第十二讲 卡方检验
卡方检验的原理和步骤
卡方检验的原理和步骤卡方检验（Chi-squared test）是一种用于统计学中的假设检验方法，主要用于检验两个或更多个分类变量之间是否存在相关性。
它的原理和步骤可以概括如下：原理：卡方检验是基于卡方统计量的方法，卡方统计量是通过计算实际观察值与期望理论值之间的差异来判断变量间是否存在相关性。
具体来说，卡方统计量是通过计算每个观察值与对应期望值之间的差异平方的总和来衡量的。
如果差异较小，说明实际观察值与期望值之间较为接近，两个变量间可能不存在相关性；如果差异较大，则说明实际观察值与期望值之间存在较大差异，两个变量间可能存在相关性。
步骤：1.建立假设：在进行卡方检验之前，需要明确两个变量之间的假设。
通常有两种假设：原假设（H0）和备择假设（Ha）。
原假设是指两个变量之间没有相关性，备择假设是指两个变量之间存在相关性。
2.构建列联表：列联表（Contingency table）是用来统计两个或多个分类变量的交叉频次分布的表格。
在卡方检验中，我们需要根据实际观察数据构建列联表。
3.计算期望值：在卡方检验中，我们需要计算期望理论值。
期望理论值是指如果两个变量之间不存在相关性，那么我们可以根据边际总计与变量间的分布来计算出的预期频次。
一般情况下，期望理论值可以通过边际总计和整体频率来计算。
4.计算卡方统计量：在有了观察值和期望理论值后，我们可以通过计算卡方统计量来判断两个变量之间是否存在相关性。
卡方统计量的计算公式为：χ2=∑((O-E)^2/E)，其中χ2为卡方统计量，O为观察值，E为期望理论值。
计算出卡方统计量后，可以根据自由度去查找对应的临界值。
5.决策：根据卡方统计量的计算结果，我们可以通过比较卡方统计量与对应自由度的临界值来进行决策。
如果卡方统计量小于临界值，则接受原假设，即认为两个变量之间没有相关性；如果卡方统计量大于临界值，则拒绝原假设，即认为两个变量之间存在相关性。
6.结论：最后，根据决策结果，我们可以得出结论，即两个变量之间是否存在相关性。
医学统计学卡方检验讲课稿
第一页PPT：同学们好，我们今天来一起学习卡方检验的基本思想。
第二页PPT：我们看一个研究案例，某神经内科医师欲比较A、B两种药物治疗脑血栓病人的疗效，将病情轻重、病程相近且满足实验人选标准的200例脑血管栓塞患者随机分为两组，结果见表1。
问两药治疗近期有效率是否有差别？请同学们思考一个问题，结合已学的知识关于两个率的比较我们会使用什么方法呢，那我们继续带着这个问题进入到我们今天的课程学习。
第三页PPT：这节课需要掌握的理论知识有：1.X2检验的定义、主要用途2.X2分布、X2检验的基本思想（这是重点内容）以及应用完全随机设计的四格表X2检验方法是我们这节课的难点内容。
第四页PPT：离散型概率分布有二项分布和泊松分布基于二项分布的假设检验方法可以做两样本率比较的检验问题，条件是np、n(1-p)均大于5，可以做Z检验进行，也是解决我们的案例问题。
第五页PPT:在医学研究中，进行两组或多组样本的总体率（或构成比)之间的差别是否具有统计学意义，X2检验(chi-square test)是解决此类问题较为常用的统计方法，。
X2检验是英国统计学家K.Pearson提出的一种具有广泛用途的假设检验方法，常用于分类变量资料的统计推断。
第六页PPT：X2检验主要用于：1.推断两个及多个总体率或总体构成比之间有无差别2.两种属性或两个变量之间有无关联性3.频数分布的拟合优度检验4.百分率线性趋势检验第七页PPT：我们来继续看我们的案例，两药有效率的比较问题。
表中我们A 药、B药的有效和无效分别为99、5、75、21，我们可以用a.b.c.d 来表示，表中其余的数据是由abcd这4个数据推算出来，我们习惯将这种资料形式称为四格表。
