空间两异面直线距离的 若干求法
求异面直线距离的常用方法
求异面直线距离的常用方法
1、辅助平面法
（1）线面垂直法，用于两条异面直线互相垂直情况。
若已知两条异面直线互相垂直，那么可以寻找一个辅助平面，使它过其中一条直线且垂直于另一条直线，在辅助平面上，过垂足引前一条直线的垂线，就得到这两条异面直线的公垂线，并求其长度。
（2）线面平行法，用于一般情况。
其用法为：过其中一条直线作与另一条直线平行的平面，这样可把求异面直线间的距离转化为求点到面的距离
（3）面面平行法，求两异面直线的距离，除了上面（2）介绍的转化为线面的距离外，还可以转化为面面的距离，即作两平行的辅助平面，分别过其中的一条，两平行平面间的距离就为此两异面直线的距离。
2、等积法
在一般情况下，求异面直线间的距离可转化为
（1）一异面直线与过另一异面直线且平行于第一条异面直线的平面之间的距离。
（2）分别过两异面直线的两个平行平面之间的距离。
上述两种距离总是通过直线上（或平面上）一点到另一平面之间的距离求出，除直接求出外，一般都要通过等面积计算再求高的办法来求得的。
异面直线的距离的四种求法【附例题讲解】
异面直线的距离确定和计算两条异面直线间的距离，关键在于实现两个转化：一是转化为一条异面直线和另一条异面直线所在而与它平行的平面之间的距离；二是转化为两条异面直线分别所在的两个平行平面之间的距离。
1．直接法根据定义，找出或作出异面直线的公垂线段，再计算此公垂线段的长。
例：正四棱锥S-ABCD中，底面边长为a，侧棱长为b(b＞a)．求：底面对角线AC与侧棱SB间的距离．解：作SO⊥面ABCD于O，则点O是正方形ABCD的中心．∵SO⊥AC，BO⊥AC，∴AC⊥面SOB．在△SOB中，作OH⊥SB于H①，根据①、②可知OH是AC与SB的距离．∵OH·SB＝SO·OB，2．转化法把所求的异面直线间的距离转化为线面间的距离或转化为面面间的距离．例：在等边圆锥(轴截面为等边三角形的圆锥叫做等边圆锥)S-ABC中，母线长为a，底面圆的直径为AC，∠CAB＝60°．求：异面直线SA与BC的距离．解：如图L2-17，易知SA与BC不垂直，可考虑过SA作一个平面与BC平行，转化为求直线与平面间的距离．作AD∥BC交底面圆⊙O于D点．∵BC∥AD，∴BC∥平面SAD，取AD、BC的中点E、F，则平面ADS⊥平面SEF，过F点作FH⊥SE于H，则FH⊥平面SAD．所以FH为直线BC与平面SAD间的距离，也就是异面直线SA与BC 的距离．在△SEF中，由FH·SE＝EF·SO，3．等积法不用作出异面直线间的距离，利用同一个几何体的体积为定值，布列方程来求异面直线间的距离．例如上面的例2，在求SA与BC间的距离时，我们转化为求平行的BC与平面SAD间的距离，可由同一个三棱锥换取不同的底面来计算．设BC与平面SAD间的距离为d，则以B为顶点，△SAD为底面的三棱锥的体积为而以S为顶点，△ABD为底面的三棱锥的体积为4．极值法不必作出异面直线间的距离，利用异面直线上两点间距离的最小值的性质，适当列出函数式，求此函数的最小值．还是以例2来说，在求异面直线SA与BC间的距离时，可先在SA任取一点D，作DE⊥直径AC于E，则DE⊥底面圆．再作EF⊥BC于F，则有DF⊥BC，于是DF的最小值就是SA与BC间的距离．。
空间向量求异面直线的距离方法
空间向量求异面直线的距离方法1. 直接法！嘿，你看，就像你要直接找到两个异面直线之间最短的那条线一样，非常直白地去求啊。
比如正方体里的两条异面棱，你就直观地去找到它们之间最短距离的那个线段。
2. 转化法呀！哎呀，这就像你走不通一条路，那咱就换条路走嘛。
把异面直线的距离转化成别的容易求的距离呀。
比如在三棱锥里，把异面直线的距离转化成求某个面到另一条线的距离。
3. 向量法呗！哇塞，这可厉害啦。
利用向量来搞定异面直线的距离。
就像有了个神奇的工具！比如在一个复杂的几何体中，用向量来算算异面直线的距离，超酷的好不好！4. 定义法呢！这不就跟你找东西按照规定的方法去找一样嘛。
按照异面直线距离的定义去求解呀。
就像找一个特定的宝藏，按照线索去找。
比如在一个棱柱里，根据定义慢慢找异面直线的距离。
5. 等体积法呀！嘿呀，这就好像不同的方法可以解决同一个问题一样。
通过等体积来求出异面直线的距离哟。
比如在一个四面体中，通过等体积的巧妙变换来求出需要的距离。
6. 最值法啦！想想看呀，就跟我们追求最好的结果一样。
找到某个关联量的最值来得到异面直线的距离。
像在一个特殊的图形中，通过巧妙地找最值来求出异面直线的距离。
7. 射影法哟！哇，这就像影子一样，通过它来找到距离呢。
比如在一个有特点的几何体中，利用射影的原理来求异面直线的距离。
8. 公式法咯！简单直接啊，用专门的公式来算。
就好像有个现成的答案等你用一样。
比如在某些典型的模型中，用适用的公式快速求出异面直线的距离。
9. 拼凑法呀！哈哈，就像是把零碎的东西拼凑起来一样。
通过巧妙地拼凑来找到异面直线的距离呢。
比如在一个不规则的几何体中，一点点拼凑出求解异面直线距离的条件。
我的观点结论是：这些方法各有特点，我们要根据具体情况灵活运用，总能找到异面直线的距离呀！。
异面直线间距离的多种解法
异面直线间距离的多种解法作者：华瑞芬来源：《中学生理科应试》2014年第11期求异面直线之间的距离是立体几何中比较常见的问题，既是立体几何的重点，也是难点，更是高考的热点.对于此类问题，许多同学常常会感到比较困难，往往无从入手.求解此类问题的方法其实是多种多样的，主要有“定义法”和“转化法”，特别是转化的思想技巧性强，有利于培养同学们的创新能力.“转化法”常将两条异面直线之间的距离，转化成直线与平面的距离或平面与平面的距离来求解，有时还会借助于棱锥体积来求.这种解法与直线与平面、多面体、平面几何、代数等许多知识紧密联系，因此有利于知识的巩固与深化.下面举例说明求解异面直线之间距离的多种解法，希望同学们能够从中得到有益的启示.例1已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求直线DA1与AC之间的距离.图1一、定义法利用异面直线距离的定义，做（找）出公垂线段并求其长度.图2解法1如图1所示，易证BD1⊥AC，BD1⊥DA1.设DD1的中点为E，BD交AC于O，则OE∥BD1，连接AE交DA1于M，做MN∥OE交AC于N，则MN∥BD1，且MN为AC与DA1的公垂线段.如图2，在正方形ADD1A1中，易证M为AE的一个三等分点.同理可知N为AC的一个三等分点，从而MN=23OE=13BD1=33.二、转换法利用异面直线的距离，等于其中一条直线（a）到经过另一条直线（b）且与这条直线（a）平行的平面的距离，进而转化为点面的距离.图3解法2如图3，易证AC∥面DA1C1，则AC到DA1的距离等于AC到面A1DC1的距离.设AC与BD交于O，则O点到面A1DC1的距离等于异面直线DA1与AC的距离.∵AC⊥BD，AC⊥B1B，∴AC⊥面BB1D1D，∴A1C1⊥面BB1D1D，∴面A1DC1⊥面BB1D1D且交线为O1D，作OE⊥O1D，则OE⊥面A1DC1，易求得OE=33，即异面直线DA1与AC之间的距离为33.解法3 转化为两平行平面之间的距离.易证面A1C1D∥面AB1C，则面A1C1D与面AB1C的距离等于异面直线DA1与AC的距离.易证BD1⊥面A1C1D，BD1⊥面AB1C，设垂足分别为O1和O2，易证O1、O2为BD1的三等分点，所以O1O2=33，为异面直线DA1与AC的距离.三、等积法利用三棱锥体积不变，求点到面的距离.解法4由解法2知，AC与DA1的距离等于AC到平面A1DC1的距离.如图4所示.巩固练习1.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为（）.图52.某几何体的三视图如图5所示，则该几何体的体积为（）.A16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π参考答案：1.A2.A（收稿日期：2014-04-28）。
