浙江大学数学建模课程期末考试(答案题解)1

由于 | V |=| X | + | Y |￬| X 1 | + | X 2 | + | X 3 | +1 ，总运输次数为： 2 + 2 | X 1 | +4 + 2 | X 2 | +1 ￬ 2(| V | - | X 3 |) + 5 若 | X 3 |￬ 2 ，则次数不超过 2 | V | +1 次。若 | X 3 |= 0 ，则阶段 2 最后一次运输和阶
左） 由此阶段 3 只需 2 次运输，对以上两种情形，仍有次数不超过 2 | V | +1 次。
四． (1)时刻 t 年龄在 [r , r + dr ) 内的人数为 p (r , t )dr ，至时刻 t + dt ，这部分人年龄 在 [r + dt , r + dr + dt ) 之间，期间死亡人数为 m (r , t ) p(r , t ) drdt 。 故 p ( r , t )dr - p ( r + dt , t + dt )dr = m (r , t ) p (r , t )drdt
s ￬0
nam (k + 1) = p j n jm (k ) + pa nam (k ) naf (k + 1) = p j n jf (k ) + pa naf (k )
T 记 N k = ( n jm ( k ), n jf (k ), nam (k ), naf (k )) ，则
当 nam
� 0 � � � 0 ￬ naf 时， N k +1 = � � pj � � 0 �
￬ (￬ ￬ ￬ ￬ （ X \ X \ X \ X ￬ Y ， X �X �Y \ Y �X ，右） Y \Y2 ￬ X 32 ) 1 31 32 2 1 31 2 32 ￬Y ￬ ￬ ￬ （ X \ ( X ￬ X ) \ Y ， X ￬ X ，左） \Y2 1 3 1 3
至多 4 次
（阶段 4，将 X 2 逐个运至右岸）（记 X 2 = {x1￬ ……xl￬ }） ￬ ￬ ￬￬ （ X \ ( X 1 �X 3 ) �Y ， X 1 ￬ X 3 ，左） ￬ Y （ X \ ( X 1 �X 3 ) �Y2 \ {x1￬ \Y2 ￬ { x1￬ } }，
( p (r + dt , t + dt ) - p( r , t + dt ))dr + ( p (r , t + dt ) - p (r , t ))dr = - m (r , t ) p (r , t )drdt
￬p ￬p + = - m (r , t ) p(r , t ) ￬r ￬t b (2) n jm ( k + 1) = min{nam (k ), naf (k )} ￬ 2 b n jf (k + 1) = min{nam (k ), naf (k )} ￬ 2
三． (1) 一次允许的运输过程 左→右： (VL , VR , 左右 ) ￬ (VL￬ , VR￬ , 均为图的独立集
￬ ￬ 右→左： (VL￬ , VR￬ , 右左 ) ￬ (VL￬ ,VR￬ , ￬￬ VR￬ ￬|￬ k ，且 VR￬与 其中 VR￬ ， | VR￬| - | VR￬ )。
， | VR | - | VR￬|￬ k ，且 VR 与 VL￬ ) 。其中 VR ￬ VR￬
浙江大学《数学建模（H）》课程期末考试参考答 案
i j ￬1 若仓库建于地点 一．令 xij = ￬ ，数学规划为： ￬0 其他 min a � � � �
i =1 j =1 k =1 l =1 n n n n ik
b jl xij xkl + � cij xij �
i =1 j =1
n
n
s.t.
￬x
i =1 n j =1
n
ij
= 1, j = 1, ……, n
￬x
ij
= 1, i = 1, ……, n
xij = 0或1
二． (1) 参与人：n 位市民， c1 , c2 , ……, cn （纯）策略集：{参与维修（Y），视而不见（N）} ci 采用 Y， c j j ￬ i 采用 N 是 Nash 均衡。 ci 由 Y 改为 N，其收益由 v-c 减为 0，
￬ ￬ （ X \ X 1 ￬ Y ， X 1 ，左） 的运输为（ X \ X 1 ， Y1 �X 1 �(Y \ Y1 ) ，右） ￬ Y
￬Y ￬ ￬ ￬ ￬ （ X ￬ Y ， X �Y \ Y �X ，右） ￬ ￬ ￬ （ X 2 ￬ Y ， X1 ￬ X 3 ， \Y2 ￬ X 3 2 2 1 2 3
as ,n -1 ￬ (3) ak , n = � s ￬0 t +t
k ￬0
�
pt1 pt2 ……pts
t1 + t2 +……+ t s = k
f n ( x) = � ak , n x k = � as , n -1 �
k ￬0 s ￬0
�
pt1 pt2 ……pts x k
=� as ,n -1 �
