泛函1-1

所以Q是可数集（可数个可数集的并） 说明:有理数集在直线上稠密,但仍与稀疏分布在直线上 的整数集有相同多的点(对等意义下).
例 不可数集的存在性 (区间(0,1)是不可数集)
证明：假设（0,1）是可数集,则 （0,1） 可以写成一 个无穷序列的形式： {x1 , x2 ,, xn ,} 把每个数写成正规小数（不能以0为循环节）
X , X 定理2 C C （1）（零一律） A A X , A A （2）（排中律） ACC A C （3）（否定律） A \ B A B C C 若A B, 则A B （ 4） C C C （5）（反单调性） ( A B) A B , C C C （6）（德摩根公式） ( A B) A B ,
A B { x : x A且x B}
若 A ∩ B = ∅, 则称 A与 B 不相交.
{ A | }或{ A } 集族：
为指标集， 为指标
特别当 N 时，称集族为集列，记为{ An } 集族的并

A { x : , 使x A }
三、集合的相等与包含
设 A 和 B 是两个集. 如果 A 和 B 具 有完全相同的元素, 则称 A 与 B相等, 记为 A=B. 如果 A 的元素都是 B 的元素, 则称 A 是 B 的子集, 记为 A ⊂ B (读作 A 包含于 B), 或 B ⊃ A (读作 B 包含 A). 若 A ⊂ B并 且 A ≠ B则称 A为B的真子集. 按照这个定 义, 空集∅是任何集的子集. 由定义知道 A = B当且仅当 A ⊂ B并且 B ⊂ A .
1.定义 凡是等势的集合称为具有相同的基 数， 用 A 表示集 A的基数。 基数是等势的集合所具有的共同属性。 规定空集∅的基数为0. 用符号a表示自然数集 N 的基数. 实数集 R 的基数用c表示, 称之为连续 基数. 有限集的基数等于该集中元素的个数. 这样, 集的基数就是有限集的元素个数的推广.
{( x1 , x2 ,, xn ,) : xi Ai , i 1,2,, n,}
A
i 1
i
六、映射
设有两个非空集合X, Y，如果有一个对 应关系（或法则）存在，对于 X 的每一元素 x,有Y 中唯一的一个元素 y 与之对应，就称给 出了一个从 X 到 Y 的映射 f, 记作 f ： X Y 称 y 为 x 在映射 f 下的象，记为 y = f (x)。 称 X 为 f 的定义域，记为D( f ) 。称集 f ( X )= { f (x): x ∈ X} 为 f 的值域, 记为R( f ) 。 泛函：值域为数域的映射叫泛函。
不含任何元素的集称为空集, 用符号∅表 示. 约定分别用 R , Q , N和Z表示实数集, 有 理数集, 自然数集和整数集.
二、集合的表示法
1. 列举法
列出给定集的全部元素.
例如
A={a , b , c , } B= {1 , 3 , 5 , …2n − 1 , …}
2.描述法
当集A是由具有某种性质P的元素的全体所 构成时, 用下面的方式表示集 A: A = {x : x具有性质 P} 例如, 设 f 是定义在 R 上的实值函数, 则 f 的零点所成的集 A可表示成 A = {x : f (x ) = 0 }.
因 此 An 是 可 数 集 .
n 1
例 全体有理数之集Q是可数集
首先[0,1]中的有理数全体 ={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, …}是可数集，
[ -2 ][ -1 ][ 0 ][ 1 ][ 2 ][ 3 ] 4
Q (Q [0,1]) (Q [1,0]) (Q [1,2]) (Q [2,1])
x1 0.a11a12 a13 a14 x2 0.a21a22 a23a24 x3 0.a31a32 a33 a34 x4 0.a41a42 a43a44
令x=0.a1a2a3a4… 其中 2 ann 1 an 1 ann 1 则得到矛盾，所以 (0,1)是不可数集。
应用泛函分析
主讲：杨莉
E-mail:yangli@swust.edu.cn
第一章 预备知识
§1 集合与映射 一、集合的定义
所谓的集合是指一定范围内研究对象的全体 一般用大写字母如 A, B, C 等表示集, 用 小写字母如 a, b ,c 等表示集的元素. 若a是集 A的元素, 则用记号 a∈ A表示(读作a属于A). 若a不是集 A的元素, 则用记号 a∉ A表示(读作 a不属于 A).
可数集的简单例: 自然数集N , 整数集Z , 奇自然数集, 偶自然数集.
例 1) N ~ N 奇数 ~ N 偶数
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...
n
1,3,5,7,9,11,13,15,...
2n-1
2,4,6,8,10,12,14,16...
2n
例 2)(1,1) ~ (,)
可数集：凡与自然数集N等势的集合称为可数 集或可列集。 至多可数：一个集合是可数或有限时，称为至 多可数。 不可数集的例：区间[0，1]中的点（实数）是 不可数的。
等价定义: 集 A 是可数集当且仅当 A 的所 有元素可以编号排序成为一个无穷序列 (编号 排序必须既无遗漏, 也无重复.):
A {a1 , a2 ,}
若A* 是A的 有 限 子 集 ， 则 得 证 ； 若A* 是A的 无 限 子 集 ， 则 A*中 的 元 素 必 是 上 述 序 列 中的一个无穷子序列：
an1 , an2 , an3 ,, ank ,
从而A* {an1 , an2 , an3 ,, ank ,}是可数集。
性质2 •有限集与可数集的并仍为可数集 •有限个可数集的并仍为可数集 •可数个可数集的并仍为可数集
设 A是 X 的子集, f 和 g分别是 A到 Y 的和 X 到Y 的映射. 若对每个 x ∈ A成 立 f(x) =g (x),则称 g是 f 在 X 上的延拓, 称 f 是 g在 A上的限制, 记为
f g
A
原象或逆象：设映射 f ：X Y ，如果 A X 集合 f ( A) { f ( x ) : x A} ，称为A在f下的象。
C C
De Morgan公式
( A )c