高中数学常见题型解法归纳 异面直线上两点间的距离和球面距的求法
高中数学常见题型解法归纳 异面直线上两点间的距离和球面距的求法【知识要点】一、两种距离的定义及常见解法1、异面直线上两点间的距离常见求法：如果两条异面直线a b 、所成的角为θ，它们的公垂线AA '的长度为d ，在a 上有线段A E m '=，b 上有线段AF n =，那么EF =“±”符号由实际情况选定）.2、球面距：球面上两点之间的最短连线的长度,就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度.（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆），我们把这个弧长叫做两点的球面距离 常见求法：求弦AB 的长度→解OAB ∆得圆心角AOB ∠的大小（O 是球心）→利用公式AB l r α= 求,A B 两点间的球面距. 【方法讲评】【例 1】两条异面直线,a b 的距离是1厘米，它们所成的角为060，,a b 上各有一点,A B ,距离公垂线垂足的距离都是10厘米，求,A B 两点间的距离.【解析】根据题意进行画图得，【点评】（1）求异面直线上两点间的距离，实际上就是解三角形，本题就是把异面直线上两点间的距离AB 放到ACB ∆中，再解三角形ACB ∆.注意分类讨论.（2）本题也可以直接代异面直线上两点间的距离公式求解.注意“±”号的取舍.【反馈检测1】正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，则异面直线11AC 与1AB 间的距离为（ ）A ．12 B【例2】 如图球O 的半径为2，圆1O 是一小圆，1OO =,A B 是圆1O 上两点，若1AO B ∠=2π，则,A B 两点间的球面距离为 .【点评】求两点的球面距离就是求弧长，求弧长就要转化成求弦长，求弦长再转化成解三角形. 【反馈检测2 】如图，O 是半径为l 的球心，点,,A B C 在球面上，,,OA OB OC 两两垂直，,E F 分别是大圆弧AB 与AC 的中点，则点,E F 在该球面上的球面距离是( )A.4πB.3πC.2πD.42πG高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第58讲： 异面直线上两点间的距离和球面距离的求法参考答案【反馈检测1答案】CA 1【反馈检测2答案】B【反馈检测2详细解析】要求过,E F 两点的球面距离，则要求EOF ∠的弧度数；为此，则要求出弦EF 的长度, 则应过,E F 做平行于平面OBC 的平面交OA 于G ，由于,E F 分别是 AB 和 AC 的中点， 可知2GE GF ==，从而求出1EF =，那么得到3EOF π∠=，则 点,E F 在该球面上的球面距离为3π本题要特别注意，,E F 为弧的中点，弦EF 的长不等于BC 的一半！。
向量法求异面直线的距离公式
向量法求异面直线的距离公式
异面直线之间的距离公式可以通过向量法来求解。
假设有两条异面直线，它们的方向向量分别为a和a，直线上的一点分别为a和a。
则异面直线的距离可以通过以下步骤来计算：
1.首先，我们计算两条直线上的一点，记为aa和aa，它们为两条直线的最近点。
2.然后，我们计算直线上的向量，记为a=aa−aa，它表示从一条直线上的点到另一条直线上的点的向量。
3.最后，我们计算异面直线的距离，记为a，它等于向量a在两条直线的法向量上的投影长度。
根据以上步骤，异面直线的距离公式可以表示为：
a=|a⋅(a×a)|/|a×a|
其中，⋅表示向量的内积，×表示向量的叉积，|a⋅(a×a)|表示向量a在向量(a×a)上的投影长度，|a×a|表示向量(a×a)的模长。
需要注意的是，如果向量a和a不垂直，则上述公式给出的结果为两条直线之间的最短距离。
如果向量a和a垂直，则它们之间的夹角为a/2，此时两条直线之间的距离为0。
这就是使用向量法求解异面直线的距离公式。
通过计算两条直线之间的最短距离，我们可以更好地理解两条异面直线之间的关系。
求异面直线的距离的若干方法
求异面直线的距离的若干方法本文将通过一道例题的多种解法向大家介绍求异面直线的距离的若干方法，希望对同学们的学习能够有所帮助。
例1 已知正方体ABCD 1111A B C D -的棱长为1，求异面直线1A D 与AC 的距离。
一、直接利用定义求解如图1，取AD 中点M ，连1MD 、MB 分别交1A D 、AC 于E 、F ，连1BD ，由平面几何知识，易证1ME MD =，13MF MB =，1MD MB =，则1BD EF 。
由11A D AD =，1A D AB ⊥得1A D ⊥平面1ABD ，则11A D BD ⊥，同理AC ⊥1BD ，所以，EF ⊥1A D ，EF ⊥AC ，即EF 为异面直线与AC 的距离，故有EF=1133BD =。
评注：此法的关键是作出异面直线的公垂线段。
二、转化为线面距离求解如图2，连11A C 、1C D ，则AC ∥平面11AC D 。
设AC 、BD 交于O ，11A C 、11B D 交于1O ，连1O D ，作OE ⊥1O D 于E ，由11A C ⊥平面11BB D D 知11A C OE ⊥，故OE ⊥平面11AC D 。
所以OE 为异面直线1A D 与AC 的距离。
在△中，，则。
所以异面直线与AC 的距离为。
三、转化为面面距离求解如图3，连1AB 、1CB 、11A C 、1DC 、1BD ，易知平面11//A C D 平面ACB ，则异面直线1A D 与AC 的距离就是平面11//A C D 与平面1ACB 的距离，易证1BD ⊥平面1ACB 、1BD ⊥平面11AC D ，且1BD 被平面1ACB 和平面11AC D 三等分，又1BD。
所以异面直线1A D 与AC的距离为3。
四、构造函数求解如图4，在1A D 上任取一点E ，作EM ⊥AD 于M ，再作MF ⊥AC 于F ，连EF ，则∠EMF=。
设MD=，则ME=，AM，在中，∠FAM=，则)MF x =-所以EF ==3=，当且仅当13x =时，EF所以异面直线1A D 与AC的距离为3。
两异面直线之间的距离公式向量法
两异面直线之间的距离公式向量法在咱们学习立体几何的时候，经常会碰到两异面直线之间距离的问题。
这可是个让不少同学头疼的事儿，但别怕，今天咱们就来聊聊用向量法搞定它！先给大家讲讲啥是异面直线哈。
