH+n ∠FPH ，α﹣22.5=mα+n 22.5·3α+，解得：m=2，n=﹣3．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、基本作图——角平分线等，熟练掌握三角形内角和定理以及三角形外角的性质、结合图形进行求解是关键.9．ABC 中，AD 是BAC ∠的平分线，AE BC ⊥，垂足为E ，作CF//AD ，交直线AE 于点F.设B α∠=，ACB β∠=．()1若B 30∠=，ACB 70∠=，依题意补全图1，并直接写出AFC ∠的度数； ()2如图2，若ACB ∠是钝角，求AFC ∠的度数(用含α，β的式子表示)；()3如图3，若B ACB ∠∠>，直接写出AFC ∠的度数(用含α，β的式子表示)．【答案】（1）补图见解析，AFC 20∠=；（2） ()1AFC 180βα2∠=--；（3） ()1AFC αβ2∠=-． 【解析】【分析】 (1)先根据三角形内角和定理求出∠BAC 和∠CAE ，根据角平分线定义求出∠CAD ，即可求出答案；(2)先根据三角形内角和定理求出∠BAC ，根据角平分线定义求出∠BAD ，根据三角形外角性质求出∠ADC ，根据三角形内角和定理求出∠DAE ，根据平行线的性质求出即可；(3)求出∠DAE 度数，根据平行线的性质求出即可．【详解】解：()1如图1，B 30∠=，ACB 70∠=，BAC 180B ACB 80∠∠∠∴=--=，AD 是BAC ∠的平分线，1CAD CAB 402∠∠∴==， AE BC ⊥，AEC 90∠∴=，ACB 70∠=，EAC 180907020∠∴=--=，DAE CAD CAE 402020∠∠∠∴=-=-=，CF//AD ，AFC DAE 20∠∠∴==；()2如图2，ABC 中，BAC B ACB 180∠∠∠++=，()BAC 180B ACB ∠∠∠∴=-+．()180αβ=-+，AD 是BAC ∠的平分线，()11BAD BAC 90αβ22∠∠∴==-+，()()11ADE B BAD α90αβ90βα22∠∠∠∴=+=+-+=--， AE BC ⊥，DAE ADE 90∠∠∴+=， ()1DAE 90ADE βα2∠∠∴=-=-， CF//AD ，DAE AFC 180∠∠∴+=，()1AFC 180βα2∠∴=--； ()3如图3，ABC 中，BAC B ACB 180∠∠∠++=， ()BAC 180B ACB ∠∠∠∴=-+，()180αβ=-+，AD 是BAC ∠的平分线，()11CAD BAC 90αβ22∠∠∴==-+， AE BC ⊥，AEC 90∠∴=，ACB β∠=，EAC 18090β90β∠∴=--=-，()()()11DAE CAE CAD 90β90αβαβ22∠∠∠⎡⎤∴=-=----=-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形角平分线定义、三角形的高、平行线的性质等，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键.10．根据题意解答：（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A +∠B =∠C +∠D ．（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度数．解：∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD∴∠1=∠2，∠3=∠4由（1）的结论得：∠P+∠3=∠1+∠B①，∠P+∠2=∠4+∠D②，①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D∴∠P= 12（∠B+∠D）=26°．①如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．②在图4中，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论，无需说明理由．③在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论，无需说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）①∠P=26゜；②∠P=180°﹣12（∠B+∠D）；③∠P=90°+ 12（∠B+∠D）．【解析】试题分析：（1）根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得证；（2）根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据（1）的结论列出整理即可得解；①表示出∠PAD和∠PCD，再根据（1）的结论列出等式并整理即可得解；②根据四边形的内角和等于360°，可得（180°﹣∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D=360°，然后整理即可得解；③根据（1）的结论∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠PAD+∠P=∠D+∠PCD，然后整理即可得解．试题解析：（1）∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180゜，∴∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD．∵∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D．（2）①∠P=26゜．∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4．由（1）的结论得：∠PAD+∠P=∠PCD+∠D①，∠PAB+∠P=∠PCB+∠B②，∵∠PAB=∠1，∠1=∠2，∴∠PAB=∠2，∴∠2+∠P=∠3+∠B③，①+③得∠2+∠P+∠PAD+∠P=∠3+∠B+∠PCD+∠D，即2∠P+180°=∠B+∠D+180°，∴∠P=12（∠B+∠D）=26°．②如图4，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴（180°﹣2∠1）+∠B=（180°﹣2∠4）+∠D，在四边形APCB中，（180°﹣∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，在四边形APCD中，∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D=360°，∴2∠P+∠B+∠D=360°，∴∠P=180°﹣12（∠B+∠D）；③如图5，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵（∠1+∠2）+∠B=（180°﹣2∠3）+∠D，∠2+∠P=（180°﹣∠3）+∠D，∴2∠P=180°+∠D+∠B，∴∠P=90°+ 12（∠B+∠D）．点睛：本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图并运用好“8字形”的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．。
2020届人教A版__解三角形-单元测试
解三角形一、单选题1．已知α是三角形的一个内角,且32cos sin =+αα,则这个三角形（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．不等腰的直角三角形 D ．等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 试题分析：由题32cos sin =+αα, 则：()2225sin cos ,sin cos 0318αααα⎛⎫+==-< ⎪⎝⎭因为： sin 0,cos 0αα><，则三角形为钝角三角形。
考点：三角函数的变形及三角形形状的判断. 2．【答案】A【解析】本题考查向量的数量积及其最佳值问题如图示以为A 原点，以CA 和CB 所在直线为x 轴和y 轴建立直角坐标系，则()()()0,0,0,3,4,0A B C -，则()4,3CB = .设(),M x y 则()4,CM x y =+，由//CM CB 得443y x +=，即334y x =+，则()3,34x M x +，所以()()33,3,4,344x x AM x CM x =+=++；又AM CM ⊥，则0AM CM ⋅=，则()()()2223331617,34,34390444252x x x x x x x x x +⋅++=+++=++= 所以2251361440x x ++=解得3625x =-或4x =-（舍）所以()3648,2525M =-，所以()3648,2525AM =-设()()3,3,404a N a a +-≤≤，则()3,34a AN a =+，则()()()3648336348144,,33252542542525a a a AM AN a ⋅=-⋅+=-++⨯=即40a -≤≤时取最大值14425AM AN ⋅=故正确答案为A 3．在，则边的边长为（ ）A ．B ．3C ．D ．7【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，三角形的面积，解得，在中，由余弦定理得，所以．考点：余弦定理及三角形的面积公式的应用．4．已知ABC ∆中，AB=AC=5，BC=6，则ABC ∆的面积为A ．12B ．15C ．20D ．25 【答案】A 【解析】试题分析：因为，ABC ∆中，AB=AC=5，BC=6，所以，BC4=，三角形的面积为12，选A 。
2021-2022学年新教材高中数学 第9章 解三角形单元测试(含解析)新人教B版必修第四册
第九章第二部分阶段测试第九章单元测试间：90分钟 分数：150分、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)．在△ABC 中，若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B 等于( ) .53B.54C.55D.56．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于( )．－32B ．－23C.23D.32．△ABC 中，B ＝π3，且a ＋c ＝332，b ＝3，则△ABC 的面积为( ) .5316B.34C.7312D ．23 ．已知锐角三角形的三边长分别为3,4，a ，则a 的取值范围是( )．(1,5) B ．(1,7) C ．(7，5) D ．(7，7)．在△ABC 中，a ＝1，B ＝45°，△ABC 的面积为2，则三角形外接圆的半径为( )．23B ．42C.522D ．32．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( ).3π4 B.π3C.π4D.π6．如图，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这艘船航行的速度为( ) .1762海里/时B ．346海里/时 .1722海里/时D ．342海里/时 ．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( ).34B.43C ．－34D ．－43、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．) ．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )．b ＝10，A ＝45°，C ＝70°B．b ＝45，c ＝48，B ＝60°C．a ＝14，b ＝16，A ＝45°D．a ＝7，b ＝5，A ＝80°0．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )．2sin B ＝sin A B ．2cos B ＝cos A C ．a ＝2b D ．B ＝2A1．在△ABC 中，已知(a ＋b )：(c ＋a )：(b ＋c )＝6：5：4，给出下列结论中正确结论是( )．由已知条件，这个三角形被唯一确定B ．△ABC 一定是钝角三角形．sin A ：sin B ：sin C ＝7：5：3D ．若b ＋c ＝8，则△ABC 的面积是15322．已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，下列四个命题中正确的是( ) ．若tan A ＋tan B ＋tan C ＞0，则△ABC 是锐角三角形．若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 是等腰三角形．若b cos C ＋c cos B ＝b ，则△ABC 是等腰三角形．若a cos A ＝b cos B ＝c cos C，则△ABC 是等边三角形 、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)3．在等腰三角形ABC 中，已知sin A ：sin B ＝1：2，底边BC ＝10，则△ABC 的周长是________．4．某人在C 点测得塔在南偏西80°方向，且塔顶A 的仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10m 到B 点，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为________m.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则1a ＋1c＝________. 6．在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，点D 在线段AC 上．若∠BDC ＝45°，则BD ＝________.、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)7．(10分)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17.1)求∠A；2)求AC边上的高．8．(12分)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a2＋c2＝b2＋2ac.1)求角B的大小；2)求2cos A＋cos C的最大值．9．(12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b sin A＝3a cos B.1)求B的大小；2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．20.(12分)已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)．1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积． 21.(12分)如图，已知A ，B ，C 是一条直路上的三点，AB 与BC 各等于1km ，从三点分别遥望塔M ，在A 处看见塔在北偏东45°方向，在B 处看见塔在正东方向，在C 处看见塔在南偏东60°方向，求塔到直路ABC 的最短距离．2．(12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos2A ＋32＝2cos A . 1)求角A 的大小；2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围．第九章单元测试．答案：B析：由正弦定理，得a b ＝sin Asin B ，a ＝52b 可化为sin A sin B ＝52.A ＝2B ，∴sin 2B sin B ＝52，∴cos B ＝54.．答案：D析：在△ABC 中，cos∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝9＋4－102×3×2＝14，∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ＝3×2×14＝32.．答案：A析：∵B ＝π3∴由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，(a ＋c )2－2ac －b 22ac ＝12.a ＋c ＝332，b ＝3，∴274－2ac －3＝ac .∴ac ＝54. S △ABC ＝12ac sin B ＝12×54×32＝5316.．答案：C析：∵三角形为锐角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 32＋a 2>16，32＋42>a 2，解得7＜a 2<25，a >0，∴7<a <5，∴a 的取值范围是(7，5)．．答案：C析：由三角形的面积公式，得2＝12ac sin B ＝12c ×22， c ＝4 2.又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋32－2×1×42×22＝25，∴b ＝5，又∵b sin B＝2R . R ＝b 2sin B ＝52×22＝522. ．答案：C析：由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，因为b ＝c ，以a 2＝b 2＋b 2－2b ×b cos A ＝2b 2(1－cos A )．已知a 2＝2b 2(1－sin A )，以sin A ＝cos A ，为A ∈(0，π)，所以A ＝π4. ．答案：A析：由题意知PM ＝68海里，∠MPN ＝120°，∠N ＝45°.由正弦定理，知PM sin 45°＝MN sin 120°，∴MN ＝68×32×2＝346(海里)． 速度为3464＝1762(海里/时)． ．