微分方程公式运用表
微分方程公式大全
以下是一些常见的微分方程公式和概念：
1.一阶线性微分方程：y' + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)是已知函数。
2.一阶齐次线性微分方程：y' = f(y/x)，其中f是已知函数。
3.二阶线性微分方程：y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)，其中p(x)，q(x)和f(x)是已知
函数。
4.二阶齐次线性微分方程：y'' + p(x)y' + q(x)y = 0，其中p(x)和q(x)是已知函数。
5.可分离变量的微分方程：如果方程可以整理成g(y)dy = f(x)dx的形式，则称
为可分离变量的微分方程。
此时对两边同时积分，就可以得到通解。
6.齐次方程：如果一阶微分方程的右边为0，即y' = f(y/x)，则称为齐次方程。
可以通过令u = y/x进行变量替换，将其化为可分离变量的微分方程。
7.伯努利方程：形如y' + P(x)y = Q(x)y^n的微分方程称为伯努利方程。
可以通
过令z = y^(1-n)进行变量替换，将其化为一阶线性微分方程。
8.全微分方程：如果一阶微分方程的左边恰好是某个函数的全微分，即dy/dx =
f(x,y)，则称为全微分方程。
此时可以通过积分得到通解。
以上是一些常见的微分方程公式和概念，掌握这些公式和概念对于解决微分方程问题非常重要。
当然，还有许多其他的微分方程类型和公式，需要在实际学习和应用中不断积累和掌握。
微分方程解的形式
微分方程解的形式一、一阶微分方程1. 可分离变量的微分方程- 形式：(dy)/(dx)=f(x)g(y)。
- 解法：将方程变形为(dy)/(g(y)) = f(x)dx，然后两边分别积分∫(dy)/(g(y))=∫f(x)dx + C，其中C为常数。
- 解的形式：一般得到G(y)=F(x)+C，其中G(y)和F(x)分别是(1)/(g(y))和f(x)的原函数。
例如对于方程(dy)/(dx)=ysin x，变形为(dy)/(y)=sin xdx，积分得到ln|y|=-cos x + C，进一步可写成y = e^-cos x + C=Ce^-cos x（C = e^C为任意常数）。
2. 一阶线性微分方程- 形式：(dy)/(dx)+P(x)y = Q(x)。
- 解法：先求对应的齐次方程(dy)/(dx)+P(x)y = 0的通解，其通解为y = Ce^-∫ P(x)dx（通过分离变量法得到）。
然后利用常数变易法，设原非齐次方程的解为y = C(x)e^-∫ P(x)dx，代入原方程求出C(x)，C(x)=∫ Q(x)e^∫ P(x)dxdx + C。
- 解的形式：y = e^-∫ P(x)dx(∫ Q(x)e^∫ P(x)dxdx + C)。
例如对于方程(dy)/(dx)+ycos x=cos x，这里P(x)=cos x，Q(x)=cos x。
先求齐次方程(dy)/(dx)+ycos x = 0的通解，(dy)/(y)=-cos xdx，y = Ce^-sin x。
设原方程的解为y = C(x)e^-sin x，代入原方程可得C(x)=x + C，所以原方程的通解为y=(x + C)e^-sin x。
二、二阶线性微分方程1. 二阶常系数齐次线性微分方程- 形式：y''+py'+qy = 0（其中p,q为常数）。
- 解法：设y = e^rx，代入方程得到特征方程r^2+pr + q=0。
微分方程通解的公式
微分方程通解的公式微分方程这玩意儿，在数学里可有着重要的地位。
咱今天就来聊聊微分方程通解的公式。
先来说说啥是微分方程。
简单讲，就是包含未知函数的导数或者微分的方程。
那通解呢？就是这个方程的所有解的一个表达式。
比如说，最简单的一阶线性微分方程：y' + p(x)y = q(x) ，它的通解公式就是：y = e^(-∫p(x)dx) [∫q(x) e^(∫p(x)dx)dx + C] 。
这公式看起来是不是有点复杂？别担心，咱们慢慢捋捋。
我记得我当年学这部分内容的时候，那叫一个头疼。
有一次在课堂上，老师在黑板上写了一道微分方程的题，让我们自己试着求解。
我盯着那道题，看了半天，脑袋里一片浆糊，完全不知道从哪儿下手。
旁边的同学倒是很快就写出了步骤，我心里那个着急啊！后来老师下来巡视，看到我一脸迷茫的样子，就耐心地给我讲解。
老师一步一步地引导我，告诉我先分析方程的类型，然后找到对应的解法。
慢慢地，我好像有点开窍了，跟着老师的思路一步一步地解出了那道题。
那一刻，心里别提多有成就感了！再来说说怎么用这个通解公式。
首先，得求出积分∫p(x)dx 和∫q(x)e^(∫p(x)dx)dx 。
这可就需要咱们扎实的积分运算功底啦。
有时候积分算起来也挺麻烦的，但是别灰心，多做几道题练练手，就会熟练起来。
还有啊，别以为记住了公式就能万事大吉。
实际做题的时候，情况可复杂着呢。
有的方程可能需要先进行一些变形，或者要结合初始条件来确定常数 C 的值。
这就需要我们灵活运用知识，不能死搬硬套公式。
总之，微分方程通解的公式虽然看起来有点吓人，但只要我们下功夫，多练习，多思考，就一定能掌握它。
就像我当初在老师的帮助下，克服了困难，现在回头再看，其实也没那么可怕嘛！相信大家也都能搞定这部分知识，在数学的海洋里畅游无阻！。
二阶常微分方程解法求解表格
二阶微分方程：时为非齐次时为齐次，0)(0)()()()(22≠≡=++x f x f x f y x Q dx dy x P dx y d 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：2122,)(2,,(*)0)(1,0(*)r r y y y r r q pr r q p qy y p y 式的两个根、求出的系数；式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程：求解步骤：为常数；，其中∆'''=++∆=+'+''式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),321r r二阶常系数非齐次线性微分方程型为常数；型，为常数，]sin )(cos )([)()()(,)(x x P x x P e x f x P e x f q p x f qy y p y n l x m x ωωλλλ+===+'+''二阶常系数非齐次线性微分方程的一样形式是 ''+'+=y py qy f x () （1）其中p q ,是常数。
