一种保角变换法

可以证明， 可以证明，W(z)的实部和虚部均满足拉普拉氏 的实部和虚部均满足拉普拉氏 方程。 方程。
1.4.P3
（二）复速度在保角变换时的变化
ζ 平面上的复速度
dW dW dz dz V (ζ ) = = = V ( z) dζ dz d ζ dζ
d z iarg ta n ( d z 或 V (ζ ) = e dζ
1.4.P12
其参数方程为 曲线方程为
x = 2c cosν , y = 2cε (1 − cosν ) sinν
x x y = ±2cε 1 − 1 − 2c 2c
2
二式中
ν
—— 见图示
ε = m c ≪1
2
翼型表面方程也可记为
x x y = ±0.385t 1 − 2 1 − 2 b b
式 中 t = 2 y max
式中b 式中 —— 弦长
1.4.P13
对于 ζ 平面绕圆流动有复位势
a 2 iα iΓ ζ + m W (ζ ) = ∞ (ζ + m ) e − iα + e − ln a ζ + m 2π
可由此求得 W ( z )。 环量为 Γ = −4π
∞
c (1 + ε ) sin α
b b
升力系数为 Cl = 2π 1 + 0.77 t sin α + 2 f
可见，增大翼型厚度和弯度与增大攻角一样，可 可见，增大翼型厚度和弯度与增大攻角一样， 使 Cl 增大，但应有限制。 增大，但应有限制。
ζ 平面上圆心在虚轴
上，距原点 m ≪ c ， 且过 ζ = ±c 两点的圆， 两点的圆， 可变换为 z 平面上的 圆弧，如图，方程为 圆弧，如图，
c c2 x2 + y + = c2 4 + 2 m m
2 2
1.4.P15
弦长为 b=4c ，顶点 f=2m。 。 在 z 平面上，以 b 和 f 表示其方程为 平面上，
1.4.P2
（一）复位势在保角变换中的变化
ζ 平面具有边 界
的平面势流， Cζ 的平面势流，其
W (ζ ) = ϕ (ξ ,η ) + iψ (ξ ,η )
可通过复变函数
z = f (ζ )
变换为 z 平面上，具有边界 Cz 的 平面上，
W ( z ) = ϕ ( x, y ) + iψ ( x, y )
其后驻点为
X A, B c2 = ∓a + a cos α
YA,B
c2 = ∓a − sin α a
1.4.P7
（二）库塔 —— 恰布雷金假设 库塔 —— 恰布雷金假设：绕流过带尖锐后缘的 恰布雷金假设： 物体时，其后缘必定是后驻点。 物体时，其后缘必定是后驻点。 （三）平板绕流 1、无环量绕流 无环量绕流
1.4.P8
如图示， ζ 平面上有
W (ζ
)=
c iα − iα e ζ e + ∞ ζ
2
则 z 平面上有
2 z z ze−iα + i 2sin α − − c2 W ( z) = ∞ 2 2
其驻点为
x A , B = ∓ 2 c co s α
iΓ ζ − meiδ a2 W (ζ ) = ∞ (ζ − meiδ ) e −iα + eiα − ln iδ a ζ − me 2π
由此式可得W(z)。 由此式可得 。 其环量为
t 2f Γ = −π ∞b 1 + 0.77 sin α + b b
， y A,B = 0
1.4.P9
2、有环量绕流 有环量绕流
如图示为实际的有环量绕流。其环量为 示为实际的有环量绕流。
ζ
Γ = −4π
∞
c sin α
c sin α ln
平面上的复位势为
− iα c 2 iα W (ζ ) = ∞ ζ e + e + i 2 ζ
ζ
c
∞
1.4.P10
1.4.P1
第四节 保角变换法、 儒可夫斯基变换
一、保角变换法求解平面势流 可以利用解析的复变函数 z = f (ζ ) 将 ζ 平面上
的圆域变换为 z 平面上的实用域，如图。 平面上的实用域，
y Z ○
η
Cz