答案：D析：由2S ＝(a ＋b )2－c 2，得2S ＝a 2＋b 2＋2ab －c 2，2×12ab sin C ＝a 2＋b 2＋2ab －c 2， 以ab sin C －2ab ＝a 2＋b 2－c 2.余弦定理可知 os C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab sin C －2ab 2ab ＝sin C 2－1， 以cos C ＋1＝sin C 2， 2cos 2C 2＝sin C 2cos C 2，所以tan C 2＝2. 以tan C ＝ 2 tan C 21－tan 2C 2＝2×21－22＝－43. ．答案：BC析：选项B 满足c sin 60°＜b ＜c ，选项C 满足b sin 45°＜a ＜b ，所以B 、C 有两解．对于选项A ，可求得B ＝180°－A －C ＝65°，三角形有一解．对于选项D ，由sin B ＝b sin A a，且b ＜a ，可得B 为锐角，只有一解，三角形只有一解．0．答案：AC析：因为sin(A ＋C )＋2sin B cos C ＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，所以2sin B cos C ＝sin A cos C ，又0＜C ＜π2，得2sin B ＝sin A ，从而由正弦定理得2b ＝a . 1．答案：BC析：∵(a ＋b )：(c ＋a )：(b ＋c )＝6：5：4，设a ＋b ＝6k ，c ＋a ＝5k ，b ＋c ＝4k ，(k ＞0)，a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k ，∴a ：b ：c ＝7：5：3， sin A ：sin B ：sin C ＝7：5：3，选项C 正确．于三角形ABC 的边长不确定，所以三角形不确定，选项A 错误．于cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝254k 2＋94k 2－494k 22×52×32k 2＝－12<0所以A 是钝角，即△ABC 是钝角三角形，选项B 正确．b ＋c ＝8，则52k ＋32k ＝4k ＝8，∴k ＝2，∴b ＝5，c ＝3，A ＝120°， △ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×5×3×32＝1534.选项D 错误． 2．答案：ACD析：∵tan A ＋tan B ＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B )，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＋tan C ＝tan A tan B tan C ＞0， A ，B ，C 是△ABC 的内角，∴角A ，B ，C 都是锐角，选项A 正确．a cos A ＝b cos B ，则sin A cos A ＝sin B cos B ，2sin A cos A ＝2sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B ，A ＝B ，或A ＋B ＝90°，即△ABC 是等腰三角形或直角三角形，选项B 错误．b cos C ＋c cos B ＝b ，sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A ＝sin B ，A ＝B ，∴△ABC 是等腰三角形，选项C 正确．a cos A ＝b cos B ＝ccos C ，则sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C， tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C ，△ABC 是等边三角形，选项D 正确．3．答案：50析：由正弦定理，得BC ：AC ＝sin A ：sin B ＝1：2，底边BC ＝10，∴AC ＝20，∴AB ＝AC ＝20，△ABC 的周长是10＋20＋20＝50. 4．答案：10析：设塔底为A ′，AA ′＝h m ，则借助于实物模拟图(如图所示)可以求得A ′C ＝h m ，A ′B ＝3h m ，在△A ′BC 中，A ′C ＝h m ，BC ＝10 m ，A ′B ＝3h m ，∠A ′CB ＝120°，∴(3h )2＝h 2＋100－2h ×10×cos 120°，即h 2－5h －50＝0，解得h ＝10(h ＝－5舍)．5．答案：1析：依题意有S △ABC ＝S △BCD ＋S △ABD ，12ac sin 120°＝12a ×1×sin 60°＋12c ×1×sin 60°， c ＝a ＋c ，∴1a ＋1c＝1. 6．答案：1225 析：如图所示，设CD ＝x ，∠DBC ＝α，则AD ＝5－x ，∠ABD ＝π2－α，在△BDC 中，由正弦定理得3sin π4＝x sin α＝32⇒sin α＝x 32.在△ABD 中，由正弦定理得5－x sin(π2－α)＝4sin 3π4＝42⇒cos α＝5－x 42.由sin 2α＋cos 2α＝x 218＋(5－x )232＝1解得x 1＝－35(舍去)，x 2＝215，在△BDC 中，由正弦定理，得BD ＝BC ·sin∠C sin ∠BDC ＝3×4522＝1225. 7．解析：(1)在△ABC 中，因为cos B ＝－17， 以sin B ＝1－cos 2B ＝437. 正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝32.题设知π2<∠B <π，所以0<∠A <π2. 以∠A ＝π3. 2)在△ABC 中，为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝3314， 以AC 边上的高为a sin C ＝7×3314＝332. 8．解析： (1)由余弦定理及a 2＋c 2＝b 2＋2ac 得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝22. 0<B <π，∴B ＝π4. 2)由(1)知，A ＋C ＝π－B ＝3π4，∴2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－A 2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22cos A ＋22sin A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4.又0<A <3π4，∴π4<A ＋π4<π，∴A ＋π4＝π2时，即A ＝π4时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4取得最大值1，2cos A ＋cos C 的最大值为1.9．解析：(1)∵b sin A ＝3a cos B ，∴由正弦定理得，sin B sin A ＝3sin A cos B ，∵A 为△ABC 的内角，∴sin A >0，∴tan B ＝3，∵0<B <π，∴B ＝π3. 2)∵sin C ＝2sin A ，∴c ＝2a .(1)知B ＝π3，∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，a 2＋(2a )2－2a ×2a ×12＝9，∴a ＝3，c ＝2 3.0．解析：(1)证明：∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ，正弦定理，得a 2＝b 2，∴a ＝b .∴△ABC 为等腰三角形．2)由题意知m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0.a ＋b ＝ab .余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ，(ab )2－3ab －4＝0.ab ＝4(ab ＝－1舍去)，S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 3.1．解析：由题意得∠CMB ＝30°，∠AMB ＝45°，AB ＝BC ＝1，∴S △MAB ＝S △MBC ，12MA ×MB ×sin 45°＝12MC ×MB ×sin 30°，MC ＝2MA ，在△MAC 中，由余弦定理，得C 2＝MA 2＋MC 2－2MA ×MC ×cos 75°，MA 2＝43－22cos 75°，M 到AB 的距离为h ，则由△MAC 的面积得MA ×MC ×sin 75°＝12AC ×h ，h ＝2MA 22×sin 75°＝22×43－22cos 75°×sin 75°7＋5313(km)．塔到直路ABC 的最短距离为7＋5313 km.2．解析：(1)根据二倍角公式及题意得2cos 2A ＋12＝2cos A ，4cos 2A －4cos A ＋1＝0，∴(2cos A －1)2＝0，cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3.2)根据正弦定理，a sin A ＝b sin B ＝csin C ，b ＝23sin B ，c ＝23sin C .l ＝1＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C )，∵A ＝π3，∴B ＋C ＝2π3，l ＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6，0<B <2π3∴π6<B ＋π6<5π6，12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6≤1，l ∈(2,3]．。
解直角三角形》单元测试卷及答案
《解直角三角形》单元测试卷一、填空题：1、如下图，表示甲、乙两山坡的情况, _____坡更陡。
(填“甲”“乙”)αβ1213 34甲乙2、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AC ＝3，AB ＝5，则cosB 的值为__________。
3、在Rt △ABC 中，∠C=90°.若sinA=22，则sinB= 。
4、计算：tan 245°－1＝ 。
5、在△ABC 中，AB=AC=10，BC=16，则tanB=_____。
6、△ABC 中，∠C=90°，斜边上的中线CD=6，sinA=31，则S △ABC=______。
7、菱形的两条对角线长分别为23和6，则菱形较小的内角为______度。
8、如图2是固定电线杆的示意图。
已知：CD ⊥AB ，CD 33=m ，∠CAD=∠CBD=60°，则拉线AC 的长是__________m 。
9、升国旗时，某同学站在离旗杆底部24米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30°，若双眼离地面1.5米，则旗杆的高度为______米。
(用含根号的式子表示)10、如图3，我校为了筹备校园艺术节，要在通往舞台的台阶上铺上红色地毯．如果地毯的宽度恰好与台阶的宽度一致，台阶的侧面如图所示，台阶的坡角为30，90BCA ∠=，台阶的高BC 为2米，那么请你帮忙算一算需要 米长的地毯恰好能铺好台阶．（结果精确到0.1m ，取2 1.414=，3 1.732=）11、如图4，如果△APB 绕点B 按逆时针方向旋转30°后得到△A＇P ＇B ，且BP=2，那么PP ＇的长为____________.(不取近似值. 以下数据供解题使用：sin15°=624-，cos 15°=624+)二、选择题：12、在ABC ∆中，︒=∠90C ，AB=15，sinA=13，则BC 等于（ ） A 、45 B 、5 C 、15 D 、14513、李红同学遇到了这样一道题：3tan(α+20°)=1，你猜想锐角α的度数应是（ ） A.40° B.30° C.20° D.10°14、身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别为300 m ，250 m ，200 m ；线与地面所成的角度分别为30°，45°，60°(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝（ ）A.甲的最高B.乙的最低C.丙的最低D.乙的最高 15、在△ABC 中，若tanA=1，sinB=22，你认为最确切的判断是（ ） A.△ABC 是等腰三角形 B.△ABC 是等腰直角三角形C.△ABC 是直角三角形D.△ABC 是一般锐角三角形16、如图5，某地夏季中午，当太阳移至房顶上方偏南时，光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB=1.8 m ，要在窗子外面上方安装水平挡光板AC ，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板的宽度AC 为( )A.1.8tan80°mB.1.8cos80°mC.︒80sin 8.1 m D.︒80tan 8.1 m17、如图6，四边形ABCD 中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=23，AD=2，则四边形ABCD 的面积是（ ） A.42B.43C.4D.6三、解答题：18、计算：(1)3cos30°+2sin45° (2)6tan 2 30°－3sin 60°－2sin 45°19、根据下列条件，求出Rt △ABC(∠C=90°)中未知的边和锐角. (1)BC=8，∠B=60°; (2)AC=2，AB=2.20、如图7，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，∠A 的平分线AD=3316,求∠B 的度数及边BC 、AB 的长.21、等腰三角形的底边长20 cm ，面积为33100c m 2，求它的各内角.22、同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图是某公园在“六•一”前新增设的一台滑梯，该滑梯高度AC ＝2m ，滑梯着地点B 与梯架之间的距离BC ＝4m 。
必修5解三角形第一单元测试题 (含答案)
数学必修5解三角形单元测试题（时间120分钟，满分150分）一、选择题：（每小题5分，共计60分）1.在△ABC 中，若BA sin sin >，则A 与B 的大小关系为（ ） A. B A > B. B A < C. A ≥B D. A 、B 的大小关系不能确定 2. 在△ABC 中，b=3，c=3，B=300，则a 等于（ ）A ．3B ．123C ．3或23D ．2 3. 不解三角形，下列判断中正确的是（ ）A ．a=2，b=4，A=300有两解B ．a=30，b=25，A=1500有一解C ．a=6，b=9，A=450有两解D ．a=9，c=10，B=600无解4. 已知△ABC 的周长为9，且4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则cosC 的值为（ ）A ．41-B ．41 C ．32-D ．32 5. 在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则CB A cb a sin sin sin ++++等于( )A ．33B ．3392C ．338D ．2396．（2013年高考湖南卷）在锐角中ABC ∆,角,A B 所对的边长分别为,a b 若2sin 3,a B b A =则角等于（ ） A.12π B.6π C.4π D.3π 7.已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是（ ）A ．()10,8B ．()8,10 C ． ()10,8D ．()10,88.在△ABC 中，若cCb B a A sin cos cos ==，则△ABC 是（ ） A ．有一内角为30°的直角三角形B ．等腰直角三角形C ．有一内角为30°的等腰三角形D ．等边三角形9. △ABC 中，若c=ab b a ++22，则角C 的度数是( ) A.60°或120° B.60° C. 45° D.120° 10. 在△ABC 中，若b=22,a=2，且三角形有解，则A 的取值范围是( ) A.0°＜A ＜30° B.0°＜A ≤45° C.0°＜A ＜90° D.30°＜A ＜60°11. 已知△ABC 的三边长6,5,3===c b a ，则△ABC 的面积为 （ ）A ． 14B ．15C ． 142D ．15212.（2013年高考陕西卷）设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c ,若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为（ ）(A) 锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D) 不确定 二、填空题（每小题5分，满分20分）13.（2013新课标Ⅱ）设θ为第二象限角,若1tan()42πθ+=,则sin cos θθ+=______. 14. 在等腰三角形 ABC 中，已知sinA ∶sinB=1∶2，底边BC=10，则△ABC 的 周长是 .15. 在△ABC 中，已知sinA ∶sinB ∶sinC=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的 度数等于________.16. 已知△ABC 的三边分别是a 、b 、c ，且面积4222c b a S -+=，则角C=_______．三、解答题（70分）17. (本题满分10分)已知a ＝33，c ＝2，B ＝150°，求边b 的长及三角形面积．18. （本题满分12分）在△ABC 中，已知a-b=4,a+c=2b ，且最大角为120°，求△ABC 的三边长.19. （本题满分12分）在△ABC 中，证明：2222112cos 2cos ba b B a A -=-。