比如说，你在教室里，你的铅笔放在课桌上，同桌的尺子放在他的抽屉里，这铅笔和尺子所在的直线就是异面直线，它们不在同一个平面内，没法直接测量它们之间的距离。
那向量法是咋解决这个问题的呢？咱们假设两条异面直线分别为 l₁和 l₂，在直线 l₁上取一点 A ，在直线 l₂上取一点 B 。
然后分别找到与这两条直线平行的向量 a 和向量 b 。
这时候，两异面直线之间的距离 d 就等于向量 AB 在向量 a 和向量b 所确定的平面的法向量 n 上的投影的绝对值。
这可能有点抽象，咱来举个具体的例子。
就说有一个正方体，棱长为 2 ，其中一条棱在坐标原点 O ，沿着 x 轴正方向，另一条异面的棱一个端点在顶点 (2, 2, 2) 。
咱们就来求这两条棱之间的距离。
先找到这两条棱对应的向量，比如说沿着 x 轴的棱对应的向量 a = (2, 0, 0) ，另一条棱对应的向量 b = (0, 2, 2) 。
然后找两个点，比如在第一条棱上取点 A(1, 0, 0) ，在第二条棱上取点 B(2, 2, 2) ，那向量 AB 就等于 (1, 2, 2) 。
接下来就得找法向量 n 啦，假设法向量 n = (x, y, z) ，根据法向量和向量 a 、向量 b 垂直的关系，能列出方程组，解出来就能得到法向量n 。
经过一番计算，假设得到法向量 n = (2, -2, 2) 。
最后，距离 d 就等于向量 AB 在法向量 n 上投影的绝对值，算出来就是2√3 / 3 。
其实啊，刚开始学这个的时候，我自己也晕头转向的。
记得有一次做作业，我算了好几遍都没算对，心里那个着急啊！后来我静下心来，把书上的例题又看了好几遍，一步一步对照着自己的步骤找错误，终于弄明白了。
异面直线距离的求解方法
异面直线距离的求解方法摘要：在数学教学中，充分运用数学知识的解题功能，有利于学生的全面发展，培养学生分析问题解决问题的能力，从而挖掘学生更深层次的学习潜能。
本文从四个方面探讨了如何根据各种情形运用不同的方法求异面直线的距离，有助于教学难点的突破，可以引导学生更新解题思路，提高学生的思维能力。
关键词：异面直线距离公垂线法最值法线面平行法体积法在立体几何学习中，求异面直线之间的距离是学习中的难点，因此掌握几种求异面直线距离的常用方法是非常必要的。
一、公垂线法找出或作出两异面直线的公垂线然后进行计算是求异面直线之间的距离的首要方法。
由于两条异面直线的公垂线唯一存在，因此有时找出或作出其公垂线比较困难，但是如果两异面直线中的一条在另一条所在的垂面内时，它们之间的公垂线往往比较容易作出。
例1：边长为a的正方形的两条对角线AC，BD交于O，以BD为折痕将正方形折成空间图形，这时若△ACD为等边三角形，求异面直线AC和BD之间的距离。
解：如图，∵△ACD为等边三角形∴AD=DC=AC=AB∴点A在平面BCD的射影O为△BDC的外心∵△BCD为直角三角形∴O为斜边BD的中点∵AO⊥平面BCD∴AO⊥BD又∵OC⊥BD∴BD⊥平面AOC在平面AOC内作OE⊥AC于E，则OE为异面直线BD、AC距离。
∵AO=OC=a，AC=a，又在Rt△AOC中，OA #8226;OC=AC #8226;OE∴OE==a二、最值法如果两条异面直线分别在两个互相垂直的平面内，应用最值法求两条异面直线的距离是比较方便的。
我们知道两条异面直线之间的距离是连结异面直线上两点距离中的最小者，故我们可以将异面直线的距离表示成某个变量的目标函数，通过求函数的最小值求得两条异面直线的距离。
例2：已知正方体ABCD—ABCD的棱长为a，求异面直线AB和BD的距离。
解：如图，在AB上任取一点M，在平面AB内作MP⊥AB于P，在平面AC内作PN⊥BD 于N，连MN。
求异面直线距离的一种方法——射影法
求异面直线距离的一种方法——射影法
射影法是应用到几何中的一种方法，即可以通过它来求异面直线之间的距离。
本文首先介绍了射影法的定义和运用，然后讨论了它的几种常用计算方法，最后给出了一个射影法的应用实例。
一、射影法的定义
射影法是指使用几何学中的视觉投射原理，以一个视图的形式展示两个异面的平面的投射，从而可以计算出两个异面平面上的直线之间的距离。
在空间几何中，它可以用来测量两个相互平行的直线或两个不同的平面之间的异面距离。
二、射影法的应用
（1）建立平行射影法：建立平行射影法是指在不同的平面上建立一定数量的平行线，然后通过它们在不同平面之间建立一组射影，从而可以测量两个平面之间的异面距离。
（2）建立投影法：建立投影法是用一条直线（垂线）在两个平面之间建立投影，然后通过该投影测量两个平面之间的异面距离。
（3）建立链式投影法：建立链式投影法是指在不同的平面之间以链式的形式建立一系列的投影，从而可以测量两个平面之间的异面距离。
三、射影法的应用实例
假设有两个平行的平面A和B，在它们之间建立多少条垂线，使得在它们之间构造出一个封闭的形状，并且可以测量出平面A和B之间的异面距离。
首先，构造了一个射影图，用两条垂线分别连接平面A和B，然后再构造出三个等腰三角形，使得它们三条边都位于相同的水平线上，这样就完成了一个封闭的形状。
由于三角形的边长都给出了，因此可以用勾股定理求出其斜边的长度，也就可以测量出平面A和B之间的异面距离。
综上所述，射影法是一种求异面直线距离的重要方法，可以应用在几何学中，构造射影图可以简便地测量出异面直线距离，是一项十分有用的技术。
求异面直线距离的几种方法
求异面直线距离的几种方法求异面直线间的距离是高中数学的一个难点，难就难在不知怎样去找异面直线的公垂线，也不会将所求的问题进展转化.为此，下面举例向大家介绍几种求异面直线间距离的方法，相信对大家学好这局部知识会有一定的帮助.一、平移法解题思路假设能找到一条直线c，使c与异面直线a和b都垂直，但c又不是a、b的公垂线，这时我们设法将直线c平移到直线c′处，使c′与a、b均相交，那么c′夹在a和b之间的线段就是a和b的公垂线段.然后再根据平面几何和立体几何知识，求出公垂线段的长.例1正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a，求AC 和A1D间的距离.解析如图1，由立体几何知识容易知道BD1⊥A1D、BD1⊥AC.设BD与AC的交点为M，△DBD1中，将BD1平移到MN处，连结AN，可知N为DD1的中点.设AN与A1D交点为Q.在△AMN中，将MN平移到QP处，可知QP就是AC与A1D的公垂线.由平面几何知识，有AQQN=21，那么AQAN=23，而MN=12BD1=32a，PQMN=AQAN，所以PQ32a=23，PQ=33a.故AC和A1D的距离为33a.采用同样的方法可以求出BD与B1C的距离也为33a.〔请同学们完成〕二、线面垂直法解题思路a、b为异面直线，平面α过直线b，且a⊥α于O，过O在α作OP⊥b于P，那么OP的长为异面直线a、b间的距离.例2如图2，正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a，求B1D1与A1C之间的距离.解析∵B1D1⊥A1C1，B1D1⊥CC1，∴B1D1⊥平面A1CC1于O1.过O1做O1E⊥A1C于E，那么O1E是异面直线B1D1与A1C的距离.