3.1.1数系的扩充和复数的概念教案

第3章数系的扩充与复数的引入

§3.1.1数系的扩充和复数的概念

【教学目标】

1．了解解方程等实际需要也是数系发展的一个主要原因，数集的扩展过程以及复数的分类表；

2．理解复数的有关概念以及符号表示；

3．掌握复数的代数表示形式及其有关概念；

4.在问题情境中了解数系得扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．

【教学重点】引进虚数单位i 的必要性、对i 的规定以及复数的有关概念．

【教学难点】复数概念的理解．

【教学过程】

1．对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括（教师引导学生进行简明扼要的概括和总结）

自然数

整数有理数无理数实数2．提出问题

我们知道，对于实系数一元二次方程012x ，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？

3．组织讨论，研究问题

我们说，实系数一元二次方程012x 没有实数根．实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数．

解决这一问题，其本质就是解决一个

什么问题呢？组织学生讨论，引导学生研究，最后得出结论：最根本的问题是要解决－1的开平方问题．即一个什么样的数，它的平方会等于－

1．4．引入新数i ，并给出它的两条性质

根据前面讨论结果，我们引入一个新数

i ，i 叫做虚数单位，并规定：（1）12i ；

（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．

有了前面的讨论，引入新数i ，可以说是水到渠成的事．这样，就可以解决前面提出的问题（－1可以开平方，而且－1的平方根是i ）．

5．提出复数的概念

根据虚数单位i 的第（2）条性质，i 可以与实数b 相乘，再与实数a 相加．由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成bi a 这样，数的范围又扩充了，出现了形如),(R b a bi a 的数，我们把它们叫做复数．

全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C 表示，显然有：

N*N Z Q R C ．

【巩固练习】

下列数中，哪些是复数，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？

例1.实数m 分别取什么值时，复数z ＝m+1＋(m-1)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？

分析：因为m ∈R ，所以m+1，m-1都是实数，由复数z ＝a ＋bi 是实、虚数、纯

虚数与零的条件可以确定实数m 的值．

.

1,010

131,0121011为纯虚数时，即）当（为虚数；

时，即）当（为实数；

时，，即）当解（z m m m z m m z m m 6．提出两个复数相等的定义，即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部

分别对应相等．也就是

由此容易得出：

6

cos 6sin

,,0,2,7212i i i i ）纯虚数

）虚数；（是（为何值时，复数当且练习：已知复数21,)()1(2z m R m i m i m z

例2 已知i y y i x )3()12(,其中，x,y R ，求x 与y ．分析：因为x ，y ∈R ，所以由两个复数相等的定义，可列出关于

x ，y 的方程组，解这个方程组，可求出

x ，y 的值．

4,25

)3(112y x y y x

解得解：由复数相等可知

练习：.

),(023)21(2

的值求实数已知m R m i mi x i x 【课堂游戏】【想一想】两个复数是否可以比较大小

. 【归纳总结】

一、数系的扩充；

二、复数有关的概念：

1、复数的代数形式；

2、复数的实部、虚部。

3、虚数、纯虚数；

4、复数的相等.

【布置作业】

习题3.1A 组 1 2 3