方程（1）的通解为对应的齐次方程0=+'+''qy y p y （2）的通解Y 和方程（1）的一个特解*y 之和。
即 *y Y y +=.咱们已解决了求二阶常系数齐次线性方程通解的问题，因此，咱们只需讨论求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解*y 的方式。
下面咱们只介绍当方程（1）中的)(x f 为如下两种常见形式时求其特解*y 的方式。
一、f x e P x x m ()()=⋅λ型 由于方程（1）右端函数f x ()是指数函数ex λ⋅与m 次多项式Px m ()的乘积，而指数函数与多项式的乘积的导数仍是这种函数，因此，咱们推测： 方程（1）的特解应为y e Q x x *⋅=λ()( Q x ()是某个次数待定的多项式 )ye Q x e Q x x x *⋅⋅'=+'λλλ()()y e Q x Q x Q x x *⋅"=⋅+'+''λλλ[()()()]22代入方程（1），得e Q x p Q x p q Q x e P x x x m λλλλλ⋅⋅⋅''++'+++≡⋅[()()()()()]()22消去e x λ⋅，得''++'+++≡Q x p Q x p q Q x P x m ()()()()()()22λλλ （3）讨论1、若是λ不是特点方程r pr q 20++=的根。
微分方程公式总结
微分方程公式总结微分方程是数学中的一个重要分支，用于描述变量之间的关系以及其随时间或空间的变化规律。
微分方程广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域，在实际问题的建模与求解中起到重要的作用。
本文将对微分方程的基本概念、常见的分类、常见的解法以及应用进行总结，以帮助读者更好地理解和应用微分方程。
一、微分方程的基本概念微分方程是描述函数与其导数之间关系的方程。
一般形式为：F(x,y,y',y'',...,y^(n))=0其中x是自变量，y是未知函数，y'、y''...y^(n)代表y对x的一阶、二阶...n阶导数。
常见的微分方程类型有：常微分方程和偏微分方程。
常微分方程中只含有一变量的导数，常见的类型有一阶、二阶和高阶常微分方程；偏微分方程中含有多个变量的偏导数，常见的类型有泊松方程、热方程和波动方程等。
二、常见的微分方程分类及解法1.一阶常微分方程一阶常微分方程形式为：dy/dx = f(x, y)解法：分离变量法、齐次方程法、一阶线性微分方程法等。
2.高阶常微分方程高阶常微分方程形式为：y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)解法：齐次线性微分方程的解法、常系数线性微分方程的解法、变系数线性微分方程的解法等。
3.一阶偏微分方程一阶偏微分方程形式为：F(x,y,u,p,q)=0其中u=u(x,y)是未知函数，p=∂u/∂x，q=∂u/∂y为一阶偏导数。
解法：变量分离法、特征线法、线性方程法等。
4.二阶偏微分方程二阶偏微分方程形式为：Au_xx + 2Bu_xy + Cu_yy + Du_x + Eu_y + Fu = 0其中A、B、C、D、E、F为已知函数，A、B、C不同时为零。
解法：分离变量法、特征线法、变换法等。
三、微分方程的应用微分方程是物理学、工程学、经济学等实际问题的重要工具，应用领域广泛。
1.物理学应用微分方程可以描述物体的运动、电磁场的分布等物理现象。
微分公式及运算法则
微分公式及运算法则好的，以下是为您生成的文章：咱今天就来唠唠微分公式及运算法则这档子事儿。
还记得我上大学那会儿，有一次和同学一起去参加数学竞赛的培训。
那老师一上来就讲微分，我当时心里就犯嘀咕：“这能有多难？”结果老师在黑板上刷刷写了一堆公式和例题，我瞬间就懵了。
先来说说微分的基本公式吧。
就像咱们熟悉的幂函数的微分公式，若有函数 \(y = x^n\) ，那么它的微分 \(dy = nx^{n-1}dx\) 。
这就好比你爬楼梯，每一级的高度就像是 \(x^n\) ，而你每次抬脚的跨度就是\(nx^{n-1}dx\) 。
再看看指数函数的微分公式，比如 \(y = e^x\) ，它的微分就是 \(dy= e^xdx\) 。
这就好像是一只充满活力的小兔子，始终以恒定的速度往前蹦跶，不管啥时候，它的变化速度都不变。
还有三角函数的微分，像 \(y = \sin x\) ，微分 \(dy = \cos xdx\) ； \(y = \cos x\) ，微分 \(dy = -\sin xdx\) 。
这俩就像一对欢喜冤家，一个动的时候另一个就跟着变，而且变化的规律还挺有趣。
说完基本公式，咱们再聊聊运算法则。
加减法则相对简单，两个函数相加或相减的微分，就等于它们各自微分的和或差。
比如说 \(y = u(x) ± v(x)\) ，那么 \(dy = du(x) ± dv(x)\) 。
这就好比你把两堆苹果合在一起或者拿走一部分，计算总数变化的时候，分别算每一堆的变化再相加或相减就行。
乘法法则稍微复杂点，若 \(y = u(x)v(x)\) ，那么 \(dy = u(x)dv(x) + v(x)du(x)\) 。
这就像两个人一起干活，每个人的贡献都要算进去，才能知道总的成果变化。
除法法则呢，对于 \(y = \frac{u(x)}{v(x)}\) ，它的微分 \(dy =\frac{v(x)du(x) - u(x)dv(x)}{v^2(x)}dx\) 。
微积分基本公式
cosh-1 x dx = x cosh-1 x- x2 1 + C
tanh-1 x dx = x tanh-1 x+ ? ln | 1-x2|+ C coth-1 x dx = x coth-1 x- ? ln | 1-x2|+ C sech-1 x dx = x sech-1 x- sin-1 x + C csch-1 x dx = x csch-1 x+ sinh-1 x + C
tan
(α±β)=
tan tan
tan tan
,
cot
(α±β)=
cot cot
cot cot
ex=1+x+ x2 + x3 +…+ xn + …
2! 3!