为什么叫四个表因为它有效的就是四个格子。
a.b.c.d是我们实际观察所得到的频数，我们叫实际频数（actual frequency），用A表示。
根据我们的研究目的，我们要比较两个率是否有差别的问题。
卡方检验 PPT课件
卡 方 检验 Chi-square test 大理学院 巫秀美2012.11.15卡方检验主要内容2 概述--基本思想2×2表卡方检验配对四格表卡方检验R×C表卡方检验Fisher确切概率检验多个样本率的多重比较有序分组资料的线性趋势检验资料类型与统计分析方法Quantitative data <-> numeric variable▪Discrete variable▪Continuous variable▪Analyzed in the form of quantityQualitative data <-> categorical variable▪Ordinal variablediscrete▪Nominal variable▪Analyzed in the form of counts卡方检验概述2 检验之方法原理残差：表示某一个类别观察值和理论值的偏离程度▪设A代表某个类别的观察频数(Actual number)，E计算出的期望频数(Expected number)代表基于H，A与E之差称为残差残差有正有负，相加后会彼此抵消，总和仍然为0。
为此将残差平方后求和，以表示样本总的偏离无效假设的程度。
卡方检验概述χ2 检验，其基本的无效假设是：▪H 0：行分类变量与列分类变量无关联 ▪H 1：行分类变量与列分类变量有关联▪α=0.05▪统计量 ，其中A i 是样本资料的计数，T i 是在H 0为真的情况下的理论数(期望值)。
其统计量逼近卡方分布221()ki i Pi i A T T χ=-=∑卡方分布(χ2 distribution)若Z 1, Z 2, Z 3,… , Z ν互相独立，均服从 N (0, 1)，则Z 1 2+ Z 2 2+Z 3 2+… + Z ν 2的分布称自由度为ν的χ2分布, 记为χ (ν)2 ，或简记为χ2。
图形：单峰，正偏峰；自由度很大时，近似地服从正态分布。
生物统计学—卡方检验PPT课件
0.5 2 301.63
Ei
（4）推断：由CHIDIST(301.63, 1)=1.45E-67,即P c 2 301.63 0.01
故应否定H0，接受HA，认为鲤鱼体色F2性状比不符合3:1比率
（4）推断：由CHIINV(0.025,
1)=5.02,
即
cc2
c2 0.05(1)
,即P
0.05
c2 1
和c
2
c
2
2
2
第10页/共31页
例：已知某农田受到重金属污染，经抽样测定铅浓度分别为:
4.2, 4.5, 3.6, 4.7, 4.0, 3.8, 3.7, 4.2 (ug/g),方差为0.150, 试检验受到
污染的农田铅浓度的方差是不是和正常浓度铅浓度的方差
（0.065）相同
分析：1）一个样本方差同质性检验
论值记为：Ei，即 k c2
Oi Ei 2 , (df k 1)
i1
Ei
第12页/共31页
卡方检验的原理和方法
Pearson定理的基本含义： 如果样本确实是抽自由（P1，P2，…,Pk）代
表的总体，Oi和Ei之间的差异就只是随机误差， 则Pearson统计量可视为服从卡方分布
反之，如果样本不是抽自由（P1，P2，…,Pk） 代表的总体，Oi和Ei之间的差异就不只是是随机 误差，从而使计算出的统计量有偏大的趋势
解：（1）假设 H0 : 鲤鱼体色F2性状分离符合3:1 对 H A : 鲤鱼体色F2性状分离不符合3:1
（2）选取显著水平 0.05
第17页/共31页
（3）检验计算： 计算鲤鱼体色的理论值
体色 F2理论尾数
青灰色 1201.5
第十二讲卡方检验.