ζ ○
Cζ
o
v∞z
x
o
ξ
αz
v∞ζ
αζ
复平面的保角变换
其流动可作相应变换以求解。 其流动可作相应变换以求解。
即奇点强度保持不变。 即奇点强度保持不变。 二、儒可夫斯基变换 变换函数
z = ζ + c2
q z = qζ
ζ
式中：c —— 正、实常数。 实常数。 式中：
1.4.P5
（一）变换特点 1）ζ 平面上无穷远点和原点都变换成 z 平面 上的无穷远点。 上的无穷远点。 2）ζ 平面上圆心在坐标原点，半径为 c 的圆 平面上圆心在坐标原点， 周变换成 z 平面上实轴上长为 4c 的线段。 的线段。 3）ζ 平面上圆心位于坐标原点，半径 a 的 平面上圆心位于坐标原点， a>c的 圆变换为 z 平面上长半轴为 平面上长半轴为a+c2/a（位于实轴 位于实轴）， 位于实轴 的椭圆。 短半轴为 a－c2/a 的椭圆。 如来流成a角 图示），则 如来流成 角（图示），则 ζ 平面上绕流复位势 ），
1.4.P17
此变换可看成是前述变换的叠加。 此变换可看成是前述变换的叠加。其曲线方程为
b b2 2 b2 2x 2x y= 1+ − x − ± 0.385t 1+ 1− 4 16 f 2 8f b b
2 2
1.4.P18
ζ 平面上的复位势为
b sin d + 2 f ∞
在ζ
(
b
)
1.4.P16
圆弧翼型升力为
2f L = πρ xb sin d + b
2
升力系数
2f Cl = 2π sin α + b
（六）儒可夫斯基翼型绕流 儒可夫斯基翼型绕流 图示 ζ 平面上圆心在二象限的圆，变换后得 z 平面上圆心在二象限的圆， 平面上的儒可夫斯基翼型。 平面上的儒可夫斯基翼型。
dζ )
V
(z )
若 ζ 平面上来流复速度为
V (ζ ) =
∞ζ
e
− iα ζ
则 z 平面上来流复速度为
dz V ( z )( )ζ → ∞ = dζ
∞
e
− iα ζ
1.4.P4
（三）流动奇点强度在保角变换中的变化 作保角变换时，二平面上的点涡、 作保角变换时，二平面上的点涡、点源强度有 关系
Γ z = Γζ
2
平板升力为 升力系数为
L = πρ
2
∞
b sin α
Cl = 2π sin α
1.4.P11
（四）对称翼型（儒可夫斯基舵）绕流 对称翼型（儒可夫斯基舵）
ζ
平面上，圆心在横轴上原点左面，离原点 平面上，圆心在横轴上原点左面，
m<<c ，过 ζ = +c 的圆 ，经变换后得 z 平面上 的对称翼型。 的对称翼型。
W (ζ ) = (ζ e − iα + ∞ a2 e iα )
ζ
1.4.P6
可变换得 z 平面上绕流复位势为
2 z z 2 −iα a iα −iα W(z) = ∞ ze + e − e − − c2 c 2 2
Hale Waihona Puke Baidu
变换到 z 平面上环量为
Γ = −π
L = πρ
2
∞
b (1 + 0.77 t b ) sin α
得对称翼型上的升力
∞
b (1 + 0.77 t b ) sin α
1.4.P14
升力系数 Cl = 2π (1 + 0.77 t b ) sin α 与平板绕流相比， 增大了。 与平板绕流相比， Cl 增大了。 （五）圆弧翼型绕流
可得 z 平面上的复位势
2 z z c 2eiα 2 e−iα + W ( z) = ∞ + − c + 2 2 2 z 2 + ( z 2) − c 2
z z + − c2 2 2 i 2c sin α ln c
b2 b2 b2 2 y=− + −x 1 + 2 8f 4 16 f
平面上有 a2 iΓ ζ − im − iα iα W (ζ ) = ∞ (ζ − im ) e + e − ln ζ − im 2π a 可由此求取W(z)。其环量为 可由此求取 。
Γ = −π