∵△A1CC1∽△A1O1E，∴A1O1O1E=A1CCC1，∴O1E=A1O1?CC1A1C=22a?a3a=66a，即B1D1与A1C 的距离为66a.三、面面平行法解题思路a、b为两条异面直线，分别过a、b作平面α、β，使α∥β，那么α、β的距离就是a、b的距离.例3棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F 分别是BB1、AD的中点，求EF、DB1的距离.解析如图3，G为AA1的中点.∵GF∥A1D，GE∥A1B1，∴平面A1B1D∥平面EFG. ∵A1D⊥AD1，A1B1⊥AD1，∴AD1⊥平面A1B1D.同理，AD1⊥平面EFG，∴AD1被平面A1B1D与平面EFG截得的线段MN的长就是异面直线EF与BD1的距离.故异面直线EF与DB1的距离为：MN=14AD1=24a.四、转化法解题思路求异面直线间的距离通常转化为直线到平面的距离，再转化为点到平面的距离，而点到平面的距离常用体积法来求.主要思路是过异面直线中的一条作一个平面，使这个平面与其中的另外一条平行，那么异面直线的距离就转化为直线到平面的距离.再转化为直线上的点到平面的距离，这是一种很重要的转化思想，是求异面直线间距离的常用方法.例4如图4，正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a.M、N分别是正方形BCC1B1、A1B1C1D1的中心，求异面直线AM和DN间的距离.解析如图4所示，把AM平移到KC1处，易得KC1与DN一定相交在一个平面，从而有AM∥平面A1DC1，于是DN、AM间的距离就是直线AM到平面A1DC1的距离，进而转化为求点A到平面A1DC1之间的距离.设所求的距离为d，运用体积法VA-A1DC1=VC1-A1AD，即13d?S△A1DC1=13a?S△A1AD，所以d=aS△A1ADS△A1DC1.容易求得S△A1DC1=32a2，S△AA1D=12a2，所以d=a?a2232a2=33a.五、公式法解题思路求异面直线之间的距离，除了上述常用方法外，我们还可以根据下面的两个公式来求.公式1如图5，三棱锥A-BCD中，假设AB和CD 所成的角为θ，三棱锥A-BCD的体积为VA-BCD，那么异面直线AB与CD之间的距离d=6VA-BCDAB?CDsin θ.图5图6公式2平面α∩β=a，二面角α-a-β的平面角为θ，如图6.直线b与平面α、β分别相交于A、B，点A、B到棱a的距离分别为m、n.那么异面直线a和b之间的距离d=mnsinθm2+n2-2mncosθ.以上两个公式均可按照方法3来求，有兴趣的同学可以自己证明一下.例5如图7，正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a.P是B1C1的中点，求AC与BP的距离.解法1运用公式1来求.设AC和BP所成的角为θ，取A1D1的中点为N，连结AN，那么∠CAN=θ.不难求出sin∠CAN=31010，AC=2a，BP=5a2，VP-ABC=13a?12a2=16a3.d=6VP-ABCAC?BPsinθ=6×a362a?5a2?31010=23a.即AC与PB之间的距离为23a.解法2运用公式2来求.如图8，容易求出点B到AC的距离为m=2a2，点P到AC的距离n=32a4.设二面角P-AC-B的平面角为θ，用面积的射影公式容易求得cosθ=13，从而sinθ=223.d=mnsinθm2+n2-2mncosθ，代入数值得d=23a，即AC与PB之间的距离为23a.练习S-ABC为正四面体，棱长为a，求不相邻的两条棱AC、SB的距离.〔提示：过B做BC′AC，连接AC′、SC′、CC′，作SO⊥面ABC.AC和SB的距离就是三棱锥C - SBC′的高h=22a〕.〔收稿日期：2021 -07-09〕。
异面直线距离求解方法
浅议异面直线距离求解方法638404 四川省武胜中心中学校 段 方 建求异面直线的距离问题，是立体几何中的一个重、难点。
在现行教材中占有十分重要的地位，但学生在学习中遇到此类问题时，常感到困难，无所适从。
本文就人教版高中数学第二册（下B ）的习题9.8第4题求解方法的分析、探讨。
归纳了几种求异面直线的距离问题的常用方法，仅供参考。
题目：已知正方体''''D C B A ABCD -的棱长为1，求直线'DA 与AC 的距离。
一、利用定义求异面直线的距离利用定义求异面直线的距离，首先应作出异面直线的公垂线段，或转化为线面、面面距离求解，则要求作出线面、面面距，并证明。
然后再将其放置于平面几何图形中利用相关策略求解，解答的关键是要找到所求的“线段”，按“作”、“证”、“求”的步骤求解。
解：如图，连结C A ''，则AC ∥面D C A ''，连结D B BD '',分别与C A AC '',交于O O ',连O D C D D A ''',,，过O 作OE ⊥D O '于E∵C A ''⊥，面D D B B '' ∴C A ''⊥OE又OE ⊥,D O ' ∴OE ⊥面D C A ''因此OE 即为直线'DA 与AC 的距离.在Rt △D O O '中，,O O OD D O OE '•='•可求得.33=OE 二、利用向量方法求异面直线的距离利用向量方法求异面直线的距离，首先要针对题目要求建立恰当的空间直角坐标系，然后求出两条异面直线的公共法向量，再计算两条异面直线上各取一点连结的线段在公共法向量上的射影长，即应用d =解：如右图所示，建立空间直角坐标系.可知：)0,1,1(-=)1,1,0(--='A D设),,1(μλ=n 且0,0='•=•A D n n即.001=--=+-μλλ且∴),1,1,1(=n 又)0,0,1(=，∴33==d ，故异面直线'DA 与AC 的距离是33. 三、利用等体积法求异面直线的距离利用等体积法求异面直线的距离，就是说将距离看成几何体体积表示的一个要素，一般是指可以将其看成高线的时候，可以把几何体的体积通过换底换高，用不同的方式表示，进而建立方程的办法求解，其基本思想就是利用体积不变性。
两条异面直线之间的距离公式
两条异面直线之间的距离公式我们来看看，这距离到底是怎么来的。
计算异面直线之间的距离可不是个简单的事儿，它就像是在和数学这位“老朋友”打交道。
你可能想，距离不就是我们生活中经常用到的概念吗？走到哪儿都离不开它。
可是在几何里，直线的定义就有点复杂。
异面直线，这名字听着就有点酷，但实际上它们的“交集”就是没有交集，哎，怪不得我们要计算它们之间的距离呢。
所以，来吧，跟我一起“潜入”这道数学题。
我们先得知道这两条直线的方程。
想象一下，方程就像是直线的身份证，只有知道了身份证，才能找到这两条线的“家”。
每条线都有自己的“坐标”，这些坐标就是它们在三维空间中的位置。
你可以把这个过程想象成侦探破案，线索就藏在那些复杂的公式里。
如果你想知道这两条线之间的距离，首先得找到一条连接这两条线的“桥”。
在数学里，这条桥其实就是我们需要的垂线段，嘿，没错，就是和线垂直的那条线。
这条线段的长度，就是我们最终要计算的距离。
想象一下，在你和朋友之间架起一根绳子，那绳子的长度就是你们之间的“心灵距离”，而我们要做的，就是找到这根绳子的最佳长度。
这个距离怎么计算呢？其实方法有很多，但最经典的就是利用向量的知识。