例如：某区中学共青团员的比率为0.8，现从该区某中学随机抽取 20人，其中共青团员有12人，问该校共青团员的比率与全区是否 一样？
频数分布正态性的卡方检验
• 120个11岁男生身高的频数分布如下表 所示，问其总体是否呈正态分布？
X 1.9 , 3 X 9 7 .5
家庭经济 状况
对于报考师范大学的态度
愿意
不愿意
未定
上 18（20.53） 27（19.43） 10（15.03）
中 20（22.03） 19（20.58） 20（16.13）
下 18（13.44） 7（12.72） 11（9.84）
总和
56
53
41
总和
55 59 36 150
在双向表卡方检验中，如果是判断几次重复实验的结果是否相同，
这种卡方检验称为同质性卡方检验。
• 从甲、乙、丙三个学校的平行班中，随 机抽取三组学生，测得他们的语文成绩 如下表括号外面的数据所示。问甲、乙、 丙三个学校此次语文测验成绩是否相同？
甲 乙 丙 总和
及格
不及格
24（17.68） 10（16.32）
15（18.20） 20（16.80）
13（16.12） 18（14.88）
高级知 识分子 职员
工人
总和
对某种学制的态度
总和
赞成
反对 不定
14
18
20
52
22
10
12
44
12
7
10
29
48
35
42
125
• 某校高三物理考试成绩如下表所示，问 四个平行班的成绩是否有本质差异？
班别 一班 二班 三班 四班 总和
医学统计方法之卡方检验PPT课件
3、查界值表，确定P值，做出推断结论
查χ2界值表，υ=6，χ20.05（6）=12.59， χ2 > χ20.05（1） ,则 P<0.05，在α=0.05的水准下，拒绝H0，认为三个不同地区 的人群血型分布总体构成比有差别。
.
38
二、多个样本率间多重比较
行×列表χ2检验的结果说明差异有统计学意义，需作两 两比较时，先调整α值，再进行率的两两比较。
配对检验公式推导：
bc
（+，）和（，+）两个格子中的理论频数均为
2
b c 40时
2
(AT)2(b b c )2 2(c b c)22
T
bc
bc
2
2
(b c)2
bc
～ 2 分布
同理可得b c 40时
1
校正公式： 2 (| A T | 0.5)2 (| b c | 1)2
表8-5 两种培养基的培养结果
B培养基
A培养基
+
-
合计
+
48
24
72
-
20
106
126
合计
68
130
198
A 培养基 B培养基
痰标本 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
结果统计
A培养基 + + + + + + + + + + -
B培养基 + + + + + + + -
合计
145 109 254 57.09
1.建立检验假设并确定检验水准
卡方检验专题知识讲座
这阐明aabb不符合理论百分比
p 0.05
2 检验中旳适合性检验一般要求样本量应大某些， 样本较小会影响到检验旳正确性，尤其是当理论 百分比中有较小值时（上一例中旳aabb），更应 该注意样本容量，这一例即有样本偏小旳倾向
第二节 独立性检验
独立性检验是检验两个变量、两个事件是否 相互独立旳这么一种检验
不消毒 580（438.19） 630（771.81） 1210
合计 880
1550
2430
表中，括弧内旳就是理论值
需要注意旳是，这种构造旳 2检验其自由度是横行
数减1乘以纵列数减1：2 12 1 1
所以这里应该使用校正公式 计算 c2 值
2 c
| O E | 0.52
E
同学们先自行计算
设置无效假设
现需验证这次试验旳成果是否符合这一分离百分比
1477+493+446+143=2559
2559
9 16
1439.44
2559
3 16
479.81
2559
1 16
159.94
2
1477 1439.44 2
143 159.942
...
