曲线与方程同步练习1新选修21

单元测试题-圆锥曲线
数学（理）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页．共120分．考试时间105分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题本题共有10个小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的，把正确选项的代号填在试卷指定的位置上。

1．椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ）
A ．
14
B ．
1
2
C ． 2
D ．4 2. 若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>
，则双曲线22
221x y a b -=的离心率是
（ ） A ．
5
4
B ．
C ．
3
2
D ．
3．若双曲线192
2=-m
y x 的渐近线l 方程为x y 35±
=，则双曲线焦点F 到渐近线l 的距离为
A ．2
B ．14
C ．5
D ．25
4、直线y x b =+与抛物线22x y =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥，则b =（ ）
.2A .2B - .1C .1D -
5、若直线l 过点(3,0)与双曲线224936x y -=只有一个公共点，则这样的直线有（ ）
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
6、已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线1-=x y 与其交于N M 、两
点，MN 中点的横坐标为3
2
-
，则此双曲线的方程是（ ） A.
14
32
2=-y x B.13422=-y x C.12522=-y x D.15222=-y x
7、设离心率为e 的双曲线22
22:1x y C a b
-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，直线l 过点
F 且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件是
（ ） A ．221k e -<
B ． 221k e ->
C ．221e k -<
D ．221e k ->
（实验班）已知定点M （1，),45
,4()45--N 、给出下列曲线方程：
① 4x +2y -1=0 ②32
2
=+y x ③1222
=+y x ④12
22
=-y x 在曲线上存在点P 满足
MP P N =的所有曲线方程是
（ ）
（A ）①③ （B ）②④ （C ）①②③ （D ）②③④ 8、双曲线两条渐近线的夹角为60º，该双曲线的离心率为（ ）
A ．332或2
B ．332或2
C ．3或2
D ．3或2
9、若不论k 为何值，直线(2)y k x b =-+与曲线221x y -=总有公共点，则b 的取值范围是（ ）
A.(
B.⎡⎣
C.(2,2)-
D.[]2,2-
10、椭圆22
1259
x y +
=上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，则ON 等于（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．
32
（实验班做）如图，双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的左焦点为F 1，顶点为A 1，A 2，P 是双曲线上任意一点，则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆位置关系为( ) A .相交 B .相切 C .相离 D .以上情况都有可能
南海中学高二单元测试题-圆锥曲线
数学（理）
第 Ⅱ 卷 （非选择题 共70分）
注意事项：
⒈ 第Ⅱ卷共4页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．⒉ 答卷前将密封线内的项目填写清楚．
20分） 11.抛物线2(0)x ay a =>的焦点坐标是 ；
12. 椭圆22
162
x y +=和双曲线2213x y -=的公共点为P F F ,,21是两曲线的一个交点, 那么
21cos PF F ∠的值是__________________。

13. 椭圆的焦点为F 1、F 2，过点F 1作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的线段MN 长为
5
32
，N MF 2∆的周长为20，则椭圆的离心率为 __________ （实验班做）双曲线22
221(,0)x y a b a b
-=>和直线2y x =有交点，则它的离心率的取
值范围是______________
14.若焦点在x 轴上的椭圆22
2145x y b
+=上有一点，使它与两焦点的连线互相垂直，则
正数b 的取值范围是_______________
三、解答题(本大题4小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(12分) 已知椭圆的中心在原点，焦点为F 1，F 2（0，
），且
离心率。

（I ）求椭圆的方程；
（II ）直线l （与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点A 、B ，且线段AB 中点的横坐标为
，求直线l 倾斜角的取值范围。

16. （12分）已知动点P与平面上两定点(A B连线的斜率的积为定
值
1 2 -.
（Ⅰ）试求动点P的轨迹方程C.
（Ⅱ）设直线1
:+
=kx
y
l与曲线C交于M、N两点，当|MN|=
32
4
时，求直线l 的方程.
（实验班做）已知向量m1=（0，x），n1=（1，1），m2=（x，0），n2=（y2，1）（其中x，y是实数），
又设向量m=m1+2n2，n=m2－2n1，且m//n，点P（x，y）的轨迹为曲线C.
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线1
:+
=kx
y
l与曲线C交于M、N两点，当|MN|=
32
4
时，求直线l 的方程.
17. （13分）已知椭圆22
22b
y a x +（a ＞b ＞0）的离心率36=e ，过点A （0，-b ）和B
（a ，0）的直线与原点的距离为
2
3
． （1）求椭圆的方程．
（2）已知定点E （-1，0），若直线y ＝kx ＋2（k ≠0）与椭圆交于C 、D 两点．问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点?请说明理由．
18. （13分） 设双曲线C ：122
22=-b
y a x （a ＞0，b ＞0）的离心率为e ，若准线l 与两
条渐近线相交于P 、Q 两点，F 为右焦点，△FPQ 为等边三角形．
（1）求双曲线C 的离心率e 的值；
（2）若双曲线C 被直线y ＝ax ＋b 截得的弦长为a
e b 2
2，求双曲线c 的方程．
南海中学高二单元测试题-圆锥曲线
数学（理）参考答案及评分标准
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中横线上。

