微分方程频率特性传递函数系统
系统的频率特性
三、机械系统动刚度的概念
质量-弹簧-阻尼系统(m- k- B)
f(t):输入力
x(t):输出位移
k
B
m
其传递函数
阻尼比
无阻尼自然频率
系统的频率特性
动柔度： 动刚度： ω = 0时，即为系统静刚度。 当
f
x1
k1
m1
k2
m2
x2
例p142：弹簧吸振器简化图示模型,若质量m1受到干扰力f=Asinωt,如何选择吸振器参数m2和k2,使质量m1产生的振幅为最小?
解 其稳态响应为： 求一阶系统G(s)=K/Ts+1的频率特性及在正弦信号xi(t)=Xsinωt作用下的频率响应。
求系统如图所示，当输入3cos(4t-30°)+sin(10t+45 °)时，试求系统的稳态输出。
[结论]：当传递函数中的复变量s用 jω代替时，传递函数就转变为频率特性。反之亦然。 到目前为止，我们已学习过的线性系统的数学模型有以下几种：微分方程、传递函数、脉冲响应函数和频率特性。它们之间的关系如下： 微分方程 频率特性 传递函数 脉冲函数
卡通风学期计划
频率特性
频率特性的对数坐标图
频率特性的极坐标图
最小相位系统
闭环频率特性与频域性能指标
系统辨识
第五章 系统的频率特性
B
D
F
A
C
E
掌握系统频率特性的概念和求法
掌握系统闭环频率特性的求取方法
根据bode图估计系统的传递函数
熟悉系统的bode图和nyquist图的构成
系统幅频特性和相频特性的求法
解:以f为输入,x1为输出,系统微分方程为
则位移x1与干扰力f之间的传递函数为
如何求传递函数
如何求传递函数传递函数是描述信号在系统中传递过程的数学函数，也称为系统函数。
在信号与系统领域中，传递函数是一个重要的概念，用于描述线性时不变系统对输入信号的响应过程。
求传递函数的方法有多种，下面将介绍几种常用的方法。
1. 基于系统的微分方程求解传递函数对于线性时不变系统，可以通过求解系统的微分方程来得到传递函数。
首先，根据系统的输入输出关系建立微分方程，然后进行变换和求解，最终得到传递函数。
例如，对于一个二阶系统，可以根据系统的微分方程和初始条件，通过拉普拉斯变换将微分方程转化为代数方程，然后解代数方程得到传递函数。
2. 基于频域分析法求解传递函数频域分析法是一种常用的分析系统性能的方法，可以通过输入输出信号的频谱特性来求解传递函数。
通过对系统的输入信号进行傅里叶变换得到输入信号的频谱，再通过对输出信号进行傅里叶变换得到输出信号的频谱，最后将输出信号的频谱除以输入信号的频谱，即可得到传递函数。
3. 基于脉冲响应求解传递函数脉冲响应是指系统对单位脉冲信号的响应过程，通过脉冲响应可以求解传递函数。
首先，将系统对单位脉冲信号的响应过程测量或模拟得到脉冲响应函数，然后对脉冲响应函数进行拉普拉斯变换，即可得到传递函数。
4. 基于频率响应求解传递函数频率响应是指系统对不同频率输入信号的响应特性，通过频率响应可以求解传递函数。
可以通过输入不同频率的正弦信号或其他频率特性已知的信号，测量或模拟得到系统的频率响应曲线，然后对频率响应曲线进行数学处理，即可得到传递函数。
总结起来，求解传递函数的方法主要有基于系统的微分方程、频域分析法、脉冲响应和频率响应等方法。
不同的方法适用于不同的系统和信号特性。
在实际应用中，根据系统的性质和所需的分析结果选择合适的方法进行求解。
通过求解传递函数，可以深入理解系统的特性和性能，对信号在系统中的传递过程有更加全面的认识。
同时，传递函数的求解也为系统的分析、设计和控制提供了重要的数学工具。
第五章(5) 频域：用实验法确定系统的传递函数
第五节 用实验法确定系统传递函数
例
已知采用积分控制液位系统的结构 和对数频率特性曲线,试求系统的传 和对数频率特性曲线 试求系统的传 hr(t) 递函数。 递函数。 1 K h(t)
1 4
L(ω)/dB
20 0 -20 -20dB/dec
S
Ts+1
φ(ω)
0 -90 -180
返回 解: 将测得的对数 -40dB/dec 1 = 曲线近似成渐 0.25S2+1.25S+1) 近线: 近线 ω 1 φ(s)= (S+1) (S/4+1)
第五章 频率特性法
第五节 用实验法确定系统传递函数
