函数的单调性、奇偶性与最值

函数的单调性、奇偶性与最大(小)值

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义

如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．

2．奇函数、偶函数

图像关于原点对称的函数叫作奇函数．

图像关于y轴对称的函数叫作偶函数．

3．奇(偶)函数的性质

(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)．

(2)在公共定义域内

①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数．

②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数．

③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数．

(3)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.

4．周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期．

5．函数的最值

1．函数单调性定义的理解

(1)对于函数f (x )，x ∈D ，若x 1，x 2∈D 且(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＞0，则函数f (x )在D 上是增函数．( )

(2)函数f (x )＝2x ＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．( ) (3)(教材改编)函数f (x )＝1

x 在其定义域上是减函数．( )

(4)已知f (x )＝x ，g (x )＝－2x ，则y ＝f (x )－g (x )在定义域上是增函数．( ) 2．函数的单调区间与最值

(5)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1， ＋∞)．( ) (6)(教材改编)函数y ＝1

x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( ) (7)(2013·北京卷改编)函数y ＝lg|x |的单调递减区间为(0，＋∞)．( ) (8)函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的最小值为0.( ) 3．对奇偶函数的认识及应用

(1)函数y ＝x 2，x ∈(0，＋∞)是偶函数．( )

(2)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点．( )

(3)(教材习题改编)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．( )

(4)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( )

(5)(2013·山东卷改编)已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2

＋1x ，则f (－1)＝－

2.( )

(6)(2014·鹰潭模拟改编)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f (a )≥f (2)，则实数a 的取值范围是[－2,2]．( )

4．对函数周期性的理解

(7)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．( )

(8)(2013·湖北卷改编)x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R 上是周期函数．()

考点一确定函数的单调性或单调区间

【例1】(1)判断函数f(x)＝x＋a

x(a＞0)在(0，＋∞)上的单调性．

(2)(2013·高安中学模拟)求函数y＝log 1

3(x

2－4x＋3)的单调区间．

【训练1】试讨论函数f(x)＝

ax

x－1

(a≠0)在(－1,1)上的单调性．

考点二利用单调性求参数

【例2】若函数f(x)＝ax－1

x＋1

在(－∞，－1)上是减函数，则a的取值范围是________．

【训练2】(1)函数y＝

x－5

x－a－2

在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是()．

A．{－3}B．(－∞，3)C．(－∞，－3]D．[－3，＋∞)

(2)(2014·贵溪模拟)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝

a

x＋1

在区间[1,2]上都是减函数，则a的取

值范围是()．A．(－1,0)∪(0,1)B．(－1,0)∪(0,1] C．(0,1)D．(0,1]

考点三利用函数的单调性求最值

【例3】已知f(x)＝x2＋2x＋a

x，x∈[1，＋∞)．

(1)当a＝1

2时，求函数f(x)的最小值；

(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．

【训练3】已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)

＜0，f(1)＝－2 3.

(1)求证：f(x)在R上是减函数；

(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．

考点四函数奇偶性的判断及应用

【例1】 (1)判断下列函数的奇偶性： ①f (x )＝x 2

－1＋1－x 2

；②f (x )＝ln 1－x

1＋x

.

(2)(2013·辽宁卷)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋f (lg 1

2)＝( )． A ．－1 B ．0 C ．1

D ．2

【训练1】 (1)(2013·湖南卷)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2， f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )． A ．4 B ．3 C ．2

D ．1

(2)设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )． A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3

考点五 函数的单调性与奇偶性

【例2】 (1)(2014·山东实验中学诊断)下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是( )．

A ．f (x )＝1

x B ．f (x )＝－x C ．f (x )＝2－x －2x

D ．f (x )＝－tan x

(2)(2013·江西九校联考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，在区间[0，＋∞)上为增函数，且f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

13＝0，则不等式f (log 18x )＞0的解集为( )．

A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2

B ．(2，＋∞)

C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)

D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫

12，1∪(2，＋∞)

【训练2】 (2013·天津卷)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 1

2a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )．

A ．[1,2]

B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12

C ．⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

12，2

D ．(0,2]

考点六 函数的单调性、奇偶性、周期性

【例3】 (经典题)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )．

A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)

B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)

C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)

D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)

【训练3】 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.

(1)求证：f (x )是周期函数；