c A
( A )c


c A
注：通过取余集，使A与Ac，∪与∩互相转换
五、直积集
A B {( x, y ) : x A, y B}
A
i 1

n
i
{( x1 , x2 ,, xn ) : xi Ai , i 1,2,, n}
A { x : , 有x A }
集族的交

2.差运算与余运算
差：A B或A \ B { x : x A但x B}
余：Cs A S A （其中S为全集）,简记为Ac
注 ：( A B) B A不一定成立
A
B
3.集合的运算性质 定理1 （1）（交换律）A B B A; A B B A （2）（结合律） A ( B C ) ( A B ) C ; A ( B C ) ( A B) C; （3）（分配律） A ( B C ) ( A B ) ( A C ) A ( B C ) ( A B) ( A C ) （4）（吸收律） A ( A B ) A, A ( A B ) A （5）（幂等性） A A A, A A A
A1
A2 A3
a11 , a12 , a13 , a14， a21 , a22 , a23 , a24， a31 , a32 , a33 , a34， a41 , a42 , a43 , a44，
可数个可数集的并 仍为可数集的证明
说明: •与Hilbert旅馆问题比较;
A4
,
,
,
，
当Ai互不相交时，按箭头所示，我们得到一个无穷序列; 当Ai有公共元时，在排列的过程中除去公共元素；
A={a1, a2, a3, a4, a5, a6, …}
B={b1, b2, b3, … ,bn} C= {c1, c2, c3, c4, c5, c6, …}
假设A，B，C两两不交，则
当集合有公共元素时， 不重复排。
A∪B={ b1, b2, b3 , … , bn ，a1, a2, a3, …} A∪C={ c1, a1, c2, a2, c3, a3, …}
f ( f ( x)) x, x X
1
f ( f 1 ( y)) y, y Y
设 f : X → Y 和 g : Y → Z 分别是 X 到Y 的 和Y 到Z 的映射. 令 h (x) = g (f ( x)), x ∈ X. 则h是 X 到Z 的映射. 称h为 f 与 g的复合映射, 记为 g f .显然复合映射是复合函数概念的推 广.
X Y ，有 f ( X ) Y 时，称 满射：对映射f： 为满射。
单射：对映射f ： X Y ，如果对X中所有不同 的两元素 x1 , x2 , 均有 f ( x1 ) f ( x2 ) 。 一一映射（一一对应、双射）：既是满射又是 单射的映射。
映射的逆与复合 设 f 是 X 到Y 的一一映射. 则对每个 y ∈ Y ,存在 唯一的 x ∈ X使得 f (x) = y .因此我们可以定义一个Y 到 X 的映射 g 如下: 对每个 y ∈Y ,令 g (y ) = x,其中 x 是 X 中的唯一存在的满足 f ( x ) = y 的元. 称这样定 义的映射 g为 f 的逆映射, 记为 f 1 . 显然逆映射是反函数概念的推广. 若 f 是 X 到Y 的一一映射, 则由逆映射的定义知道成立以下等式:
,,,
性质3
有限个可数集的直积集是可数集
设A，B是可数集，则A×B也是可数集
A B {( x, y) | x A, y B}
{( x, y) | y B}
xA
x固定，y在变 从而A×B也是可数集（可数个可数集的并） 利用数学归纳法即得有限个乘积的情形
性质4 任何无限集合均含有可数子集
f : x tg(

2
x)
有限集与无限集的本质区别： 无限集可与其某个真子集合有相同多的元素个数（对等） 且一定能做到，而有限集则不可能。
２. 可数集的性质 性质1 可数集的子集或为有限集或为可数集
证明：设 A是一个可数集，则 A中的元素可以排列成 :
a1 , a2 , a3 ,, an ,
四、集合的运算
1.并运算与交运算 设 A 和 B 是两个集. 由 A 和 B 的所有元素 所构成的集称为 A 与 B 的并集, 简称为并, 记为 A ∪ B即
Leabharlann Baidu
A B { x : x A或x B}
由同时属于 A 和 B 的元素所构成的集称为 A 与 B 的交集, 简称为交, 记为 A∩ B即
1 集合 B Y , f ( B) {x : f ( x) B} ， 如果
称为B关于 f 的原象或逆象。
七、集合的基数
定义 设 A, B是两个非空集. 若存在一个从 A 到 B 的一一映射, 则称 A 与 B是等势的（对 等的）, 记为 A ~ B .此外规定∅~ ∅ .
等势关系具有如下性质: (i) A ~ A . (自反性) . ( ii ) 若 A ~ B ,则B ~ A . (对称性). ( iii ) 若 A ~ B , B ~ C ,则 A ~ C .(传递性) .
（即可数集是无限集中具有最小势的的集合)
假设这是一个无限集M 我们可以取出其中一个点a1 显然M\{a1}还是无限集 在M\{a1}中可以取出一点a2 显然M\{a1，a2}还是无限集 我们可以取出一个可数子集{a1,a2,a3,...}