频率特性具有明确的物理意义， 频率特性具有明确的物理意义，可 用实验的方法来确定它.这对于难以列 用实验的方法来确定它 这对于难以列 写其微分方程的元件或系统来说,具有 写其微分方程的元件或系统来说 具有 很重要的实际意义。 很重要的实际意义。
一、用实验法确定系统的伯德图 二、根据伯德图确定传递函数
1. ι= 0
系统的伯德图： 系统的伯德图：
x
L(ω)/dB
-20dB/dec
低频渐近线为
0
20lgK-40dB/源自ecL(ω)=20lgK=χ 即
χ
ωc
ω
K=10 20
第五节 用实验法确定系统传递函数
2. ι= 1
系统的伯德图： 系统的伯德图： ω=1 L(ω)=20lgK
L(ω)/dB 20lgK
0
-20dB/dec
ω0
1 ω1 ωc
-40dB/dec
ω
低频段的曲线与横 轴相交点的频率为 的频率为ω 轴相交点的频率为 0 20lgK 因为 =20 lgω0-lg1
《控制工程》传递函数
1．系统由单变量非线性函数所描述
df 1 d2 f Dx + Dx 2 f ( x) f ( x0 ) + dx x 2! dx 2 0 x0 1 d3 f + 3! dx 3 D x 3 + LL f ( x0 ) +
y= f (x) y(t):输出 x(t):输入 df Dx dx x 0 df Dx dx x 0
1、机械平移系统（即m、c、k系统）
第二章 传递函数
原则：根据牛二定律列写相应的动力学方程
y(t)
质量m
m
Fm m(t ) y
y2
弹簧k
y1
k
压弹簧：Fk=k(y1-y2) 拉弹簧： Fk=k(y2-y1)
压：说明y1要大于y2，这才有压的效果 其中y1与y2之差为弹簧的净形变量
阻尼c
y1 c y2
( ( an X 0n) (t ) + an1 X 0n 1) (t ) + … + a0 X 0 (t )
X0(t)——系统输出
bm X i( m) (t ) + bm1 X i( m1) + … + b0 X i (t )
Xi(t)——系统输入
3．根据系统微分方程对系统进行分类 1）线性系统：方程只包含变量X0(t)、Xi(t)的各阶导数 a．线性定常系统：an…a0 ；bm…b0为常数 b．线性时变系统：an…a0 ；bm…b0为时间的函数
第二章 传递函数
一、定义
定义：对于单输入、单输出线性定常系统，当输入 输出的初始条件为零时，其输出量的拉氏变 换与输入量的拉氏变换之比。 设线性定常系统的微分方程为：
a n x(0n)( t ) + a n 1 x(0n 1)( t ) + L + a0 x0( t )
机械工程控制基础(第4章_系统的频率特性分析)
对频率 的函数曲线，此即幅频特性曲线；作出相位 ) (
的函数曲线，此即相频特性曲线。
对频率
由上可知，一个系统可以用微分方程或传递函数来描述，也可以
用频率特性来描述。它们之间的相互关系如图4.1.2所示。将微分方程
的微分算子 中的s再换成 j，传递函数就变成了频率特性；反之亦然。
d 换成s后，由此方程就可获得传递函数；而将传递函数 dt
式中，
u ( ) 是频率特性的实部，称为实频特性 v( ) 是频率特性的虚部，称为虚频特性
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4.1.3 频率特性的求法
1. 根据系统的频率响应来求取
因为
K G s Ts 1 X i X i s 2 s 2
X i xo t L G s 2 s 2
G j 端点的轨迹即为频率特性的极坐标图, 或称为Nyquist 图, 如
实轴开始, 逆时针方向旋转为正, 顺时针方向旋转为负。当从0→∞时,
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图4.2.1所示。它不仅表示幅频特性和相频特性, 而且也表示实频特性和
虚频特性。图中的箭头方向为从小到大的方向。
正如4.1节所述, 系统的幅频特性和相频特
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2. 频率特性
线性系统在谐波输入作用下，其稳态输出与输入的幅值比是输入
信号的频率 的函数，称为系统的幅频特性，记为A( ) 它描述了在稳态情况下，当系统输入不同频率的谐波信号时，其幅值 的衰减或增大特性。显然