（V， F ，左）→（X，Y，右）→（ X ￬ (Y \ Y1 ) ， Y1 ，左） 2 次 （阶段 2，将 X 1 逐个运至右岸）（记 X 1 = {x1……xl } ） （ X ￬ (Y \ Y1 ) ， Y1 ，左）→（ X \{x1} ， Y1 �(Y \ Y1 ) �{x1} ，右）→ （ X \ {x1} ￬ (Y \ Y1 ) ， Y1 ￬ {x1} ，左）→…→（ X \ X 1 ， Y1 �X 1 �(Y \ Y1 ) ， 右）→（ X \ X 1 ￬ Y \ Y1 ， Y1 ￬ X 1 ，左） （阶段 3，将 X 3 分两次运至右岸）
￬ ￬￬ （X \ X \ X ， Y \ Y1 ￬ X 31 ) （ X \ X 1 ￬ Y \ Y1 ， Y1 ￬ X 1 ，左） ￬ (￬ 1 31
2 | X1 | 次
￬ ￬ （ X \ X 1 \ X 31 ￬ Y ， X 1 ￬ X 31 ，左） Y1 �X 1 �(Y \ Y1 �X 31 ) ，右） ￬ Y
均为图的独立集。 VL￬ 上述问题要求给出从初始状态(V， F ，左)到结束状态( F ，V，右)的状态变化 过程，且在这一变化过程中“左→右”与“右→左”的状态变化交替出现。 (2)设 Vvc 是 G 的最小顶点覆盖， | Vvc |= b (G ) ， V \ Vvc 为图的独立集。 船容量为 b (G ) + 1 时的可行运输方案如下，将 Vvc 中的顶点始终置于船上，将 V \ Vvc 中的顶点逐个置于船上从左岸移至右岸。最后将 Vvc 中的顶点置于右岸。因 此 k * ￬ b (G ) + 1 若 k * < b (G ) ，则船首次离开左岸时左岸的物品数至少为 n - k * > n - b (G ) ，因 此左岸物品不构成一独立集，矛盾。故 k * ￬ b (G ) (3) 由(iv)，存在 x3 的划分 x3 = x31 ￬ x32 ，使得 | x31 |￬| Y1 | ， | x32 |￬| Y2 | 由于 | Y |￬ k ， Y1 ， Y2 非空，故 | Y \ Y1 |< k ， | Y \ Y2 |< k （阶段 1，将 Y 置于船上， Y1 留于右岸）
c j j ￬ i 由 N 改为 Y，其收益由 v 减为 v-c；
所有人均采用 N 不是 Nash 均衡，此时任一人改为 Y，其收益由 o 增加为 v-c； 所有人均采用 Y 不是 Nash 均衡，此时任一人改为 N，其收益由 v-c 增加为 v。
k , k ￬ 2 个人采用 Y， （ X �Y \ {x ￬ X 1 �X 3 �Y \ Y2 �{x1￬ } ，右） ￬ ￬ Y \ Y2 ， 2 2 1 }� ￬ （ X 1 �X 3 � {x1￬ } ，左）→…→（ Y2 ， X 1 �X 2 �X 3 �Y \ Y2 ，右） ￬ ￬
Y2 ￬ (Y1 \ Y2 ) ， X ，左） （阶段 5，将 Y 运至右岸） （Y，X，左）→（ F ，V，右） 1次 2| X2 | 次
N，其收益由 v-c 增加为 v。 (2) cn 采用 Y，期望收益为 v-c； cn 采用 N，期望收益为 0·P{其余 n-1 人采用 N}+v·P{其余 n-1 人中至少有一人采用 Y}
(1 - q n -1 ) )= v(1 - (1 - p n -1 )) =v� (3) 在对称混合策略 Nash 均衡中，所有市民的混合策略均相同，则 cn -1 的期望收 益为 p � (v - c) + (1 - p )(v � (1 - (1 - p) n -1 )) 。此时有 v - c = v(1 - (1 - p) n -1 ) ，即 c 1 p (n) = 0 。 p = 1 - ( ) n -1 。当 n 增加时，p 减少， lim n￬ ￬ v
s ￬0 s ￬0
k ￬0 t1 + t2 +……+ ts = k
�
pt1 x t1 ￬pt2 x t2 ……pts x ts )s
= ￬ as ,n -1 ( p0 x 0 + p1 x + ………… + pN x N + = ￬ as ,n -1 ( f ( x )) s = f n -1 ( f ( x))
0 0 0 pj
b 2 b 2 pa 0
� 0� � 0� Nk ， � � 0� pa � �
当 nam
� 0 � � � 0 > naf 时， N k +1 = � � pj � � 0 �
1 2 +……+ t s ￬k
0 0 0 pj
0 0 pa 0
b� 2� � b� N 2 �k � 0� pa � �
￬ ￬ （ X \ X1 ￬ Y ， 段 4 的第一次运输为（ X \ X 1 ， Y1 �X 1 �(Y \ Y1 ) ，右） ￬ Y
￬ ￬ ￬￬ X 1 ，左） ￬ Y （ X \ X 1 ￬ Y2 \{x1￬ \Y2 ￬ { x1￬ } } ， X 1 �Y \ Y2 �{x1￬ } ，右）
由此阶段 3 的 4 次运输均可删去。若 | X 3 |= 1 ，则阶段 2 最后一次运输和阶段 3