(完整版)解三角形练习题(含答案)
一、选择题1、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、，若=，则△ABC的形状为（）A、正三角形B、直角三角形C、等腰三角形或直角三角形D、等腰直角三角形2、已知中，，，则角等于A． B． C． D．3、在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若这样的△ABC有两个，则实数x的取值范围是（）A．(2，＋∞) B．(0，2)C．(2，) D．()4、，则△ABC的面积等于A． B． C．或 D．或5、在中，，则角C的大小为A.300B.450C.600D.12006、的三个内角、、所对边长分别为、、，设向量，，若，则角的大小为（）A． B． C． D．7、若ΔABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足，则ab的值为（）A． B． C．1 D．8、在中,若,且,则是( )A.等边三角形B.等腰三角形,但不是等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形,但不是等腰三角形9、在中，所对的边分别是且满足，则=A． B． C． D．10、若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝，则这个三角形是( )．A．等边三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形11、在△中，，，，则此三角形的最大边长为（）A. B. C. D.12、在△ABC中, 角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c2b2）tanB=ac，则角B=（）A． B． C．或 D．或13、（2012年高考（天津理））在中,内角,,所对的边分别是,已知,,则（）A． B． C． D．14、已知△ABC中，=，=，B=60°，那么满足条件的三角形的个数为（）A、1B、2C、3D、015、在钝角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则最大边c的取值范围是( ) （ A． B． C． D．16、（2012年高考（上海理））在中,若,则的形状是（）A．锐角三角形. B．直角三角形. C．钝角三角形. D．不能确定.17、在△ABC中，a=15，b=10, ∠A=，则（）A． B． C． D．18、在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则角A= （）A． B． C． D．19、（）A. B. C. D.20、给出以下四个命题：（1）在中，若,则；（2）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象；（3）在中，若，，，则为锐角三角形；（4）在同一坐标系中，函数与函数的图象有三个交点；其中正确命题的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．421、若△ABC的对边分别为、、C且，，，则b=（）A、5B、25C、 D、22、设A、B、C是△ABC三个内角，且tanA，tanB是方程3x2－5x+1=0的两个实根，那么△ABC是（）A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．以上均有可能23、设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的形状为(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定24、在中，若，则此三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形25、在△ABC中，已知A=，BC=8，AC=，则△ABC的面积为▲A．B．16 C．或16 D．或26、在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足c sin A＝a cos C，则sin A＋sin B的最大值是( )A．1 B. C. D．3二、填空题27、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c, 已知A=, a=, b=1，则c= .28、已知△ABC的面积 .29、在△ABC中，角A、B、C所对的对边分别为a、b、c，若，则A= 。
第1章 解直角三角形 浙教版九年级数学下册单元测试题(含答案)
第一章解直角三角形 单元测试题（满分100分；时间：90分钟）一、 选择题 （本题共计 9 小题 ，每题 3 分 ，共计27分 ， ）1. 如果三角形满足一个角是另一个角的4倍，那么我们称这个三角形为“实验三角形”，下列各组数据中，能作为一个“实验三角形”三边长的一组是（ ）A.1，1，√2B.1，1，√3C.1，2，√3D.1，2，32. 如图，△ABC 中，∠B ＝90∘，BC ＝2AB ，则cos A ＝（ ）A.√52B.12C.2√55D.√553. 如图，在△ABC 中，∠C =90∘，sin A =35，则BC AC 等于（ ）A.34B.43C.35D.454. 在△ABC 中，∠C =90∘，如果tan A =34，那么sin B 的值等于（ ） A.53 B.35 C.54 D.455. cot β=√33，则锐角β等于（ ）A.0∘B.30∘C.45∘D.60∘6. 如图是一台54英寸的大背投彩电放置在墙角的俯视图．设∠DAO=α，彩电后背AD平行于前沿BC，且与BC的距离为55cm，若AO=100cm，则墙角O到前沿BC的距离OE是（）A.(55+100tanα)cmB.(55+100sinα)cmC.(55+100cosα)cmD.以上答案都不对7. 如果某人沿坡度为1:3的斜坡向上行走a米，那么他上升的高度为（）A.√1010a米 B.√10a米 C.a3米 D.3a米8. 如图是一台54英寸的大背投彩电放置在墙角的俯视图（其中ABCD是矩形）．设∠ADO=α，彩电后背AD与前沿BC的距离为60cm，若AO=100cm，则墙角O到前沿BC的距离OE是（）A.(60+100sinα)cmB.(60+100cosα)cmC.(60+100tanα)cmD.(60−100sinα)cm9. 某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度．如图，他们在C处测得摩天轮的最高点A的仰角为45∘，再往摩天轮的方向前进50m至D处，测得最高点A的仰角为60∘．问摩天轮的高度AB约是（）米（结果精确到1米，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）A.120B.117C.118D.119二、填空题（本题共计11 小题，每题3 分，共计33分，）10. 如图，关于∠α与∠β的同一种三角函数值，有三个结论：①tanα>tanβ；②sinα>sinβ；③cosα>cosβ，正确的结论为________（填序号）．11. 如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A观测放置于B，C两处的标志物，数据显示点B在点A南偏东75∘方向20米处，点C在点A南偏西15∘方向20米处，则点B与点C的距离为________米．．AC上有一点E，满足AE:CE= 12. 如图，已知AD是等腰△ABC底边上的高，且tan B=342:3．那么tan∠ADE的值是________．13. 如果在某建筑物的A处测得目标B的俯角为37∘，那么从目标B可以测得这个建筑物的A 处的仰角为________．14. 计算：sin60∘⋅cos30∘−tan45∘=________.15. 如图，要在宽AB为20米的瓯海大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD与灯柱BC成120∘角，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线（即O为AB的中点）时照明效果最佳，若CD=√3米，则路灯的灯柱BC高度应该设计为________米．（计算结果保留根号）．16. 茗茗在坡度为1:√3的坡面上走了100m，则茗茗上升了________m．17. 如图，我国一渔政船在A处，发现正东方向B处有一可疑船只，正以16海里/小时速度向西北方向航行，我渔政船立即往北偏东60∘方向航行，1.5小时后，在C处截获可疑船只，则我渔政船的航行路程AC=________海里(结果保留根号)．18. 在Rt△ABC中，∠C＝90∘，sin A=1，那么cos A＝________．219. 如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在格点上，则sin A=________．20. 动手操作：今有一副三角板（如图1），中间各有一个直径为4cm的圆洞，现将三角形a的30∘角的那一头插入三角板b的圆洞内（如图2），则三角板a通过三角板b的圆洞的那一部分的最大面积为________cm2（不计三角板的厚度）．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）−√3⋅tan30∘．21. 计算：cos245∘+cos302sin60+122. 已知电线杆AB直立于地面，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上．如果CD与地面成45∘，∠A=60∘，CD=4√2米，BC=(4√3−4)米，求电线杆AB的长．23. 某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度（如图①所示，CD部分），在起点A处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45∘，底端D点的仰角为30∘，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达B处，测得顶端C的仰角为60∘（如图②所示），求大楼部分楼体CD的高度为多少米？24. 在旧城改造中，要拆除一烟囱AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区，现在从离B点21米远的建筑物CD顶端C测得A点的仰角为45∘，到B点的俯角为30∘，问离B点30米远的保护文物是否在危险区内？(√3约等于1.732)25. 如图，已知“中国渔政310”船(A)在南海执行护渔任务，接到陆地指挥中心(P)命令，得知出事渔船(B)位于陆地指挥中心西南方向，位于“中国渔政310”船正南方向，“中国渔政310”船位于陆地指挥中心北偏西60∘方向，距离为80海里的地方．而“中国渔政310”船最大航速为20海里/时．根据以上信息，请你求出“中国渔政310”船接到命令后赶往渔船出事地点最少需要多少时间（结果保留根号）？26. 我区在修筑渭河堤防工程时，欲拆除河岸边的一根电线杆AB．如图，已知距电线杆AB 水平距离14米处是河岸，即BD=14米，该河岸的坡面CD的坡度为1:0.5，岸高CF为2米，在坡顶C处测得杆顶A的仰角为30∘，D、E之间的宽是2米，请你通过计算说明在拆除电线杆AB时，为确保安全，是否将DE段封止？（在地面上以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域）参考答案一、选择题（本题共计9 小题，每题 3 分，共计27分）1.【答案】B【解答】解：A、若三边为1，1，√2，由于12+12=(√2)2，则此三边构成一个等腰直角三角形，所以这个三角形不是“实验三角形”，所以A选项错误；B、由1，1，√3能构成，此三边构成一个等腰三角形，通过作底边上的高可得到底角为30∘，顶角为120∘，所以这个三角形是“实验三角形”，所以B选项正确；C、若三边为1，2，√3，由于12+(√3)2=22，则此三边构成直角三角形，最小角为30∘，所以这个三角形不是“实验三角形”，所以C选项错误；D、由1，2，3不能构成三角形，所以D选项错误．故选B．2.【答案】D【解答】∵∠B＝90∘，BC＝2AB，∴AC=√AB2+BC2=√AB2+(2AB)2=√5AB，∴cos A=ABAC =√5AB=√55．3.【答案】A【解答】解：∵sin A=35，设a=3x，则c=5x，结合a2+b2=c2得b=4x；∴tan A=BCAC =ab=3x4x=34，故选A．4.【答案】D【解答】解：由tan A=34，可设∠A的对边是3k，∠A的邻边是4k．则根据勾股定理，斜边是5k．∴sin B=4．故选D．5.【答案】D【解答】解：∵cotβ=√33，β为锐角，∴β=60∘．故选D．6.【答案】B【解答】解：设OE、AD相交于F，则EF=55，在直角三角形AFO中，∵∠DAO=α，AO=100cm，∴OF=100sinα，∵EF=55，∴OE=55+100sinαOE=55+100sinα．故选B．7.【答案】A【解答】解：如图：根据题意得：AC=a，i=1:3，∴i=AECE =13．设AE=x米，则CE=3x米，∴AC=√AE2+CE2=√10x（米），∴√10x=a，解得：x=√1010a，∴AE=√1010a米．即他上升的高度为√1010a米．故选A．8.【答案】B【解答】解：∵△AOD是直角三角形，∴∠OAD+∠ODA=90∘，∵△AOF是直角三角形，∴∠OAD+∠AOF=90∘，∴∠AOF=∠ADO=α，在Rt△AOF中，OF=AO⋅cosα=100cosα，∵EF=CD=60cm，∴OE=EF+OF=(60+100cosα)cm．故选B．9.【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，由∠C=45∘，得AB=BC，在Rt△ABD中，∵tan∠ADB=tan60∘=ABBD，∴BD=ABtan60∘=√3=√33AB，又∵CD=50m，∴BC−BD=50，即AB−√33AB=50，解得：AB≈118．即摩天轮的高度AB约是118米．故选：C．二、填空题（本题共计11 小题，每题 3 分，共计33分）10.【答案】①②【解答】解：根据图形得：∠α>∠β，∴tanα>tanβ，sinα>sinβ，cosα<cosβ．∴①②正确．故答案为①②．11.【答案】20√2【解答】解：根据题意得：∠BAC=90∘，AB=AC=20米，在R t△ABC中，BC=√AC2+AB2=√202+202=20√2，故答案是：20√2．12.【答案】89【解答】解：作EF⊥AD于F，如图，∵△ABC为等腰三角形，AD为高，∴∠B=∠C，∴tan C=34=ADDC设AD=3t，DC=4t，∴AC=√AD2+CD2=5t，而AE:CE=2:3，∴AE=2t，∵EF // CD，∴△AEF∽△ACD，∴EFCD =AFAD=AEAC，即EF4t=AF3t=2t5t，∴AF=65t，EF=85t，∴FD=AD−AF=95t，在Rt△DEF中，tan∠FDE=EFFD =85t95t=89∴tan∠ADE=89．故答案为89．13.【答案】37∘【解答】解：如图，∵某建筑物的A处测得目标B的俯角为37∘，∴目标B可以测得这个建筑物的A处的仰角为37∘，故答案为：37∘14.【答案】−1 4【解答】解：sin60∘⋅cos30∘−tan45∘=√32⋅√32−1=−14.故答案为：−14.15.8√3【解答】解：如图，延长OD，BC交于点P．∵∠ODC=∠B=90∘，∠P=30∘，OB=10米，CD=√3米，∴在直角△CPD中，DP=DC⋅tan60∘=3米，PC=CD÷sin30∘=2√3（米），∵∠P=∠P，∠PDC=∠B=90∘，∴△PDC∽△PBO，∴PDPB =CDOB，∴PB=PD⋅OBCD =3×10√3=10√3（米），∴BC=PB−PC=10√3−2√3=8√3（米）．故答案为：8√3．16.【答案】50【解答】解：根据题意画图：AB=100，tan B=ACBC =1√3，设AC=x，BC=√3x，则x2+(√3x)2=1002，解得x=50，答：茗茗上升了50m．故答案为：50．17.24√2【解答】解：如图，作CD⊥AB于点D，垂足为D，∵在直角三角形BCD中，BC=16×1.5=24海里，∠CBD=45∘，∴CD=BC⋅sin45∘=24×√22=12√2海里，∴在直角三角形ACD中，AC=CDsin30∘=12√2×2=24√2海里，故答案为：24√2．18.【答案】√32【解答】∵在Rt△ABC中，∠C＝90∘，sin A=12，∴∠A＝30∘，∴cos A=√32．19.【答案】35【解答】解：如图所示：作CD⊥AB，则DC=3，AC=5，故sin A=DCAC =35．故答案为：35．20.【答案】 14.9【解答】解：如图，BC =4，∠BAC =30∘，作AD ⊥BC 于点D ，当点D 是BC 的中点时，△ABC 的面积最大，此时由中垂线的性质知，AB =AC ，∠B =75∘，S △ABC =12BC ⋅BD tan 75∘=12×4×2×3.732≈14.9cm 2．-----------------------故答案为：14.9三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ）21.【答案】原式＝(√22)2+√322×√32+1−√3×√33=12+3−√34−1 =1−√34．【解答】原式＝(√22)2+√322×√32+1−√3×√33=12+3−√34−1 =1−√34．22.【答案】解：如图，延长AD交BC的延长线于点E，作DF⊥BE于F．∵在Rt△DCF中，∠CFD=90∘，∠DCF=45∘，CD=4√2，∴CF=DF=4．∵在Rt△DEF中，∠EFD=90∘，∠E=30∘，∴EF=DFtan∠E =4√33=4√3，∴BE=BC+CF+FE=4√3−4+4+4√3=8√3．∵在Rt△ABE中，∠B=90∘，∠E=30∘，∴AB=BE tan30∘=8√3×√33=8．故电线杆AB的长为8米．