X o ( ) A( ) Xi
) 稳态输出信号与输入信号的相位差 ( （或称相移）也是 的函
1
所以
1 T 2 2 X K A o Xi 1 T 2 2
第一节物理系统的数学模型及传递函数
[例2] 液面系统线性化
Back
常数！
4. 单变量函数泰勒级数法 函数y=f(x)在其平衡点(x0,y0)附近的泰勒级数展开式为：
略去含有高于一次的增量∆x=x-x0的项，则：
注： ① 非线性系统的线性化模
型，称为增量方程。 ② y=f(x0) 称 为 系 统 的 静
态方程
非线性环节微分方程的线性化
放大器在大信号输入时输出出现饱和； 磁化曲线有饱和和磁滞回环； 齿轮传动中有间隙。
为了便于研究，对非线性程度不严重的 系统，总是尽可能地将非线性数学模型 转换成近似的线性模型。
1. 常见非线性情况
饱和非线性
Back
死区非线性
间隙非线性
继电器非线性
2. 单摆(非线性)
是未知函数 的非线性函数，
非线性方程 局部线性增量方程
2. 增量方程 增量方程的数学含义
将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上， 对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起 始点，这时，系统所有的初始条件均为零。
注：导数根据其定义是一线性映射，满足叠加原理。
3. 多变量函数泰勒级数法
增量方程 静态方程
[例1] 单摆模型(线性化)
所谓环节，是指可以组成独立的运动方程式的某 一部分。环节可以是一个元件，也可能是一个元 件的一部分或者由几个元件组成。
建立系统数学模型的一般步骤（1）
分析系统的工作原理和系统中各变量间的关 系，确定待研究系统的输入量和输出量。
将系统划分为单向环节，并确定各个环节的
输入量和输出量。（所谓单向环节是指其后 面的环节无负载效应，即后面环节存在与否 对当前环节的动态特性没有影响）
宇宙飞船控制系统就是时变控制的一个例子（宇宙飞船的 质量随着燃料的消耗而变化）。
微分环节微分方程传递函数变化曲线方框图
各导数项按降幂排列； 将方程的系数通过元件或系统的参数化成具有
一定物理意义的系数。
例1 设有由电感L，电容C 和电阻R组 成的电路，如图所示. 试求出以输出电 压U2为输出变量和以输入电 压U1为输 入变量的运动方程。
R
L
U1 i
U2 C
解：根据基n 霍夫定律有
对数学模型进行近似而得到的。以后各章所讨 论的系统，均指线性化的系统。
一、数学模型
数学模型是描述系统动态特性的数学表
达式；可有多种形式。在经典理论中， 常用的数学模型是微（差）分方程，结 构图，信号流图等；在现代控制理论中， 采用的是状态空间表达式。结构图，信 号流图，状态图是数学模型的图形表达 形式。
式的次数N大于等于分子多项式的次数
M ，N M 。
传递函数写成
G(S)
k
(S - Z1)(S (S - P1)(S
Z2)......(S P2)......(S
Zm) Pn )
的形式，则 Z1, Z2 , Z3 Zm和
为G(S)的零点和极点。
P1,
P2
,
P3
Pn
不同物理结构的系统可以有相同的传递函数。
性微分方程的方法，称非线性微分方程的线 性化。
小偏差线性化：非线性微分方程能进行线性化的一
个基本假设上是变量偏离其预期工作点的偏差甚小， 这种线性化通常称为小偏差线性化。
§2-3 传递函数 一、定义
初始条件为零时，线性定常系统或元件输出
信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换的比， 称为该系统或元件的传递函数。
三、传递函数的求法
工程上，通常采用拉普拉斯变换来求解
第四章系统传递函数模型
H(s) 1
s1
3 微分环节 凡是系统的输出正比例于系统输入的微分，即：
y(t)Tdu(t)Tu(t) dt
系统的传递函数为 H(s)Y(s) Ts
U(s)
其中T称为微分环节的时间常数，一般情况下微分环节 在实际中不可能单独存在。 在实际应用中，常将微分环节与其他环节联合使用。
4 积分环节
该环节的输出等于系统的输入量对时间的积分成正比
方次大于等于分母方次的时候，通常要转换成余项研 究）