你可能会想，向量是什么鬼？向量就像是一个小箭头，指向某个特定的方向。
你可以把它看成是地图上的一个标记，告诉你要往哪里去。
在计算异面直线之间的距离时，我们得把这两个方向的向量都找出来，然后利用它们之间的关系，最终得出距离。
听起来是不是有点玄乎？别担心，慢慢来，我们都能搞明白！计算的时候又有哪些公式呢？这里有个公式很重要，别把它给忘了。
两条异面直线的距离 D 可以通过以下公式计算出来：D = |(P1 P2)·N| / |N|，其中 P1 和 P2 是两条线上的点，N 是这两条线的法向量。
别被这个公式吓到，实际上就是在说，找出两条线上的某个点的坐标，算出它们之间的差，然后乘以一条垂直于这两条线的向量，最后再通过它的长度来确定距离。
求异面直线之间距离的四个技巧
异面直线是既不平行也不相交的两条直线.这组直线的空间位置关系较为特殊，我们往往很难直接求得异面直线之间的距离，需采用一些方法和技巧，如平移法、向量法、等体积法、构造函数法等，才能使问题获解.下面结合实例，谈一谈求异面直线之间距离的四个技巧.一、平移法求异面直线之间的距离，要首先把握异面直线之间距离的定义和两直线之间的位置关系.异面直线之间的距离是指这两直线之间的公垂线的长，而公垂线必须同时垂直于两条异面直线.可采用平移法，通过平移其中的一条直线a ，使其与另一条直线b 相交，这样便构造出一个平面，过直线a 上的一点作这个平面的垂线，该线即为两条异面直线的公垂线，求得公垂线的长即可求得两条异面直线之间的距离.例1.如图1所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，求异面直线A 1D 和AC 之间的距离.解：连接BD 1、BD 、AD 1，设BD 与AC 的交点为M ，AN 与A 1D 的交点为F ，根据三垂线定理可知：BD 1⊥A 1D ，BD 1⊥AC ，因为N 为DD 1的中点，由三角形中位线的性质可知BD 1∥MN ,MN ∥EF ,即BD 1∥EF ，可知EF 即为异面直线A 1D 和AC 的公垂线，因为BD 1=3a ，所以MN.又因为N 为DD 1的中点，且AA 1∥DN ，则△AA 1F ∽△NDF ，所以AF NF =AA 1ND=2，AF NF =23.因为EF ∥MN ，则EF MN =AF AN =23，可知EF =23MN=，因此异面直线A 1D 和AC之间的距离为.采用平移法解题，需仔细观察立体几何图形中的点、线、面之间的位置关系，尤其要关注线和面之间的垂直、平行关系，通过平移直线将原本看起来毫无联系的两条异面直线关联起来，再利用平面几何知识，如勾股定理、正余弦定理、两点间的距离公式、三角形中位线的性质等来求公垂线的长.图1图2二、向量法对于易于建立空间直角坐标系的立体几何问题，可采用向量法来求解.在求异面直线之间的距离时，可分别求得两条直线的方向向量a 、b ，并设出两条异面的公垂线，然后根据向量之间的垂直关系建立方程组，通过解方程求得公垂线的方向向量，最后求其模长，即可求得异面直线之间的距离.例2.如图2所示，正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的棱长为1，其对角线为AC ′，点M 、N 分别为棱BB ′和B ′C ′的中点，MN 的中点为P ，求异面直线DP 与AC ′之间的距离.解：如图2所示，以D ′为原点，D ′C ′为x 轴、D ′A ′为y 轴、D ′D 为z 轴建立空间直角坐标系，设DP 与AC ′的公垂线为QR ，分别与DP 、AC ′相交于点Q 、R ，根据定比分点公式可得 OR =sOA +(1-s ) OC ′， OQ =t OP +(1-s ) OD ，0<s <1，0<t <1，则A (0,1,1)，C ′(1,0,0)，P (1,34,14)，D (0,0,1)，则R (1-s ,s ,s )，Q (t ,34t ,1-34t ).因为 RQ ⊥AC ′且 RQ ⊥ DP ，所以ìíîïï3s +t -2=0,178t +s -74=0,解得ìíîïïs =4086,s =5286,可得R (4686,4086,4086)，Q (5286,3986,4786)，则RQ 的模长为，即异面直线DP 与AC ′之间的距离为.相较于常规方法，向量法更加简单.在运用向量法解题时，同学们需熟记一些向量的运算法则，如向量的加法、减法，向量的数量积公式、模的公式.探索探索与与研研究究49三、等体积法等体积法一般适用于求解三棱锥问题，是指转换三棱锥的底面和高，根据同一个三棱锥或两个三棱锥的体积相等建立关系式，求得问题的答案.在求异面直线之间的距离时，可将异面直线置于三棱锥中，采用等体积法求三棱锥的高，进而求得两条异面的公垂线的长.在解题时，同学们要善于寻找体积相等的三棱锥，或易于计算体积的三棱锥的底面和高，建立等价关系式.例3.如图3所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 为BC 的中点，求直线ED 1与直线CC1之间的距离.图3图4解：如图4所示，过点E 作EE 1∥CC 1，连接D 1E 1.已知点E 为BC 的中点，则点E 1为B 1C 1的中点，所以B 1E 1=E 1C 1.因为EE 1⊂平面D 1EE 1，EE 1∥CC 1，则CC 1∥平面D 1EE 1，则异面直线ED 1与CC 1之间的距离即为直线CC 1到平面D 1EE 1的距离，也就是点C 1到平面D 1EE 1的距离.设点C 1到平面D 1EE 1的距离为a ，由V C 1-D 1EE 1=V E -C 1D 1E 1可得：13S △D 1EE 1·a =13S △C 1D 1E1·EE 1.因为CC 1⊥A 1B 1C 1D 1，EE 1⊥A 1B 1C 1D 1，且D 1E 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，则EE 1⊥D 1E 1，S △D 1EE 1=12×EE 1×D 1E 1=5.因为正方体的棱长为2，则S △C 1D 1E 1=1，EE 1=2，故C 1到平面D 1EE 1的距离a =S △C 1D 1E 1·EE 1S △D 1EE1=1×25=则直线ED 1与直线CC1之间的距离为.运用该等体积法求异面直线之间的距离，可省去找公垂线的麻烦，且简化了运算的过程.四、函数构造法我们知道，公垂线是两条异面直线之间的最小距离.若很容易找到异面之间的公垂线，但无法快速求得公垂线的长，或无法找到公垂线，可根据勾股定理、正余弦定理、两点间的距离公式等求得公垂线的表达式，或两异面直线上任意两点之间的距离的表达式，然后将其构造成函数模型，通过研究函数的单调性，求得函数的最小值，即可求得异面直线之间的距离.例4.如图5所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，A 1B 和D 1B 1为正方形ABA 1B 1和正方形A 1B 1C 1D 1的对角线，求异面直线A 1B 和D 1B 1之间的距离.解：在A 1B 上任取一点M ，作MP ⊥A 1B 1于点P ，作NP ⊥A 1B 1于点P ，与D 1B 1交于点N .根据三垂线定理可知MN ⊥D 1B 1.