【解答】解：如图，延长AD交BC的延长线于点E，作DF⊥BE于F．∵在Rt△DCF中，∠CFD=90∘，∠DCF=45∘，CD=4√2，∴CF=DF=4．∵在Rt△DEF中，∠EFD=90∘，∠E=30∘，∴EF=DFtan∠E =4√33=4√3，∴BE=BC+CF+FE=4√3−4+4+4√3=8√3．∵在Rt△ABE中，∠B=90∘，∠E=30∘，∴AB=BE tan30∘=8√3×√33=8．故电线杆AB的长为8米．23.【答案】解：设楼高CE为x米，∵ 在Rt△AEC中，∠CAE=45∘，∴ AE=CE=x.∵ AB=20，∴ BE=x−20.在Rt△CEB中，CE=BE⋅tan60∘=√3(x−20)，∴√3(x−20)=x，解得：x=30+10√3（米）.=10√3+10，在Rt△DAE中，DE=AE⋅tan30∘=(30+10√3)×√33∴ CD=CE−DE=30+10√3−(10√3+10)=20(米)．答：大楼部分楼体CD的高度为20米．【解答】解：设楼高CE为x米，∵ 在Rt△AEC中，∠CAE=45∘，∴ AE=CE=x.∵ AB=20，∴ BE=x−20.在Rt△CEB中，CE=BE⋅tan60∘=√3(x−20)，∴√3(x−20)=x，解得：x=30+10√3（米）.=10√3+10，在Rt△DAE中，DE=AE⋅tan30∘=(30+10√3)×√33∴ CD=CE−DE=30+10√3−(10√3+10)=20(米)．答：大楼部分楼体CD的高度为20米．24.【答案】文物在危险区内．解：在Rt△AEC中，∠ACE=45∘，则CE=EA，∵DB=CE=21m，∴DB=EA=21m，在Rt△CEB中，∠BCE=30∘，则tan30∘=BE，即BE=EC tan30∘，EC=7√3m，∴BE=21×√33∴AB=AE+EB=(21+7√3)m，∵AB=(21+7√3)>30，∴文物在危险区内．【解答】此题暂无解答25.【答案】“中国渔政310”船接到命令后赶往渔船出事地点最少需要(2+2√3)小时．【解答】解：过点P作PD⊥AB于点D．在Rt△APD中，∵AP=80海里，∠APD=90∘−60∘=30∘，AP=40海里，PD=√3AD=40√3海里．∴AD=12在Rt△BDP中，PD=40√3海里，∠B=45∘，∴BD=PD=40√3海里，∴AB=AD+BD=(40+40√3)海里，=2+2√3（小“中国渔政310”船接到命令后赶往渔船出事地点最少需要的时间为40+40√320时）．26.【答案】解：∵i=1:0.5，CF=2米=2，∴tan∠CDF=CFDF∴DF=1米，BG=2米，∵BD=14米，∴BF=GC=15米．=5√3≈8.66（米），在Rt△AGC中，AG=15tan30∘=15×√33∴AB=AG+BG=8.66+2=10.66米，BE=BD−DE=14−2=12（米），∵10.66<12，∴没有必要封止DE．【解答】解：∵i=1:0.5，CF=2米=2，∴tan∠CDF=CFDF∴DF=1米，BG=2米，∵BD=14米，∴BF=GC=15米．=5√3≈8.66（米），在Rt△AGC中，AG=15tan30∘=15×√33∴AB=AG+BG=8.66+2=10.66米，BE=BD−DE=14−2=12（米），∵10.66<12，∴没有必要封止DE．。
(完整版)解三角形练习题及答案
第一章解三角形一、选择题1．己知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为（）．A．90°B．120°C．135°D．150°2．在△ABC中，下列等式正确的是（）．A．a∶b＝∠A∶∠B B．a∶b＝sin A∶sin BC．a∶b＝sin B∶sin A D．a sin A＝b sin B3．若三角形的三个内角之比为1∶2∶3，则它们所对的边长之比为( )．A．1∶2∶3 B．1∶3∶2C．1∶4∶9 D．1∶2∶34．在△ABC中，a＝5，b＝15，∠A＝30°，则c等于( ）．A．25B．5C．25或5D．10或55．已知△ABC中，∠A＝60°，a＝6，b＝4，那么满足条件的△ABC的形状大小 ( ）．A．有一种情形B．有两种情形C．不可求出D．有三种以上情形6．在△ABC中，若a2＋b2－c2＜0,则△ABC是( ）．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．形状不能确定7．在△ABC中，若b＝3，c＝3，∠B＝30°,则a＝( )．A．3B．23C．3或23D．28．在△ABC中,a,b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边．如果a，b，c成等差数列,∠B＝30°，△ABC的面积为23，那么b＝（）．A．231+B．1＋3C．232+D．2＋39．某人朝正东方向走了x km后，向左转150°,然后朝此方向走了3 km，结果他离出发点恰好3km，那么x的值是( )．A．3B．23C．3或23D．310．有一电视塔，在其东南方A处看塔顶时仰角为45°，在其西南方B处看塔顶时仰角为60°,若AB＝120米，则电视塔的高度为（ )．A ．603米B ．60米C ．603米或60米D ．30米 二、填空题11．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝10，b ＝ ．12．在△ABC 中，∠A ＝105°,∠B ＝45°，c ＝2，则b ＝ ．13．在△ABC 中，∠A ＝60°,a ＝3，则C B A c b a sin sin sin ++++＝ ． 14．在△ABC 中，若a 2＋b 2＜c 2，且sin C ＝23，则∠C ＝ ． 15．平行四边形ABCD 中,AB ＝46，AC ＝43，∠BAC ＝45°,那么AD ＝ ．16．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则最大角的余弦值＝ ．三、解答题17． 已知在△ABC 中,∠A ＝45°，a ＝2,c ＝6，解此三角形．18．在△ABC 中,已知b ＝3，c ＝1,∠B ＝60°，求a 和∠A ，∠C ．19． 根据所给条件，判断△ABC 的形状．(1)a cos A ＝b cos B ;（2)A a cos ＝B b cos ＝Cc cos ．20．△ABC 中,己知∠A ＞∠B ＞∠C ，且∠A ＝2∠C ，b ＝4，a ＋c ＝8，求a ，c 的长．第一章 解三角形参考答案一、选择题1．B解析：设三边分别为5k ,7k ，8k （k ＞0)，中间角为， 由cos ＝k k k k k 85249－64＋25222⨯⨯＝21，得 ＝60°，∴最大角和最小角之和为180°－60°＝120°．2．B 3．B4．C5．C6．C7．C8．B解析：依题可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧︒︒30cos 2－＋＝23＝30sin 212＝＋222ac c a b ac b c a ⇒⎪⎩⎪⎨⎧ac ac c a b ac b c a 3－2－)＋(＝6＝2＝＋22 代入后消去a ,c ，得b 2＝4＋23，∴b ＝3＋1,故选B ．9．C10．A二、填空题11．56．12．2．13．23．解析：设A a sin ＝B b sin ＝C c sin ＝k ，则C B A c b a ＋sin ＋sin sin ＋＋＝k ＝A a sin ＝︒60sin 3＝23． 14．32π．15．43．16．－41．三、解答题17．解析:解三角形就是利用正弦定理与余弦定理求出三角形所有的边长与角的大小．解法1:由正弦定理得sin C ＝26sin 45°＝26·22＝23． ∵c sin A ＝6×22＝3，a ＝2，c ＝6,3＜2＜6， ∴本题有二解，即∠C ＝60°或∠C ＝120°,∠B ＝180°－60°－45°＝75°或∠B ＝180°－120°－45°＝15°．故b ＝Aa sin sin B ，所以b ＝3＋1或b ＝3－1， ∴b ＝3+1,∠C ＝60°,∠B ＝75°或b ＝3－1，∠C ＝120°，∠B ＝15°．解法2：由余弦定理得b 2＋(6)2－26b cos 45°＝4,∴b 2－23b ＋2＝0，解得b ＝3±1． 又（6）2＝b 2＋22－2×2b cos C ，得cos C ＝±21,∠C ＝60°或∠C ＝120°,所以∠B ＝75°或∠B ＝15°．∴b ＝3＋1，∠C ＝60°，∠B ＝75°或b ＝3－1，∠C ＝120°，∠B ＝15°．18．解析:已知两边及其中一边的对角，可利用正弦定理求解． 解：∵B b sin ＝Cc sin , ∴sin C ＝b B c sin ⋅＝360sin 1︒⋅＝21． ∵b ＞c ，∠B ＝60°,∴∠C ＜∠B ,∠C ＝30°，∴∠A ＝90°．由勾股定理a ＝22＋c b ＝2，即a ＝2，∠A ＝90°,∠C ＝30°．19．解析:本题主要考查利用正、余弦定理判断三角形的形状．(1)解法1：由余弦定理得a cos A ＝b cos B ⇒a ·（bc a c b 2222-+)＝b ·（acc b a 2222+-）⇒a 2c 2－a 4－b 2c 2＋b 4＝0, ∴（a 2－b 2）（c 2－a 2－b 2)＝0,∴a 2－b 2＝0或c 2－a 2－b 2＝0，∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2．∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．解法2:由正弦定理得sin A cos A ＝sin B cos B⇒sin 2A ＝sin 2B⇒2∠A ＝2∠B 或2∠A ＝－2∠B ，∠A ,∠B ∈（0，)⇒∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝2π， ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．（2）由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 代入已知等式，得A A R cos sin 2＝BB R cos sin 2＝C C R cos sin 2， ∴A A cos sin ＝B B cos sin ＝CC cos sin ， 即tan A ＝tan B ＝tan C ．∵∠A ，∠B ,∠C ∈（0，π），∴∠A ＝∠B ＝∠C,∴△ABC 为等边三角形．20．解析:利用正弦定理及∠A ＝2∠C 用a ，c 的代数式表示cos C ；再利用余弦定理,用a ,c 的代数式表示cos C ,这样可以建立a ，c 的等量关系;再由a ＋c ＝8，解方程组得a ,c ． 解：由正弦定理A a sin ＝Cc sin 及∠A ＝2∠C ,得 C a 2sin ＝C c sin ，即C C a cos sin 2⋅＝Cc sin ， ∴cos C ＝ca 2． 由余弦定理cos C ＝abc b a 2222-+， ∵b ＝4，a ＋c ＝8，∴a ＋c ＝2b ,∴cos C ＝)()(c a a c c a a ＋－4＋＋222＝)())((c a a c a c a ＋4＋3－5＝a c a 43－5， ∴c a 2＝ac a 43－5， 整理得（2a －3c ）(a －c ）＝0，∵a ≠c ，∴2a ＝3c ． 又∵a ＋c ＝8，∴a ＝524，c ＝516．。
第十一章-三角形》单元测试卷含答案(共5套)
第十一章三角形》单元测试卷含答案(共5套)第十一章三角形单元测试卷（一）时间: 120分钟满分: 120分一、选择题1.以下列每组长度的三条线段为边能组成三角形的是() A。
2.3.6.B。
2.4.6C。
2.2.4.D。
6、6、62.如图, 图中∠1的大小等于()A。
40°。
B。
50°。
C。
60°。
D。
70°3.一个多边形的每一个内角都等于140°, 则它的边数是() A。
7.B。
8.C。
9.D。
104.如图, △ABC中, ∠A＝46°, ∠C＝74°, BD平分∠XXX于点D, 那么∠XXX的度数是()A。
76°。
B。
81°。
C。
92°。
D。
104°5.用五根木棒钉成如下四个图形, 具有稳定性的有()A。
1个。
B。
2个。
C。
3个。
D。
4个6.如图, 点A, B, C, D, E, F是平面上的6个点, 则∠A＋∠B ＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数是()A。
180°。
B。
360°。
C。
540°。
D。
720°二、填空题7.已知三角形两条边长分别为3和6, 第三边的长为奇数, 则第三边的长为9.8.若n边形内角和为900°, 则边数n为10.9.将一副三角板按如图所示的方式叠放, 则∠α的度数为30°。
10.如图, 在△ABC中, ∠ACB＝90°, ∠A＝20°。
若将XXX沿CD所在直线折叠, 使点B落在AC边上的点E处, 则∠XXX的度数是70°。
11.如图, 在△ABC中, E、D.F分别是AD.BF、CE的中点。
若△DEF的面积是1cm², 则S△ABC＝3cm²。
12.当三角形中一个内角β是另一个内角α的时, 我们称此三角形为“希望三角形”, 其中角α称为“希望角”。
如果一个“希望三角形”中有一个内角为54°, 那么这个“希望三角形”的“希望角”的度数为27°。
第24章 解直角三角形单元测试卷及参考答案
图（1）图（2）第24章 解直角三角形单元测试卷姓名____________ 时间: 90分钟 满分:120分 总分____________ 一、选择题（每小题3分,共30分）1. 如图（1）所示,在△ABC 中,︒=∠90B ,AB BC 2=,则A cos 等于 【 】 （A ）25 （B ）21 （C ）552 （D ）552. 如图（2）所示,在Rt △ABC 中,︒=∠90BAC ,BC AD ⊥于点D ,如果α=∠ABC ,那么下列结论 错误的是 【 】 （A ）αsin ACBC =（B ）αtan ⋅=AD CD （C ）αcos ⋅=AB BD （D ）αcos ⋅=AD AC3. 如图（3）所示,在菱形ABCD 中,AB DE ⊥,2,53cos ==BE A ,则DBE ∠tan 的值是 【 】图（3）（A ）21（B ）2 （C ）25 （D ）554. 在Rt △ABC 中,︒=∠90C ,已知54sin =A ,则A cos 的值为 【 】 （A ）54（B ）1 （C ）53 （D ）525. 如图（4）所示,△ABC 的顶点是正方形网格的格点,则A sin 的值为 【 】图（4）CBA（A ）21（B ）55 （C ）1010 （D ）5526. 如图（5）所示,已知︒=∠60AOB ,点P 在边OA 上,,12=OP 点M 、N 在边OB 上,PN PM =,若2=MN ,则OM 等于 【 】A B图（5）N OPM（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）67. 如图（6）所示,在矩形ABCD 中,点E 在AB 边上,沿CE 折叠矩形ABCD ,使点B 落在AD 边上的点F 处,若,5,4==BC AB 则AFE ∠tan 的值为 【 】图（6）D（A ）54 （B ）53 （C ）43 （D ）358. 如图（7）所示,在Rt △ABC 中,︒=∠90C ,︒=∠30A ,E 为AB 上一点,且1:4:=EB AE ,AC EF ⊥于点F ,连结FB ,则CFB ∠tan 的值等于【 】（A ）33 （B ）332 （C ）335 （D ）35 图（7）图（8）9. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度,如图（8）所示,旗杆P A 的高度与拉绳PB 的长度相等.小明将PB 拉到PB′的位置,测得α=∠C PB '（C B '为水平线）,测角仪D B '的高度为1米,则旗杆P A 的高度为 【 】（A ）αsin 11-米 （B ）αsin 11+米（C ）αcos 11-米 （D ）αcos 11+米10. 如图（9）所示,要在宽为22米的九州大道两边安装路灯,路灯的灯臂CD 长2米,且与灯柱BC 成︒120角,路灯采用圆锥形灯罩,灯罩的轴线DO 与灯臂CD 垂直,当灯罩的轴线DO 通过公路路面的中心线时照明效果最佳,此时,路灯的灯柱BC 的高度应该设计为 【 】A图（9）O DBC（A ）()2211-米 （B ）()22311-米 （C ）()3211-米 （D ）()4311-米二、填空题（每小题3分,共15分）11. 如图（10）所示,在△ABC 中,12,==BC AC AB ,BD 为高,M 为AB 的中点,且5=DM ,则△ABC 的面积为_________.图（10）图（11）MNBCAD12. 在△ABC 中,如果B A ∠∠、满足021cos 1tan 2=⎪⎭⎫⎝⎛-+-B A ,那么=∠C _________.13. 如图（11）所示,正方形ABCD 的边长为4,N 是DC 的中点,M 是AD 上异于D 的点,且MBC NMB ∠=∠,则=∠ABM tan _________.14. 一般地,当βα,为任意角时,()βα+sin 与()βα-sin 的值可以用下面的公式求得:()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+,()βαβαβαsin cos cos sin sin -=-.例如:()4622223222145sin 30cos 45cos 30sin 4530sin 75sin +=⨯+⨯=︒︒+︒︒=︒+︒=︒类似地,可以求得=︒15sin __________.15. 如图（12）所示,已知点()0,35A ,直线b x y +=)0(>b 与y 轴交于点B ,连结AB ,若︒=75α,则=b _________.图（12）三、解答题（共75分）16. 计算:（每小题5分,共20分）（1）︒+︒45cos 360sin 2; （2）130sin 560cos 3-︒︒;（3）︒-︒-︒45tan 230cos 1245sin 22; （4）︒-︒-︒︒60cos 2345tan 60sin 230sin 2.17.