例4-1 设系统的动力学方程为： m y c y k y u (t) ， 计算单自由度弹簧质量的传递函数的零极点模型。
解：
H ( s ) u y ( ( s s ) ) m s 2 1 c s k s 2 2 1 /p m s p 2 ( s p 1 1 ) /( m s p 2 )
可以证明：各个留数可以通过下式求出：
ki sl iim H(s)(si)
i1,2, n
例4-3 某系统的传递函数为： H(s) 5s3
s36s21s16
将系统模型写成零极点增益模型。 解： H(s)5 s0.6
(s3)s(2)s(1)
系统的零点：z0.6 极点： (3,2,1) 增益： k 5 写成留数形式，则有：
k3sl im 2H(s)(s3)
5(ss3 )(0s.6 2)5(ss3)(0s.6 2)|s151 20.61
则系统的留数为： k1 6 k2 7
k3 1
传递函数的留数形式为： H(s)6 7 1
s3 s2 s1
例4-4 已知系统的传递函数为:
H(s)s3s22s23s5s110
将系统模型写成零极点增益模型：
dt
在机械系统中，如图所示不考虑AB杆的质量情况下，
自动控制原理复习1资料
(1)一、填空（每空1分，共18分）1．自动控制系统的数学模型有 微分方程 、 传递函数 、 频率特性 、 结构图 共4种。
2．连续控制系统稳定的充分必要条件是 闭环极点位于S 平面左侧 。
离散控制系统稳定的充分必要条件是 系统的特性方程的根都在Z 平面上以原点为圆心的单位圆内。
。
3．某统控制系统的微分方程为：dtt dc )(+0.5C(t)=2r(t)。
则该系统的闭环传递函数 Φ(s)= ；该系统超调σ%= ；调节时间t s (Δ=2%)= 。
4．某单位反馈系统G(s)=)402.0)(21.0()5(1002+++s s s s ，则该系统是 4 阶二 型系统；其开环放大系数K= 62.5 。
5．已知自动控制系统L(ω)曲线为：则该系统开环传递函数G(s)= ；ωC = 。
6．相位滞后校正装置又称为 调节器，其校正作用是 。
7．采样器的作用是 ，某离散控制系统)()1()1()(10210TT e Z Z e Z G -----=（单位反馈T=0.1）当输入r(t)=t 时.该系统稳态误差为 。
二. 1.求图示控制系统的传递函数.求：)()(S R S C （10分）R(s)2.求图示系统输出C （Z ）的表达式。
（4分）三、 计算1、 已知t Te tf 11)(--=求F （s ）（4分）2、 已知)5(1)(2+=s s s F 。
求原函数f （t ）（6分）3．已知系统如图示，求使系统稳定时a 的取值范围。
（10分）R （s ）四．反馈校正系统如图所示（12分）求：（1）K f=0时，系统的ξ，ωn和在单位斜坡输入下的稳态误差e ss.（2）若使系统ξ=0.707，k f应取何值？单位斜坡输入下e ss.=？五.已知某系统L（ω）曲线，（12分）（1）写出系统开环传递函数G（s）（2）求其相位裕度γ（3）欲使该系统成为三阶最佳系统.求其K=？，γmax=?（1） （2） （3）六、已知控制系统开环频率特性曲线如图示。
第二章 (2.1,2.2)控制系统的微分方程、传递函数
拉氏变换的重要应用——解线性定常微分方程
求微分方程的拉氏变换，注意初值！！
求出 C ( s ) 的表达式 拉氏反变换，求得 c (t )
例1 已知系统的微分方程式，求系统的输出响应。
d 2c(t ) dc(t ) 2 2c(t ) r(t ) 2 dt dt d2 解： 在零初态下应用微分定理： 2 s 2
+
i (t )
R
–
u (t )
+
i (t )
u (t ) i (t ) R
du ( t ) 1 i (t ) dt C
di (t ) u (t ) L dt
电容
C
–
u (t )
+
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi (t )
电感
u (t )
–
L
机械系统三要素的微分方程
设系统输入量为外力，输出量为位移
d 2 x (t) m f (t) 2 dt
