非正弦周期电压和

2
3
0 2 4 t
（c）锯齿波电压
图(d)全波整流波形电压的傅里叶级数展开式为
u 2Um (1 2 sin 2t 2 sin 4t)
3
15
频谱图 --- 将傅里叶级数展开式中的恒定分量和各次谐波的
幅值，用相应长度的谱线表示，各谱线在横坐标
上的位置是相应谐波的角频率。
u
在一个周期 T 内的平均值。
第二项 A1m sin( t 1) --- 与周期函数 f (t) 同频率，
称为基波，也称为一次谐波。
其余k = 2 , 3…各项的频率是周期函数 f (t) 的频率的整数 倍，分别称为二次谐波、三次谐波 … ，也统称为高次谐波。
周期函数 f (t) 的傅里叶级数展开式，可写为另外一种表 示形式，即
1
T
T
0 2Ikm sin( kt k )Iqm sin( qt q )dt 0
其中： k 1, 2,3
(k q)
q 1, 2,3
得非正弦周期电流 i 的有效值 I 为

I
I
2 0

I12

I
2 2


I
2 0

I
2 k
k 1
式中： I1 I1m 2 , I2 I2m 2 ,
式中 T 为周期函数 f (t) 的周期，k = 0,1,2…。 一个角频率为ω的非正弦周期函数 f (t) ，如果满足狄里
赫利条件，可以展开成一个收敛的傅里叶三角级数表示式
f (t) A0 A1m sin( t 1) A2m sin( 2 t 2 ) A0 Akm sin( k t k ) k 1 式中， A0 --- 为恒定分量（或直流分量），是函数 f (t)
1
0
2
2
f (t)d (t)
0
ak

2 T
T 0
f (t) sin( kt)d(t)
0
2
bk T
T
f (t) cos(kt)dt
0
1
2
f (t) cos(kt)d (t)
0
例如，图(a)所示矩形波电压在一 个周期内的表示式为
k 1


A0 ak sin k t bk cos k t
k 1
k 1
ak Akm cos k
式中 bk Akm sin k
Akm ak2 bk2
k arctg bk ak
级数展开式中的各项系数，可按下列公式计算：
A0

1 T
T
f (t)dt
分别是基波、二次谐波…等各次谐波的有效值电流。
同理可得非正弦周期电压 u 的有效值 U 为

U
U
2 0
U12

U
2 2


U
2 0

U
2 k
k 1
式中： U1 U1m 2 , U2 U2m 2 ,
分别是基波、二次谐波…等各次谐波的有效值电压
非正弦周期电流 i 的平均值定义为
0
1


0 Um sin( kt)d (t)
1

2
(Um ) sin( kt)d (t)
2Um


0
sin(
kt )d (t )


2U m
k
cos(kt
)

0
2Um cos(k ) 1
k
0 （k 为偶数）
4U m （k 为奇数）

f (t) A0 Akm sin( k t k ) k 1
A0 A1m (cos1 sin t sin 1 cos t)
A2m (cos 2 sin 2 t sin 2 cos 2 t)

A0 [Akm (cos k sin k t sin k cos k t)]
k
1
bk
2
u cos(kt)d (t) 0
0
则，图(a)所示矩形波电压的傅里叶级数展开式为


u A0 ak sin kt bk cos kt
k 1
k 1

ak sin kt
k为奇数
4Um (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t )
Um
t 0 2
（d）全波整流波形
u/V
2Um 4Um
π 3π
4Um
15π
0
2ω
ω 4ω
全波整流波形的幅度频谱图
二、非正弦周期量的有效值和平均值
任一周期电流 i 的有效值 I 已经定义为
I 1 T i2dt
T0
设一非正弦周期电流 i 已经展开为傅里叶级数

i I0 Ikm sin( k t k ) k 1
u Um
u Um 0t Um t 2
0 2 t
－Um
（a）矩形波电压
求得傅里叶级数展开式中的各项系数为
A0

1
2
2
ud (t)
1
0
2

0 Umd (t)
1
2
2
(Um )d (t) 0
ak

1

2
u sin( kt)d (t)
4.9 非正弦周期电压和电流
非正弦规律周期性变化的电压和电流统称为非正弦周期 电压和电流。下列各电压均为非正弦周期电压。
（a）矩形波电压
（b）三角波电压
（c）锯齿波电压
（d）全波整流波形
一、非正弦周期量的傅里叶级数展开
一个呈周期性变化的非正弦电压、电流或信号，可以用一 个周期函数表示为
f (t) f (t k T )
则，电流 i 的有效值 I 为
I
1 T
T
0 [I0

Ikm sin( kt k )]2 dt
k 1
上式根号内的积分展开后将含有下列各项：
1
T
T 0
I 02 dt

I
2 0
1
T
T 0
I
2 km
sin
2 (kt
k
)dt

1 2
I
2 km

I
2 k
1
T
T
0 2I0Ikm sin( kt k )dt 0

3
5
类似于矩形波的分析，可得图(b) u 三角波形电压的傅里叶级数展开式为 Um
u

8U m
2
(sin
t

1 9
sin
3t
0 2 t
1 sin 5t )
25
（b）三角波电压
图(c)锯齿波形电压的傅里叶级
u
数展开式为
Um
u

U
m
(
1 2

1

sin
t
1 sin 2t 1 sin 3t)