5.519
1439.44
159.94
以上三个例子都要求我们判断观察值与理论值之间 是否相符，而我们都能够得到一种 2值
438.19
771.81
142.30
2 0.01,1
6.635
p 0.01
否定无效假设，即鱼池消毒是否极明显地影响着鱼
苗旳发病（或鱼苗旳发病情况直接受鱼池消毒是
否旳影响）
二、R×C表（R：行 C：列） R×C表是2×2表旳扩展，反之， 2×2表也能够看
卡方检验
三、 独立性检验
独立性检验就是检验两个特征或两个分类标准是 互相独立的还是互有联系的。用于独立性检验的 数据一般整理成“列联表”的形式，即一个分类 标准把数据分为若干列，另一个分类标准把数据 分为若干行，行列交叉形成一个个的方格。每一 行和每一列都有一个总计，书写在一行或一列的 末尾，称为“边际总和”。所有边际总和加起来 就是全部数据的个数或样本容量 （ N） 。
例如上表中的第一格A的期望次数为（A+B+C） ×（A+D）/N；第二格B的期望次数为（A+B+C） ×（B+E） /N；第四格的期望次数为（D+E+F） ×（A+D） /N，等等。按惯例，期望次数一般放 在括号内，置于实际次数之后。 第四步：用公式 （12.1）计算χ2 ，即先计算每一 格的 ，然后再把各格的结果累加。 第五步：确定自由度： 即行 的数目减1乘以列的数目减1。 第六步：在卡方分布表中查对应于α和df的临界值。 如果χ2 大于临界值，就推翻零假设。
第四节
亚茨校正法2ຫໍສະໝຸດ 在独立性假设成立时， χ 接近卡方分布，如果期 2 望次数较大，而且列联表大于2×2 ，χ 就十分接 近卡方分布，卡方检验就比较可靠。否则，如果 期望次数过小（低于 5），列联表为 2×2 （自由 2 度为 1） χ 就会偏大，其分布就会偏离卡方分布， 卡方检验也就不太可靠。在这种情况下，最好使 用 “连续性校正” ， 即通常所说的 “亚茨校正 法” 。 其实， 对于2×2列联表，当期望次数不 是很大时，最好都进行校正。
例如，在一个关于高考标准化试验的问卷调查中， 有这样一个问题： 大量采用客观选择题不利于考察学生的创造思维 能力，我对这种观点： A.同意 B.一般 C.反对 在所调查的500人中，有250人选在所A，150人选 B，100人选C（实际次数），那么选择三个答案 的人数有没有显著差异呢？ 假如它们之间没有差异，那么500个被调查者在 三个答案上的次数分布就应是一样的，即 500/3=166.7， 这是期望次数。实际观察到的次 数与根据假设所期望的次数是否吻合呢？
第10章--卡方检验-(Chi-PPT课件
例题：某学校对学生的课外活动内容进行调查，结果 整理成下表：
-
18
应用举例一
女性 男性 总和
自我知觉
总和
过轻
过重
419
1995
2414
（786.78）（1627.22）
959
855
1814
（591.22）（1222.78）
1378
1995 1938.67
56.33 3173.41
1.37
5816 5816
0
2297.1 3
df=3-1=2 查表，0.05水平上临界值为5.99，故……
df=3-1=2 查表， 0.01水平上临界值为9.21
-
15
三、卡方独立性检验
（一）适用材料 主要用于两个或两个以上因素多项分类的计数资料
分析。如果要研究的两个自变量之间是否具有独 立性或有无关联或有无“交互作用”的存在，就 要应用卡方独立性检验。 如果两个子变量是独立的，无关联的，就意味着对 其中一个自变量来说，另一个自变量的多项分类 次数上的变化是在取样误差的范围之内。假如两 个因素是非独立，则称两变量有交互作用。
第十二章 非参数检验
-
1
一、参数与非参数检验
参数检验 用于等比/等距型数据 参数检验的前提：正态分布和方差同质
非参数检验 不用对参数进行假设 对分布较少有要求，也叫distributionfree tests 用于名义/顺序型数据
-
2
参数统计和非参数统计优缺点
• 参数统计 优点：
对资料的分析利用充分 统计分析的效率高
于等与临界值才显著），使用9或3均可 • 接受虚无假设
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34
35 31 100
四格表的卡方检验
四格表的卡方检验
独立样本四格 表的卡方检验
相关样本四格 表的卡方检验
