热学-分子动理论

热学-分子动理论
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．如图所示，食盐（NaCl）的晶体是由钠离子（图中的白色圆点表示）和氯离子（图中的黑色圆点表示）组成的，离子键两两垂直且键长相等。已知食盐的摩尔质量为 ，密度为 ，阿伏伽德罗常数为 ，求食盐晶体中两个距离最近的钠离子中心之间的距离。
其中 为比例系数。单位时间内通过单位水平面积进入水内的分子数便为
。
将 和 代入，便得
蒸汽与水处于平衡状态时，单位时间内通过单位面积水面蒸发成为水蒸气的水分子数也为上述n值。
100℃（373K）时的饱和水蒸气压强 ，14℃（287K）时的饱和水蒸气压强 ，故所求比值为
。
5． ,
【解析】
【详解】
由题意，显然在相同时间内从导管内进入空气分子总数同从导管流出的空气分子总数相等．达稳定状态后，选取图乙中ΑB与CD之间的气体为对象，经过时间△t，两边界分别运动至 与 ，由于导管光滑，金属丝网对气流的阻力可以忽略，考虑到稳定时，区域ABDC与区域 的公共区域 内气体的能量不变，我们只需考虑区域 与区域 之间的能量关系，设这一区域内空气的分子数为N，管道输出端的气体压强为 ，对所选取的气体应用功能原理可得
而不在 中的概率为
。
对于理想气体，每个分子处在 中，或不在 中是一个独立事件，与其他分子无关，按照独立事件发生的概率等于各独立事件概率的乘积的概率乘积定理，得n个分子处在体积 中的概率为 ，而其余 个分子不在 中的概率为 ，因此，选定n个分子处在体积 中，而其余 个分子不在 中的概率为
4．在一个密闭容器内盛有水，未满，处于平衡状态。已知水在14℃时的饱和蒸汽压为12.0毫米汞高。设水蒸气分子碰到水面后，都能进入水内，设气体分子的平均速率与气体热力学温度Τ的平方根成正比（ ），设饱和水蒸气可看作理想气体。试问：在100℃和14℃时，单位时间内通过单位面积水面蒸发成为水蒸气的分子数之比 为多大（取2位有效数字）？
，①
式中为△E气体内能的增量，且
，②
又对区域 内的气体，有
．③
对区域 的气体，有
．④
式中 为阿伏伽德罗常数，且 ．⑤
联立上述各式可解得
．⑥
又由动量定理可得
．⑦
由③④⑤⑦可得
，
式中的 由⑥式确定．
6．
【解析】
【详解】
处于平衡态的气体，其分子在整个空间是均匀分布的，所以，一个分子出现在小体积 中的概率是
结合①②③④式可得
，
所以 。
3．(1) (2)
【解析】
【详解】
由题设，左壁不动时，小球往返弹跳的速度应保持为 ，小球碰壁时动量的变化等于在相应时间内施于壁的冲量，由此可求出壁所受的平均作用力。
当左壁右移时，小球与左壁的相对速度加大，导致反弹后小球的绝对速度加大，与此同时，两壁间距不断减少，由此可求出小球速度以及小球施予左壁的平均作用力随两壁间距的变化关系。左壁缓缓右移所需之外力应与小球施予的平均作用力相等而反向，于是外力做功可求。
6．由Ν个分子组成的理想气体，体积为V，处于平衡状态，求在给定的体积 中有 个分子的概率为多大？
7．试求氮气分子的平均平动动能、方均根速率和平均速率。设
(1)在温度 时；
(2)在温度时 。
8．理想气体处于平衡态，其分子平动动能表为E，分子最概然平动动能表为 ，与 相应的平动速率表为 ，试求 与最概然速率 的比值。
(1)左壁不动时，小球往返一次所需的时间为
。
在此时间内小球碰壁一次，其动量改变2mv。由动量定理有
。
故小球给每个壁的平均作用力为
。
(2)左壁以V右移，小球碰左壁时，以 的相对速度入射，以 的相对速度向右反弹。在地面参考系中，小球以v的绝对速度入射，以 的绝对速度反弹。因 ，小球往返一次的时间仍为 ，在此时间内碰左壁一次，小球速度大小的增量为 。
2．证明理想气体的压强 ，其中n为分子数密度， 为气体分子平均动能。
3．如图所示，质量为m的弹性小球（可看作质点）在两个互相平行的弹性壁之间以速度v（其方向与两壁垂直）来回弹跳，两壁间距为x。设小球与两壁的碰撞是完全弹性的。重力和阻力的影响均可略。
(1)试求每个壁受到的平均力。
(2)若令左壁以恒定速度V缓慢地平行向右推移（ ），试求左壁移动微小距离△x后小球速度的改变量△v。
5．压强为 、温度为 的空气（设空气分子的质量为m，每个分子热运动的平均动能为 ，以 的速度流过一横截面积为S的粗细相同的光滑导管，导管中有一个对而气流变热．达稳定状态后空气在导管末端流出时的速度为 ，如图甲所示．试求流出气体的温度 ,及空气受到的金属经丝网的推力F．
。②
在气体的实际状况中，考查某一个分子的运动，设它的速度为v，它沿x、y、z三个方向分解后，满足
。
分子运动虽然是杂乱无章的，但仍具有“偶然无序和统计有序”的规律，即
。③
另外，从速度的分解不难理解，每一个分子碰撞3个容器壁的机会均等。设 ，则
。④
注意，这里的 是指有6个容器壁需要碰撞，而它们被碰的概率是均等的。
。
2．证明见解析
【解析】
【详解】
证明:气体的压强即单位面积容器壁所承受的分子的撞击力，这里可以设理想气体被封闭在一个边长为a的立方体容器中，如图所示。
考查yOz平面的一个容器壁， ①
设想在△t时间内，有 个分子（设质量为m）沿χ方向以恒定的速率 碰撞该容器壁，且碰后以原速率弹回，则根据动量定理，容器壁承受的压力为
又左壁移动微小距离△x所需的时间为 ，则在这段时间内，小球与左壁碰撞的次数为
，
所以，小球速度的改变量为
。
4．56
【解析】
【详解】
将饱和水蒸气处理为理想气体，蒸汽压p与蒸汽分子数密度 及热力学温度Τ的关系为
，即得 。
按题意，水蒸气分子的平均速率可表述为
。
c为一比例系数。△t时间内，通过△S水平面积打入水内的蒸汽分子数△N正比于以 为长度、△S为底面积的柱体内的水蒸气分子数，即有
参考答案
1．
【解析】
【详解】
由于一摩尔的氯化钠含有 个氯化钠分子，事实上也含有 个钠离子和 个氯离子，由NaCl的晶体结构可知，每个钠离子与每个氯离子占有的空间相同，所以，每个钠离子占据空间为
。
设图中任意一个小立方块的边长为a，而由图不难看出，一个离子占据的空间就是小立方体的体积（为 ），即
。
而两个距离最近的钠离子中心之间的距离为小立方块的达长的 倍，所以邻近钠离子之间的距离为