材料力学第五章

组合图形形心坐标计算公式为
xC

Sy A

n
x C
Ai
i 1
n
Ai
i 1

n

yC

Sx A

i 1 n
y C
Ai

Ai
i 1

第五章 平面图形的几何性质
270
30
y [例1] 已知：图形尺寸如图
Ⅱ
所示。
求：图形的形心。
50
C2
Ⅰ
C C1
yc
z
解：1、将图形分解为 简单图形的组合
第五章 平面图形的几何性质
静矩与形心坐标之间的关系
S y
zdA
A
S z

ydA
A
Sy AzC
Sz AyC
yC

Sz A

ydA
A
A
zC

Sy A

zdA
A
A
已知静矩可以确定图形的形心坐标 已知图形的形心坐标可以确定静矩
第五章 平面图形的几何性质
构件截面的图形往往是由矩形、圆形等简单图形 组成，称为组合图形。
xc
A
G
A At g
, yc
A
G
A At g
由于是均质等厚度，t、 、g为常量，故上式可改写为
xdA
ydA
xc
A
A
, yc
A
A
第五章 平面图形的几何性质
1. 静矩的定义
对 z 轴静矩 对 y 轴静矩
Sz
ydA
A
Sy
zdA
A
说明：1）静矩为代数量
2）静矩与坐标轴有关
3）静矩的单位为 m3
y
z
dA
y
O
z
第五章 平面图形的几何性质
2. 静矩与形心的关系
y
Sz A yC S y AzC
zC C
说明： 1）若图形对某轴静矩为零， 则该轴必为形心轴；反之亦真。
A yC
z
2）对于组合截面图形，则有 O
Sz Ai yi
Sy Ai zi
式中，Ai 为第 i 部分的面积；（zi , yi）第 i 部分的形心坐标。
300
2、建立参考坐标系yoz，
确定形心位置
n
Ai yCi
yC

i 1 n
Ai
i 1


0 270 50150 300 30 270 50


90mm
第五章 平面图形的几何性质
[例2] 图示矩形截面，试求其中阴影部分图形对 z 、y 轴的静矩，
图中b、h为已知。
解： 1）计算对 y 轴的静矩
y 轴为形心轴，故有 Sy 0
2）计算对 z 轴的静矩 此截面可以看作由 1、2 两个矩形 组成， 由计算公式得
Sz A1 yC1 A2 yC2 100 20150 mm3 140 20 70 mm3 4.96 105 mm3
y
50
50
1
式中，zC ( yC ) 轴为形心轴，z ( y ) 轴为平行于 zC ( yC ) 轴的任 一轴，a ( b ) 为两轴间距 。
y
z
b
zC
yC
dA
yC
C
zC
y
a
O
z
第五章 平面图形的几何性质
270
2. 组合图形的惯性矩 y y0 Ⅱ
50
60
Ⅰ
z0
90 150
300
z
[例4] 已知：图形尺寸如图所示。 求：图形对形心轴的惯性矩
20 C1
2
140
C2
O
20
z
第五章 平面图形的几何性质
5.2 惯性矩和惯性半径
1. 惯性矩的定义
对 z 轴惯性矩
Iz
y2 dA
A
y
对 y 轴惯性矩
Iy
z2 dA
A
对坐标原点的极惯性矩
Ip
2 dA
A
z
dA

y
A
说明： 1）惯性矩恒为正值
O
z
2）惯性矩与坐标轴有关
3）惯性矩的单位为 m4
4） Ip Iz I y
第五章 平面图形的几何性质
2.惯性半径
工程中，常将图形对某轴的惯性矩，表示为图形面积A 与某一长度平方的乘积，即
Ix ix2 A
Iy

i
2 y
A
式中：ix、iy分别称为平面图形对x轴和y轴的惯性半径， 单位为米(m)或毫米(mm)。
第五章 平面图形的几何性质
组成，求组合截面对形心轴的惯性矩。
解 ：1．求形心位置
C1 C
槽钢 A1 36.246cm2 , z1 2.03cm
z0 角钢 A2 20.306cm2 , z2 2.67cm
zydA
A
说明： 1）惯性积为代数量
z
dA
dA
dA
y
z A z
Oy
y z
2）惯性积与坐标轴有关 3）惯性积的单位为 m4
O
z
4）若直角坐标轴 z、y 中有一个是图形的对称轴，则图形
对该坐标轴的惯性积必为零。
第五章 平面图形的几何性质
5.3 组合图形的惯性矩
1. 平行移轴公式
Iz IzC a2 A I y I yC b2 A
第五章 平面图形的几何性质
5.1 形心和静矩
在理论力学中，用合力矩定理建立物体重心坐标的计算公式。譬如
均质等厚度薄板(见右图)，若其截面积为A，厚度为t，体积密度为
，则微块的重力为
dG dAtg
整个薄板重力为
G At g
其重心C的坐标为
xdG xdAtg
ydG ydAt g
解 ：1．求形心位置
n
yC

Ai yCi
i 1 n
Ai


0 300
270 50150 30 270 50

90mm
i 1
2. 求惯性矩
30
Iy0
I y01 I y02


30
3003 12

270 503 12


7.03 107
3. 简单截面图形对形心轴的惯性矩
矩形：
Iz

bh3 12
圆形：
Iz

πd 4 64
y y y
C
工字钢 C
z z
z
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
圆环形：
Iz

πD4 64
14
d d
D
式中， = d / D，为内外径比
型钢截面： 查型钢表
第五章 平面图形的几何性质
4.惯性积
y y
对 z 、y 轴的惯性积
Izy
y
解： 1）计算对 z 轴静矩
A b h 4
h
C
h/4
2
h/4
h h 3h
yC
48
8
S
z

A yC

3bh2 32
2）计算对 y 轴静矩
C
z
h
2
b
由于 y 轴通过阴影部分图形的形心，故有
Sy 0
第五章 平面图形的几何性质
[例3] 某梁的截面图形如图所示，试求其对图示坐标轴的静矩。
mm
4
7.03105m4
Iz0 Iz01 Iz02 300 303 902 300 30 50 2703 602 270 50
12
12
2.04108mm 4 2.04104m4
第五章 平面图形的几何性质
y1 zc
y 0 y 2 [例5] 图示截面由一个No.22槽钢和两个 909012角钢