南京师范大学线性代数期末试卷09A答案

南京师范大学2009-2010学年第1学期 《线性代数》课程期末试卷(A 卷)答案 一、1. 0；2. 2；3. 5a ≠；4. 0；5. 121()x k ηηη=+-，或221()x k ηηη=+-，或212()x k ηηη=+-，或112()x k ηηη=+-；6.3。 二、D ，A ， B ，D 三、0000000001000)1(0000000000000010000001001a a a a a a a a a a a a D n n +-+== =2--n n a a 2).n ≥（ 四、由于2),(21=ββR ，若向量组321,,ααα与向量组21,ββ等价， 则2),,,,(),,(21321321=ββααα=αααR R 123121*********(,,,,)21101~0312********r a b a b αααββ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭ 0=a ，1-=b 。 五、1)()(---=E A B E A X ，1101101)()(---=E A B E A X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--03323210131)(1E A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=13420223131101X 六、)6(321321321|,,|||2321+=+++=ααα=a a a a a A 当0=a 或6-=a 时，321,,ααα

线性相关。

当0=a 时，1α为321,,ααα的一个最大无关组，且122α=α，133α=α。 当6-=a 时，

⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=00011010

1~32134132

5r A ，21,αα为321,,ααα的一个最大无关组，且专业：

班级：

学号： 姓名

：

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装-

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--线-

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有213α-α-=α

七、4||+=a A ，

(1)当4-≠a ,0||≠A ,方程组有唯一解；

(2)当4-=a ，对增广矩阵作初等行变换,有

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+-----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=b b b B r 3300012101421~21054`211

1421 当1≠b ,则3)(2)(=<=B R A R ,方程组无解；

(3)当1,4=-=b a ,32)()(<==B R A R ,方程组有无穷多解,

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000022103001~r

B ,通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛023120321c x x x ,

对应的齐次线性方程组的基础解系为021ξ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭

.

八、||(4)(9)A E λλλλ-=---，特征值为,01=λ，24λ=，39λ=

当01=λ，特征向量1112ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，规范化⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=6261611p 当24λ=，特征向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ξ0112，规范化⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=021212p 当39λ=，特征向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ξ1111

，规范化3p ⎛⎫ ⎪ = ⎪⎝

⎭

正交变换：1122330x y x y x y ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭ 222349f y y =+ 九、设有数123,,k k k ，使得

0332211=α+α+αk k k ， （1） 等式两边左乘A ，由01=αA ，21A α=α,有

033123322=α+α=α+αA k k A k A k （2） 等式两端再左乘A ，得

01332312=α=α+αk A k A k （3）

所以30k =. 由(2)得20k =. 再由(1)知10k =. 所以向量组123,,ααα线性无关.