（8分）先化简,再求值:1211222++-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x x x x ,其中︒=30sin x .18.（11分）如图（13）所示,在△ABC 中,AC BE BC AD ⊥⊥,,垂足分别为D 、E ,AD与BE相交于点F.（1）求证:△ACD∽△BFD;（2）当1=AC时,求BF的长.tan=∠ABD,3 Array图（13）19.（12分）如图（14）所示,在矩形ABCD中,点E是BC边上的点,AEAE⊥=,,垂足为点F,连结DE.BCDF（1）求证:DFAB=;（2）若,6=ABAD求EDF10=,tan的值.∠Array图（14）20.（12分）如图（15）所示,小强从自己家的阳台上看一栋楼顶部的仰角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,小强家与这栋楼的水平距离为42 m,这栋楼有多高?图（15）21.（12分）我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作sad ）.如图1,在△ABC 中,AC AB =,顶角A 的正对记作sad A ,这时sad A ABBC==腰底边.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义,解答下列问题: （1）sad =︒60_________;（2）如图2,在△ABC 中,CA CB =,若sad C 56=,求B tan 的值; （3）如图3,在Rt △ABC 中,︒=∠90C ,若54sin =A ,试求sad A 的值.图 1BCA图 2BAC图 3C第24章 解直角三角形单元测试卷参考答案一、选择题（每小题3分,共30分）二、填空题（每小题3分,共15分）11. 48 12. ︒75 13.3114. 426- 15. 5 三、解答题（共75分）16. 计算:（每小题5分,共20分） （1）︒+︒45cos 360sin 2;解:原式223232⨯+⨯= 62626=+=（2）130sin 560cos 3-︒︒;解:原式1215213-⨯⨯=1= （3）︒-︒-︒45tan 230cos 1245sin 22; 解:原式223322222-⨯-⨯=292321-=--=（4）︒-︒-︒︒60cos 2345tan 60sin 230sin 2.解:原式21231232212⨯--⨯⨯=41324321343131-=-+=--=17.（8分）先化简,再求值:1211222++-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x x x x ,其中︒=30sin x .解:1211222++-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x x x x()()()()1111122-=-++⋅+=x x x x x x x x ……………………………………6分当2130sin =︒=x 时……………………………………7分 原式112121-=-=. ……………………………………8分 18.（11分）如图（13）所示,在△ABC 中,AC BE BC AD ⊥⊥,,垂足分别为D 、E ,AD 与BE 相交于点F . （1）求证:△ACD ∽△BFD ;（2）当1tan =∠ABD ,3=AC 时,求BF 的长.图（13）（1）证明:∵AC BE BC AD ⊥⊥, ∴︒=∠+∠︒=∠+∠902,901C C ……………………………………1分 ∴21∠=∠……………………………………2分 ∵︒=∠=∠90BDF ADC ,21∠=∠∴△ACD ∽△BFD ;……………………………………5分 （2）在Rt △ABD 中 ∵1tan =∠ABD ∴1=BDAD……………………………………7分 ∵△ACD ∽△BFD∴13,1===BFBD AD BF AC ∴3=BF .……………………………………9分 19.（12分）如图（14）所示,在矩形ABCD 中,点E是BC边上的点,AE DF BC AE ⊥=,,垂足为点F ,连结DE .（1）求证:DF AB =;（2）若,6,10==AB AD 求EDF ∠tan 的值.图（14）（1）证明:∵四边形ABCD 是矩形 ∴BC AD BC AD ABE =︒=∠,//,90 ……………………………………1分 ∴AEB DAF ∠=∠ ∵AE DF ⊥∴︒=∠=∠90ABE DFA ∵BC AE = ∴DA BC AE == 在△ABE 和△DF A 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠DA AE DAF AEB DFA ABE ∴△ABE ≌△DF A （AAS ）……………………………………5分 ∴DF AB =;（2）由（1）可知:△ABE ≌△DF A ∴6==DF AB……………………………………6分 ∵10=AD ∴10=AE在Rt △ABE 中,由勾股定理得:86102222=-=-=AB AE BE……………………………………9分 ∴8=FA∴2=-=FA AE EF……………………………………10分 ∴3162tan ===∠DF EF EDF . ……………………………………12分 20.（12分）如图（15）所示,小强从自己家的阳台上看一栋楼顶部的仰角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,小强家与这栋楼的水平距离为42 m,这栋楼有多高?解:由题意可知:42,=⊥AD BC AD m……………………………………1分 在Rt △ABD 中 ∵ADBDBAD =∠tan ∴3342=BD ∴314=BD m……………………………………6分 在Rt △ACD 中 ∵ADCDCAD =∠tan ∴360tan 42=︒=CD∴342=CD m……………………………………11分 ∴356=+=CD BD BC m……………………………………12分 答:这栋楼的高度为356m.21.（12分）我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作sad ）.如图1,在△ABC 中,AC AB =,顶角A 的正对记作sad A ,这时sad A ABBC==腰底边.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义,解答下列问题:（1）sad =︒60_________;（2）如图2,在△ABC 中,CA CB =,若sad C 56=,求B tan 的值; （3）如图3,在Rt △ABC 中,︒=∠90C ,若54sin =A ,试求sad A 的值. 解:（1）1;……………………………………3分 （2）作AB CD ⊥.图 2∵CA CB =,AB CD ⊥ ∴AB BD 21=……………………………………4分∵sad C 56=∴56=BC AB 设x AB 6=,则x BC 5=∴x BD 3=在Rt △BCD 中,由勾股定理得:()()xx x BD BC CD 4352222=-=-=……………………………………5分 ∴3434tan ===x x BD CD B . ……………………………………6分 （3）延长AC 至E ,使AE AB =. ……………………………………8分图 3∵54sin =A ∴54=AB BC 设x AB x BC 5,4== ∴x AE 5=在Rt △ABC 中,由勾股定理得:()()xx x BC AB AC 3452222=-=-=……………………………………9分 ∴x AC AE CE 2=-= 在Rt △BCE 中,由勾股定理得:()()xx x CE BC BE 52242222=+=+=∴sad A 552552===x x AB BE .（12分）图 2 mm。
高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试卷及答案
高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试卷及答案（2套）单元测试题一一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中） 1．在ABC △中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（ ）A ．1:2:3B ．3:2:1C ．2D ．22．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且A >B ，则一定有（ ） A ．cos A >cos BB ．sin A >sin BC ．tan A >tan BD ．sin A <sin B3．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，2sin sin cos a A B b A +，则ba =（ ）A ．B ．C D4．在△ABC 中，∠A ＝60°，a =，b ＝4．满足条件的△ABC （ ） A ．无解B ．有一解C ．有两解D ．不能确定5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222a b c =-， 则角B 的大小是（ ） A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°6．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若22a b -，sin C B =，则A ＝（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°7．在△ABC 中，∠A ＝60°，b ＝1，△ABC sin aA为（ ）A B C D ．8．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是（ ）A ．0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．,6π⎡⎫π⎪⎢⎣⎭C ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．,3π⎡⎫π⎪⎢⎣⎭9．在△ABC 中，已知B ＝45°，c =，b =A 的值是（ ） A ．15°B ．75°C ．105°D ．75°或15°10．在锐角三角形ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是（ ）A ．1<a <3B ．1a <<C a <D ．不确定11．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 22A b cc+=，则 △ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等边三角形12．如图所示，在△ABC 中，已知∠A ∶∠B ＝1∶2，角C 的平分线CD 把三角形面积分为3∶2两部分，则cos A 等于（ ）A ．13B ．12C ．34D ．0二、填空题（本大题共4个小题，每空5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．等腰三角形的底边长为6，腰长为12，其外接圆的半径为________． 14．在△ABC 中，若a 2＋b 2<c 2，且3sin C ，则∠C ＝________． 15．在△ABC 中，a ＝3，26b =B ＝2∠A ，则cos A ＝________．16．某人在C 点测得塔AB 在南偏西80°，仰角为45°，沿南偏东40°方向前进10 m 到O ，测得塔A 仰角为30°，则塔高为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．已知()cos cos 3sin cos 0C A A B +=．（1）求角B 的大小；（2）若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．18．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）若sin 2cos 6A A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求A 的值；（2）若1cos 3A =，b ＝3c ，求sin C 的值．19．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别是a 、b 、c ，已知cos2A －3cos(B ＋C )＝1．（1）求角A 的大小；（2）若△ABC 的面积S =b ＝5，求sin B sin C 的值．20．(12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且222a b c +=． （1）求C ；（2）设cos cos A B =，()()2cos cos cos A B ααα++，求tan α的值．21．(12分)在△ABC 中，2C A π-=，1sin 3B =． （1）求sin A 的值；（2）设6AC =，求△ABC 的面积．22．(12分)如图，已知扇形AOB ，O 为顶点，圆心角AOB 等于60°，半径为2，在弧AB 上有一动点P ，过P 引平行于OB 的直线和OA 相交于点C ，设∠AOP ＝θ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值．答 案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中） 1．【答案】C 【解析】6A π=，3B π=，2C π=，132::sin :sin :sin 3222a b c A B C ===，故选C ． 2．【答案】B【解析】∵A B >，∴a b >，由正弦定理，得sin sin A B >，故选B ．3．【答案】D【解析】本小题考查内容为正弦定理的应用．∵2sin sin cos a A B b A +=，∴22sin sin sin cos A B B A A +=，sin B A =，∴b =，∴ba．故选D ． 4．【答案】A【解析】4sin 60⨯︒=<a <b sin A ，∴△ABC 不存在． 故选A ． 5．【答案】A【解析】∵222a b c =-，∴222a c b +-=，由余弦定理，得222cos 2a c b B ac +-===0°<B <180°，所以B ＝45°． 故选A ． 6．【答案】A【解析】由sin C B =及正弦定理，得c =，∴2226a b b -=， 即a 2＝7b 2．由余弦定理，2222222cos2b c a A bc +-===，又∵0°<A <180°，∴A ＝30°．故选A ． 7．【答案】B【解析】由1sin 2bc A =c ＝4．由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝13，故a =sin a A ==B ． 8．【答案】C【解析】本题主要考查正余弦定理，∵sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ， ∴由正弦定理得：a 2≤b 2＋c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2≥bc ，由余弦定理得：2221cos 222b c a bc A bc bc +-==≥=，∴03A π<≤，故选C ．9．【答案】D 【解析】∵sin sin b cB C =，∴sin sin c B C b ==． ∵0°＜C ＜180°．∴C ＝60°或120°，∴A ＝75°或15°．故选D ． 10．【答案】C【解析】∵b <c ，△ABC 为锐角三角形，∴边c 与边a 所对的角的余弦值大于0，即b 2＋a 2－c 2>0且b 2＋c 2－a 2>0，∴22140140a a ⎧+->⎪⎨+->⎪⎩．∴3<a 2<5，∴35a <<． 故选C ． 11．【答案】A【解析】由21cos cos 222A A b c c ++==，整理得cos bA c=．又222cos 2b c a A bc +-=， 联立以上两式整理得c 2＝a 2＋b 2，∴C ＝90°．故△ABC 为直角三角形．故选A ． 12．【答案】C【解析】在△ABC 中，设∠ACD ＝∠BCD ＝β，∠CAB ＝α，由∠A ∶∠B ＝1∶2，得∠ABC ＝2α．∵∠A <∠B ，∴AC >BC ，∴S △ACD >S △BCD ，∴S △ACD ∶S △BCD ＝3∶2，∴1sin 3212sin 2AC DC BC DC ββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，∴32AC BC =．由正弦定理得sin sin AC BC B A =，sin 2sin 2sin cos sin AC BC AC BCααααα=⇒=， ∴133cos 2224AC BC α==⨯=，即3cos 4A =．故选C ．二、填空题（本大题共4个小题，每空5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．815【解析】设△ABC 中，AB ＝AC ＝12，BC ＝6，由余弦定理222222121267cos 2212128AB AC BC A AB AC +-+-===⋅⨯⨯．∵()0,A ∈π，∴15sin A =，∴外接圆半径8152sin BC r A == 14．【答案】23π【解析】∵a 2＋b 2<c 2，∴a 2＋b 2－c 2<0，即cos C <0．又3sin C ，∴23C π∠=． 15．6【解析】∵a ＝3，26b =，∠B ＝2∠A ，由正弦定理326sin sin 2A A=， ∴2sin cos 26sin 3A A A =，∴6cos 3A =． 