第十二讲 卡方检验

bc
• 124个学生1000米长跑，训练一个月前 后两次测验达标情况如下表所示，问一 个月的训练是否有显著效果？
第二次测验 达标 未达标 达 第 标 一 次 未 测 达 验 标 a=61 b=19
c=33
d=11
校正卡方值的计算
当df 1，两个相关样本四格表 中b c 30或b c 50 （决定于对检验结果要 求的严格程度），应对 卡方值进行 亚茨连续性校正，其校 正公式为：
第十二讲 卡方检验
——计数资料的推断比较
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卡方检验简介 单项表的卡方检验 双项表的卡方检验 四格表的卡方检验 练习题
卡方检验简介
• 卡方检验是对样本的频数分布所来自的总体 分布是否服从某种理论分布或某种建设分布 所作的假设检验，即根据样本的频数分布来 推断总体的分布。 • 卡方检验处理的是一个因素分为多种类别， 或多种因素各有多种类别的资料。
X
7.5
双向表的卡方检验
• 把实得的点计数据按两种分类标准编制 成的表就是双向表。对双向表的数据所 进行的卡方检验，就是双向表的卡方检 验，即双因素的卡方检验。例如，对于 同一批学生既把他们按学习成绩分成优、 良、中、差，又把他们按思想品德表现 分成甲、乙、丙、丁，对于这类数据所 进行的卡方检验，就是双向表的卡方检 验。
家庭经济 状况 上
对于报考师范大学的态度 总和 愿意 不愿意 未定 55 18（20.53） 27（19.43） 10（15.03）
中 下
总和
20（22.03） 19（20.58） 20（16.13） 18（13.44） 7（12.72） 11（9.84）
56 53 41
59 36
150
在双向表卡方检验中，如果是判断几次重复实验的结果是否相同，
15（18.20） 20（16.80） 13（16.12） 18（14.88） 52 48
34
35 31 100
组别 乙
及格 a=15
不及格 b=20
总和 a+b=35
丙
总和
c=13
a+c=28
d=18
b+d=38
c+d=31
N=66
组别 乙
及格
不及格
总和 a+b=35
15（14.85） 20（20பைடு நூலகம்15）
把实得的点计数据按一种标准编制成表，就是 单向表。对单向表的数据所进行的卡方检验就 是单向表的卡方检验。例如，把学生的学习成 绩按优、良、中、差分成等级，对于这类数据 所进行的卡方检验就是单向表的卡方检验。
（1）按一定比例决定理论频数的卡方检验
• 大学某系54位老年教师中，健康状况属 于好的有15人，中等的有23人，差的有 16人，问该校老年教师健康状况好、中 差的人数比例是否为1：2：1？
（2）一个自由度的卡方检验
各组f t 5的情况； 某组f t 5的情况；
各组ft 5的情况；
• 从小学生中随机抽取76人，其中50人喜 欢体育，26人不喜欢体育，问该校学生 喜欢和不喜欢体育的人数是否相等？
某组ft 5的情况
当df 1，其中只要有一个组的 f t 5，就要运用亚茨连续校 正法， 即在每一组实际频数与 理论频数差数的绝对值 平方之前，各减去 0.5。 即 2
班别 一班 二班 三班 四班 总和 70分以上 22 21 17 27 87 70分以下 23 14 18 17 72 总和 45 35 35 44 159
• 甲乙两校某年毕业生考取及未考取大学 的人数如下表所示。试用卡方缩减公式 来检验两校高考录取率是否有显著性差 异。
校别 甲 乙 总和 考取 42（a） 60（c） 未考取 10（b） 总和 52（a+b）
• 假如把双向表中横行所分的组数用r表示， 把纵列所分的组数用c表示，那么双向表 的卡方检验也称为rc表的卡方检验。
在双向表的卡方检验中，如果要判断两种分类特征，即两个 因素之间是否有依从关系，这种卡方检验称为独立性卡方检验。
• 家庭经济状况属于上、中、下的高三毕 业生，对于是否愿意报考师范大学有三 种不同的态度（愿意、不愿意、未定）， 其人数分布如下表括号外面的数据所示。 问学生是否愿意报考师范大学与家庭经 济状况是否有关系？
• 某小学四年级学生家长不给孩子留家庭 作业的占百分之70，该年级某小组16个 学生家长不给孩子留作业的有8人，问 该组家长不给孩子留作业的人数比率与 全年级是否有显著性差异？
• 试检验以下实际频数分布是否符合正态 分布？
