方程思想在初中数学中的应用

浅谈方程思想在初中数学中的应用
杨力
（礼县石桥镇初级中学）
摘要：方程思想是解决数学问题的一种重要思想方法．是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程(组)，然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解的思维方式。

掌握这一思想方法，并学会用它分析问题、处理问题，有着十分重要的意义。

关键词：方程方程思想应用
方程思想贯穿于中学代数始终。

初中代数中有一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程，一元二次方程以及一些特殊的二元二次方程组等。

可以说，方程在初中代数中占据了重要的地位。

因此，我们有必要探寻初中数学方程的内容及其所包含的思想，灵活的运用方程的思想方法去思考与处理问题。

掌握这一思想方法，并学会用它分析问题、处理问题，有着十分重要的意义。

方程思想是解决数学问题的一种重要思想方法．是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程(组)，然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解的思维方式，有时还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。

方程思想体现了已知和未知的对立统一。

方程和算术之间最大不同点在于：在方程中，未知数可以跟已知数一样参与运算，而在算术中则是不允
许的。

这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用，教材中大量出现这种方法，如列方程解应用题，求函数解析式，利用根的判别式、根与系数关系求字母系数的值等。

一、方程的应用：列方程解应用题
用方程解答实际问题，关键在于抓住问题中有关数量的相等关系，列出方程。

求得方程的解后，经过检验，就可得到实际问题的解答。

这一过程也可以简单地表述为：
其中分析和抽象的过程通常包括：
（1）弄清题意和其中的数量关系，用字母表示适当的未知数；
（2）找出问题所给出的有关数量的相等关系，它反映了未知量与已知量之间的关系；
（3）对这个等量关系中涉及的量，列出所需的表达式，根据等量关系，得到方程.
注意：在设未知数和解答时，应注意量的单位.
1、一元一次方程的应用
例：小明爸爸前年存了年利率为2.43%的二年期定期储蓄，今年到期后，扣除利息税，所得利息正好为小明买了一只价值48.60元的计算器。

问小明爸爸前年存了多少元？
分析：利息全额-利息税=48.60
解：设小明爸爸前年存了x元.则根据题意，得
⨯
⨯
2=
.2
⨯
-
x
⨯x
⨯
43
%
.%
48
.
20
%
2
.2
43
60
解这个方程，得 x=1250
经检验，符合题意。

答：小明爸爸前年存了1250元。

2、二元一次方程组的应用
例：某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售.该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或者粗加工16吨.现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天粗加工，几天精加工，才能按期完成任务？如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后的利润为2000元，那么该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元？
分析 问题的关键是先解答前一半问题，即先求出安排精加工和粗加工的天数.我们不妨用列方程组的办法来解答.
解：设应安排x 天精加工， y 天粗加工.根据题意，得
⎩⎨⎧=+=+.
140166,15y x y x 解这个方程组，得
⎩
⎨⎧==.5,10y x 出售这些加工后的蔬菜一共可获利
2000×6×10＋1000×16×5
＝200000（元）
答：应安排10天精加工，5天粗加工，加工后出售共可获利200000元.
3、分式方程的应用
例：某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩
数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩？
分析：甲和乙的输入速度之间有关系，时间相差2小时.则可设速度或时间
解：设乙每分钟能输入x 名学生的成绩，则甲每分能输入2x 名学生的成绩.根据题意，得
x 22640＝6022640⨯-x
. 解得 x ＝11.
经检验，x ＝11是原方程的解.并且x ＝11，2x ＝2×11＝22，符合题意.
答：甲每分钟能输入22名学生的成绩，乙每分钟能输入11名学生的成绩. 注意：解分式方程时，有时可能产生增根，因此，在解分式方程时必须进行检验。

4 、一元二次方程的应用
例：如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m ）用80m 长的篱笆围成一个矩形场地。

（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750m 2 ？
（2）能否使所围矩形场地的面积为810m 2为什么 ？
解：（1）设所围矩形ABCD 的长AB 为x 米则宽AD 为21
（80-x ）米.
根据题意得
()750802
1=-•x x 即x 2-80x+1500=0 解此方程，得 x 1=30 x 2=50
∵墙的长度不超过45m.
∴x=50不符合题意，应舍去.
当x=30时，25)3080(2
1)80(21=-=-x
所以，当所围矩形的长为30m 宽为25m 时，能使矩形的面积为
750m 2.
(2)不能。