16．【答案】10 m【解析】画出示意图，如图所示，CO ＝10，∠OCD ＝40°，∠BCD ＝80°，∠ACB ＝45°， ∠AOB ＝30°，AB ⊥平面BCO ，令AB ＝x ，则BC ＝x ，3BO x ，在△BCO 中，由余弦定理得)()223100210cos 8040xx x =+-⨯⨯︒+︒，整理得25500x x -=-，解得10x =，5x =-(舍去)，故塔高为10 m ．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．【答案】（1）3B π=；（2）112b ≤<． 【解析】（1）由已知得()cos cos cos 3cos 0A B A B A B -++-=， 即有sin sin 3sin cos 0A B A B =． 因为sin A ≠0，所以sin 30B B =． 又cos B ≠0，所以tan 3B =．又0<B <π，所以3B π=． （2）由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ． 因为a ＋c ＝1，1cos 2B =，有2211324b a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．又0<a <1，于是有2114b ≤<，即有112b ≤<． 18．【答案】（1）3A π=；（2）1sin 3C =． 【解析】（1）由题设知sin cos cos sin 2cos 66A A A ππ+=．从而sin 3A A ，所以cos A ≠0，tan A =．因为0<A <π，所以3A π=． （2）由1cos 3A =，b ＝3c 及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝b 2－c 2， 故△ABC 是直角三角形，且2B π=．所以1sin cos 3C A ==． 19．【答案】（1）3A π=；（2）5sin sin 7B C =． 【解析】（1）由cos2A －3cos(B ＋C )＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得1cos 2A =或cos A ＝－2(舍去)． 因为0<A <π，所以3A π=．（2）由11sin sin 223S bc A bc π====bc ＝20，又b ＝5，知c ＝4．由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，故a =． 又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=．20．【答案】（1）34C π=；（2）tan α＝1或tan α＝4．【解析】（1）因为222a b c +=，由余弦定理有222cos 2a b c C ab +-===34C π=． （2）由题意得()()2sin sin cos cos sin sin cos cos cos A A B B ααααα--，因此()()tan sin cos tan sin cos A A B B αα--=，()2tan sin sin tan sin cos cos sin cos cos A B A B A B A B αα-++=，()2tan sin sin tan sin cos cos A B A B A B αα-++=因为34C π=，4A B π+=，所以()sin A B +=因为cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ，即sin sin 52A B -=，解得sin sin 5210A B =-=．由①得tan 2α－5tan α＋4＝0，解得tan α＝1或tan α＝4． 21．【答案】（1）sin A ；（2）ABC S =△． 【解析】（1）由2C A π-=和A ＋B ＋C ＝π，得22A B π=-，04A π<<． ∴cos2A ＝sinB ，即2112sin 3A -=，∴sin A =．（2）由（1）得cos A sin sin BC AC A B =，∴sin 31sin 3AC ABC B===∵2C A π-=，∴2C A π=+，∴sin sin cos 2C A A π⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，∴11sin 22ABC S AC BC C =⋅⋅==△． 22．【答案】当θ＝30°时，S (θ)． 【解析】∵CP ∥OB ，∴∠CPO ＝∠POB ＝60°－θ，∠OCP ＝120°． 在△OCP 中，由正弦定理，得sin sin OP CP OCP θ=∠，即2sin120sin CPθ=︒，∴CP θ．又()2sin 60sin120CO θ=︒-︒，∴()60OC θ=︒-．故△POC 的面积是()1sin1202S CP CO θ=⋅⋅︒()()160sin si 2n 60θθθθ=︒-︒-()1sin sin 21cos 2602θθθθ⎫⎤=-︒=-⎪-⎥⎪⎝⎦⎭，()0,60θ∈︒︒， ∴当θ＝30°时，S (θ)单元测试题二一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．在ABC △中，若90C =︒，6a =，30B =︒，则c b -等于（ ）A ．1B ．1-C ．D ．-2．在ABC △中，3AB =，2AC =，BC =BA ·AC 等于（ ）A ．32-B ．23-C ．23D ．323．在△ABC 中，已知a =，b =A ＝30°，则c 等于（ ）A ．BC ．D ．以上都不对4．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ） A ．a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解 B ．b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解 C ．a ＝5，c ＝2，A ＝90°，无解 D ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解5．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为（ ）A B C D ．6．在△ABC 中，2cos 22A b cc+⋅=(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形7．已知△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．若a c =A ＝75°，则b 等于（ ）A ．2B -C ．4-D ．4+8．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，a =7cos 8A =，则△ABC 的面积S 为（ ）A B C D ．9．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于（ ）A B C D10．若sin cos cos A B Ca b c==，则△ABC 是（ ） A ．等边三角形 B ．有一内角是30°的直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．有一内角是30°的等腰三角形11．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()222tan 3a c b B ac +-=，则角B 的值为（ ） A ．6π B ．3π C ．6π或56π D ．3π或23π12．△ABC 中，3A π=，BC ＝3，则△ABC 的周长为（ ） A ．43sin 33B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭B ．43sin 36B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭C ．6sin 33B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭D ．6sin 36B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．在△ABC 中，2sin sin sin a b cA B C--=________． 14．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2223a c b ac +-=， 则角B 的值为________．15．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，3b =， A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________．16．钝角三角形的三边为a ，a ＋1，a ＋2，其最大角不超过120°，则a 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(10分)如图所示，我艇在A 处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B 处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．18．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，且4cos 5A =． （1）求2sin cos22B CA ++的值； （2）若b ＝2，△ABC 的面积S ＝3，求a ．19．(12分)如图所示，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2． （1）求cos ∠CBE 的值； （2）求AE ．20．(12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，3cos 5B =． （1）若b ＝4，求sin A 的值；（2）若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．21．(12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ． （1）求A 的大小；（2）若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．22．(12分)已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(),a b m =， ()sin ,sin B A =n ，()2,2b a --p =．（1）若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形； （2）若m ⊥p ，边长c ＝2，角3C π=，求△ABC 的面积．答 案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1．【答案】C【解析】tan 30ba=︒，tan30b a =︒=2c b ==，c b -= 故选C ． 2．【答案】A【解析】由余弦定理得22294101cos 2124AB AC BC A AB AC +-+-===⋅．∴13cos 3242AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅=⨯⨯=．∴32BA AC AB AC ⋅=-⋅=-．故选A ．3．【答案】C【解析】∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴2515c c =+-． 化简得：2100c -+=，即(0c c -=，∴c =c = 故选C ． 4．【答案】D 【解析】A 中，因sin sin a b A B =，所以16sin30sin 18B ⨯︒==，∴90B =︒，即只有一解；B 中，20sin 60sin 18C ︒==c b >，∴C B >，故有两解； C 中，∵A ＝90°，a ＝5，c ＝2，∴b = 故A 、B 、C 都不正确．故选D ． 5．【答案】C【解析】设另一条边为x ，则2221232233x =+-⨯⨯⨯，∴29x =，∴3x =．设1cos 3θ=，则sin θ=．∴32sinR θ==，R =C ． 6．【答案】A【解析】由2cos cos 22A b c b A c c+⋅=⇒⋅=，又222cos 2b c a A bc +-⋅=， ∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2⇒a 2＋b 2＝c 2，故选A ． 7．【答案】A【解析】()sin sin 75sin 3045A =︒=︒+︒， 由a ＝c 知，C ＝75°，B ＝30°．1sin 2B =．由正弦定理：4sin sin b aB A===．∴b ＝4sin B ＝2．故选A ．8．【答案】A【解析】由b 2－bc －2c 2＝0可得(b ＋c )(b －2c )＝0． ∴b ＝2c ，在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即22276448c c c =+-⋅．∴c ＝2，从而b ＝4．∴11sin 4222ABCS bc A ==⨯⨯△A ． 9．【答案】B【解析】设BC ＝a ，则2aBM MC ==． 在△ABM 中，AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ·AM ·cos ∠AMB ，即22217424cos 42aa AMB =+-⨯⨯⋅∠ ①在△ACM 中，AC 2＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos ∠AMC即22216424cos 42aa AMB =++⨯⨯⋅∠ ②①＋②得：22222176442a +=++，∴a =B ．10．【答案】C 【解析】∵sin cos A Ba b=，∴a cos B ＝b sin A ， ∴2R sin A cos B ＝2R sin B sin A,2R sin A ≠0．∴cos B ＝sin B ，∴B ＝45°．同理C ＝45°，故A ＝90°．故C 选项正确． 11．【答案】D【解析】∵()222tan a c b B +-，∴222tan 2a c b B ac +-⋅=，即cos tan sin B B B ⋅=0<B <π，∴角B 的值为3π或23π．故选D ． 12．【答案】D 【解析】3A π=，BC ＝3，设周长为x ，由正弦定理知2sin sin sin BC AC ABR A B C ===， 由合分比定理知sin sin sin sin BC AB BC ACA ABC ++=++，=，∴()sin sin B A B x ⎤+++=⎥⎦，即3sin sin 3sin sin cos cos sin 333x B B B B B π⎤ππ⎛⎫⎫=+++=+++ ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦133sin sin 3sin 22B B B B B ⎫⎫=+++=++⎪⎪⎪⎪⎭⎭136cos 36sin 26B B B ⎫π⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．【答案】0 14．【答案】6π【解析】∵222a cb +-=，∴222cos 2a c b B ac +-==6B π=． 15．【答案】1【解析】在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A ＋C ＝2B ．∴3B π=． 由正弦定理知，sin 1sin 2a B A b ==．又a <b ．∴6A π=，2C π=．∴sin 1C =． 16．【答案】332a ≤< 【解析】由()()()()()()22222212120121212a a a a a a a a a a a ⎧⎪++>+⎪⎪++-+<⎨⎪++-+⎪≥-⎪+⎩，解得332a ≤<．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．【答案】2小时．【解析】设我艇追上走私船所需时间为t 小时， 则BC ＝10t ，AC ＝14t ，在△ABC 中， 由∠ABC ＝180°＋45°－105°＝120°，根据余弦定理知：(14t )2＝(10t )2＋122－2·12·10t cos 120°，∴2t =． 答：我艇追上走私船所需的时间为2小时． 18．【答案】（1）5950；（2）a = 【解析】（1）()221cos 1cos 59sin cos2cos22cos 122250B C B C A A A A -++++=+=+-=． （2）∵4cos 5A =，∴3sin 5A =．由1sin 2ABC S bc A =△，得133225c =⨯⨯，解得c ＝5．由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得24425225135a =+-⨯⨯⨯=，∴a = 19．【答案】（1；（2）AE=．【解析】（1）∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ， ∴∠CBE ＝15°．∴()cos cos 4530CBE ∠=︒-︒= （2）在△ABE 中，AB ＝2，由正弦定理得sin sin AE ABABE AEB=∠∠， 即()()2sin 4515sin 9015AE =︒-︒︒+︒，故122sin 30cos15AE ⨯︒===︒20．【答案】（1）2sin 5A =；（2）b =5c =． 【解析】（1）∵3cos 05B =>，且0<B <π，∴4sin 5B ==． 由正弦定理得sin sin a bA B=，42sin 25sin 45a B Ab ⨯===． （2）∵1sin 42ABC S ac B ==△，∴142425c ⨯⨯⨯=，∴5c =．由余弦定理得2222232cos 25225175b a c ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，∴b =21．【答案】（1）120A =︒；（2）△ABC 为等腰钝角三角形． 【解析】（1）由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ， 即a 2＝b 2＋c 2＋bc ．由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故1cos 2A =-，120A =︒．（2）方法一 由（1）得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ， 又A ＝120°，∴223sin sin sin sin 4B C B C ++=， ∵sin B ＋sin C ＝1，∴sin C ＝1－sin B ． ∴()()223sin 1sin sin 1sin 4B B B B +-+-=， 即21sin sin 04B B -+=．解得1sin 2B =．故1sin 2C =．∴B ＝C ＝30°． 所以，△ABC 是等腰的钝角三角形．方法二 由（1）A ＝120°，∴B ＋C ＝60°，则C ＝60°－B ， ∴sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(60°－B) 11sin sin sin 22B B B B B =-=＝sin(B ＋60°)＝1， ∴B ＝30°，C ＝30°．∴△ABC 是等腰的钝角三角形．22．【答案】（1）见解析；（2）ABC S =△ 【解析】（1）证明 ∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ，即22a ba b R R⋅=⋅， 其中R 是△ABC 外接圆半径，∴a ＝b ．∴△ABC 为等腰三角形． （2）解 由题意知m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0．∴a ＋b ＝ab ．由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， 即(ab )2－3ab －4＝0．∴ab ＝4(舍去ab ＝－1)，∴11sin 4sin 223ABC S ab C π==⨯⨯=△．。