n!
sin x = x- x3 + x5 - x7 +…+ (1)n x 2n1 + …
3! 5! 7!
sinh-1 ( x )= ln (x+ a2 x2 ) x R a
cosh-1 ( x )=ln (x+ x2 a2 ) x≧1 a
cot-1 x dx = x cot-1 x+?ln (1+x2)+C
tanh-1 ( x )= 1 ln ( a x ) |x| <1
a 2a a x
00
顺位一: 对数; 反三角(反双曲) 顺位二: 多项函数; 幂函数
0 0 = e0( ) ; 0 = e 0 ; 1 = e 0
顺位三: 指数; 三角(双曲)
算术平均数(Arithmetic mean)
微分方程公式总结
微分方程公式总结一、什么是微分方程微分方程是包含未知函数及其导数的方程，它描述了函数与其导数之间的关系。
一般形式的微分方程可以表示为：\[ F(x, y, \frac{{dy}}{{dx}}, \frac{{d^2y}}{{dx^2}}, ... , \frac{{d^ny}}{{dx^n}}) = 0 \]其中，\(y\) 是未知函数，\(x\) 是自变量，\(\frac{{dy}}{{dx}}\) 是\(y\) 对 \(x\) 的导数，\(n\) 是一个正整数，\(F\) 是一个给定的函数。
二、微分方程的分类根据微分方程中包含的未知函数的阶数，微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两种。
1. 常微分方程：常微分方程是只包含未知函数的一阶或高阶导数的微分方程。
常微分方程的一般形式可以表示为：\[ F(x, y, \frac{{dy}}{{dx}}, \frac{{d^2y}}{{dx^2}}, ... , \frac{{d^ny}}{{dx^n}}) = 0 \]常微分方程的求解方法多种多样，其中常见的方法包括分离变量法、齐次方程法、一阶线性微分方程法等。
2. 偏微分方程：偏微分方程是包含多个未知函数及其偏导数的微分方程。
偏微分方程的一般形式可以表示为：\[ F(x, y_1, y_2, ..., \frac{{\partial y_1}}{{\partial x}}, \frac{{\partial y_2}}{{\partial x}}, ... , \frac{{\partial^2y_1}}{{\partial x^2}}, \frac{{\partial^2y_2}}{{\partial x^2}}, ... , \frac{{\partial^2y_1}}{{\partial x \partial y}}, \frac{{\partial^2y_2}}{{\partial x \partial y}}, ... ) = 0 \]偏微分方程的求解方法较为复杂，常用的方法包括分离变量法、特征线法、变量分离法等。
微分方程求解公式
学了两三学期的微积分以后就要利用导数来完整地练习解微分方程了。
导数是一种数据相对于另一种的变化速率。
例如，速度随着时间的变化率就是速度关于时间的导数（和斜率相比较一下）。
每天这种变化率都会出现很多次，例如，复利定律中，利息增加的速度和账户金额成比例，用dV(t)/dt=rV(t) 和 V(0)=P 可以表示出来（P就是初始金额），V(t)是时间的函数，表示目前的账户金额数（用以不断评估利息），r是目前利率（dt是极短的时间间隔，dV(t)是无穷小金额，是V(t)在这个时间的变化，他们的商是增加速率）。
虽然信用卡利息通常是每日累积计算，以APR（年度增加率）来表示，这个微分方程还是可以可以解出一个方程，得到连续解V(t)= Pe ^(rt)。
本文将教你如何解决最常见类型的微分方程，尤其是力学和物理方程。
方法1基本方法以Solve Differential Equations Step 1为标题的图片1定义导数。
当变量倾向于0的时候，函数（一般是y）增量和变量（一般是x）增量的比值会取得一个极限值，这就是导数（也称为微分系数，特别在英国）。
或者说在一瞬间，变量的微小变化造成的函数的微小变化。
以速度距离，速度就是距离对时间的瞬时变化。
下面比较一阶导数和二阶导数:一阶导数即原导数的函数。
例如:“速度是距离关于时间的一阶导数。
”二阶导数即函数导数的导数。
例:“加速度是距离对时间的二阶导数。
”以Solve Differential Equations Step 2为标题的图片2不要混淆阶数（最高导数阶数）和次数（导数的最高次数）。
最高导数次数是由最高阶导数的阶数决定的。
导数的最高次数则是导数中的项的最高次数。
比如图一的微分方程是二阶、三次导数。
3了解如何区别通解、完全解和特解。
完整解包含一些任意常数，任意常数的数目和导数的最高阶数相等（要解开n阶微分方程，需要进行n次积分，每次积分都需要加入一项任意常数）。
微分方程公式总结
第四章 微分方程1.可分离变量的微分方程 初值问题⎩⎨⎧===00)()(y y dx x f dy y g x x 的解为 dx x f xx y ⎰⎰=00)(g(y)dy y 2.一阶线性微分方程 )()(x Q y x P dxdy =+ 的通解公式为))(()()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +⎰⎰=⎰-3.初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧==+=00)()(y y x Q y x P dx dy x x 的解为 ))((0)()(000y dx e x Q e y x x dx x P x x x x dx x P +⎰⎰=⎰-4.齐次型方程)(x y dx dy ϕ= dx du x u dx dy ux y x y u +==⇒=于是有 便得到)(u dxdu x u ϕ=+这是一个可分离变量的微分方程。
分离变量后积分⎰⎰=-xdx u u du )(ϕ 5.可化为齐次型的方程 bb a ac y b x a c by ax dx dy 11111≠++++=其中 当01==c c 时方程是齐次型的，否则是非齐次型的。
在非齐次型的情形下，可用如下的代换把它化为齐次型的。
作代换k Y y h X x +=+=,)()(11111c k b h a Y b X a c bk ah bY aX dX dY ++++++++= 再令⎩⎨⎧=++=++00111c k b h a c bk ah 可定出h 和k 6.伯努利方程 αy x Q y x P dxdy )()(=+ )1,0(≠α作代换α-=1y z 则dxdy y dx dz αα--=)1( ，于是有 )()1()()1(x Q z x P dxdz αα-=-+ ，这是一阶线性方程。
7.可降阶的二阶微分方程(1) )(''x f y =(2) )',(''y x f y = 设p y =' 那么'''p dxdp y == 从而方程就化为),('p x f p = 这是一个关于变量x ，p 的一阶微分方程。
高数 微分方程
思考与练习
判别下列方程类型:
(1) x dy y xy dy
dx
dx
(2) x dy y (ln y ln x) dx
(3) ( y x3) dx 2x dy 0
(4) 2 y dx ( y3 x) dy 0
(5) ( y ln x 2) y dx x dy
提示:
y 1dy dx
f (x) f (x) cos x
则有
f (0) 0
利用公式可求出
f (x) 1 (cos x sin x ex ) 2
2. 设有微分方程 y y f (x), 其中
2, 0 x 1 f (x) 0 , x 1
试求此方程满足初始条件
的连续解.
