八年级上册数学平方根与立方根

2.若已知 7.45 = 2.729， y = 272.9； 那么y = 74500 。
试比较下列各组数的大小
(1).4与 15
2
(2).2 7与6
解:(1).Q 4 = 16,
∴ 4 > 15
(2)
2
( 15 )
2
= 15
Q ( 7 ) = 7,3 = 9
2
∴ 7 >3
２ ２
∴2 7 > 6
一般地，如果一个正数x的平方等于 a,即 x =a,那么这个正数x叫做a的 算术平方根。a的算术平方根记为 a ， 算术平方根 读作“根号a”，a叫做被开方数。
2
x 即： = a（x > 0 ），
2
a的算术平方根， x叫做 的算术平方根， x 记作： = a 记作：
记作： 0 特殊：0的算术平方根是0。记作： = 0
1 （4）2 4
正数有2个平方根，它们互为相反数； 正数有 个平方根，它们互为相反数； 互为相反数 0的平方根是 ； 的平方根是0； 的平方根是 没有平方根。 负数没有平方根 负数没有平方根。 问题:6的平方根是多少 平方根是多少? 平方根是多少 非正数a的平方根，用符号± 非正数 的平方根，用符号± 的平方根 如6的平方根表示成 ± 6 平方根表示成 36的平方根为 ± 36 = ±6 平方根为 表示
的立方根是－ ∴-27的立方根是－３ 即 3 的立方根是
1 3 1 (3)∵ ( ) = 3 27
∴
27 = 3
1 1 = 27 3
1 1 的立方根是 27 3
3
即
例:求下列各式的值
(1). 64
3
(2). 125
3
(3).
3
27 64
解: (2).3 125 = 3 125 = 5
(3). 3
因为 3 因为 3
8 = -2
3
8 = -2
3
所以 3 8 =
27 = 所以 3 27 =
3
8 -3 3 27 = 3 27
3
-3
-a
a
互为相反数的数的立 方根也互为相反数
例１ 求下列各数的立方根 1 (1) 27 (2)-27 (3) (4)-0.064 (5) 0 27 3 解： ∵ (3) = 27 (2)∵
如:±3是9的平方根 或说成 的平 或说成9的平 ± 是 的平方根,或说成 方根是± 方根是±3.
9 3 的平方根为 ± 16 4
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。 平方 +1 -1 +2 -2 +3 -3 1 4 9 1 4 9 开平方 +1 -1 +2 -2 +3 -3
求下列各数的平方根： 例1:求下列各数的平方根： 求下列各数的平方根 (1) 0.49 (5) -100 解:(1)∵ (±0.7)2=0.49 ± ∴0.49的平方根是±0.7 平方根是± 平方根是 通过上面的计算你发现平方根有什么特 点。（类比与算术平方根考虑） (2) 0 (3)64
求一个数的立方根的运算， 求一个数的立方根的运算，叫做开立 方．
一个正数有一个正的立方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根， 一个负数有一个负的立方根， 零的立方根是零。 零的立方根是零。
被开方数 正数 负数 零 平方根 立方根
有一个, 有两个互为相反数 有一个,是正数 无平方根 零 有一个, 有一个,是负数 零
3 2 9 3 2 9 Q ( ) = ，（- ） = 4 4 16 16 3 3 ∴ 这个数是 或 4 4
就是说，如果 就是说，如果x = a ，那么 x 就叫 的平方根． 做 a 的平方根．
2
一般地，如果一个数的平方等于a 一般地，如果一个数的平方等于 ，这 平方等于 个数就叫做a 平方根（ 个数就叫做 的平方根（或二次方 根）．
是算术平方根的运算符 号。
思考：
下列各式哪些有意义，哪些没 有意义？ （1）-
4
2
（2） 4 （4） 3
（3） (3)
(
)
2
例1 求下列各数的算术平方根： 49 （3）0.0001 （1）100 （2） 64
解：（1）因为 102 =100，所以 ：（ ） ，所以100的算术平 的算术平 方根为10， 方根为 ， 100 = 10 即 49 7 49 （2）因为 = ） ，所以 的算术平方根 64 8 64 7 49 7 是 即 = 8 64 8 所以0.0001的算 （3）因为 ）因为0.012 =0.0001,所以 所以 的算 术平方根为0.01,即 0.0001 =0.01。 术平方根为 即 。
被开方数的小数点每向右 或左 移动两 则它 被开方数的小数点每向右(或左 移动两位,则它 向右 或左)移动 的算术平方根的小数点向右 或左 移动一 的算术平方根的小数点向右(或左 移动一位. 向右 或左)移动
1.若 12.5 ≈ 3.535，1.25 ≈ 1.118
0.3535 。 那么 125 ≈ 11.8 ； 0.125 ≈
解:设正方体的棱长为X㎝,则 设正方体的棱长为X 这就是要求一个数,使它的立方等于27. 这就是要求一个数,使它的立方等于27.