d uc (t ) duc (t ) LC RC uc (t ) ur (t ) 2 dt dt
2
3．机械位移系统
输入量为外力: F (t ) 输出量为位移: y (t )
dy 2 (t ) 依据牛顿定律： F m dt 2
dy (t ) d y (t ) F (t ) ky (t ) f m 2 dt dt
d 2 y (t ) dy (t ) m f ky (t ) F (t ) 2 dt dt
微分方程结构一致 二阶线性定常微分方程
不同形式的物理环节和系统可以建立相同形式的数学模型。
系统微分方程由输出量各阶导数和输 入量各阶导数以及系统的一些参数构成。 n阶线性定常系统的微分方程可描述为：
第四章系统的频率特性分析
第四章系统的频率特性分析第四章系统的频率特性分析时间响应分析：主要用于分析线性系统的过渡过程，以时间t为独立变量，通过阶跃或脉冲输入作用下系统的瞬态时间响应来研究系统的性能；依据的数学模型为G(s)频率特性分析：以频率ω为独立变量，通过分析不同的谐波输入时系统的稳态响应来研究系统的性能；依据的数学模型为G(jω)频域分析的基本思想：把系统输入看成由许多不同频率的正弦信号组成，输出就是系统对不同频率信号响应的总和。
4.1频率特性概述1.频率响应与频率特性（1）频率响应：线性定常系统对谐波输入的稳态响应。
（frequencyresponse）对稳定的线性定常系统输入一谐波信号xi(t)=Xisin?t稳态输出（频率响应）:xo(t)=Xo(?)sin[ωt+?(ω)]【例】设系统的传递函数为输入谐波信号xi(t)=Xisin?t 则稳态输出（频率响应）与输入信号的幅值成正比与输入同频率，相位不同进行laplace逆变换，整理得同频率?幅值比A(?)相位差?(?)ω的非线性函数(揭示了系统的频率响应特性)输入:xi(t)=Xisinωt稳态输出（频率响应）:xo(t)=XiA(?)sin[ωt+?(ω)]幅频特性：稳态输出与输入谐波的幅值比相频特性：稳态输出与输入谐波的相位差?(?)[s]A(?)?(?)（2）频率特性：对系统频率响应特性的描述(frequencycharacteristic)频率特性定义为ω的复变函数，幅值为A(?)，相位为?(?)。
输入谐波函数xi(t)=Xisin?t，其拉式变换为2.频率特性与传递函数的关系设系统的微分方程为:则系统的传递函数为:则由数学推导可得出系统的稳态响应为根据频率特性定义，幅频特性和相频特性分别为故G(j?)=?G(j?)?ej?G(j?)就是系统的频率特性如例1，系统的传递函数为所以3.频率特性的求法(1)频率响应→频率特性稳态输出（频率响应）故系统的频率特性为或表示为(2)传递函数→频率特性将传递函数G(s)中的s换成jω，得到频率特性G(jω)。
第五章线性系统的频率分析法
一、频率特性的定义： 指线性系统或环节在正弦信号作用下，系统输入
量的频率由0变化到 时，稳态输出量与输入量的振 幅之比和相位差的变化规律，用G(jω) 表示。
xr (t) xrm sin(t)
xc(t) xcm sin(t ( ))
稳态输出量与输入量的频率相同，仅振幅和相位不同。
3）在ω轴上，十倍频程的长度相等；
4）可以将幅值的乘除化为加减L(ω)=20lgA(ω) ；
5）满足直线方程：斜率k
k L(2 ) L(1 ) lg2 lg1
例如：G ( s )
1 Ts
1
的（对数频率特性曲线）伯德图
1）频率特性： G( j ) 1
1
tg1T
jT 1 2T 2 1
微分方程、传递函数、频率特性之间的关系：
s d dt
传递函数
微分方程 系统
d j
dt
频率特性
s j
四、 频率特性的几何表示法
常用频率特性的三种表示法： 1)幅相频率特性曲线（又称：幅相曲线、奈奎斯
特图（Nyquist）、极坐标图） 2)对数频率特性曲线（又称：伯德图 (Bode)）
频率对数分度,幅值/相角线性分度
2）对数频率特性：
0
Bode Diagram
Magnitude (dB)
L( ) 201g 1
-10
T 1 2 2
-20
-30
( ) tg1T
-40 0
Phase (deg)
3）画出伯德图：
-45
-90 10-1
100
101
Frequency (rad/sec)
102
五、典型环节的分解