11．1(
,0)4a ；12． 13 13.3
5
实验班)+∞ 14．(0,2 三、解答题：本大题共6小题，满分84分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．解：（I ）设椭圆方程为
解得 a =3，所以b =1，故所求方程为 (4)
分
（II ）设直线l 的方程为代入椭圆方程整理得
………………………… 5分
由题意得 …………………………7分
解得 又直线l 与坐标轴不平行 …………………………
10分
故直线l 倾斜角的取值范围是 …………………………
12分
16.解：设点(,)P x y 1
2=-，…………………3分
整理得.1222
=+y x 由于x ≠，所以求得的曲线C 的方程为2
21(2
x y x +=≠………………………………………5分
（实验班做）（I ）由已知，m 2
2
(0,),x x =+=+
n (,0)2),2).x x =-= (4)
分
//,m
n 2
()(22)0x x -=……………………………………5分
即所求曲线的方程是：.12
22
=+y x ……………………………………………
7分
（Ⅱ）由.04)21(:.1,12222
2=++⎪⎩
⎪⎨⎧+==+kx x k y kx y y x 得消去 解得x 1=0, x 2=
212
,(214x x k
k
+-分别为M ，N 的横坐标）.………………………9分 由,234
|214|1||1||22212=++=-+=k k k x x k MN
.1:±=k 解得 (11)
分
所以直线l 的方程x －y +1=0或x +y －1=0.………………………………………12分
17.解析：（1）直线AB 方程为：bx -ay -ab ＝0．
依题意⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=
+=2336
22b
a a
b a
c ， 解得 ⎩⎨⎧==13b a ，
∴ 椭圆方程为 13
22
=+y x ．…………………………4分 （2）假若存在这样的k 值，由⎩⎨⎧=-++=03322
2y x kx y ，得)31(2k +09122
=++kx x ．
∴
0)31(36)12(22>+-=∆k k ． ①
设1(x C ，)1y 、2(x D ，)2y ，则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+=
+-=+⋅2212213193112k x x k
k x x ， ②
…………………………………………8分 而4)(2)2)(2(212122121+++=++=⋅x x k x x k kx kx y y ．
要使以CD 为直径的圆过点E （-1，0），当且仅当CE ⊥DE 时，则
11
12211
-=++⋅x y x y ，即0)1)(1(2121=+++x x y y ．…………………………………………10分
∴
05))(1(2)1(21212=+++++x x k x x k ． ③
将②式代入③整理解得67=k ．经验证，6
7
=k ，使①成立． 综上可知，存在6
7
=k ，使得以CD 为直径的圆过点E ．………………………13分
18解析：（1）双曲线C 的右准线l 的方程为：x ＝c a 2，两条渐近线方程为：x a b
y ±=．
∴ 两交点坐标为 c a P 2(，)c ab 、c a Q 2(，)c
ab
-．
∵ △PFQ 为等边三角形，则有||2
3
||PQ MF =
（如图）． ∴ )(232c ab c ab c a c +=-⋅，即c
ab c a c 322=-． 解得 a b 3=，c ＝2a ．∴ 2==a
c
e ．…………………………………………7分
（2）由（1）得双曲线C 的方程为把1322
22=-a
y a x ．
把a ax y 3+=代入得0632)3(2222=++-a x a x a ．
依题意 ⎪⎩⎪⎨⎧>--=∆≠-0
)3(2412032
242,a a a a ∴ 62<a ，且32≠a ．
∴ 双曲线C 被直线y ＝ax ＋b 截得的弦长为
]4))[(1())(1()()(2122122212221221x x x x a x x a y y x x l -++=-+=-+-=
2
22
242
)3()1(2412)1(---+=a a a a a
∵ a a
c b l 1222==． ∴ 2
2422
2)3(1272)1(144--+=⋅a a a a a ．
整理得 010*******=+-a a ． ∴ 22=a 或13512=a ．
∴
双
曲
线
C
的
方
程
为
：
16
22
2=-y x 或
1153
1351132
2=-y x ．……………………………13分。