人教A版 解三角形(单元测试)(含答案)
解三角形学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A ，B （如图)，要测量A ，B 两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得BC ＝50 m ，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°.就可以计算出A ，B 两点的距离为（ ）A ．50 mB ．50 mC ．25 mD ．m【答案】A 【解析】 试题分析：在中，因为，所以，由正弦定理，得，解得；故选A ．考点：正弦定理．2．在ABC ∆中，若，则C ∠的大小为（ ）（A （B （C （D 【答案】C 【解析】试题分析：由得222a b c ab+-=-。
则因为0C π<∠<，故C 正确。
考点：余弦定理。
3．在ABC∆中，一定成立的等式是（ ）A ．B b A a sin sin = B ．A b B a sin sin =C ．B b A a cos cos =D ．A b B a cos cos =【答案】B 【解析】4．在ABC 中，角,,A B C 对边分别为,,a b c ．，3,4a b ==，（ ）（A（B（C ）6 （D ）18 【答案】C 【解析】试题分析：根据正弦定理，C ． 考点：正弦定理 5． 在ABC ∆中，,1=AC ,︒=∠30A ，则ABC ∆面积为【答案】B【解析】本试题主要是考查了解三角形中正弦定理表示三角形面积公式的运用。
因为S=0111sin 301222AB AC ⨯⨯⨯=⨯=B 。
6．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，若，则）D ．3【答案】B【解析】由正弦定理,,则故选B.7．在△ABC 中， 8a =， 10b =， 45A =︒，则此三角形解的情况是（ ） A ．一解 B ．两解 C ．一解或两解 D ．无解 【答案】B【解析】B. 8．在ABC ∆中,若222a b c +<,则ABC ∆的形状是（ ）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、不能确定 【答案】C 【解析】 试题分析：2222220cos 090a b c a b c C C +<∴+-<∴<∴>，ABC ∆是钝角三角形考点：余弦定理点评：判断三角形形状需找到三边的长度关系或三内角的大小，常利用正余弦定理求解 9．在△ABC 中，若60A ︒=，16b =，此三角形面积a 的值是( ) A ．B ．75C ．51D ．49【答案】D 【解析】55c =.所以，解得49a =.考点：1.解三角形；2.余弦定理 10．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ， a =， tantan 4,22A B C++= 2sin cos sin B C A =，求,A B 及,b c 。
(完整版)解三角形单元测试题(附答案)
解三角形单元测试题6、 A ABC 中，已知ax, b 2, B60°,如果△ ABC 两组解，则 x 的取值范围（）A • x 2B• x 2C • 2 x\3D • 2x \3337、已知△ ABC 的面积为3 2且b 2,c3，则/ A 等于（)A • 30°B • 30° 或 150 °C • 60°D • 60° 或 120°&甲船在岛B 的正南方A 处，AB = 10千米，甲船以每小时 4千米的速度向正北航行, 同时乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东 60。
的方向驶去，当甲，乙两船相距 最近时，它们所航行的时间是（）15015A-50分钟 B •二分钟 C • 21.5分钟 D • 2.15分钟779、飞机沿水平方向飞行，在A 处测得正前下方地面目标 C 得俯角为30°，向前飞行10000 米，到达B 处，此时测得目标C 的俯角为75°,这时飞机与地面目标的水平距离为 （ ）A • 5000 米B • 5000、2 米C • 4000 米D • 4000 • 2 米10、已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是（、填空题11、在厶 ABC 中，若/ A: / B: / C=1:2:3,1、在厶ABC 中， a = 3, b = .. 7 , c = 2，那么 B 等于() D • 120°A • 30 °B• 45°C •60°2、在厶ABC 中， a = 10, B=60 ° ,C=45° ,则 c 等于（ )A . 10 、3B • 10 ,3 1 C• ,3 1 D • 10'.. 33、 在厶ABC 中， a = 2 . 3 ,b = 2 . 2 , B = ：45°,贝U A 等于（)A • 30°B • 60°C • 30 ° 或 120 °D •30° 或150 °4、在厶ABC 中， 已知a 2 2 2b c bc ，则角A 为（ )2亠2 A •B ——CD •或——363335、在厶ABC 中， 已知 2sin AcosB sinC ,那么△ ABC.宀曰疋疋( )、选择题:B •等腰三角形 C •等腰直角三角形A •直角三角形 D •正三角形 C • 0 x -.5 D •. 13 x 5则 a : b: c _______12、在厶ABC 中，a 3、3,C _______ 2, B 150。
2020届人教A版_解三角形-单元测试(1)
解三角形一、单选题1．若cos c a B =,sin b a C =,则ABC ∆是（ ）A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形D.等边三角形 【答案】B 【解析】试题分析：cos sin sin cos cos sin 02c a B C A B A B A π=∴=∴=∴=，sin sin sin sin sin sin 4b a C B A C B C B C π=∴=∴=∴==,三角形是等腰直角三角形考点：1.正弦定理；2.三角函数基本公式2．设ΔA n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，n =1,2,3,⋯，若b 1>c 1，b 1+c 1=2a 1，a n+1=a n ，b n+1=a n +c n2，c n+1=a n +b n2，则∠A n 的最大值为（ ）A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π3【答案】B【解析】由题设可得2a 1=b 1+c 1>2c 1，即a 1>c 1，则归纳可得a n >c n ，由a n+1=a n ，b n+1=a n +c n2可知：a n −b n =a n −c n2>0，即a n >b n ，所以a n 最大，则a n 是三角形中的最大角；又因为b n+1>√a n c n ,c n+1>√a n b n ，所以(b n+1)2+(c n+1)2−a n+12=(√a n c n )2+(√a n b n )2−a n 2=a n (c n +b n −a n )>0，即cosA n+1>0，所以应选答案B 。
3．已知的内角，面积S 满足所对的边，则下列不等式一定成立的是A ．B ．()162ac a b +>C ．D ．1224abc ≤≤ 【答案】A【解析】试题分析：由题设得： ()()1sin2+sin 2sin 22A B C ππ-=-+1sin2+sin2B+sin22A C ⇒=⇒()()1sin 222+sin2B+sin22B C C π-+= ()1sin2B+sin2sin 222C B C ⇒-+=⇒()()1sin21cos2sin21-cos2B 2B C C -+= ()14sin sin sin cos cos sin 2B C B C B C ⇒+=1sin sin sin 8A B C ⇒=（1）由三角形面积公式1sin 2s ab C =及正弦定理得： 214sin sin sin 2s R A B C =⨯所以24s R =又因为12s ≤≤，所以248R ≤≤ 所以()338sin sin sin b c b cbc b c abc R A B C R a a+++=⨯=⨯>恒成立，所以()8bc b c +>故选A.考点：1、两角和与差的三角函数；2、正弦定理；3、三角形的面积公式.视频4．在ABC ∆中，若B A sin sin >，则（ ）A ．B A = B ．B A <C ．B A >D ．不确定 【答案】C 【解析】试题分析：根据正弦定理r BbA a 2sin sin ==（r 为三角形外接圆半径），有r b B r a A 2sin ,2sin ==，所以根据题意有rbr a 22，即b a ，根据三角形中，大边对大角有B A . 考点：正弦定理.5．在某个位置测得某山峰仰角为α，对着山峰在水平地面上前进1200米后测得仰角为2α，继续在水平地面上前进400√3米后，测得山峰的仰角为4α，则该山峰的高度为( )A ．300米B ．450 米C ．300 √3米D ．600米 【答案】D 【解析】【分析】作出符合题意的图形，利用三角函数、解三角形等知识即可得到结论． 【详解】根据题意画出图形如下图所示．则由题意得AD =1200m,DE =400√3m ，∠ABD =∠BAD =α，∠BDE =∠DBE =2α， ∴BD =AD =1200m ，BE =DE =400√3m ， 设山峰的高度为ℎ，则sin2α=ℎ1200,sin4α=400√3，∴cos2α=√32， 由题意得2α为锐角， ∴2α=30°，∴ℎ=1200sin2α=1200×12=600(m)．故该山峰的高度为600米． 故选D ． 【点睛】本题考查解三角形在实际问题中的应用，解题的关键是根据题意画出图形，然后结合图形根据解三角形的知识求解，考查理解和运用知识解决问题的能力． 6．已知在⊿ABC 中，BCb c cos cos =，则此三角形为（ ） A ． 直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形 【答案】B 【解析】略7．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若23,3a b A π==∠=，则B ∠= （ ）A ．4π或6πB ．12πC ．4πD ．6π【答案】C【解析】由正弦定理，得32πsin 3=，解得sin B =，又因为2π3A ∠=，所以π4B ∠=；故选C. 8．设ΔABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，若a =2， c =2√3， cos A =√32，且b <c ，则b =（ ）A ．√3B ．2C ．2√2D ．1 【答案】B 【解析】由题意，根据余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA ，得b 2+(2√3)2−2b ⋅2√3⋅√32=22，即b 2−6b +8=0，解得b =2或4，又b <c =2√3，所以b =2，故选B. 点睛：此题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，以及解一元二次方程的运算能力等方面的知识，属于中档题型，也是常考题型.在解决过程中，注意条件b <c 的使用，即在解三角形中有“大角对大边，小解对小边”或是“大边对大角，小边对小角”的说法.9．已知ΔABC 的内角A ， B ， C 的对边分别是a ， b ， c ，且(a 2+b 2−c 2)⋅(acosB +bcosA )=abc ，若a +b =2，则c 的取值范围为（ ） A ．(0,2) B ．[1,2) C ．[12,2) D ．(1,2]【答案】B【解析】由正余弦定理，得2cosC (sinAcosB +sinBcosA )=sinC .即2cosCsin (A +B )=sinC .所以2cosCsinC =sinC ,因为sinC ≠0，所以cosC =12.又C ∈(0,π)，所以C =π3.因为c 2=a 2+b 2−2abcosC =(a +b)2−3ab ，且(a +b)2≥4ab ，所以ab ≤1. 所以c 2≥1，即c ≥1，又c <a +b =2. 所以1≤c <2. 故选B.点睛：在解三角形问题里，通常遇见三边的平方式，例如a 2+b 2−c 2，要想到利用余弦定理转化，当遇见边和正余弦的式子时，通常是利用边化角进而化简，总之正余弦定理可以将边和角进行灵活转化，两个都可以尝试一下.10．在ΔOAB 中，∠AOB =120o ，OA =OB =2√3，边AB 的四等分点分别为A 1,A 2,A 3，A 1 靠近A ，执行下图算法后结果为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】D 【解析】 【分析】根据程序框图进行运行，得到不满足条件的取值，即可得到结论． 【详解】∵ΔOAB 中，∠AOB =120o ，OA =OB =2√3，∴AA 2=3，AA 1=32，AA 3=92，OA 2=√3，则由余弦定理可得OA =√212， 则cos∠AOA 3=(2√3)2+(√212)2−(92)22×22√3×√212=12+214−8146√7＝6√7＝12√70 ，∴三次运行的结果是S =OA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +OA 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +OA 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OA ⃑⃑⃑⃑⃑=（OA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +OA 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +OA 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ）⋅OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =3OA 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =3×√3×2√3×12=9，故选D ． 【点睛】本题主要考查程序框图的应用和识别，根据向量积的定义和运算性质，以及余弦定理是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．11．若ABC ∆的角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且2a =， 4B π=， 4ABC S ∆=，则b =（ ）A B ． C D ．【答案】B【解析】在ABC ∆中， a 2=， 4B π=， 4ABC S ∆=可得142452csin =⨯⨯︒，解得c =． 由余弦定理可得：b === 故选B ．12．ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin cos 1cos2CC C -=-，若ABC ∆的面积()13sin 22S a b C =+= ，则ABC ∆的周长为（ ）A ．5+B 5C ．3D 3 【答案】D【解析】由2sin cos 1cos2sin cos 2cos 11cos 22222C C C C CC C ⎛⎫-=-⇒--=- ⎪⎝⎭ cos 2cos -2sin 10,cos 02222C C C C⎛⎫⇒-=≠ ⎪⎝⎭ 1sin -cos 222C C ∴=- ，两边平方得3sin 4C = ，由1sin -cos 222C C ∴=-可得sin<cos ,0,022242C C C C ππ∴∴<<<< ，由3sin 4C =得cos C = 又()13sin 22S a b C =+=可得4,2a b ab a b +==∴== 再根据余弦定理可得2222cos 8c a b ab C =+-=-解得1c =-，故ABC ∆3故选D二、填空题13．在ΔABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2=b 2+bc +c 2，则A =_____________. 【答案】120° 【解析】 【分析】根据已知可化为余弦定理的形式，从而求出A 的余弦，进而求出A. 【详解】由题意可知，cosA =b 2+c 2−a 22bc=−bc 2bc=−12，所以A =120°.【点睛】本题主要考查了利用余弦定理公式求三角形的角，属于中档题.14．在ABC ∆中， ︒=30B ，32=AB ，2=AC 。
