大学物理-磁场能量

R2 R1 O
wm

1 BH 2
1 2
0r N 2I 2
4π 2r 2
取体积元 dV 2π rhdr
h
Wm
V wmdV
R2 R1
0r N 2I
8π 2r 2
2
2π
rhdr
N 2I
4π
2h
ln
R2 R1

例 计算低速运动的电子的磁场能量，设其半径为 a

1
B

HdV
V2
积分遍及磁场 存在的空间
• 磁场能量密度与电场能量密度公式比较
1
B

H
2
we

1 2
D

E
例 一由 N 匝线圈绕成的螺绕环，通有电流 I ，其中充有均匀
磁介质
I
求 磁场能量Wm
解 根据安培环路定理,螺绕环内
H NI 2π r
B 0r NI
2π r
W12 0 12I1dt
I2 0
MI1di2

MI1I2
(互感能量)
总磁能 注意
W

1 2
L1I12

1 2
L2
I
2 2
MI1I2
两载流线圈的总磁能与建立 I1， I2 的具体步骤无关
返回
π
sind
R0
0
2π 0
0
2

e2v 2sin 2
16π 2r4
d


0e2v 2
12π a
• 计算磁场能量的两个基本点
(1) 求磁场分布
B,H
建立磁场能量密度
(2) 定体积元 dV 三. 互感磁能
遍及磁场存在的空间积分
先闭合 K1
i1 : 0 I1
L1
L2
W1

1 2
dV
解 低速运动的电子在空间产生的磁感应强度为

B


0
4π
evsin
r2
H


evsin
4π r2
rP
v
wm

1 2
0e2v 2sin 2
16π 2r4
a e
取体积元 dV r2sindrdd （球坐标）
Wm V wmdV
整个空间的磁场能量

r 2dr
§10.4 磁场能量
一. 磁能的来源
• 实验分析
K

K
R
A
R
A
L
B
L
B
结论：在原通有电流的线圈中存在能量 —— 磁能
自感为 L 的线圈中通有电流 I0 时所储存的磁能为电流 I0
消失时自感电动势所做的功
• 自感磁能
设在 dt 内通过灯泡的电量 dq Idt
dA

dqu

dq
L
L
dI dt
I 2Rdt 为电阻消耗的焦耳热
A'
I0 0

L Idt

I0 LIdI 为电源的功转化为磁场的能量
0
(2) 与电容储能比较
Wm

1 2
LI
2
We

1 CU 2 2
二. 磁能的分布
• 以无限长直螺线管为例
B 0rnI
B r
自感线圈也是一个储 能元件，自感系数反 映线圈储能的本领
L1I12
再闭合 K2
R1
K1
i2 : 0 I2
1
2 K2
R2
W2

1 2
L2 I 2 2
W W1 W2
需要考虑互感的影响
当回路 2 电流增加时，在回路 1 中产生互感电动势
12

M
di2 dt
将使电流 I1减小
若保 I1 不变, 电源 1 提供的能量应等于互感电动势所做的功
t
Idt

LIdI
电流 I0 消失过程中，自感电动势所做的总功
A
dA
0
LIdI
I0

1 2
LI
2 0
Wm
(自感磁能公式)
讨论
(1) 在通电过程中
L IR 0
Idt LIdt I 2Rdt
其中 Idt 为电源做的功
LIdt 为自感电动势反抗电流所作的功
I
L
磁能
Nm
I

0 r n2V
Wm

1 n2VI 2
2

1 n2V
2
B2
2n2

Baidu NhomakorabeaB2 V
2
Wm

BH 2
V
wmV
磁场能量密度
wm

Wm V

BH 2
说明
上式不仅适用于无限长直螺线管中的均匀磁场,也适用于
非均匀磁场,其一般是空间和时间的函数
• 在有限区域内
Wm

V wmdV