设A 1M =x ，在等腰△A 1PM 中，MP =A 1P ，因为A 1B 1=a ，PB 1=a -，PN =(a )sin 45°=12(2a -x )，由于平面ABA 1B 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以PN ⊥PM ，在Rt△PMN 中，MN =PM 2+PN 2=函数y =为复合函数，与二次函数y =3(x -)2+43a 2的单调性一致，由二次函数的性质可知当x 时，函数的最小值为，所以异面直线A 1B 和D 1B 1之间的距离为.通过添加辅助线，构造出垂直于D 1B 1的平面PNM ，只要在平面PNM 中找到一条直线垂直于A 1B ，那么该直线即是异面直线A 1B 和D 1B 1的公垂线.在Rt△PMN 中，根据勾股定理建立关于x 的关系式，求得公垂线的表达式，然后将其看作关于x 的函数式，通过分析函数的单调性求得函数的最小值，即可解题.可见，求异面直线之间的距离，关键是根据几何图形的特点和性质，以及点、线、面的位置关系找到异面直线的公垂线，并求得其长度.同学们可根据题目的条件，灵活选用上述四种方法.（作者单位：江苏省昆山文峰高级中学）图5探索探索与与研研究究50。
异面直线间的距离(高中全部8种方法详细例题)
1异面直线间的距离求异面直线之间距离的常用策略： 求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。
常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。
常用方法有： 1、 定义法2、 垂直平面法（转化为线面距）3、 转化为面面距4、 代数求极值法5、 公式法6、 射影法7、 向量法8、 等积法1 定义法 就是先作出这两条异面直线的公垂线，然后求出公垂线的长，即异面直线之间的距离。
例1 已知：边长a 为的两个正方形ABCD 和CDEF 成1200的二面角，求异面直线CD 与AE 间的距离。
思路分析：由四边形ABCD 和CDEF 是正方形，得CD ⊥AD ，CD ⊥DE ，即CD ⊥平面ADE ，过D 作DH ⊥AE 于H ，可得DH ⊥AE ，DH ⊥CD ，所以DH 是异面直线AE 、CD 的公垂线。
在⊿ADE 中，∠ADE=1200，AD=DE=a ，DH=2a 。
即异面直线CD 与AE 间的距离为2a 。
2 垂直平面法：转化为线面距离，若a 、b 是两条异面直线，过b 上一点A 作a 的平行线a /，记a /与b 确定的平面α。
从而，异面直线a 、b 间的距离等于线面a 、α间的距离。
例1 如图，BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d ，求两条异面直线BF 、AE 间的距离。
思路分析：BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d ，在平面Q 内，过B 作BH ‖AE ，将异面直线BF 、AE 间的距离转化为AE 与平面BCD 间的距离，即为A 到平面BCD 间的距离，又因二面角P-AB-Q 是直二面角，过A 作AC ⊥AB 交BF 于C ，即AC ⊥平面ABD ，过A 作AD ⊥BD 交于D ，连结CD 。
异面直线上两点间距离公式应用
异面直线上两点间的距离公式的应用异面直线上两点间的距离公式在传统教材中以例题出现，仅用于求异面直线上两点的距离或异面直线的距离，在新课标教材中，这部分内容近一步增强，但仍只以例题的形式分别于多个地方，一般不会惹起学生和老师的重视，本文总结、介绍这个知识点在“空间计算”中的应用。
一、异面直线上两点间的距离公式：如图1，a、b 是两条异面直线，夹角为，MN 是公垂线，P、Q分别是 a 、 b上的点，则由向量知识得：222PQ PM MN NQPM MN NQ 2 PM NQ cos PM , NQ（1）此中PM,NQ或- ，若MN=d,MP＝ｍ，NQ=n,PQ=ｌ则ｌ=2222cosd m n mn，公式（ 1）、（ 2）分别(2)是异面直线上两点间的向量公式，数目公式，基本构图为两条异面直线及公垂线，切合上述基本构图即数目关系，即可用公式来解决问题，下边介绍几种常有用法二、公式的应用1.求异面直线上两点间的距离例 1，如图 2:60 0的二面角的棱上有 A,B 两点，直线 AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 A,B ，已知 AB=4，AC=6，BD=8，求CD的长？剖析： AC，BD是两异面直线， AB是公垂线， AC与 BD的夹角即是二面角的平面角，=60, 0切合基本构图即数目关系，代公式即得CD=2 172.求异面直线的距离由公式（ 2）变形得d=c2m2n 22mncos3.求异面直线的夹角d 2m2n 2 c 2由公式（ 2）变形得cos =2mn4. 求二面角在直角坐标系xoy 中 A（ -2,3 ）， B（3， -2 ），沿 x 轴把直角坐标平面折成大小为的二面角后AB 2 11 ，求的大小？剖析：分别过 A、B 作 AAˊ⊥ x 轴于 Aˊ， BBˊ⊥ x 轴于 Bˊ，翻折后，AAˊ与 BBˊ为异面直线， AˊBˊ为公垂线，而A'A,B'B=，AAˊ =3， Aˊ Bˊ =5，Bˊ B=2则 AB= (AA' 2 A'B' B'B) 2 2 22AA' B'B = AA'A'B'B'B ∴cosAA', B'B = 1 ∴ AA', B'B =600∴ =12002 5. 求直线与平面所成的角如图 4，线段 AB 在平面 内，线段 AC ⊥面 ， BD ⊥ AB ，且 AB=7，AC=BD=24， CD=25，求线 段 BD 与平面 所成的角剖析：图中 AC ，BD 是两条异面直线， AB 是公垂线段，切合基本构图， 又直线 BD 与平面 所 成的角 与异面直线 AC ， BD 所成的角知足关系： sin =cos AC , BD 利用上述关系及 公式即可得出 =300。
异面直线上两点间的距离公式
异面直线上两点间的距离公式在三维空间中，我们经常需要计算两个点之间的距离。
当这两个点在同一平面上时，我们可以使用平面上两点间的距离公式来计算它们之间的距离。
但是，当这两个点不在同一平面上时，我们需要使用异面直线上两点间的距离公式来计算它们之间的距离。
异面直线上两点间的距离公式如下：d = |(ax1 + by1 + cz1 + d) - (ax2 + by2 + cz2 + d)| / √(a^2 + b^2 + c^2)其中，(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)是两个点的坐标，a、b、c和d是直线的方程系数，d是直线的截距，| |表示绝对值，√表示平方根。
这个公式的推导过程比较复杂，我们不在这里详细讲解。
但是，我们可以通过一个简单的例子来理解这个公式的应用。
假设我们有两个点A(1, 2, 3)和B(4, 5, 6)，它们分别在以下两个平面上：平面1：2x + 3y - z = 4平面2：x - 2y + 3z = 5我们需要计算点A和点B之间的距离。