频率特性与传递函数的关系
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自动控制理论
第五章
二、研究频率特性的意义
1、频率特性是控制系统在频域中的一种数学模型，是研究自 动控制系统的另一种工程方法。
2、根据系统的频率性能间接地揭示系统的动态特性和稳态特
性，可以简单迅速地判断某些环节或参数对系统性能的影响， 指出系统改进的方向。
四、根据传递函数求率特性
设 xr(t) A sin t
G(s) p(s)
p(s)
q(s) (s s1)(s s2 )...( s sn )
部分分式展开为
X c (s)
G(s)
s
A 2 2
p(s) q(s)
A s2 2
a a b1 b2 ... bn
G( j) tg1(T)
U()
1 T 2 2
1
V()
T
T 22
1
第五章
(U 1)2 V2 (1)2
2
2
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第五章
2、惯性环节对数频率特性
G( j) 1 jT 1
L() 20lg T22 1 () tg1(T)
(ω)大于零时称为相角超前，小于零时称为相角滞后。
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第五章
G(s) U2 (s) 1 U1(s) 1 Ts
T RC
G( j) U2 ( j) 1 A()e j() U1( j) 1 jT
求系统的传递函数常用的方法
求系统的传递函数常用的方法
系统的传递函数是用来描述系统输入与输出之间关系的数学表达式。
常用的方法有以下几种：
1. 建立差分方程：通过建立系统输入和输出之间的差分方程来表达传递函数。
这种方法适用于离散系统，通过离散时间的处理来描述系统动态响应。
2. 建立微分方程：对于连续系统，可以通过建立系统输入和输出之间的微分方程来表达传递函数。
这种方法适用于连续时间的系统，利用微分的概念来描述系统的动态行为。
3. 拉普拉斯变换：通过对系统输入和输出进行拉普拉斯变换，可以得到系统的传递函数。
这种方法适用于连续时间的系统，通过频域的分析来描述系统的特性。
4. Z变换：对于离散系统，可以通过对系统输入和输出进行Z变换，得到系统的传递函数。
这种方法适用于离散时间的系统，通过频域的分析来描述系统的特性。
在实际应用中，根据系统的性质和所求解的问题，选择合适的方法来建立系统的传递函数。
在系统设计和控制器设计中，传递函数是非常重要的工具，可以用来分析系统的稳定性、频率响应和动态特性等。
因此，掌握传递函数的建立方法对于工程实践具有重要意义。
自动控制原理 第五章 控制系统的频域分析法
则
uos (t) = A ⋅ A(ω)sin[ω t + ϕ(ω)]
(5.2)
结论：
(1) 稳态解与输入信号为同一频率的正弦量；
(2) 当ω 从 0 向∞变化时，其幅值之比 A(ω) 和相位差ϕ(ω) 也将随之变化，其变化规
律由系统的固有参数 RC 决定； (3) 系统稳态解的幅值之比 A(ω) 是ω 的函数，其比值为
三角函数形式： G( jω) = A(ω)[cosϕ(ω) + jsinϕ(ω)] 。
式中 A(ω) = G( jω) 是幅值比，为ω 的函数，称为幅频特性；
ϕ(ω) = ∠G( jω) 是相位差，为ω 的函数，称为相频特性； U (ω) 是 G( jω) 的实部，为ω 的函数，称为实频特性； V (ω) 是 G( jω) 的虚部，为ω 的函数，称为虚频特性。
s + p1 s + p2
s + pn s + jω s − jω
∑n
=
Ci
+
B
+
D
i=1 s + pi s + jω s − jω
(5.4)
式中 Ci , B , D 均为待定系数。
将(5.4)式进行拉氏反变换，得系统的输出响应为
n
∑ c(t) = Cie− pi t + (Be− jω t + Dejω t ) = ct (t) + cs (t) i =1
C( jω) = G( jω)R( jω)
因而，得
G( jω) = C( jω) R( jω)
(5.11)
事实上，当ω 从 0 向∞变化时， G( jω) 将对不同的ω 作出反映，这种反映是由系统自