精选最新版高中数学单元测试试题-解三角形专题考核题库完整版(含标准答案)
2019年高中数学单元测试试题 解三角形专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．在∆ABC 中．222sin sin sin sin sin B C B C ≤+-.则A 的取值范围是( ) (A)(0，6π] (B)[ 6π，π) (c)(0，3π] (D) [ 3π，π)(2011年高考四川卷理科6)1．若tan α=3，则2sin 2cos aα的值等于A ．2B ．3C ．4D ．6(2011年高考福建卷理科3)2．已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，则在下列各结论中，不正确的为( ) A ．sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋2sin B sin C cos(B ＋C ) B ．sin 2B ＝sin 2A ＋sin 2C ＋2sin A sin C cos(A ＋C ) C ．sin 2C ＝sin 2A ＋sin 2B -2sin A sin B cos CD ．sin 2(A ＋B )＝sin 2A ＋sin 2B -2sin B sin C cos(A ＋B )3．在△ABC 中，若60A =，a =，则s i n s i n s i n a b c AB C +-+-等于（ A ）A 、2B 、12 C、24．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则∠A=（ ） A ．090 B ．060 C ．0120 D ．0150第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题5． 在△ABC 中， 105,30,2=∠=∠=A B AB ，则=AC6．在ABC 中，,a b 为两边，ABC 面积221()4S a b =+，则ABC 的形状为__________________；7． 已知ABC ∆2θ，ABC ∆的面积为S ，则cos S θ⋅= ▲.128．在△ABC 中，∠C ＝60°，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，则c a bc b a +++＝________．9．在ABC ∆中，求证：cos sin cos sin a c B Bb c A A-=-10．在ABC 中，已知2,5,4,ABCAB BC S ABC θ===∠=，则cos θ=______11．ABC 中，若(sin sin sin )(sin sin sin )3sin sin A B C A B C A B +++-=，则C =____12．在ABC ∆中,角A,B,C 所对的边分别是,,a b c ，若22b c +2a =,且ab=则∠C= ．13．若△ABC 的三边长分别是3，7，9，则它的较大的锐角的平分线分三角形所成的两个三角形的面积之比是1：14．在ABC ∆中，45a b B ==∠=︒，则A ∠=___ ____．15． 在△ABC 中，已知BC=2，1AB AC ⋅=,则△ABC 面积的最大值是 . 16．在△ABC 中，若a =5，b =15，A =30°，则c = . 17．在ABC ∆中，a 比c 长4，b 比c 长2，且最大角的余弦值是21-，则ABC ∆的面积等于______________．18．已知O 是锐角ABC ∆的外接圆的圆心，且θ=∠A ，若AO m AC BCAB C B 2sin cos sin cos =+,则=m 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章 解三角形正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 R C cB b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C ++===A +B +A B ．2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=；;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =3）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4）化角为边： ;sin sin b a B A =;sin sin c b C B =;sin sin c aC A = 5）化角为边： RcC R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===二.三角形面积1.B ac A bcC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆三.余弦定理1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即A bc c b a cos 2222-+= B ac c a b cos 2222-+=C ab b a c cos 2222-+= 2.变形：bc a c b A 2cos 222-+=ac b c a B 2cos 222-+=ab c b a C 2cos 222-+=注意整体代入，如：21cos 222=⇒=-+B ac b c a利用余弦定理判断三角形形状：设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若，，所以为锐角②若为直角A a b c ⇔=+222 ③若， 所以为钝角，则是钝角三角形三角形中常见的结论三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 三角形三边关系：两边之和大于第三边：，，； 两边之差小于第三边：，，；在同一个三角形中大边对大角：B A b a B A sin sin >⇔>⇔> 4) 三角形内的诱导公式：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-)2sin()2cos()22cos()22sin()22tan(2tan C CC C C B A =--=-=+πππ7) 三角形的五心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点 重心——三角形三条中线的相交于一点 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点 内心——三角形三内角的平分线相交于一点旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点解三角形一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，c ＝1，则最小角为( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π32．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝ (b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π33.在△ABC 中，已知|AB |＝4，|AC →|＝1，S △ABC ＝3，则AB →·AC →等于( ) A ．－2 B ．2 C ．±4 D ．±24．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 25．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C的值为( )A.85B.58C.53D.356．已知锐角三角形的边长分别为2,4，x ，则x 的取值范围是( )A ．1<x < 5 B.5<x <13 C ．1<x <2 5 D ．23<x <2 5 7．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cosB 等于( )A ．－223 B.223 C ．－63 D.638．下列判断中正确的是( )A ．△ABC 中，a ＝7，b ＝14，A ＝30°，有两解B ．△ABC 中，a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解 C ．△ABC 中，a ＝6，b ＝9，A ＝45°，有两解D ．△ABC 中，b ＝9，c ＝10，B ＝60°，无解 9．在△ABC 中，B ＝30°，AB ＝3，AC ＝1，则△ABC 的面积是( )A.34B.32C.3或32D.32或3410．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，若△ABC 的面积为32，则tan C 为( )A. 3 B ．1 C.33 D.3211．在△ABC 中，如果sin A sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ＋cos A cos B ＝2，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形 12．△ABC 中，若a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2)，则角C 的度数是( ) A ．60° B ．45°或135°C ．120° D ．30° 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则B ＝________.14．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝5，BC ＝7，则△ABC 的面积为________． 15．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔64海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为________海里/小时．16．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边是a 、b 、c ，已知3a cos A ＝c cos B ＋b cos C(1)求cos A的值；(2)若a＝1，cos B＋cos C＝233，求边c的值．18．(12分)设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝2b sin A.(1)求B的大小．(2)若a＝33，c＝5，求b.19.已知△ABC的角A,B,C所对的边分别为a，b，c，且acosC＋12c＝b.(1)求角A的大小；(2)若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围.20．在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别是a ，b ，c ，已知.cos cos cos 2C b B c A a +=(1）求A cos 的值； (2）若23cos cos ,1=+=C B a ，求边c 的值.21．(12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 对边的边长分别是a 、b 、c .已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b . (2)若sin B ＝2sin A ，求△ABC 的面积．22．如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，33AD =，5sin 13BAD ∠=，3cos 5ADC ∠=． (1）求sin ABD ∠的值； (2）求BD 的长．解三角形 答案1．B 2．B 3.D4．D 5．D 6．D 7．D 8．B 9．D 10．C 11．C 12．B13．45° 14．10 3 15．8 6 16.3317．【答案】(1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C有c cos B ＋b cos C ＝a ，代入已知条件得3a cos A ＝a ，即cos A ＝13(2)由cos A ＝13得sin A ＝223,则cos B ＝－cos(A ＋C )＝－13cos C ＋223sin C ，代入cos B ＋cos C ＝233得cos C ＋2sin C ＝3，从而得sin(C ＋φ)＝1， 其中sin φ＝33，cos φ＝63 (0<φ<π2)则C ＋φ＝π2，于是sin C ＝63，由正弦定理得c ＝a sin C sin A＝32．18．解 (1)∵a ＝2b sin A ，∴sin A ＝2sin B ·sin A ，∴sin B ＝12.∵0<B <π2，∴B ＝30°.(2)∵a ＝33，c ＝5，B ＝30°.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(33)2＋52－2×33×5×cos 30°＝7. ∴b ＝7.19．【答案】(1)由acosC ＋12c ＝b 和正弦定理得， sinAcosC ＋12sinC ＝sinB ，又sinB ＝sin(A ＋C)＝sinAcosC ＋cosAsinC ，∴12sinC ＝cosAsinC ， ∵sinC ≠0，∴cosA ＝12，∵0＜A ＜π，∴A ＝3π.(2)由正弦定理得，b ＝asinBsinA ＝，c ＝asinC sinA ， 则l ＝a ＋b ＋c ＝1＋sinC)＝1sinB ＋sin(A ＋B)］＝1＋sinB ＋12cosB)＝1＋2sin(B ＋6π). ∵A ＝3π，∴B ∈(0，23π)，∴B ＋6π∈(6π，56π)，∴sin(B ＋6π)∈(12，1］，∴△ABC 的周长l 的取值范围为(2,3］. 20【答案】（1）由C b B c A a cos cos cos 2+=及正弦定理得,cos sin cos sin cos sin 2C B B C A A +=即().sin cos sin 2C B A A +=又,A C B -=+π所以有(),sin cos sin 2A A A -=π即.sin cos sin 2A A A =而0sin ≠A ，所以.21cos =A (2）由21cos =A 及0＜A ＜π，得A ＝.3π因此.32ππ=-=+A C B由,23cos cos =+C B 得,2332cos cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+B B π 即23sin 23cos 21cos =+-B B B ，即得.236sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB由,3π=A 知.65,66⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+πππB 于是,36ππ=+B 或.326ππ=+B 所以6π=B ，或.2π=B若,6π=B 则.2π=C 在直角△ABC 中，c13sin=π，解得;332=c 若,2π=B 在直角△ABC 中，,13tan c=π解得.33=c21．解 (1)由余弦定理及已知条件得 a 2＋b 2－ab ＝4.又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，由此得ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)由正弦定理及已知条件得b ＝2a .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎨⎧a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233.22．【答案】（1）因为3cos 5ADC ∠=，所以4sin 5ADC ∠==．因为5sin 13BAD ∠=，所以12cos 13BAD ∠==．因为ABD ADC BAD ∠=∠-∠，所以()sin sin ABD ADC BAD ∠=∠-∠sin cos cos sin ADC BAD ADC BAD =∠∠-∠∠412353351351365=⨯-⨯=． (2）在△ABD 中，由正弦定理，得sin sin BD ADBAD ABD=∠∠，所以533sin132533sin65AD BADBDABD⨯⨯∠===∠．。