由于这两个点不在同一平面上，我们不能使用平面上两点间的距离公式来计算它们之间的距离。
相反，我们需要使用异面直线上两点间的距离公式。
我们需要找到这两个平面的法向量。
平面1的法向量为(2, 3, -1)，平面2的法向量为(1, -2, 3)。
这两个法向量可以通过平面的方程系数得到。
接下来，我们需要找到这两个平面的交点，也就是它们所在的直线。
我们可以通过将这两个平面的方程联立，解出它们的交点坐标。
这个过程比较繁琐，我们不在这里详细讲解。
最终，我们得到这两个平面的交点坐标为(-1, 1, 0)。
现在，我们可以得到这两个平面所在的直线的方程。
我们可以选择其中一个平面的方程作为直线的方程，例如平面1的方程2x + 3y - z = 4。
我们可以将这个方程转化为参数方程的形式：x = ty = (4 - 2t) / 3z = (2t - 4) / 3这个参数方程表示了这条直线上的所有点。
异面直线距离的八种求法
Ｄ Ｈ Ｄ０：Ｄ： ：， Ｈ：拿 ， １ Ｂ： Ｂ ｌ２ Ｇ Ｈ：
Ｂ ／ ＇． Ｈ： Ｘ ３－ Ｄ ：、 丁 ．Ｇ ／ ．
Ｊ
・ ．
・
Ａ Ｃ 与 Ｂ 的距 离 为 —／ － Ｃ ｘ ３
． ．
Ｇ 是 △ 曰曰１ 的 重 心 ， Ｃ１
．
・ ． ．
Ｅ ： ． 理， ： Ｇ 同 明 单 ．
面 曰 Ｃ， Ｂ ， ＵＢ ｊＡｌ ， 连 Ｄｌ贝 Ｄ１＿ Ｃ１ＢＤ１＿ Ｄ． ｊＡ１ ＢＤｌ 平 面 Ａｌ Ｄ ， 理 ， Ｄｌ＿ 面 曰 Ｃ 上 Ｃｌ 同 Ｂ ｊ平 ．
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如 图 ６ ‘Ａ Ｃ ／ 平面 ＡＢＣ ，‘ ｌ ． ／ ，
…
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图 ３
图 ４
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ＢＤ １ Ａ １ ｌ Ａｌ ｌ Ｂｌ ＝ Ｄ ＋ Ｂ ＋ Ｂ ＝ １ ＋ １ ＋ １ 。 ＝ ３， 曰Ｄ ＝ ．・ Ｇ日 ． ・
３
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，
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３
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故 Ａ ｃ 与 曰ｌ 的距 离 为 ｃ
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． ．
Ｒ 上 Ｑ ／ ： 兰 ． Ｑ ＡＣ，Ｒ：、 上 ｃ
２ 、 ／２ ＋ＲＱ ：
在 △ＰＱ 中 ， Ｑ ＝ 尺 Ｐ
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解法 ５ “ 式法” 公 如 图 ５， 在 Ａ Ｃ ， 上 分 别 取 点 Ｅ， 曰 Ｃ Ｆ， 作 Ｅｌ ｊ Ｅ ＿ 曰。 于 Ｅ Ｃ。 ， ｊ曰Ｃ ＿ 于 ，则 异 面 直 线 ＥＥ。 啊 的 与
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存档编号赣南师范学院科技学院学士学位论文空间两异面直线距离的若干求法系别数学与信息科学系届别 2014届专业数学与应用数学学号 1020151224姓名刘禹伟指导老师陈海莲完成日期目录内容摘要 (1)关键字 (1)Abstract (1)Key words (1)1、引言 (2)2、空间两异面直线的相关概念 (2)2.1、空间两异面直线的概念 (2)2.2、空间两异面直线间距离的概念 (2)3、求异面直线距离的常用方法 (3)3.1、直接法 (3)3.2、线面距离法 (4)3.3、面面距离法 (4)3.4、等体积法 (5)4、求解异面直线间距离的其他方法 (6)4.1、运用极值法 (6)4.2、公式法 (7)4.3、射影面积法 (9)5、分析比较求解方法 (10)6、结语 (11)致谢 (12)参考文献 (13)内容摘要：立体几何中的异面直线间距离( 即两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度) 问题是教材中的一个难点, 学生普遍反映困难, 主要由于学生思维不全面和认识上的不足, 又由于学生由平面几何到立体几何思维上的转化存在着问题, 从而导致解题和学习上困难。
本文我们来着重讲解空间两异面直线间的距离的求法，即直接或利用转换和利用体积来求解。
在其基础上再深入研究，利用解析几何的思想来探讨求解异面直线间距离。
比较各种求法，让学生在求异面直线间距离方面简单。
关键字：异面直线间距离直接法转化法体积法解析几何Abstract：The differences between the three-dimensional geometry of the surface linear distance (ie two different male faces straight vertical line in these two segments of different lengths between straight face) problem is a difficult textbook. Students generally reflect difficulties, Mainly due to the students' thinking is not comprehensive and lack of understanding, Also due to the transformation of the students from the plane geometry on the three-dimensional geometry of thinking there is a problem, resulting in the problem-solving and learning difficulties. In this paper, we explain the space to focus on the distance between the two different method for finding straight face, that directly or using the conversion and use of volume to solve. The basis of its further in-depth study to explore solving linear distance between the different faces of the use of analytic geometry ideas. Comparative method for finding a variety of students in terms of a simple distance between divergent straight face.Key words：The distance between lines in different planes The direct method Volume method Transformation method Analytic geometry1、引言求异面直线的距离是立体几何的一个难点，主要原因是公垂线段较难找，那么如何求异面直线的距离呢？为帮助同学们克服这一难点，下面介绍异面直线的概念、异面直线间距离的概和异面直线间距离的求法。