x = 27
3
3
因 ： = 27 为3
正方体的棱长为3 所以 X=3. 即,正方体的棱长为3㎝ 思考：(1)什么数的立方等于 什么数的立方等于思考：(1)什么数的立方等于-8？ -2 (2)如果问题中正方体的体积为5 (2)如果问题中正方体的体积为5cm3，正 如果问题中正方体的体积为 方体的边长又该是多少？ 方体的边长又该是多少？
3.计算各式中x的值： （） x 256 = 0 19
2
（2） 2 x 1 25 = 0 （ 4 ）
2
25 解 ：（2）.4(2x-1) = 25......(2x 1) = 4 25 5 2x 1 = ± ...........2x =1± 4 2 7 3 x = 或x = 4 4
2 2
一般地，一个数的立方等于a 一般地，一个数的立方等于a，这个数 就叫做a 立方根，也叫做a 就叫做a的立方根，也叫做a的三次方 根．记作 3 a . 其中a是被开方数 是被开方数， 是根指数， 其中 是被开方数，３是根指数，符号 ３ ”读做“三次根号”． 读做“三次根号” “
是多少? 例: 4的立方根是多少? 的立方根是多少
2
2
例2：求下列各数的算术平方根， 求下列各数的算术平方根， （1）72 ） （2） （—25）2 ） ）
(5).
2
1 (4). 6 4
(6).
(3)
2
3 +4
2
补充练习：
1.81的算术平方根是 ； 81 的算术平方根是 。
2.算术平方根是 9的数是 。
3. 36的算术平方根是 。
1.思考:p.76.第11题,你能得到什么结 论?
a =a
2
2. p.76.第11题,你能得到什么结论?
( a) = a(a ≥ 0)
2
问题：要做一个体积为27cm 问题：要做一个体积为27cm3的正方体模 如图），它的棱长要取多少？ ），它的棱长要取多少 型（如图），它的棱长要取多少？你是怎 么知道的？ 么知道的？
已知非负数a、b 若a ＞b ，则a＞b
小丽想用一块面积为400cm2正方形纸片 正方形纸片, 小丽想用一块面积为 沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方 沿着边的方向裁出一块面积为 形纸片用来绘画，使它的长宽之比为3:2， 形纸片用来绘画，使它的长宽之比为 ， 不知能否裁出来,正在发愁 小明见了说“ 正在发愁。 不知能否裁出来 正在发愁。小明见了说“别 发愁， 发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块 面积小的纸片” 你同意小明的说法吗？ 面积小的纸片”，你同意小明的说法吗？ 小 丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？ 丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
3
4
体积为 又:如果正方体的体积为5cm3，正方体的边 如果正方体的体积 长又该是多少？ 长又该是多少？ 3 设正方体的边长为X, X,则 设正方体的边长为X,则 x = 5 所以正方体的边长是 3 5 ㎝.
1 13 因为( 所以0.125的立方是（ ） 的立方是（ 因为 ) =0.125,所以 所以 的立方是 2 2
27 64
3 = 4
先填写下表,再回答问题: 先填写下表,再回答问题:
a3Leabharlann 0.000001 0.001
1 1000 1000000
a
0.01
0.1
1
10
100
被开方数扩大(缩小)1000倍时, 被开方数扩大(缩小)1000倍时,它的 )1000倍时 立方根扩大(缩小)10 )10倍 立方根扩大(缩小)10倍.
例1：求下列各数的平方根， 9 2 1 100 （） （2） （3）（ 7） 16 （4） 13 12 （5） 25） （
2 2 2
±6 ± 2 2 : 36的平方根是 ； 的平方根是 ； ４
2 3 （ 5）的平方根是 ； 9的算术平方根是 ； ± 5
± 3 9的算术平方根的平方根是 。
( 4 ).
3
2 7 ) = 27
3
3
8 27
8 = 27
3
于是有： a
3
(
)
3
= a
1.已知一个数的平方等于 那么这个数是多少 已知一个数的平方等于9,那么这个数是多少 已知一个数的平方等于 那么这个数是多少? 因为 3 = 9 ,
2
(– 3 ) = 9,
2
所以一个数的平方等于9,这个数是 或 所以一个数的平方等于 这个数是3或–3. 这个数是
9 2.什么数的平方等于 , 什么数的平方等于 16