解: 1) 先解定解问题 利用通解公式, 得
dx
令 z y1n , 则 dz (1 n)yn dy
dz
(1
n)
P(
x)
z
dx (1
n)
Q(x)
dx
(线性方程)
dx
求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解.
例6. 求方程
的通解.
解: 令 z y1, 则方程变形为
dz z a ln x dx x
其通解为
z
e
1 x
dx
(a
e
1 dx
x(
3
x
2e
1 dx
x dx
C
)
3x2 x( C)
2
由 y x1 1，代入得
C 1 2
y 3x3 1 x 22
例4.求(2x y2 )dy ydx 0的解.
解 : dx 2 x y dy y
通解
微分公式大全高等数学
微分公式大全高等数学在高等数学中，微分是研究函数的变化率和导数的一门重要内容。
微分公式的正确掌握是学习和应用微分的重要基础。
下面将列举一些常见的微分公式，供大家参考。
1. 基本微分公式（1）常数函数微分：若y=C，C为常数，则dy/dx=0；（2）幂函数微分：若y=x^n，n为常数，则dy/dx=nx^(n-1)；（3）指数函数微分：若y=a^x，a>0且a≠1，则dy/dx=a^x*lna；（4）对数函数微分：若y=log_a x，a>0且a≠1，则dy/dx=1/(xlna)；（5）三角函数微分：若y=sin x，则dy/dx=cos x；若y=cos x，则dy/dx=-sin x；若y=tan x，则dy/dx=sec^2 x；（6）反三角函数微分：若y=arcsin x，则dy/dx=1/sqrt(1-x^2)；若y=arccos x，则dy/dx=-1/sqrt(1-x^2)；若y=arctan x，则dy/dx=1/(1+x^2)；（7）双曲函数微分：若y=sinh x，则dy/dx=cosh x；若y=cosh x，则dy/dx=sinh x；若y=tanh x，则dy/dx=sech^2 x；（8）反双曲函数微分：若y=arcsinh x，则dy/dx=1/sqrt(1+x^2)；若y=arccosh x，则dy/dx=1/sqrt(x^2-1)；若y=arctanh x，则dy/dx=1/(1-x^2)。
2. 复合函数微分法则（1）链式法则：若y=f(u)，u=g(x)，则dy/dx=dy/du*du/dx；（2）乘积法则：若y=u*v，u=g(x)，v=h(x)，则dy/dx=u*(dv/dx)+v*(du/dx)；（3）商积法则：若y=u/v，u=g(x)，v=h(x)，则dy/dx=(v*du/dx-u*dv/dx)/v^2。
3. 隐函数微分若方程F(x, y)=0表示一个隐函数，其中y是x的显含函数，则通过隐函数微分可以求出dy/dx。
微积分常用公式及运算法则(上册).pdf
; (1 x ) a − 1 ∼ ax ( a ≠ 0); 2
a x − 1 ∼ x ln a ( a 0, a ≠ 1).