缩减公式卡方 值的பைடு நூலகம்算
校正卡方 值的计算
缩减公式卡方 值的计算
校正卡方 值的计算
独立样本四格表的卡方检验
• 独立样本四格表的卡方检验就是独立样 本双向表中2乘2表的卡方检验。它既可 以用缩减公式由实际频数直接计算卡方 值，又可以用上述求理论频数的方法计 算卡方值。
2 b c 1 2
bc
• 某校将参加课外阅读活动的14个学生与 未参加此种活动的14个学生，根据各方 面条件基本相同的原则进行配对，测得 他们的阅读理解成绩如下表所示，问课 外阅读活动对提高阅读能力是否有良好 的作用？
参加课外阅读活动 良 非良
未 参 加 课 外 阅 读 活 动
班别 一班 二班 三班 四班 总和 70分以上 22 21 17 27 87 70分以下 23 14 18 17 72 总和 45 35 35 44 159
• 甲乙两校某年毕业生考取及未考取大学 的人数如下表所示。试用卡方缩减公式 来检验两校高考录取率是否有显著性差 异。
校别 甲 乙 总和 考取 42（a） 60（c） 未考取 10（b） 总和 52（a+b）
卡方检验统计量的基本 形式是：
2 f f 2 t
ft
f 为实际频数； f t为理论频数； 例如：从某校随机抽取 50个学生，其中男生 27人，女生23人， 问该校男女生人数是否 相同？
卡方值的特点
• 可加性 • 正值性 • 卡方值的大小随实际频数与理论频数差 的大小而变化。两者之差越小，说明样 本分布与假设的理论分布越相一致；反 之，越不一致。 • 卡方值的自由度等于实际频数与理论频 数差的组数减去1。
bc
• 124个学生1000米长跑，训练一个月前 后两次测验达标情况如下表所示，问一 个月的训练是否有显著效果？
第二次测验 达标 未达标 达 第 标 一 次 未 测 达 验 标 a=61 b=19
c=33
d=11
校正卡方值的计算
当df 1，两个相关样本四格表 中b c 30或b c 50 （决定于对检验结果要 求的严格程度），应对 卡方值进行 亚茨连续性校正，其校 正公式为：
第十二讲 卡方检验
——计数资料的推断比较
• • • • •
卡方检验简介 单项表的卡方检验 双项表的卡方检验 四格表的卡方检验 练习题
卡方检验简介
• 卡方检验是对样本的频数分布所来自的总体 分布是否服从某种理论分布或某种建设分布 所作的假设检验，即根据样本的频数分布来 推断总体的分布。 • 卡方检验处理的是一个因素分为多种类别， 或多种因素各有多种类别的资料。
58（d） 118（c+d） 170=N
102（a+c） 68（b+d）
• 某班38名高三学生报考大学文科的20人 中有16人录取，报考理科的18人中有15 人录取，问文理科录取率是否有显著性 差异？
• 22个学生仰卧起坐训练前不及格而训练 后及格者有5人，训练前及格而训练后 不及格者有3人，问训练是否有显著性 效果？
15（18.20） 20（16.80） 13（16.12） 18（14.88） 52 48
34
35 31 100
组别 乙
及格 a=15
不及格 b=20
总和 a+b=35
丙
总和
c=13
a+c=28
d=18
b+d=38
c+d=31
N=66
组别 乙
及格
不及格
总和 a+b=35
15（14.85） 20（20.15）
把实得的点计数据按一种标准编制成表，就是 单向表。对单向表的数据所进行的卡方检验就 是单向表的卡方检验。例如，把学生的学习成 绩按优、良、中、差分成等级，对于这类数据 所进行的卡方检验就是单向表的卡方检验。
（1）按一定比例决定理论频数的卡方检验
• 大学某系54位老年教师中，健康状况属 于好的有15人，中等的有23人，差的有 16人，问该校老年教师健康状况好、中 差的人数比例是否为1：2：1？
• 假如把双向表中横行所分的组数用r表示， 把纵列所分的组数用c表示，那么双向表 的卡方检验也称为rc表的卡方检验。
在双向表的卡方检验中，如果要判断两种分类特征，即两个 因素之间是否有依从关系，这种卡方检验称为独立性卡方检验。
• 家庭经济状况属于上、中、下的高三毕 业生，对于是否愿意报考师范大学有三 种不同的态度（愿意、不愿意、未定）， 其人数分布如下表括号外面的数据所示。 问学生是否愿意报考师范大学与家庭经 济状况是否有关系？
这种卡方检验称为
同质性卡方检验。