2、空间两异面直线的相关概念[1]在空间上,两条直线的位置关系有平行、相交和异面，下面我们着重来介绍空间两条异面直线的相关概念。
2.1、空间两异面直线的概念[2]定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
特点：既不平行，也不相交。
判定方法：（1）定义法：由定义判定两直线永远不可能在同一平面内。
（2）定理：经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线，是异面直线。
2.2、空间两异面直线间距离的概念[3]两条异面直线的距离的定义：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段；公垂线段的长度d，叫做两条异面直线的距离。
其中，两条异面直线所成的角的定义：直线a，b是异面直线，经过空间一点O，分别引直线A//a,B//b,相交直线A，B所成的锐角（或直角）叫做异面直线a,b所成的角。
角可取的范围在(0，π/2]。
两条异面直线垂直的定义：如果两条异面直线所成的角是直角，则称这两条异面直线互相垂直。
两条异面直线的公垂线的定义：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线。
两条异面直线的公垂线，有且只有一条。
理解这些概念，有助于理解异面直线间距离的求法。
3、求异面直线距离的常用方法求解异面直线间距离的方法有许多,一般常用的方法有四种，分别为直接法、线面距离法、面面距离法，等体积法，下面详细介绍这四种方法。
3.1、直接法根据定义，直接找出公垂线段，再求其长，这是解题时首先要考虑的方法。
例1 （1999•广东）如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EAC//D1B，且平面EAC与底面ABCD所成的角为45°，AB=a，求异面直线A B11与AC之间的距离。
解：连结DB，设DB交AC于点O由题设知ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱则A1A⊥底面ABCD，即A1A⊥AC,而A1A⊥A1B1所以A1A是异面直线A1B1与AC的公垂线段由题意分析知∠ DOE为平面EAC与底面 ABCD所成的角则∠DOE=45°又∵截面EAC//D1B，且平面D1BD与平面EAC的交线为EO∴D1B//EO，∠DBD1=∠DOE=45°∴D1D=DB=2a∵AA1=D1D∴异面直线A1B1与AC之间的距离为2a3.2、线面距离法选择异面直线中的一条，过它作另一条直线的平行平面，则此直线与平行平面的距离即为异面直线间的距离。
例2 （2004•江苏）在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，AD=3，AA 1=4，求异面直线AB 与A 1C 间的距离。
解：如图所示，连结A 1D由AB//DC ，得AB//平面A 1DC故AB 到平面A 1DC 的距离即为AB 与A 1C 间的距离又平面A 1D ⊥平面A 1DC 及平面A 1D ⊥AB故可在平面A 1D 内过A 作AE ⊥A 1D 于点E则AE 为AB 到平面A 1DC 的距离即为异面直线AB 与A 1C 间的距离。
由AD ⊥ AA 1=A 1D ⊥AE 可得AE =1253.3、面面距离法选择异面直线中的一条，过它作另一条直线的平行平面，再根据所画平面作出另平行面,两异面直线分别在两个平面上,求两平行面间的距离。
例 3 （2004•广州一模）如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线A 1D 与AC 间的距离。
解：A 1C 、C 1D 、AB 1、B 1C,A 1D 与AC 分别在两个相互平行的平面A 1DC 1和B 1CA 内，则A 1D 与AC 间的距离就是两个相互平行的平面A 1DC 1和B 1CA 之间的距离。
连结BD ，且交AC 于点O ，作OO 1⊥平面AC 交平面A 1C 1于O 1连结DO 1，作OE ⊥DO 1于E可知OE 为两平行平面A 1DC 1和B 1CA 之间的距离在Rt △DOO 1中，OO 1=1，DO=22 ,DO 1=62∴OE=OO1133DO DO = ∴异面直线A 1D 与AC 间的距离为333.4、等体积法在一般情况下，求异面直线间的距离可转化为(1)一异面直线与过另一异面直线且平行于第一条异面直线的平面之间的距离．(2)分别过两异面直线的两个平行平面之间的距离．上述两种距离总是通过直线上(或平面上)一点到另一平面之间的距离求出，除直接求出外，一般都要通过等积计算再求高的办法来求得的．例4 （2004•江西）如图4所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，求AC 与BC 1的距离．解：连接A 1C 1，A 1B ，C 1A ，∵AC ∥A 1C 1，∴AC ∥平面A 1BC 1，则求AC 与BC 1的距离转化为求AC 与其平行平面A 1BC 1的距 离．也就是三棱锥A －A 1BC 1的高h ．而1111A A BC C ABA V V --= 即2213112a h=a a 3432⋅⋅⋅（）（） 3h=a 3∴ 由上可知，等积法与作辅助平面法紧密相连，它是以辅助平面为底，与平面平行的另一条异面直线上某一点到该平面的距离为高组成一个三棱锥，若改变三棱锥的底面易于求得三棱锥的体积，便可利用等积法求出以辅助平面为底的三棱锥的高，即异面直线间的距离．4、求解异面直线间距离的其他方法一般的解题方法就是上述四种，这些都是基础的，比较容易掌握。
下面我们来结合解析几何的思想，利用其求解空间两异面直线间的距离。
4.1、运用极值法求异面直线a 、b 的距离是先在a(或b)上取点A ，过A 点作AB ⊥b ，设某一线段为x ，列出AB 关于x 的函数表达式AB ＝f(x)，求出AB 的最小值，就是所求异面直线间的距离．其理论依据是两异面直线间的距离是连接两直线中最短线段的长．例5（2004•浙江）如图5，圆锥底面半径为R，母线长为2R，AC为轴截面SAB的底角A的平分线，又BD为底面的一条弦，它和AB 成30°的角，求AC与DB之间的距离．解：在AC上任取一点E，作EF⊥AB，垂足为F，则EF⊥底面．设EF＝x∵△SAB是正三角形(AB＝SA＝SB＝2R)∴∠ CAB=30。
，AF=3X∴FB=2R-3X在底面内作FG⊥ BF，FG=BF⋅ sin30=12（2R-3X）∴EG2=EF2+FG2=X2+(R-32X)2=74(X-237R)2+47R2∴EGmin =277R即为所求。