设 lim f i ( x ) Ai , i 1, 2, ⋯, n, 那么对 ki ∈ R , i 1, 2, ⋯n, 有
函数连续性：
x → x0
lim[ k1 f1 ( x ) k 2 f 2 ( x ) ⋯ k n f n ( x)] k1 A1 k 2 A2 ⋯ k n An , lim[ f1 ( x ) f 2 ( x ) ⋯ f n ( x )] A1 A2 ⋯An P ( x ), Q ( x )为多项式, 当 Q ( x) ≠ 0, 有 lim P ( x) P ( x ) x → x0 lim P ( x0 ) Q ( x ) lim Q ( x ) Q ( x0 ) x → x0
x ln a (sin x )′ cos x
(cos x )′ − sin x (tan x )′ sec2 x
设 lim f (u ) A, lim u ( x ) u 0 , 且 u ( x ) ≠ u0 则 lim f [u ( x )] lim f (u ) A
x → x0 u →u0 u→u0 x → x0
xx0gx平均曲率基本积分表kdx?kx?ck?1时dx?x?c??1??dx???1?1xdx?lnx?c1?1x2dx?arctanx?c?1?1x2??xx??cdx?arcsinxccosxdx?sinx?csinxdx??cosx?ccos1sin21dx?sec2xdx?tanx?c2xk??sdx?csc2xdx??cotx?cxs为曲线上弧段mm的长为点m到点m曲线的?线的转角曲率公式曲线在点mxy处的曲?公式y1?y232当曲线c由参数方程x??t给出时y?tk??tt??tt?其中?kk??2t?2t321为曲?半径微积分运算fxdx?fx?cdfx??fxdx??fx?c?fxdx???fx?c??fxd?fxdx??fxdxsecxtanxdx?secx?ccscxcotxdx??cscx?ceasinhxdx?coshx?ccoshxdx?sinhx?c不定积分线性运算法则xdx?ex?cxdx??ax?ca?0a1lnaux?vxdx?uxdx?vxdx不定积分的换元法f?x?xdx?fuduu??xfxdx??fttdt?t??1x5
高等数学 微分方程
第六章微分方程§1微分方程的基本概念引例.一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的解: 设所求曲线方程为y =y (x ) , 则有如下关系式:x xy2d d =①(C 为任意常数)由②得C = 1,.12+=x y 因此所求曲线方程为21==x y ②由①得切线斜率为2x , 求该曲线的方程.常微分方程偏微分方程含未知函数的导数的方程叫做微分方程.例：方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(本章内容)),,,,()(='n yy y x F ),,,,()1()(-'=n n yy y x f y(n 阶显式微分方程)微分方程的基本概念一般地,n 阶常微分方程的形式是的阶.分类或x xy2d d =—使方程成为恒等式的函数.通解—解中所含独立的任意常数的个数与方程)1(00)1(0000)(,,)(,)(--='='=n n y x y y x y y x y —确定通解中任意常数的条件.n 阶方程的初始条件(或初值条件):的阶数相同.特解21==x y xxy2d d =引例C x y +=2通解:12+=x y 特解:微分方程的解—不含任意常数的解初始条件y x''=例：316y x cx =+是解,y y ='例;x Ce y =通解20y y y '''--=例：2x c +微分方程解的图形称为微分方程的积分曲线。
通解的图形是积分曲线族,特解的图形是积分曲线族中的一条积分曲线。
x xy 2d d =通解:C x y +=2特解:12+=x y x 0xy (1, 2)引例：例.验证函数是微分方程的通解解:)sin cos (212t k C t k C k +-=t k C t k C x sin cos 21+=是方程的解.是两个独立的任意常数,),(21为常数C C 故它是方程的通解.微分方程基本问题：求解方程中的函数y微分方程；微分方程的阶；微分方程的①解；②通解;初始条件；③特解；积分曲线．四、小结本节基本概念：6.2一阶微分方程的常见类型及解法一、变量可分离方程),(),(y x f y x f dxdy右端的如果一阶微分方程=数的乘积，即有可以分解为两个一元函称此方程为变量可分离方程.()()g y dy f x dx=两边积分解法：例1. 求微分方程的通解.解: 分离变量得x x yy d 3d 2=两边积分得13ln C x y +=即1eC C ±=令( C 为任意常数)说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,可能增、减解( 此式含分离变量时丢失的解y = 0 ).cot )1(1的通解求方程例x y dxdy+=解：xdx y dycot 1=+分离变量得两边积分Cx y +=+sin ln 1ln 解得.1sin -=x C y 原方程的通解为∴,sin 1Ce xy =+Ce xy ±=+sin 1C dx xx y dy +=+⎰⎰sin cos 1记为C如何验证答案正确？故2020/12/2011.0,202=+==--x y y x y xe e dxdy 解方程例解：dxx e dy e xy )(2+=分离变量得,212122C x e e x y ++=两边积分,00==x y ,21=∴C 故所求方程特解为).1(2122++=x e e x y .2ln )1ln(22-++=x ey x 或隐式解显式解例3求解微分方程ydx dy =解dx ydy y =≠方程可变形为若,0两端积分,⎰⎰=dx y dy Cx y +=2得.0)(412=+=∴y C C x y 及为任意常数）（方程的解为.)(412为方程的通解则C x y +=.0含在通解中亦为方程的解，但它不显然=y 说明: 通解不一定包含了方程的所有解.例4. 求下述微分方程的通解:解: 令,1+-=y x u 则故有uu 2sin 1='-即Cx u +=tan 解得C x y x +=+-)1tan(所求通解:隐式解2020/12/2014二、齐次方程)(xy f dx dy =形如的微分方程称为齐次方程.1. 定义dy x y dx x y+=-22y xy xy x dx dy -+=21y x y y x x +=⎛⎫- ⎪⎝⎭)(x y f =22()()0x xy dx y xy dy ++-=1()1dy y x y f dx y x x +==-x,y 次数相同例如方程：又如方程：实事上，方程可化为：令,x y u =代入原方程得)(d d u xu x u ϕ=+xx u u u d )(d =-ϕ两边积分, 得⎰⎰=-xx u u u d )(d ϕ便得原方程的通解.解法:分离变量: 变量还原例1. 