因为由x 21•810)80(=-x 得 x 2-80x+1620=0
又∵b 2-4ac=(–80)2-48016201-=⨯⨯＜0
∴上述方程没有实数根.
因此，不能使所围矩形场地的面积为810m 2
二、方程在函数中的应用
方程与函数本身就有着必然的联系，函数本身就可以看成一个方程，因此方程与函数有着相同的思路和解题方法，都是通过建立相等关系，求出未知数的值.
此类问题常见形式和解题方法有：①用待定系数法列出关于函数解析中待定系数的方程（组），通过解方程（组）求出特定系数的值；②将函数图象与坐标轴交点坐标与方程的根对应起来；③利用函数研究方程的根与系数之间的关系；④利用函数图象交点的坐标与方程组的解之间的关系及根与系数关系解题。

例1. 二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)
如图所示，根据图像解答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根；
（2）写出不等式ax2+bx+c>0的解集；
（3）写出y随x的增到而减小的自
变量x的取值范围；
（4）若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围. 解：（1）由图像知，y=ax2+bx+c与x轴
的两个交点坐标为：（1，0）,（3，0）
则方程ax2+bx+c=0的两个根为：
x1=1 x2=3
（2）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中不等式ax2+bx+c>0的解集为函数值y>0时自变量x的取值范围.
由图像知y>0时的函数图像即为x轴正上方部分.
因此x的取值范围是1<x<3.
所以不等式ax2+bx+c>0 的解集为1<x<3.
（3）由图像知，在对称轴x=2的右侧二次函数图像从左到右逐渐下降时，函数值y是随着自变量x的增大而减小的.
因此，由图像知y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是x>2.
（4）方法一：
若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根；
y=k
b2-4a(c-k)>0
b2-4ac+4ak>0
由图像知，设此函数的解析式为：
y=a(x-2)2+2，函数图像又经过（1，0）点
∴y=-2x2+8x-6
∴b2-4ac+4ak>0
得k<2
方法二：
令方程左边为二次函数y=ax2+bx+c 左边y=ax2+bx+c
右边为常数函数y=k（k为常数）
因为方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根
所以二次函数y=ax2+bx+c的图像与常数函数y=k的图像应有两个不相同的交点.
而常数函数y=k的图像是平行于x轴的一条直线.
如图所示：
当k>2时，二次函数y=ax2+bx+c的图像与常数函数y=k的图像无交点当k=2时,二次函数y=ax2+bx+c的图像与常数函数y=k的图像有一个交点
当k<2时,二次函数y=ax2+bx+c的图像与常数函数y=k的图像有两个交点
∴若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根则k的取值范围是k<2.
例2.在直角坐标系中，⊙A的半径为4，圆心A的坐标为（2，0），
⊙A 与x 轴交于E ，F 两点，与y 轴交于C ，D 两点，
过C 的切线交x 轴于点B 。

