概率论与数理统计课后习题答案 第七章

差分别为
.设 A,B 两位化验员测定值服从正态分布,其总体方差分别为
.求方差比
的置信度 0.9 的置信区间.
解:
查表知
故
的置信度 0.9 的置信区间为:
自测题 7 一、填空题
设总体 的无偏估计. 解:
则
是来自 的样本 则当常数
时
是未知参数 的无偏估计
是未知参数
二、一台自动车床加工零件长度 X(单位:厘米)服从正态分布
求 的估计值.
解:
似然函数为
令
得
2. 设总体 X 的概率密度为
试求(1) 解: (1)
其他 的矩估计
的极大似然估计
的矩估计 (2) 似然函数为
令
解得
3. 设总体 X 服从参数为
的泊松分布 试求
解: 由 服从参数为 的泊松分布
由矩法,应有
的矩估计 和极大似然估计
(可参考例 7-8)
似然函数为
解得 的极大似然估计为
又两样本的样本标准差
求
的置信度 的置信区间
解:
查表知
故
的置信度 的置信区间为
9. 为了估计磷肥对农作物增产的作用,现选 20 块条件大致相同的土地.10 块不施磷肥,另外 10 块施磷
肥,得亩产量(单位:公斤)如下:
不施磷肥的
560 590 560 570 580 570 600 550 570 550
解:此处
的置信度 0.90 的置信区间为:
4. 某工厂生产滚珠,从某日生产的产品中随机抽取 9 个,测得直径(单位:毫米)如下:
14.6
14.7
15.1
14.9
14.8
15.0
15.1
15.2
14.8
设滚珠直径服从正态分布,若
(1) 已知滚珠直径的标准差
毫米;
(2) 未知标准差
求直径均值 的置信度 解: (1)
试求平均寿命 的 的置信区间 (例 7-21, 未知时 的置信区间)
解:
查 分布表知
平均寿命 的 的置信区间为
3. 两台车床生产同一种型号的滚珠,已知两车床生产的滚珠直径 X,Y 分别服从
其中 未知
现由甲,乙两车床的产品中分别抽出 25 个和 15 个,测得
求两总体方差比
的置信度 0.90 的置信区间.
解:
置信度 的置信区间为
1527 1485
1603 1540
1480
1532
6. 求上题灯泡寿命方差 的置信度 解: 置信度 的置信区间为
的置信区间 查表知
7. 某厂生产一批金属材料,其抗弯强度服从正态分布.现从这批金属材料中随机抽取 11 个试件,测得它 们的抗弯强度为(单位:公斤): 42.5 42.7 43.0 42.3 43.4 44.5 44.0 43.8 44.1 43.9 43.7
求(1)平均抗弯强度 的置信度 (2)抗弯强度标准差 的置信度
解: (1) 置信度 的置信区间为
的置信区间 的置信区间 查表知
注意这里是求 的置信 区间,结果要开方.
(2) 置信度
的置信区间为
查表知
故 的置信度 的置信区间为
8. 设两个正态总体
中分别取容量为 10 和 12 的样本,两样本互相独立.经算得
4. 设总体
其中
是未知参数 又
(1) 证明
是参数 的无偏估计和相合估计
(2) 求 的极大似然估计 (1) 证:
为取自该总体的样品 为样品均值
是参数 的无偏估计 又
是参数 的相合估计
(2)
故其分布密度为
其他 似然函数
其他 因对所有 有
习题 7.3
1. 土木结构实验室对一批建筑材料进行抗断强度试验.已知这批材料的抗断强度
习题 7.2 1. 证明样本均值 是总体均值
证:
的相合估计
由定理
知 是 的相合估计
2. 证明样本的 k 阶矩
是总体 阶矩
证:
的相合估计量
3. 设总体 (1)
(2)
是
的相合估计
为其样品 试证下述三个估计量
(3)
都是 的无偏估计,并求出每一估计量的方差,问哪个方差最小? 证:
都是 的无偏估计
故 的方差最小.
.从该车床加工的零件中随机抽取
4 个,测得长度分别为:12.6,13.4,12.8,13.2.
试求: (1)样本方差 ;(2)总体方差 的置信度为 95%的置信区间.
(附:
解: (1)
(2) 置信度 的置信区间为
三、设总体
抽取样本
为样本均值
(1) 已知
求 的置信度为 的置信区间
(2) 已知
问 要使 的置信度为 的置信区间长度不超过 ,样本容量 n 至少应取多
直径均值 的置信度
的置信区间 的置信区间为
(2) 置信度
的置信区间为
5. 设灯泡厂生产的一大批灯泡的寿命 X 服从正态分布 泡进行寿命试验,测得寿命数据如下(单位:小时):
其中 未知 令随机地抽取 16 个灯
1502
1480
1485
1511
1514
1508
1490
1470
1520
1505
求该批灯泡平均寿命 的置信度 的置信区间
施磷肥的
620 570 650 600 630 580 570 600 600 580
设不施磷肥亩产和施磷肥亩产均服从正态分布,其方差相同.试对施磷肥平均亩产与不施磷肥平均
亩产之差作区间估计(
).
解:
查表知
10. 有两位化验员 A,B 独立地对某种聚合的含氮量用同样的方法分别进行 10 次和 11 次测定,测定的方
大?(附
)
解: (1) 的置信度为 的置信区间为
(2) 的置信度为 故区间长度为
的置信区间为
解得
四、某大学从来自 A,B 两市的新生中分别随机抽取 5 名与 6 名新生,测其身高(单位:厘米)后,算的
.假设两市新生身高分别服从正态分布:
,
其中 未知 试求
的置信度为 0.95 的置信区间.(附:
解:
抽取容量为 6 的样本测得样本观测值并算的
求 的置信度 的置信区间
解:
置信度为 的置信区间是
.现从中
2. 设轮胎的寿命 X 服从正态分布,为估计某种轮胎的平均寿命,随机地抽取 12 只轮胎试用,测得它们的
来自百度文库
寿命(单位:万千米)如下:
4.68 4.85 4.32 4.85 4.61 5.02 5.20 4.60 4.58 4.72 4.38 4.7
习题 7.1 1. 设总体 X 服从指数分布
试求 的极大似然估计.若某电子元件的使用寿命服从该指数分布,现随机抽取 18 个电子元件,测得
寿命数据如下(单位:小时):
16,
19,
50,
68,
100,
130,
140,
270,
280,
340,
410,
450,
520,
620,
190,
210,
800,
1100.