求微分方程通解解:(),2d d 2xy x y x y -=方程变形为,x y u =令则有22u u u x u -='+分离变量x x u u u d d 2-=-积分得,ln ln 1ln C x uu +-=-()xx u u u d d 111-=--即变量还原得通解即C u u x =-)1(y C x y x =-)((C 为任意常数)2020/12/2017例2解方程，令xy u =所以原方程的通解为解原方程变形为,dx du x u dx dy +=则,cos 1cos 1cos uu u u u dx du x u -=-=+,cos xdx udu -=即C x u +-=ln sin 解得.ln sin C x x y +-=，x y x y x y dx dy cos 1cos -=.0cos )cos (=+-dy x y x dx x y y x 代入原方程得2020/12/20183(1)2x y y y y x'=+=例：求特解：满足y du u y u x x dx'==+解：令得：1udu dx x=代入原方程并化简得：22ln u x c=+积分得：(1)2y =代入得：c=422)ln y x c x =+变量还原得：（特解为：22)ln 4y x x =+（2020/12/2019)()(x Q y x P y =+',0)(≡x Q 当称为一阶线性齐次微分方程；称为一阶线性非齐次微分方程.,0)(≡x Q 当三、一阶线性微分方程一阶线性微分方程⎪⎭⎫ ⎝⎛='x y f y ()0y P x y '+=)()(x Q y x P y =+'0)(d d =+y x P xy 1. 解齐次方程分离变量两边积分得C x x P y ln d )(ln +-=⎰故通解为x x P C y d )(e ⎰-=⎰-=xx P C y d )(e 对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解⎰-xx P C d )(e2. 解非齐次方程)()(d d x Q y x P xy=+用常数变易法:,e )()()(⎰-=xx P x u x y d 则⎰-'x x P u d )(e )(x P +⎰-x x P u d )(e )(x Q =故原方程的通解xx Q x x P xx P d e )(ed )(d )(⎰⎰⎰-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰⎰-C x x Q y x x P x x P d e )(e d )(d )(=y 即即作变换⎰--xx P u x P d )(e)(C x x Q u x x P +=⎰⎰d e )(d )(两端积分得.)1(1225的通解求方程+=+-'x x yy 例1,12)(+-=x x P 这里,)1()(25+=x x Q 公式法所以方程的通解为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⋅+⎰=⎰+-+C dx e x ey x dx x dx122512)1(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+=⎰+-+C dx e x ex x 1ln 2251ln 2)1(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎰C dx x x 212)1()1(.)1(32)1(232⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=C x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C dx ex Q e y dx x P dxx P )()()(.sin 1的通解求方程xx y x y =+',1)(xx P =这里,sin )(x x x Q =解例2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⋅⎰=⎰-C dx e x x e y dx xdx x 11sin 所以方程的通解为⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⎰-C dx e x x e xx ln ln sin ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰C dx x xx xsin 1().cos 1C x x +-=例3.22yx y dx dy -=解方程解原方程可化为线性方程y x ydy dx -=-2,)(,2)(y y Q yy P -=-=这里所以方程的通解为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰-⎰=⎰-Cdy ye e x ydy y dy22()⎰+-=-Cdy ye e y y ln 2ln 2⎪⎫ ⎛+-=⎰C dy y 2().ln 2y C y -=线性微分方程常见形式.22yy x dy dx -=)0()(43≥==x x y x f y y 与轴的动直线被曲线如图所示，平行于例)(x f ,)()(30x f x dx x f x-=⎰由题意两边求导得),(3)(2x f x x f '-=解xy o x PQ 3x y =)(x f y =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C dx e x e y dx dx23,6632+-+=-x x Cex,0|0==x y 由,6-=C 得故所求曲线方程为.66362+-+-=-x x ey x截下的线段PQ 之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线.,32x y y =+'即)3(2⎰+=-C dx e x e x x伯努利(Bernoulli )方程.ny x Q y x P dxdy )()(=+解法: 伯努利方程经过变量代换可化为线性方程.四、伯努利方程),()(1x Q y x P dx dy ynn=+--，得两端除以ny ,1ny z -=令，则dxdy y n dx dz n --=)1(),()1()()1(x Q n z x P n dxdz-=-+代入上式有)1,0(≠n (1)()(1)()1((1)())n p x dxn P x dx nz yen Q x e dx C ----⎰⎰==-+⎰通解：例1. 求方程的通解.解1: 令,1-=y z 则方程变形为x a xz x z ln d d -=-其通解为e=z 将1-=y z x x d 1⎰[⎰-e x a )ln (x xd 1⎰-]C x +d []2)ln (2x a C x -=代入, 得原方程通解:例1. 求方程的通解.解2: 公式法：(1)()(1)()1((1)())n p x dxn P x dx nz yen Q x e dx c ----⎰⎰==-+⎰通解：11(1)(1)1((1)ln )n dxn dxnxxyen a xedx C ----⎰⎰=-+⎰通解：111(ln )dx dx xxe a xedx C y-⎰⎰∴=-+⎰[]2)ln (2x a C x -=232)1y xy y '+=例：求方程(x 的通解32dx yx y xdy-=解：把原方程变形为：32,(),()n p y y Q y y ==-=这里由通解公式得：(1)()(1)()13[(1)]y dyy dy x ey e dy c ------⎰⎰=-+⎰22322()y y ey e dy c -=-+⎰2222y cey -=-+例3用适当的变量代换解下列微分方程:;)(sin 1.12xy xy x dx dy -=解,xy z =令,dxdyx y dx dz +=则21()sin ()dz yy x dx x xy x=+-zdx dz 2sin 1=2sin z21,sin z =变量代换法是微分方程求解中十分重要的手段！