（1）求直线BC 的解析式；
（2）若抛物线y=ax 2+bx+c
上且与x 轴的交点恰为点E ，F.
求该抛物线的解析式；
（3）试判断点C 是否在（2的抛物线上？ （4）在（2）中的抛物线上是否存在三个点？由它构成的三角形与△AOC 相似？直接写出两组这样的点.
解：（1）方法一：连接AC,则AC ⊥BC
∵OA ＝2，AC ＝4 ∴OC ＝23
又Rt △AOC ～Rt △COB ，∴OC AO =OB
CO ∴OB=6， ∴点C 坐标为（0，23），点B 坐标为（-6，0）. 设直线BC 的解析式为y=kx+b ，可求得直线BC 的解析式为y=
323 x . 方法二：连接AC,则AC ⊥BC
∵OA ＝2，AC ＝4 ∴∠AOC=300 ∠CAO=600
∴OC=23
∴∠CBA=300 ∴AB=2AC=8 ∴OB=AB-AO=6
∴点C 坐标为（0，23），点B 坐标为（-6，0）.
设直线BC 的解析式为y=kx+b ，可求得直线BC 的解析式为y=323
3+x (2)由题意得，⊙A 与X 轴的交点分别为E （-2，0）,F （6，0）抛物线的对称轴过点A 为直线x=2.
∵抛物线的顶点在直线BC 上，
∴抛物线的顶点坐标为（2，338
）
方法一：设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+ 338
∵抛物线过点E （-2，0）
∴0= a （-2-2）2 +338
，解得a=-63
∴抛物线的解析式为y=-63
(x-2)2+ 338
即y=-63x 2+3233
2+x
方法二：设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-6)
∵抛物线的顶点坐标为（2，338
） ∴338
= a （2+2）（2-6） 解得a=-63
∴抛物线的解析式为y=-63
(x+2)(x-6)
即y=-63x 2+3233
2+x
（3）点C 在抛物线上，因为抛物线与y 轴的交点为（0，23），如图.
（4）存在，这三点分别是E ﹑C ﹑F 与E ﹑C ′﹑F , C ′的坐标为（4，23）
即△ECF ～△AOC ，△EC ′F ～△AOC
三、方程在几何中的应用
1、角度的计算
例1：D 是△ABC 的BC 边上一点，∠B ＝∠BAD ，∠ADC ＝80°，∠BAC=70°.
求： ①∠B 的度数；②∠C 的度数.
解：∵∠B=∠BAD ∠ADC=∠B+∠BAD
∴2∠B=∠BAD ∠B=400
∠C=1800-∠B-∠BAC=300
例2：若三角形三个内角的比为1:2:3，则这个三角形三个内角分别是多度？
解：根据三角形内角和定理知内角和为1800 得
三个内角分别为：1800×3061=0 1800×6062=0
1800×9063=0
例3：已知一个多边形的内角和是3600°，则这个多边形的边数是
解：根据多边形内角和定理得
3600°=（n-2）1800
解得 n=22
2、线段长度的计算
例1： 已知⊙A 、⊙B 相切，圆心距为10 cm ，其中⊙A 的半径为4 cm ，求⊙B 的半径．
A
B D C
解： 设⊙B 的半径为R ．
(1) 如果两圆外切，那么d ＝10＝4＋R ，R ＝6． (2) 如果两圆内切，那么d ＝｜R －4｜＝10， R ＝－6（舍去），R ＝14． 所以⊙B 的半径为6cm 或14cm
例2：如图，为了测量河流某一段的宽度，在河北岸选取了点A ，在河南岸选取了相距200M 的B ，C 两点.分别测得 ∠ABC=600 ∠
ACB= 450
求：这段河的宽度AD 的长.（精确到0.1m ）
解：设DC=x ,则BD=200-x .
在Rt △ADC 中，∠ACD=450,则DC=AD=x ∵在Rt △ADB 中，∠ABD=600 ∴tan600=
x
x
BD AD -=
200 解得 x ≈126.8(m)
答：这段河的宽度约为126.8m. 3、几何图形中最大值问题及面积问题
例：如图，抛物线y=-x 2+2nx+n 2-9(n 为常数) 经过坐标原点和x 轴上另一点C （1顶点坐标；
（2）已知A ，B 两点在（1且AB ∥x 轴。

若A 点的横坐标为2，求点B （3）在四边形OABC 内有一矩形MNPQ ，点M ，N 分别在OA ，BC
B D A
C C
X
上，点Q ，P 在x 轴上.当MN 为多少时，矩形MNPQ 的面积最大？最大面积是多少？
解：（1）∵抛物线过（O ，O ）点，∴n 2-9=0 ∴n=±3.
∵顶点在第一象限，∴-a
b
2=n ＞0且
04444222>=--=-n n a b ac ∴n=3
∴抛物y=-x 2+6x,顶点坐标为（3，9）
（2）把x=2带入y=-x 2+6x 中，得y=8故点A 的坐标为（2，8）
∵AB ∥x 轴∴A ，B 两点关于x=3对称. ∴B 点的坐标为（4，8）. （3）如图所示，作AH ⊥x 轴于H. 设M 点坐标为（x ，y ）. ∵△OMQ ～△OAH, ∴.AH
MQ
OH OQ = ∴8
2
y
x
=
. ∴ y=4x .
由抛物线的对称性可知：
∴S MNPQ =4x （6-2x ）=-8x 2+24x. ∴当x=-
a b 2=23时，MN=3，S MNPQ 最大=-8×49+24×2
3
=18 ∴当MN=3时，矩形MNPQ 的面积最大，最大面积是18.
X。