微分方程与传递函数
k M x(t)
F克服弹簧恢复力和阻尼力，使M向下运动，
产生加速度 分析质量块M受力，有:
固定端
(1)外力F
F(t)
k与变形长度相关
(2)弹簧恢复力kx(t)
(3)阻尼力
M x(t)
(4)惯性力
f
与变形速
度相关
固定端
由于M受力平衡，所以
式中：x 为M的位移(m)； f 为阻尼系(N·s/m); k 为弹性系数(N/m)。
19
5.传递函数为系统的单位脉冲响应函数的拉 普拉斯变换。
系统的单位脉冲响应为：
传递函数的拉氏反变换为该系统的单位脉冲 响应函数 系统的单位阶跃响应为：
四、基本RLC网络的复阻抗
电阻、电容、电感与电压、电流之间满足 广义的欧姆定律。
RLC:
时域: 拉式 变换: 复阻抗:
例：列写RC网络的传递函数
化简，并写成输出/输入的形式：
关于并联电路阻抗的计算：
例:
1.阻抗替换： 2.1/sC与R并联：
3.输入端总阻抗： 4.输出端分压： 5.传递函数：
再见
根据系统内在规律牛顿运动学能量守恒物料守恒等建立各物理量之间的数学关系选定系统的输3选定系统的输入输出变量及状态变量消去中间变量建立模型输出变量状态变量rlc电路系统的数学模型rditutldt?dttductic?tcritu??2222tutudttdurcdttudlcrccc???2tudttdurcdttudlcccc???例2
uc (t )
i(t ) C duc (t ) dt
LC
d 2uc (t ) dt 2
RC
duc (t ) dt
uc (t )
频率特性
U2( jω) 1 G( jω) = = = A(ω)e jϕ(ω) U1( jω) 1+ jωT
A(ω) =
1 1+ (Tω)2
幅值A(ω 幅值A(ω)随着频率升高而衰减 A( 对于低频信号 (ωT << 1) 对于高频信号 (ωT >> 1)
A(ω) ≈ 1
1 A(ω) ≈ ≈0 ωT
频率特性的定义
什么是频率特性？ 什么是频率特性？ 对于确定的角频率ω，输出与输入之间有确定的关系。 对于确定的角频率 ，输出与输入之间有确定的关系。
x(t ) = X sinωt
& X = X∠0o
ys (t) = Y sin(ωt +ϕ) & Y =Y∠ϕ
频率特性的定义
频率特性的定义
频率特性与传递函数的关系
y(t ) = be− jωt + be jωt + a1e−s1t + a2e−s2t ... + ane−snt
X(s)
t ≥0
对于稳定的所有的闭环极点都在左半s平面，所以， 对于稳定的所有的闭环极点都在左半 平面，所以，输 平面 出的稳态值为： 出的稳态值为：
G( jω) = U(ω) + jV (ω) −112×0.02ω U(ω) = 0.4×10−3ω3 + ω − 112 V(ω) = 0.4×10−3ω3 + ω
频率特性的图示方法
G( jω) = A(ω)e jϕ(ω) lg G( jω) = lg A(ω) + jϕ(ω)lg e
幅值相乘变为相加，简化作图。 幅值相乘变为相加，简化作图。 对数幅频+对数相频 对数幅频 对数相频 为了拓宽频率范围， 为了拓宽频率范围，通常 将对数幅频特性绘在以10 将对数幅频特性绘在以 为底的半对数坐标中。 为底的半对数坐标中。
频率分析法
因此，幅频特性A()是的偶函数，相频特性 () 是的奇函数。
Q ( )
A( ) ( )
P ( )
0
s 1 G( s) 2 s s 1
K (1 2 s ) 1 1 例 : G( s ) K (1 2 s ) s(1 0.1s ) s 1 0.1s
5.2.2 典型环节的频率特性 1.比例环节 比例环节的频率特性是G(jω)=K,幅相曲线如下左图。
(dB) j
20lgK
波特图
1 10
极坐标图或 奈奎斯特图
0 k
0
(o) 0
ω
·
1
10
ω
图5.3 比例环节K的幅相曲线
图5.4 比例环节的 对数 频率特性曲线
比例环节的对数幅频特性和对数相频特性分别是： L(ω)=20lg| G(jω)|=20lgK 和φ(ω)=0 相应曲线如上右图。
2积分环节
G( s ) 1 1 1 , G( j ) s j 2
A(ω) 称幅频特性，φ(ω)称相频特性。二者统称为频率特性。