,42sin 2C x z z +=-分离变量法得,代回将xy z =通解：.4)2sin(2C x xy xy +=-dxdz z =2sin 积分得dxdz z 2)2cos 1(=-zdx dz 2sin 1=即.1.2yx dx dy +=解：,u y x =+令,1-=dxdu dx dy 则代入原式,11u dx du =-分离变量法得,1dx du u u =+,代回将y x u +=所求通解为Cy x y +++=1ln 另解：.y x dy dx +=方程变形为,1ln C x u u +=+-积分得一阶线性微分方程一阶微分方程总结可分离变量方程.1dyy Q dx x P )()(=分离变量、积分C )()(+=⎰⎰dy y Q dx x P 通解：齐次方程.2,⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y f dx dy u xy =变量代换一阶线性方程.3⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()(方程Bernoulli .4n yx Q y x P y )()(=+'z y n =-1令通解：)()(x Q y x P y =+'(1)()(1)()1((1)())n p x dx n P x dx n y e n Q x e dx C ----⎰⎰=-+⎰通解：第三节高阶线性微分方程0)(=+'y x P y 一阶线性齐次微分方程)()(x Q y x P y =+'一阶线性非齐次微分方程])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +⎰⎰=⎰-公式：通解:⎰=-x x P C y d )(e⎰⎰⎰+-x x Q x x P x x P d e )(e d )(d )(齐次方程通解Y 非齐次方程特解*y 通解:⎰=-x x P C y d )(e推广：n 阶线性微分方程的一般形式为()()()y P x y Q x y f x '''++=)()()()(1)1(1)(x f y x a y x a y x a y n n n n =+'+++-- 时, 称为非齐次方程;0)(≡x f 时, 称为齐次方程.0)(≡x f 一、二阶线性微分方程形式：] )[(11+'+y C x P ] [)(11++y C x Q 0=1、二阶线性齐次方程解的结构)(),(21x y x y 若函数是二阶线性齐次方程)()(=+'+''y x Q y x P y 的两个解,也是该方程的解.证:)()(2211x y C x y C y +=将代入方程左边, 得] [11+''y C 22y C ''22y C '22y C ])()([1111y x Q y x P y C +'+''=])()([2222y x Q y x P y C +'+''+(解的叠加原理))()(2211x y C x y C y +=则定理1.说明:不一定是通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解不是通解但是)()(2211x y C x y C y +=则为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与线性无关概念.定义上有定义，在区间设I x y x y )(),(21)(),()()(2121x y x y x y x y I 常数，则上若在区间=线性相关;)(),()()(2121x y x y x y x y I 常数，则上若在区间≠线性无关.,sin ,cos 21x y x y ==,tan 12常数又≠=x y y 例：线性无关.,sin ,cos 21x y x y ==故：如果)(1x y 与)(2x y 是方程.21为任意常数、其中C C 的两个线性无关的特解, 定理2(齐次方程通解结构)0)()(=+'+''y x Q y x P y 那么2211y C y C y +=就是方程的通解.例如：的两个解为方程0=-''y y ,,21x x e y e y -==,212常数又≠=-x e y y .21是方程的通解xx e C e C y -+=∴.]2[]1[)()(21线性无关是解，满足：、即x y x y2、二阶非齐次线性方程的解的结构设*y 是二阶非齐次线性方程)2(的一个特解,)1(0)()(=+'+''y x Q y x P y 定理3 Y 是与(2)对应的齐次方程(1)的通解, 那么*y Y y +=是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解. )()()(*非齐特齐通非齐通y Y y +=)2()()()(x f y x Q y x P y =+'+''例如,方程有特解xC x C Y sin cos 21+=对应齐次方程有通解因此该方程的通解为y y x ''+=0y y ''+=( 非齐次方程解的叠加原理)定理4的解分别是线性非齐次方程设]2[,]1[)(),()2(21x y x y **]1[)()()(1 x f y x Q y x P y =+'+''是那么)()(21x y x y y **+=]3[)()()()(21 x f x f y x q y x p y +=+'+'']2[)()()(2 x f y x Q y x P y =+'+''的解。
微分方程公式法求解
微分方程公式法求解微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
它研究的是未知函数的导数和自变量之间的关系，并通过求解微分方程来获得函数的解析表达式，从而达到预测和优化的目的。
微分方程的求解方法有很多种，其中一种非常常用且实用的方法就是公式法。
公式法是根据微分方程的形式和特点，通过使用已知的公式来求解微分方程。
下面将介绍几种常用的微分方程公式方法。
首先，对于一阶线性常微分方程（形如dy/dx+P(x)y=Q(x)），可以使用一阶线性齐次微分方程的通解公式来求解。
通过求解齐次方程（形如dy/dx+P(x)y=0）得到通解，再加上特解即可获得原方程的解析表达式。
其次，对于二阶常系数线性齐次微分方程（形如d²y/dx²+a₁dy/dx+a₀y=0），可以使用特征根法来求解。
首先根据特征方程（形如a₂r²+a₁r+a₀=0）求出特征根r₁和r₂，然后根据不同情况来确定解的形式。
再次，对于二阶非齐次线性微分方程（形如d²y/dx²+a₁dy/dx+a₀y=f(x)），可以使用待定系数法来求解。
通过假设解的形式，将待定系数代入方程，然后解出系数的值即可得到特解。
另外，对于一些特殊形式的微分方程，也可以使用公式法来求解。
比如，指数函数的微分方程（形如dy/dx=ky）可以直接得到解析表达式y=Ce^(kx)，其中C为常数；对于简谐振动的微分方程（形如d²y/dx²+ω²y=0）可以求解得到解析表达式y=Acos(ωx+φ)，其中A和φ为常数。
综上所述，微分方程公式法是一种非常重要和实用的求解方法。
通过熟练应用不同的公式，我们可以轻松地求解各种形式的微分方程。
当我们遇到实际问题需要建立微分方程进行分析和求解时，可以根据问题的特点选择合适的公式方法，从而得到准确的解析解。
同时，我们还可以通过对微分方程公式的深入学习和理解，从中发现更多的规律和应用，提高问题求解的效率和精确度。
微分方程的数值计算方法以及应用
-3-
将欧拉法与改进欧拉法的计算值分别与准确的函数值进行对比，如下表所示。由表 中的数据可以看出改进欧拉法的精度要比欧拉法的精度要高得多。 求解 方法 数据
xn yn