分数 频数 57017 3601 60013 3902 63012 42010 6608 45016 6903 48017 7202 51018 7501 54018 总和 138
X 552.61, X 79.79
• 试检验学生家长的阶层与对新学制的态 度是否有关系？
家长所属的 阶层 对某种学制的态度 赞成 14 22 12 反对 18 10 7 不定 20 12 10
总和 52 44 29
高级知 识分子
职员 工人
总和
48
35
42
125
• 某校高三物理考试成绩如下表所示，问 四个平行班的成绩是否有本质差异？
2 b c 1 2
bc
• 某校将参加课外阅读活动的14个学生与 未参加此种活动的14个学生，根据各方 面条件基本相同的原则进行配对，测得 他们的阅读理解成绩如下表所示，问课 外阅读活动对提高阅读能力是否有良好 的作用？
参加课外阅读活动 良 非良
未 参 加 课 外 阅 读 活 动
a=3 良 非 良
b=1
c=8
d=2
• 某校学生对中学文理分科赞成者占百分 之25，不置可否者占百分之35，不赞成 者占百分之40，该校某班36名学生中赞 成者7人，不置可否者10人，不赞成者 19人。问该班学生对文理分科各种态度 的人数比例是否与全校一致？
• 大学某系一年级外地学生有42人，本地 学生有24人，问全校一年级外地与本地 学生的人数是否有显著差异？
卡方检验统计量的基本 形式是：
2 f f 2 t
ft
f 为实际频数； f t为理论频数； 例如：从某校随机抽取 50个学生，其中男生 27人，女生23人， 问该校男女生人数是否 相同？
卡方值的特点
• 可加性 • 正值性 • 卡方值的大小随实际频数与理论频数差 的大小而变化。两者之差越小，说明样 本分布与假设的理论分布越相一致；反 之，越不一致。 • 卡方值的自由度等于实际频数与理论频 数差的组数减去1。
丙
总和
13（13.15） 18（17.85）
a+c=28 b+d=38
c+d=31
N=66
校正卡方值的计算
当df 1，样本容量总和 N 30或N 50 （决定于对检验结果要 求的严格程度）， 应对卡方值进行亚茨连 续性校正，其校正公式 为： N ad bc N 2 2 a b a c b d c d
缩减公式卡方值的计算
• 独立样本四格表卡方值的缩减公式为：

2
ad bc N a ba c b d c d
2
a、b、c、d分别表示四格
例如：现对乙、丙两组成绩差异进行显著性 检验。
及格 不及格 总和
甲
乙 丙 总和
24（17.68） 10（16.32）
f
f t 0.5
2
ft
例如：某区中学共青团员的比率为0.8，现从该区某中学随机抽取 20人，其中共青团员有12人，问该校共青团员的比率与全区是否 一样？
频数分布正态性的卡方检验
• 120个11岁男生身高的频数分布如下表 所示，问其总体是否呈正态分布？
X 139.9,
2
• 高二40个学生数学测验成绩如下表所示， 问男女学生数学成绩有无本质差异？
80分以上 男 a=18 80分以下 b=6 总和 a+b=24
女
总和
c=10
a+c=28
d=6
b+d=12
c+d=16
N=40
相关样本四格表的卡方检验
1.缩减公式卡方值的计算 相关样本四格表卡方值 的缩减公式为：
2 b c 2
这种卡方检验称为
同质性卡方检验。
• 从甲、乙、丙三个学校的平行班中，随 机抽取三组学生，测得他们的语文成绩 如下表括号外面的数据所示。问甲、乙、 丙三个学校此次语文测验成绩是否相同？
及格
不及格
总和
甲
乙 丙 总和
24（17.68） 10（16.32）
15（18.20） 20（16.80） 13（16.12） 18（14.88） 52 48
34
35 31 100
四格表的卡方检验
四格表的卡方检验
独立样本四格 表的卡方检验
相关样本四格 表的卡方检验
缩减公式卡方 值的计算
校正卡方 值的计算
缩减公式卡方 值的计算
校正卡方 值的计算
独立样本四格表的卡方检验
• 独立样本四格表的卡方检验就是独立样 本双向表中2乘2表的卡方检验。它既可 以用缩减公式由实际频数直接计算卡方 值，又可以用上述求理论频数的方法计 算卡方值。
58（d） 118（c+d） 170=N
102（a+c） 68（b+d）
• 某班38名高三学生报考大学文科的20人 中有16人录取，报考理科的18人中有15 人录取，问文理科录取率是否有显著性 差异？
• 22个学生仰卧起坐训练前不及格而训练 后及格者有5人，训练前及格而训练后 不及格者有3人，问训练是否有显著性 效果？