• 从甲、乙、丙三个学校的平行班中，随 机抽取三组学生，测得他们的语文成绩 如下表括号外面的数据所示。问甲、乙、 丙三个学校此次语文测验成绩是否相同？
及格
不及格
总和
甲
乙 丙 总和
24（17.68） 10（16.32）
15（18.20） 20（16.80） 13（16.12） 18（14.88） 52 48
f
f t 0.5
2
ft
例如：某区中学共青团员的比率为0.8，现从该区某中学随机抽取 20人，其中共青团员有12人，问该校共青团员的比率与全区是否 一样？
频数分布正态性的卡方检验
• 120个11岁男生身高的频数分布如下表 所示，问其总体是否呈正态分布？
X 139.9,
丙
总和
13（13.15） 18（17.85）
a+c=28 b+d=38
c+d=31
N=66
校正卡方值的计算
当df 1，样本容量总和 N 30或N 50 （决定于对检验结果要 求的严格程度）， 应对卡方值进行亚茨连 续性校正，其校正公式 为： N ad bc N 2 2 a b a c b d c d
X 552.61, X 79.79
• 试检验学生家长的阶层与对新学制的态 度是否有关系？
家长所属的 阶层 对某种学制的态度 赞成 14 22 12 反对 18 10 7 不定 20 12 10
总和 52 44 29
高级知 识分子
职员 工人
总和
48
35
42
125
• 某校高三物理考试成绩如下表所示，问 四个平行班的成绩是否有本质差异？
a=3 良 非 良
b=1
c=8
d=2
• 某校学生对中学文理分科赞成者占百分 之25，不置可否者占百分之35，不赞成 者占百分之40，该校某班36名学生中赞 成者7人，不置可否者10人，不赞成者 19人。问该班学生对文理分科各种态度 的人数比例是否与全校一致？
• 大学某系一年级外地学生有42人，本地 学生有24人，问全校一年级外地与本地 学生的人数是否有显著差异？
X
7.5
双向表的卡方检验
• 把实得的点计数据按两种分类标准编制 成的表就是双向表。对双向表的数据所 进行的卡方检验，就是双向表的卡方检 验，即双因素的卡方检验。例如，对于 同一批学生既把他们按学习成绩分成优、 良、中、差，又把他们按思想品德表现 分成甲、乙、丙、丁，对于这类数据所 进行的卡方检验，就是双向表的卡方检 验。
2
• 高二40个学生数学测验成绩如下表所示， 问男女学生数学成绩有无本质差异？
80分以上 男 a=18 80分以下 b=6 总和 a+b=24
女
总和
c=10
a+c=28
d=6
b+d=12
c+d=16
N=40
相关样本四格表的卡方检验
1.缩减公式卡方值的计算 相关样本四格表卡方值 的缩减公式为：
2 b c 2
缩减公式卡方值的计算
• 独立样本四格表卡方值的缩减公式为：
2
ad bc N a ba c b d c d
2
a、b、c、d分别表示四格
例如：现对乙、丙两组成绩差异进行显著性 检验。
及格 不及格 总和
甲
乙 丙 总和
24（17.68） 10（16.32）
• 某小学四年级学生家长不给孩子留家庭 作业的占百分之70，该年级某小组16个 学生家长不给孩子留作业的有8人，问 该组家长不给孩子留作业的人数比率与 全年级是否有显著性差异？
• 试检验以下实际频数分布是否符合正态 分布？
分数 频数 57017 3601 60013 3902 63012 42010 6608 45016 6903 48017 7202 51018 7501 54018 总和 138
（2）一个自由度的卡方检验
各组f t 5的情况； 某组f t 5的情况；
各组ft 5的情况；
• 从小学生中随机抽取76人，其中50人喜 欢体育，26人不喜欢体育，问该校学生 喜欢和不喜欢体育的人数是否相等？
某组ft 5的情况
当df 1，其中只要有一个组的 f t 5，就要运用亚茨连续校 正法， 即在每一组实际频数与 理论频数差数的绝对值 平方之前，各减去 0.5。 即 2
家庭经济 状况 上
对于报考师范大学的态度 总和 愿意 不愿意 未定 55 18（20.53） 27（19.43） 10（15.03）
中 下
总和
20（22.03） 19（20.58） 20（16.13） 18（13.44） 7（12.72） 11（9.84）
56 53 41
59 36
150
在双向表卡方检验中，如果是判断几次重复实验的结果是否相同，