欧拉法计算 的值
yn _ pre
改进欧拉法 计算的值
yn _ cor
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
（10）
记 K * = f ( xn + ξ h, y ( xn + ξ h)) ， 把 K * 看成函数 y ( x) 在 [ xn , xn +1 ] 上的平均斜率， 为了构造较 高精度的计算公式，可设法在区间 [ xn , xn +1 ] 内多预测几个点的斜率值 K1 , K 2 ,...K n 然后将它们 加权作为在区间 [ xn , xn +1 ] 上的平均斜率值。 根据截断误差在 ( xn , yn ) 点 Taylor 展开，按照误差要求确定系数是否为零。 最广泛的 4 阶 Runge-Kutta 法：
（11）
使用最广泛的 4 阶 Runge-Kutta 法计算上述微分方程的数值解问题，具体实现的程 序如下所示。
-4-
#include <stdio.h> #define h 0.1 #define a 0 #define b 1.0 int main() { double x; double y; double K1,K2,K3,K4; x=a; y=1; while(x<=b) { printf("%.1lf\t%.4lf\n",x,y); K1=y-2*x/y; K2=(y+K1*h/2)-2*(x+h/2)/(y+K1*h/2); K3=(y+K2*h/2)-2*(x+h/2)/(y+K2*h/2); K4=(y+K3*h)-2*(x+h)/(y+K3*h); y=y+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6; x=x+h; } return 0; } 计算结果为：
微分方程的解法与应用
微分方程的解法与应用微分方程（Differential Equation）是描述自然界中各种变化与关联的数学模型，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
本文将介绍微分方程的解法和应用。
一、常微分方程的解法常微分方程（Ordinary Differential Equation）是只涉及一个自变量的微分方程。
常微分方程的解法主要有分离变量法、齐次方程法、一阶线性方程法和常系数线性齐次方程法等。
1. 分离变量法对于可分离变量的一阶常微分方程，可以通过将变量分离到两边分别积分来求解。
例如，对于方程dy/dx = f(x)g(y)，可以写成dy/g(y) = f(x)dx，再两边同时积分得到∫dy/g(y) = ∫f(x)dx，进而得到方程的解y = φ(x)。
2. 齐次方程法对于形如dy/dx = f(y/x)的齐次方程，可以通过变量代换和分离变量的方法来求解。
具体步骤为将y/x表示为新的函数v，并进行变量替换dy/dx = v + xv'，其中v'表示对x求导数。
通过将原方程转化为一阶线性微分方程求解，再进行反变换得到原方程的解。
3. 一阶线性方程法对于形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的一阶线性微分方程，可以通过积分因子的方法来求解。
通过选择适当的积分因子μ(x)，将原方程转化为（μ(x)y）' = μ(x)Q(x)，再对等式两边两次积分，并利用初值条件来确定常数，得到方程的特解。
4. 常系数线性齐次方程法对于形如d^n y/dx^n + a_1d^{n-1}y/dx^{n-1} + ··· + a_ny = 0的常系数线性齐次微分方程，可以通过特征根法来求解。
具体步骤为解特征方程λ^n +a_1λ^{n-1} + ··· + a_n = 0，将特征根代入通解的表达式C_1e^{λ_1x} + C_2e^{λ_2x} + ··· + C_ne^{λ_nx}中，其中C_1, C_2, ···, C_n为待定系数。
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微分方程公式运用表
一、 一阶微分方程 判断特征：
(,)dy f x y dx = 类型一：()()dy g x h y dx
=（可分离变量的方程） 解法（分离变量法）：
()()dy g x dx h y =，然后两边同时积分。
类型二：()()dy P x y Q x dx
+=（一阶线性方程） 解法（常数变易法）：()()(())P x dx P x dx y e C Q x e dx -⎰
⎰=+⎰ 类型三：
(,)(,)dy f x y f tx ty dx
==（一阶齐次性方程） 解法（换元法）：y u x
=⇒令类型一 类型四：P()y=Q(x)y n dy x dx
+（伯努利方程） 解法（同除法）：1()()n n dy y P x y Q x dx --+=⇒类型二 二、 可降阶的高阶微分方程
类型一：()()n y f x = 解法（多次积分法）：(1)()()n du u y f x f x dx
-=⇒
=⇒令多次积分求 类型二：''(,')y f x y = 解法：'(,)dp p y f x p dx =⇒=⇒令一阶微分方程 类型三：''(,')y f y y = 解法：'(,)dp dp dy dp p y p f y p dx dy dx dy
=⇒==⇒⇒令类型二 三、线性微分方程
类型一：''()'()0y P x y Q x y ++=（二阶线性齐次微分方程） 解法：找出方程的两个任意线性不相关特解：12(),()y x y x
则：1122()()()y x c y x c y x =+
类型二：''()'()()y P x y Q x y f x ++=（二阶线性非齐次微分方程） 解法：先找出对应的齐次微分方程的通解：31122()()()y x c y x c y x =+ 再找出非齐次方程的任意特解()p y x ，则：1122()()()()p y x y x c y x c y x =++ 类型三：'''0y py q ++=（二阶线性常系数齐次微分方程）
解法（特征方程法）：2
1,20p q λλλ++=⇒= （一）122121240x x p q y c e c e λλλλ∆=->⇒≠⇒=+ （二）12120()x y c c x e λλλλ∆=⇒==⇒=+ （三）12120,(cos sin )x i i y e c x c x αλαβλαβββ∆<⇒=+=-⇒=+ 类型四：'''()y py q f x ++=(二阶线性常系数非齐次微分方程) 解法（待定系数法）：
（1）()()x m f x P x e α=型：先找出对应齐次微分方程的通解3()y x
0()()12k x p m k y x x e Q x k k αααα=⎧⎪⇒==⎨⎪=⎩
不是特征方程的根，是特征方程的单根，是特征方程的二重根，
其中令1()m m m Q x Ax Bx -=++
，将()p y x 带入方程求出A,B,C
3()()p y y x y x ⇒=+ （2）[]()()cos ()sin x m l f x e P x x P x x αββ=+型：先找出对应齐次微分方程的
通解3()y x
[]{}max ,()()()()cos ()sin 0
1k x n n p n n n m l Q x R x y x x e Q x x R x x i k i k αββαβαβ=⎧⎪⎪⇒=+⎨±=⎪⎪±=⎩
与是待定的n 次多项式若不是特征方程的根，若是特征方程的根,
利用待定系数求出()p y x ，则：3()()p y y x y x =+。