说明: 1.在稳态求出的输出信号 与输入信号的幅值比是 的非 线性函数, 称为幅频特性 Y/X | G(j ) | 2.输出信号与输入信号的 相位差是的非线性函数 称 , 为相频特性它描述在稳态情况下 . ,当系统输入不同频率 的谐波信号时 其相位产生超前 0 )或滞后( 0 )的 , ( 特性. 3.幅频特性和相频特性总 称为频率特性 记为 , G(j ) G(j ) e jG(j ) 4.频率特性的求取 G(j ) G(s) s j
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15
G( j) 1
L()dB
1 j0.5
()(o )
16
5-2 频率特性
2. 频率特性的几何表示法
❖ 对数幅相曲线（又称尼柯尔斯曲线）：
对数幅相图的横坐标表示对数相频特 性的相角，纵坐标表示对数幅频特性的幅 值的分贝数。
17
L()(dB)
G( j) 1 1 j0.5 1
()(o )
12
G( j)
1
1
jT
1 jT 1 (T)2
1
1 (T)2
T j 1 (T)2
[Re
G(
j
)
1 2
]2
Im
G
2
(
j
)
1 2
2
j
1
2
ReG( j)
0
ImG( j)
13
5-2 频率特性
2. 频率特性的几何表示法
❖ 对数频率特性曲线：对数幅频特性曲
线又称为伯德图（曲线），其横坐标采 用对数分度，对数幅频曲线的纵坐标的 单位是分贝，记作 dB，对数相频曲线的 单位是度。
和相角G( j)。该结论具有普遍性。
8
A() 1 1 T 2 2
() arctgT
可以根据ω的变化画出 A() 和 () 的曲线。
A(ω) 1
00 ()
0
1
ω
23
-1000
1/T 2/T 3/T ω
9
谐波输入下，输出响应中与输入同频率的谐波分量与
谐波输入的幅值之比
为幅频特性，
相位之差
为相频特性， 为系统的频率特性。
A() 1 1 T 2 2
称为幅值比；
() arctgT 称为相位差；
A 1,T 1, 2
7
对传递函数： G(s) 1 Ts 1
取 s j 则：
G( j) G(s) |s j
1
jT 1
1
e jarctgT
1 T 2 2
A()
1
, () arctgT
1 T 22
A(), () 分别为 G( j) 的幅值 G( j)
10
微分方程
s p
传递函数
系统
s j
频率特性
j p
11
5-2 频率特性
2. 频率特性的几何表示法
❖ 幅相频率特性曲线：对于一个确定的
频率，必有一个幅频特性的幅值和一个 幅频特性的相角与之对应，幅值与相角 在复平面上代表一个向量。当频率ω从零 变化到无穷时，相应向量的矢量端就描 绘出一条曲线。这条曲线就是幅相频率 特性曲线，简称幅相曲线。
18
uo
ui
, T RC
电容C初始电压:
传递函数为:
G(s) 1 Ts 1
uo0
4
若 ui (t ) Asint 则
Uo (s)
1 Ts 1 (Ui (s) Tuo0 )
1 Ts
1
A s2 2
Tuo0
uo0 a b1 b2
s 1/ T Ts 1 s j s j
5
➢ 频域特性物理意义明确； ➢ 控制系统的频域设计可以兼顾动态响应
和噪声抑制两方面的要求； ➢ 频域分析法不仅适用于线性定常系统，
还可以推广应用于某些非线性控制系统。
3
5-2 频率特性
1. 频率特性的基本概念
1 、RC网络的频率特性 如右图由网络可知， 系统的微分方程为：
R
Ui
C
Uo
duo dt
将
代入 并应用欧拉方程得：
Uo (t )
AT 1 T 22
uo0
e
t
/
T
A sin(t arctgT ) 1 T 22
第一项为暂态分量，随时间增长趋于零。第二项为稳
态分量，为系统的稳态值，即
Uos
A sin(t arctgT ) 1 T 2 2
6
Uos
A sin(t arctgT ) 1 T 2 2
第五章 线性系统的频域分析法
第五章 线性系统的根轨迹法
5-1 引言
控制系统中的信号可以 表示为不同频率正弦信号作 用下系统响应的性能。
应用频率特性研究线性 系统的经典方法称为频域分 析法。
2
第五章 线性系统的根轨迹法
5-1 引言
频域分析法具有以下特点：
➢ 控制系统及其元部件的频率特性可以运 用分析法和实验方法获得；